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2025 年辽宁省沈阳市新民市中考数学三模试卷
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．（3分）某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小
立方块个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）国家能源局等多部门发布关于大力实施可再生能源替代行动的指导意见，提出了 2025年全国可
再生能源消费量达到 11亿吨标煤以上等系列目标，将 110000000用科学记数法表示为（ ）
A．11×108 B．1.1×108 C．1.1×109 D．1.1×1010
3．（3分）实数 a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＞0 C．a+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b
4．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点 D是 AC的中点，DE⊥BC于点 E．若 CE＝3，则 AB的长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
5．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．3a2﹣2a＝a B．（2a3b）3＝6a9b3
C．﹣2（ab﹣a）＝﹣2ab﹣2a D．（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2
6．（3分）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变
化，下列说法错误的是（ ）
第 1页（共 29页）
A．四边形 ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线 BD的长度减小
C．四边形 ABCD的面积不变
D．四边形 ABCD的周长不变
7．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几
何？译文为：今有若干人乘车，若每 3人共乘一车，则最终剩余 2辆车；若每 2人共乘车，则最终剩余
9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有 x辆车，列方程为（ ）
A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9
C． D．
8．（3分）已知点 M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能
是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，以点 C为圆心、AC长为半径作弧与 AB交于点 D，连接 CD，以点 B为圆
心，适当长为半径作弧分别与 AB和 BC交于点 E和 F，再分别以点 E和 F为圆心、大于 的长为半
径作弧，两弧在△ABC内部交于点 G，作射线 BG交 CD于点 H．若∠BAC＝α，∠ABC＝β，则∠DHB
的大小为（ ）
第 2页（共 29页）
A．α﹣β B．90°﹣α+β
C． D．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD的边长为 13，点 B的坐标是（8，12），点 D的坐标
是（8，2），则点 A的坐标是（ ）
A．（3，6） B．（﹣4，5） C．（﹣4，6） D．（﹣4，7）
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11．（3分）已知实数 a，b，满足 a+b＝6，ab＝7，则 a2b+ab2的值为 ．
12．（3分）如图，有 4张分别印有《西游记》人物图案的卡片：A．唐僧，B．孙悟空，C．猪八戒，D．沙
悟净．现将这 4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出
1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出 1张卡片，则两次取出的两张卡片中至少有 1张图案为
“A．唐僧”的概率是 ．
13．（3分）如图，在以 O为原点的数轴上，OB＝1，过点 O作直线 l⊥OB于点 O，在直线 l上截取 OA＝
2，且点 A在 OB上方．连接 AB，以点 B为圆心、AB长为半径作弧交射线 OB于点 C，则点 C表示的
数为 ．
第 3页（共 29页）
14．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2﹣2ax（a＞0），点 A为抛物线的顶点，点 B是 y
轴正半轴上一点，点 A关于点 B的对称点 C恰好落在抛物线上．过点 C作 x轴的平行线交抛物线于另
一点 D，则 CD的长为 ．
15．（3分）如图，在矩形 ABCD中，AB＝4，AD＝3．点 E在 AD上，将矩形 ABCD沿 BE折叠，点 A恰
好落在 CD边上的点 F处，将△DEF沿射线 FB方向平移得到△D′E′F′（点 D′，E′，F′分别是
点 D，E，F的对应点）．当点 D′在 BE上时，则 EE′的长为 ．
三、解答题（本题共 8 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（1）计算： ；
（2）计算： ．
17．某微型货车最大载重量为 1600kg，现接到装运一批设备的任务，每套设备由 2个 A部件和 1 个 B部
件组成，需成套装运．已知 1个 A部件和 3个 B部件总质量为 210kg．2个 A部件和 1个 B部件的质量
相等．
（1）求 1个 A部件和 1个 B部件的质量各是多少千克；
（2）为防止 A、B部件在运输中挤压破损，微型货车加装了质量为 140kg垫板和隔板，问该微型货车
第 4页（共 29页）
一次最多可装运多少套设备？
18．某校甲、乙两个班级各有 25名学生参加校运动会彩旗方阵的队列训练，为了解这两个班级参加队列
训练的学生的身高情况，对这些学生的身高进行收集、整理、描述和分析（身高用 x表示，共分为五组，
A组：161≤x＜165，B组：165≤x＜170，C组：170≤x＜175，D组：175≤x＜180，E组：180≤x≤
185），部分信息如下：
信息一：甲班 25名学生的身高：161，163，164，164，165，166，166，166，166，167，168，168，
168，169，169，169，171，172，172，172，173，174，175，176，181．
信息二：根据乙班 25名学生的身高数据绘制扇形统计图，其中 C组的数据是：170，170，171，173，
174，174．
信息三：两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示：
班级 平均数 中位数 众数
甲 169 168 b
乙 169 a 175
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）乙班 D组的人数比甲班 D组的人数多 3人，求 m的值；
（2）求信息三中 a和 b的值；
（3）受彩旗数量影响，每班只能有 22人参加入场式彩旗方阵队列表演，要求这 22人与原来 25人的身
高平均数相同，并且这 22人身高的方差尽可能小，请说明甲班未入选的 3名学生的身高．
19．商家销售某种日用品一段时间后，发现该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）满足一次函数
关系（如图所示），其中 15≤x≤30．
（1）求 y关于 x的函数表达式；
（2）若该种日用品进价为每件 10元，该商家如何确定销售单价才能使每天获得的利润最大？最大利润
是多少？
第 5页（共 29页）
20．如图 1，一扇推拉式窗户，AB为固定的窗框底边，AC为该窗户开启的下沿一边，可绕点 A旋转一定
角度，MN为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边 AC上的点 M处，另一端点 N在窗框底边 AB上滑动
（窗户关闭时，AC，MN叠合在 AB边上），支撑杆 MN的长度固定不变．窗户打开一定角度后，AM即
与 AN构成一个旋转角∠MAN，其俯视图如图 2所示，窗户的旋转角∠MAN的大小控制在一定范围内
（0°≤∠MAN≤160°），MN＝20cm．
（1）如图 3，窗户旋转角∠MAN＝90°时，测得∠MNA＝45°，求此时 AM和 AN的长（结果保留根
号）；
（2）在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角∠MAN从 90°继续增大，旋转后点 M，N的对应点分
别为点 M′，N′，∠M′N′A＝37°时旋转停止，如图 4所示，求端点 N在此过程中滑动的长度（结
果精确到 0.1cm）．
（参考数据： ）
21．已知△ABC是⊙O的内接三角形，CA＝CB，∠ACB＝40°，点 D是⊙O上一点，连接 AD，BD，CD．
（1）如图 1，若 BD为⊙O的直径，求∠CBD的度数；
（2）如图 2，若 AD∥BC，过点 D作⊙O的切线交 OA的延长线于点 E，若 DE＝5，求 的长．
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22．在△ABC中，点 P是 BC边上一点，连接 AP，将△ABP绕点 B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到
△DBE（点 A，P的对应点为点 D，E），DE的延长线与直线 AP交于点 F连接 DA，BF．
（1）如图 1，若∠BAC＝α＝90°，∠C＝45°时．
①求证：AD∥BC；
②若∠APC＝120°，猜想线段 DF和 AF的数量关系，并证明你的猜想；
③当点 P运动到何处时， 的值最小？请说明理由；
（2）如图 2，若∠ABC＜α，BF＝mAF（m≠0），且 m为常数）时，求 的值（用含 m和α的式子表
示）．
23．在平面直角坐标系中，对于一个函数 F给出一个定义，当自变量 m≤x≤m+2（m为实数）时，其对应
图象的最高点记为 A，最低点记为 C，以 AC为对角线作矩形 ABCD，矩形的边与坐标轴平行，则称该
矩形为函数 F的伴随矩形，该矩形 ABCD的周长 l为函数 F的伴随函数．
（1）如图，当 m＝1时，求函数 的伴随函数的函数值；
（2）一次函数 y＝kx+4（k＜0）伴随函数的函数值为 12，求 k的值；
（3）二次函数 y＝x2+bx+3与 x轴交于点 P（1，0）和点 Q．
①当 m＜0时，伴随矩形 ABCD能否为正方形？若能，求出伴随函数的函数值；若不能，说明理由；
②当 m＞0时，求伴随函数 l关于 m的函数表达式；
③在②的条件下，伴随函数 l图象上的点到直线 y＝13的距离为 2时，请直接写出自变量 m的值．
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第 8页（共 29页）
2025 年辽宁省沈阳市新民市中考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B． D A D C B B C D
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．（3分）某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小
立方块个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从左面看去，一共两列，左边有 1个小正方形，右边有 2个小正方形，左视图是：
．
故选：D．
2．（3分）国家能源局等多部门发布关于大力实施可再生能源替代行动的指导意见，提出了 2025年全国可
再生能源消费量达到 11亿吨标煤以上等系列目标，将 110000000用科学记数法表示为（ ）
A．11×108 B．1.1×108 C．1.1×109 D．1.1×1010
【解答】解：110000000＝1.1×108．
故选：B．
3．（3分）实数 a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．ab＞0 B．a+b＞0 C．a+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b
【解答】解：从图中得出：a＝2，﹣3＜b＜﹣2．（1）a和 b相乘是负数，所以 ab＜0，故 A选项错误；
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（2）a和 b相加是负数，所以 a+b＜0，故 B选项错误；
（3）因为 a＞b，所以 a+3＞b+3，故 C选项错误；
（4）因为 a是正数，所以﹣3a＜0，又因为 b是负数，所以﹣3b＞0，即﹣3a＜﹣3b，故选项 D正确，
所以选择 D；
答案为：D．
4．（3分）如图，△ABC是等边三角形，点 D是 AC的中点，DE⊥BC于点 E．若 CE＝3，则 AB的长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠C＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∴CD＝2CE＝6，
∵点 D是 AC的中点，
∴AC＝2CD＝12，
∴AB＝AC＝12，
故选：A．
5．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．3a2﹣2a＝a B．（2a3b）3＝6a9b3
C．﹣2（ab﹣a）＝﹣2ab﹣2a D．（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2
【解答】解：A、3a2，﹣2a非同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、（2a3b）3＝8a9b3，计算错误，不符合题意；
C、﹣2（ab﹣a）＝﹣2ab+2a，计算错误，不符合题意；
D、（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，计算正确，符合题意．
故选：D．
6．（3分）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ABCD，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变
第 10页（共 29页）
化，下列说法错误的是（ ）
A．四边形 ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线 BD的长度减小
C．四边形 ABCD的面积不变
D．四边形 ABCD的周长不变
【解答】解：过点 F作 FH⊥AB于点 H，连接 BD，BF，如图所示：
对于选项 A，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴AD＝BC，CD＝EF，∠BAD＝90°，
根据四边形的不稳定性得：AF＝AD，BF＝BC，EF＝CD，
∴AF＝BE，EF＝AB，
∴四边形 ABEF是平行四边形，
∴四边形 ABCD由矩形变为平行四边形，
故选项 A正确，不符合题意；
对于选项 B，
在 Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝ ，
在 Rt△BFH中，由勾股定理得：BF＝ ，
∵BH＜AB，FH＜AF＝AD，
∴BF＜BD，
∴对角线 BD的长度减小，
故选项 B正确，不符合题意；
对于选项 C，
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∵矩形 ABCD的面积为：AB AD，平行四边形 ABEF的面积为：AB FH，
又∴FH＜AD，
∴AB FH＜AB AD，
∴矩形 ABCD的面积在减小，
故选项 C不正确，符合题意；
对于选项 D，
∵AF＝AD，四边形 ABEF是平行四边形，
∴四边形 ABEF的周长为：2（AF+AB）＝2（AD+AB），
又∵矩形 ABCD的周长为：2（AD+AB），
∴四边形 ABCD的周长不变．
故选项 D正确，不符合题意．
故选：C．
7．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几
何？译文为：今有若干人乘车，若每 3人共乘一车，则最终剩余 2辆车；若每 2人共乘车，则最终剩余
9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有 x辆车，列方程为（ ）
A．3x﹣2＝2x+9 B．3（x﹣2）＝2x+9
C． D．
【解答】解：由题意可得：3（x﹣2）＝2x+9，
故选：B．
8．（3分）已知点 M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能
是（ ）
A． B．
C． D．
第 12页（共 29页）
【解答】解：由 N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，可知图象关于 y轴对称，故选项 A、C
不符合题意；
由 M（﹣4，a﹣2），N（﹣2，a），可知在 y轴的左侧，y随 x的增大而增大，故选项 B符合题意；
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，以点 C为圆心、AC长为半径作弧与 AB交于点 D，连接 CD，以点 B为圆
心，适当长为半径作弧分别与 AB和 BC交于点 E和 F，再分别以点 E和 F为圆心、大于 的长为半
径作弧，两弧在△ABC内部交于点 G，作射线 BG交 CD于点 H．若∠BAC＝α，∠ABC＝β，则∠DHB
的大小为（ ）
A．α﹣β B．90°﹣α+β
C． D．
【解答】解：由题意知 AC＝CD，
∴∠CDA＝∠BAC＝α；
由条件可知∠DCB＝∠ADC﹣∠ABC＝α﹣β；
由尺规作图知，BH平分∠ABC，
∴ ；
∴∠DHB＝∠HBC+∠DCB＝
＝ ．
故选：C．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD的边长为 13，点 B的坐标是（8，12），点 D的坐标
是（8，2），则点 A的坐标是（ ）
A．（3，6） B．（﹣4，5） C．（﹣4，6） D．（﹣4，7）
第 13页（共 29页）
【解答】解：连接 BD，AC，交于点 E，则：BD与 AC垂直平分，
∵点 B（8，12），D（8，2），
∴BD∥y轴，E（8，7），
∴AC⊥y轴， ，
∴E（8，7），
∵AB＝13，
∴ ，
∴A（8﹣12，7），即 A（﹣4，7），
故选：D．
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11．（3分）已知实数 a，b，满足 a+b＝6，ab＝7，则 a2b+ab2的值为 42 ．
【解答】解：∵a+b＝6，ab＝7，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝7×6
＝42．
故答案为：42．
12．（3分）如图，有 4张分别印有《西游记》人物图案的卡片：A．唐僧，B．孙悟空，C．猪八戒，D．沙
悟净．现将这 4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出
1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出 1张卡片，则两次取出的两张卡片中至少有 1张图案为
“A．唐僧”的概率是 ．
第 14页（共 29页）
【解答】解：画树状图如图，
由树状图可知：两次取出的两张卡片中至少有 1张图案为“A．唐僧”的概率是 ，
故答案为： ．
13．（3分）如图，在以 O为原点的数轴上，OB＝1，过点 O作直线 l⊥OB于点 O，在直线 l上截取 OA＝
2，且点 A在 OB上方．连接 AB，以点 B为圆心、AB长为半径作弧交射线 OB于点 C，则点 C表示的
数为 ．
【解答】解：由题意可知：AB＝BC，点 B表示的数是 1，
∵直线 l⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵OB＝1，OA＝2，
由勾股定理得： ，
∴ ，
设点 C表示的数为 x，
∴ ，
，
，
∴点 C表示的数为： ，
故答案为： ．
14．（3 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2﹣2ax（a＞0），点 A为抛物线的顶点，点 B是 y
第 15页（共 29页）
轴正半轴上一点，点 A关于点 B的对称点 C恰好落在抛物线上．过点 C作 x轴的平行线交抛物线于另
一点 D，则 CD的长为 4 ．
【解答】解：由抛物线解析式可知 A（1，﹣a），对称轴为直线 x＝1；
由题意设 B（0，b），则 C（﹣1，2b+a）；
∵CD∥x轴，
∴点 C，点 D关于抛物线的对称轴对称，
∴CD＝2×[1﹣（﹣1）]＝4．
故答案为：4．
15．（3分）如图，在矩形 ABCD中，AB＝4，AD＝3．点 E在 AD上，将矩形 ABCD沿 BE折叠，点 A恰
好落在 CD边上的点 F处，将△DEF沿射线 FB方向平移得到△D′E′F′（点 D′，E′，F′分别是
点 D，E，F的对应点）．当点 D′在 BE上时，则 EE′的长为 ．
【解答】解：如图所示，
∵AD＝BC＝3，AB＝CD＝4，∠C＝90°，
由折叠得，AB＝BF＝4，
∴ ，
∴ ，
第 16页（共 29页）
由平移可得， ，EE′＝FF′，DC∥D′F′，
∵DC∥AB，
∴D′F′∥AB，
∴∠F′D′B＝∠D′BA，
由折叠得，∠FBE＝∠ABE，
∴∠F′D′B＝∠F′BD′，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题（本题共 8 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（1）计算： ；
（2）计算： ．
【解答】解：（1）
＝
＝ ；
（2）原式＝
＝
＝ ．
17．某微型货车最大载重量为 1600kg，现接到装运一批设备的任务，每套设备由 2个 A部件和 1 个 B部
件组成，需成套装运．已知 1个 A部件和 3个 B部件总质量为 210kg．2个 A部件和 1个 B部件的质量
相等．
（1）求 1个 A部件和 1个 B部件的质量各是多少千克；
（2）为防止 A、B部件在运输中挤压破损，微型货车加装了质量为 140kg垫板和隔板，问该微型货车
一次最多可装运多少套设备？
【解答】解：（1）设 1个 A部件的质量是 x千克，1个 B部件的质量是 y千克．
第 17页（共 29页）
，
∴ ，
答：1个 A部件 30千克，1个 B部件 60千克；
（2）该微型货车一次最多可装运 m套设备，
（2×30+1×60）m≤1600﹣140，
∴ ，
∴m的最大值为 12，
答：一次最多可装运 12套设备．
18．某校甲、乙两个班级各有 25名学生参加校运动会彩旗方阵的队列训练，为了解这两个班级参加队列
训练的学生的身高情况，对这些学生的身高进行收集、整理、描述和分析（身高用 x表示，共分为五组，
A组：161≤x＜165，B组：165≤x＜170，C组：170≤x＜175，D组：175≤x＜180，E组：180≤x≤
185），部分信息如下：
信息一：甲班 25名学生的身高：161，163，164，164，165，166，166，166，166，167，168，168，
168，169，169，169，171，172，172，172，173，174，175，176，181．
信息二：根据乙班 25名学生的身高数据绘制扇形统计图，其中 C组的数据是：170，170，171，173，
174，174．
信息三：两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示：
班级 平均数 中位数 众数
甲 169 168 b
乙 169 a 175
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）乙班 D组的人数比甲班 D组的人数多 3人，求 m的值；
（2）求信息三中 a和 b的值；
（3）受彩旗数量影响，每班只能有 22人参加入场式彩旗方阵队列表演，要求这 22人与原来 25人的身
高平均数相同，并且这 22人身高的方差尽可能小，请说明甲班未入选的 3名学生的身高．
第 18页（共 29页）
【解答】解：（1）用 D组的人数除以总数可得：
；
∴m＝20；
（2）根据中位数和众数的确定方法可得：
25×（28%+20%）＝12，
∴乙组数据排序后第 13个数据为：170；
∴a＝170；
甲组数据中出现次数最多的是：166；
∴b＝166；
（3） ，
∴甲班未入选的 3名学生的身高为 181cm，161cm，165cm．
19．商家销售某种日用品一段时间后，发现该商品每天的销售量 y（件）与销售单价 x（元）满足一次函数
关系（如图所示），其中 15≤x≤30．
（1）求 y关于 x的函数表达式；
（2）若该种日用品进价为每件 10元，该商家如何确定销售单价才能使每天获得的利润最大？最大利润
是多少？
【解答】解：（1）设 y＝kx+b，由题意可得：
第 19页（共 29页）
，
解得 ，
∴y＝﹣10x+400（15≤x≤30）；
（2）设该商家每天获得的利润为 w元，
∴w＝（x﹣10）（﹣10x+400）
＝﹣10x2+500x﹣4000
＝﹣10（x﹣25）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当 x＝250时，w取得最大值，最大值为 2250元，
答：该商家将售价定为 25元时，才能使每天获得的利润最大，最大利润是 2250元．
20．如图 1，一扇推拉式窗户，AB为固定的窗框底边，AC为该窗户开启的下沿一边，可绕点 A旋转一定
角度，MN为支撑杆，其中一端固定在窗户下沿边 AC上的点 M处，另一端点 N在窗框底边 AB上滑动
（窗户关闭时，AC，MN叠合在 AB边上），支撑杆 MN的长度固定不变．窗户打开一定角度后，AM即
与 AN构成一个旋转角∠MAN，其俯视图如图 2所示，窗户的旋转角∠MAN的大小控制在一定范围内
（0°≤∠MAN≤160°），MN＝20cm．
（1）如图 3，窗户旋转角∠MAN＝90°时，测得∠MNA＝45°，求此时 AM和 AN的长（结果保留根
号）；
（2）在（1）的基础上，继续打开窗户，旋转角∠MAN从 90°继续增大，旋转后点 M，N的对应点分
别为点 M′，N′，∠M′N′A＝37°时旋转停止，如图 4所示，求端点 N在此过程中滑动的长度（结
果精确到 0.1cm）．
（参考数据： ）
【解答】解：（1）窗户旋转角∠MAN＝90°时，测得∠MNA＝45°，
∴∠AMN＝∠MNA＝45°，
∵MN＝20，
第 20页（共 29页）
∴ ；
（2）作 M′H′⊥BA交 BA的延长线于点 H′，
∠M′N′H′＝37°，M′N′＝20cm，
∴M′H′＝M′N′ sin37°＝20×0.6＝12（cm），
，
∵ ，
．
∴
∴端点 N在此过程中滑动的长度为： ．
21．已知△ABC是⊙O的内接三角形，CA＝CB，∠ACB＝40°，点 D是⊙O上一点，连接 AD，BD，CD．
（1）如图 1，若 BD为⊙O的直径，求∠CBD的度数；
（2）如图 2，若 AD∥BC，过点 D作⊙O的切线交 OA的延长线于点 E，若 DE＝5，求 的长．
【解答】解：（1）∵CA＝CB，∠ACB＝40°，
∴ ，
若 BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，
第 21页（共 29页）
∵ ＝ ，
∴∠ACD＝∠ABD＝50°，
∴∠CBD＝∠CBA﹣∠ABD＝70°﹣50°＝20°；
（2）∵ ＝ ，
∴∠BAC＝∠BDC＝70°，
∵ ＝ ，
∴∠ACB＝∠ADB＝40°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝40°+70°＝110°，
∵AD∥BC，
∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝70°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝70°﹣40°＝30°，
如图所示，连接 OD，
∵ 所对圆心角是∠AOD，所对圆周角是∠ACD，
∴∠AOD＝2∠ACD＝60°，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
在 Rt△ODE中，∠E＝30°，
∴OE＝2OD，
∴OE2＝OD2+DE2，即可（2OD）2＝OD2+52，
解得， （负值舍去），
∴ 长＝ ＝ ．
第 22页（共 29页）
22．在△ABC中，点 P是 BC边上一点，连接 AP，将△ABP绕点 B逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到
△DBE（点 A，P的对应点为点 D，E），DE的延长线与直线 AP交于点 F连接 DA，BF．
（1）如图 1，若∠BAC＝α＝90°，∠C＝45°时．
①求证：AD∥BC；
②若∠APC＝120°，猜想线段 DF和 AF的数量关系，并证明你的猜想；
③当点 P运动到何处时， 的值最小？请说明理由；
（2）如图 2，若∠ABC＜α，BF＝mAF（m≠0），且 m为常数）时，求 的值（用含 m和α的式子表
示）．
【解答】（1）①证明：∵∠BAC＝α＝90°，∠C＝45°，
∴∠ABC＝45°，
由旋转的性质可得 DB＝AB，∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠BDA＝45°，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴AD∥BC；
②解： ，证明如下：
∵∠APC＝120°，
∴∠BAP＝∠APB﹣∠ABC＝75°，
由①可得∠BAD＝∠BDA＝45°，
∴∠DAF＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
由旋转的性质可得∠BDE＝∠BAP＝75°，
∴∠ADF＝∠BDE﹣∠BDA＝30°，
∴∠AFD＝90°，
∴ ；
第 23页（共 29页）
③解：当点 P与点 B或点 C重合时， 有最小值，最小值为 1；理由如下：
当点 F在线段 PA延长线上时，如图 1.1，
由旋转的性质可得∠BDE＝∠BAP，
∵∠BAP+∠BAF＝180°，
∴∠BDF+∠BAF＝180°，
∴A、B、D、F四点共圆，
∵∠ABD＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴点 F在以 AD为直径的圆上运动，
由旋转的性质可得∠EBC＝90°，BE＝BP，
∴∠ABE＝45°，
∴点 E在直线 BE上运动，
设直线 BE与⊙O（直径为 AB）交于 T，则点 F在弧 AT上运动，
∴由圆的对称性可得 DF≥AF，当且仅当点 F与点 T重合时，取等，
∴ 的最小值为 1，此时点 E与点 T重合，即此时点 P与点 C重合；
当点 F在线段 PA上时，如图 1.2，
第 24页（共 29页）
由旋转的性质可得∠BDE＝∠BAP，
∴A、B、D、F四点共圆，
∴此时点 F在弧 AB上运动，
同理可得当点 F与点 B重合时， 的最小值为 1，此时点 P与点 B重合；
综上所述，当点 P与点 B或点 C重合时， 有最小值，最小值为 1．
（2）解：当点 F在 PA延长线上时，过点 B作 BH⊥DF于 H，在 FD的延长线上截取 DG＝AF，连接
BG，如图 2，
由旋转的性质可得∠BGE＝∠BAP，BD＝BA，BF＝BP，
∵∠BDG+∠BDE＝∠BAP+∠BAF＝180°，
∴∠BDG＝∠BAF，
在△BDG和△BAF中，
，
∴△BDG≌△BAF（SAS），
∴∠DBG＝∠ABF，BG＝BF，
∴∠FBG＝∠DBG+∠DBF＝∠ABF+∠DBF＝∠ABD＝α，
∵BH⊥FG，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
第 25页（共 29页）
如图 2，当点 F在 PA上时，过点 B作 BH⊥DF于 H，在 ED上截取 DG＝AF，BG，
由旋转的性质可得∠BDG＝∠BAF，BD＝BA，
在△BDG和△BAF中，
，
∴△BDG≌△BAF（SAS），
∴∠DBG＝∠ABF，BG＝BF，
∴∠FBG＝∠ABF+∠ABG＝∠DBG+∠ABG＝∠ABD＝α，
∵BH⊥FG，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述， 或 ．
23．在平面直角坐标系中，对于一个函数 F给出一个定义，当自变量 m≤x≤m+2（m为实数）时，其对应
图象的最高点记为 A，最低点记为 C，以 AC为对角线作矩形 ABCD，矩形的边与坐标轴平行，则称该
矩形为函数 F的伴随矩形，该矩形 ABCD的周长 l为函数 F的伴随函数．
（1）如图，当 m＝1时，求函数 的伴随函数的函数值；
（2）一次函数 y＝kx+4（k＜0）伴随函数的函数值为 12，求 k的值；
（3）二次函数 y＝x2+bx+3与 x轴交于点 P（1，0）和点 Q．
①当 m＜0时，伴随矩形 ABCD能否为正方形？若能，求出伴随函数的函数值；若不能，说明理由；
第 26页（共 29页）
②当 m＞0时，求伴随函数 l关于 m的函数表达式；
③在②的条件下，伴随函数 l图象上的点到直线 y＝13的距离为 2时，请直接写出自变量 m的值．
【解答】解：（1）当 m＝1时，函数 中，y随着 x的增大而减少．
当 x＝m＝1时，得 ；
当 x＝m+2＝3时，得： ，
∴当自变量 m≤x≤m+2（m为实数）时，其对应函数的最高点为 A（1，6），最低点记为 C（3，2），
∴该矩形 ABCD的周长 l，即函数 F的伴随函数值为：2[（xC﹣xA）+（yA﹣yC）]＝2[（3﹣1）+（6﹣2）]
＝12；
（2）∵一次函数 y＝kx+4（k＜0），y随着 x的值增大而增大，
当 x＝m时，ymax＝km+4；
当 x＝m+2时，ymin＝km+2k+4，
∴当自变量 m≤x≤m+2（m为实数）时，其对应函数的最高点为 A（m，km+4），最低点记为 C（m+2，
km+2k+4），
∴该矩形 ABCD的周长 l，即函数 F的伴随函数值为：
2[（xC﹣xA）+（yA﹣yC）]
＝2[（m+2﹣m）+（km+4﹣km﹣2k﹣4）]
＝2（2﹣2k）
＝4﹣4k
＝12，
∴k＝﹣2；
（3）①当 m＜0时，伴随矩形 ABCD不能为正方形；理由如下：
将点 P（1，0）代入 y＝x2+bx+3得：0＝12+b+3，
解得：b＝﹣4，
∴二次函数解析式是 y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
第 27页（共 29页）
∴对称轴是直线 x＝2，顶点是（2，﹣1），
当 m＜0时，m+2＜2，
∴当自变量 m≤x≤m+2（m为实数）时，y随着 x的增大而减小，
∴当 x＝m时， ，当 x＝m+2时， ，
其对应函数的最高点为 A（m，（m﹣2）2﹣1），最低点记为 C（m+2，m2﹣1），
若伴随矩形 ABCD为正方形，
则 xC﹣xA＝yA﹣yC，
即 m+2﹣m＝（m﹣2）2﹣1﹣（m2﹣1），
解得： （舍去），
∴伴随矩形 ABCD不能为正方形；
②当 0＜m＜1时，2＜m+2 3，2﹣m m+2﹣2，
即 m≤x≤m+2范围包括对称轴直线 x＝2，且 m到对称轴更远．
又∵开口向上，
∴当 x＝m时， ，当 x＝2时，ymin＝﹣1，
∴此时伴随函数 l关于 m的函数表达式为：l＝2{（2﹣m）+[（m﹣2）2﹣1﹣（﹣1）]}，
化简得：l＝2m2﹣10m+12，
当 1≤m＜2时，
同理可知：当 x＝m+2时， ，当 x＝2时，ymin＝﹣1，
∴此时伴随函数 l关于 m的函数表达式为：l＝2{（m+2﹣2）+[m2﹣1﹣（﹣1）]}，
化简得：l＝2m2+2m．
当 m≥2时，对于 m≤x≤m+2，y随着 x的增大而增大，
∴当 x＝m+2时， ，当 x＝m时， ，
∴此时伴随函数 l关于 m的函数表达式为：l＝2{（m+2﹣m）+[m2﹣1﹣（m﹣2）2+1]}，
化简得：l＝8m﹣4．
综上所述： ；
③m的值为 或 或 ．理由如下：
第 28页（共 29页）
伴随函数 l图象上的点到直线 y＝13的距离为 2，
∴l＝11或者 15，
（i）当 0＜m＜1时，l＝2m2﹣10m+12，对称轴是直线 m＝ ，
∴l随着 m的增大而减小，其中 m＝0时，l＝2m2﹣10m+12＝12，
∴当 0＜m＜1时，l＜12，
∴只能取 l＝11，令 l＝2m2﹣10m+12＝11，
解得： （舍去），
（ii） 当 1≤m＜2时，l＝2m2+2m，对称轴是直线 m＝ ，
∴l随着 m的增大而增大，其中 m＝2时，l＝2m2+2m＝12，
∴当 1≤m＜2时，l＜12，
∴只能取 l＝11，令 l＝2m2+2m＝11，
解得： （舍去）， ，
（iii） 当 m≥2时，l＝8m﹣4，
∴l随着 m的增大而增大，其中 m＝2时，l＝8m﹣4＝12，
∴当 m≥2时，l≥12，
∴只能取 l＝15，令 l＝8m﹣4＝15，
解得： ，
综上所述：m的值为 或 或 ．
第 29页（共 29页）

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