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第09讲 弧长及扇形的面积
【学习目标】
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程并会应用解决问题.
【基础知识】
一．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
二．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【考点剖析】
一．弧长的计算（共7小题）
1．（2021秋 招远市期末）如图，点A、B、C是半径为8的⊙O上的三点．如果∠ACB＝45°，那么的长为（　　）
A．90° B．2π C．3π D．4π
2．（2021秋 奉贤区期末）如图，一把扇形的纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OA长为12cm，贴纸的部分CA长为6cm，则贴纸部分的周长为（　　）cm．
A．6π+12 B．36π+12 C．18π+12 D．12π+12
3．（2022 瑞安市校级开学）已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的弧长为 　 　．
4．（2022春 奈曼旗期中）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝55°，AB＝6，则的长为 　 　．
5．（2022春 二道区校级月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，OB＝2．则弧BD的长为（　　）
A．2π B．3π C． D．
6．（2022 铁西区开学）如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的图心角的度数为 　 　．
7．（2021秋 东城区校级月考）如图，⊙O的半径为10cm，弦AB垂直平分半径OC，垂足为点D．
（1）弦AB的长为 　 　．
（2）求劣弧的长．
二．扇形面积的计算（共7小题）
8．（2021秋 汝州市期末）半径为6的圆中，一个扇形的圆心角为60°，则该扇形的面积为（　　）
A．6π B．3π C．2π D．π
9．（2021秋 毕节市期末）一个圆中有三个扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占总面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是（　　）
A．30° B．108° C．110° D．120°
10．（2021秋 西乡县期末）一个扇形的圆心角是135°，半径为4，则这个扇形的面积为（　　）
A．π B．π C．4π D．6π
11．（2021秋 包头期末）钟面上的分针长为2cm，从8点到8点15，经过了15分钟，分针在钟面上扫过的面积是 　 　cm2．（结果保留π）
12．（2022春 巢湖市校级期中）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，以AD、BD、AB分别作半圆，如果只已知一条线段的长度即可求出图中的阴影部分面积，则这条线段可以是（　　）
A．CD B．AD C．AB D．BC
13．（2022春 渝北区月考）等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝2，以点O为圆心，OA为半径作扇形AOB，则图中阴影部分的面积为（　　）（结果保留π）
A．4π﹣2 B．π C．π﹣2 D．2
14．（2021秋 开化县期末）如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8．C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD＝30°．
（1）求∠COA的度数．
（2）求出CE的长度．
（3）求出图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．（2022 费县一模）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为5cm，则图中弧CD的长为_______cm．（结果保留π）（　　）
A． B． C． D．
2．（2022 海曙区校级开学）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2．以点A为圆心，AB为半径作，向菱形内部作，使，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．3 C．2 D．
3．（2022 上城区二模）已知半径为6的扇形的面积为12π，则扇形的弧长为（　　）
A．4 B．2 C．4π D．2π
4．如图，在平面直角坐标系中，已知B（2，0），四边形ABCD和AEFG都是正方形，点A、D、E共线，点G、A、B在x轴上，点C，E，F在以O为圆心OC为半径的圆上，则的长为（　　）
A． B． C． D．5π
5．（2022 蓬安县模拟）如图，在半径为4的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是AB上一动点，点D是OC的中点，连结AD并延长交OB于点E，则图中阴影部分面积的最小值为（　　）
A．4π﹣4 B．4π C．2π﹣4 D．2π
6．（2022 达拉特旗一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为2，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（　　）
A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．4π﹣3
二．填空题（共8小题）
7．（2022 呼兰区一模）一个扇形的面积为3π，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为 　 　cm．
8．（2022 南平模拟）在半径为3的圆中，圆心角为20°的扇形面积是 　 　．
9．（2022 虎丘区校级模拟）如图，等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2．分别以点 B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点 D、E、F，则图中阴影部分的面积为 　 　．
10．（2022 莆田模拟）如图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为 　 　（结果保留π）．
11．（2022春 南岗区校级月考）已知扇形的弧长为4π，直径为16，则此扇形的圆心角为 　 　．
12．（2022 福州模拟）在半径为6的圆中，150°的圆心角所对的弧长是 　 　．
13．（2022春 沭阳县期中）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以3cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 　 　．
14．（2022 九龙坡区模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AB，以点B为圆心，以OB的长为半径作弧，交弧AB于点C，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积为 　 　．
三．解答题（共6小题）
15．（2022春 长兴县月考）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧长和面积．
16．（2022 费县一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．
（1）求∠B的度数；
（2）若AB＝3，求的长．
17．（2022 石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC为直径的⊙O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD．
（1）求∠AED的度数．
（2）求DB的长．
（3）求图中阴影部分的面积．
18．（2022春 亭湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
（1）若∠B＝28°，求的度数；
（2）若D是AB的中点，AB＝4，求阴影部分的面积；
（3）若，求AD AB的值．
19．（2021秋 船营区校级期末）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD、AD、OB、OC．已知∠ADB＝30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝8cm，求图中扇形BOC的面积（结果保留π）．
20．（2021秋 亭湖区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB＝2m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取π近似值为3，近似值为1.7）
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第09讲 弧长及扇形的面积
【学习目标】
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程并会应用解决问题.
【基础知识】
一．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
二．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
【考点剖析】
一．弧长的计算（共7小题）
1．（2021秋 招远市期末）如图，点A、B、C是半径为8的⊙O上的三点．如果∠ACB＝45°，那么的长为（　　）
A．90° B．2π C．3π D．4π
【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB＝90°，再根据弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB．
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝8，
∴的长是：4π．
故选：D．
【点评】本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题的关键是掌握弧长公式．
2．（2021秋 奉贤区期末）如图，一把扇形的纸扇完全打开后，两竹条外侧OA和OB的夹角为120°，OA长为12cm，贴纸的部分CA长为6cm，则贴纸部分的周长为（　　）cm．
A．6π+12 B．36π+12 C．18π+12 D．12π+12
【分析】先求出OC，再根据弧长公式计算 和的长，加上2AC即为贴纸部分的周长．
【解答】解：∵OA的长为12cm，贴纸部分的宽AC为6cm，
∴OC＝OA﹣AC＝6cm，
又OA和OB的夹角为120°，
∴4π，
8π，
∴贴纸部分的周长为4π+8π+2×6＝12π+12．
故选：D．
【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
3．（2022 瑞安市校级开学）已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的弧长为 　2π　．
【分析】把已知数据代入弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：扇形的弧长2π，
故答案为：2π．
【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：l是解题的关键．
4．（2022春 奈曼旗期中）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝55°，AB＝6，则的长为 　π　．
【分析】先求出圆心角∠BOC的度数，然后根据弧长公式计算弧长即可．
【解答】解：由题知，∠OCA＝55°，AB＝6，
∴∠BOC＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA＝110°，
∴π，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
5．（2022春 二道区校级月考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，OB＝2．则弧BD的长为（　　）
A．2π B．3π C． D．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，利用弧长公式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝180°﹣120°＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
∴弧BD的长为π，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键．
6．（2022 铁西区开学）如果一个扇形的半径是2，弧长是，则此扇形的图心角的度数为 　45°　．
【分析】根据l，结合题意可得出扇形圆心角的度数．
【解答】解：∵扇形的弧长是，半径为2，
∴，
解得：n＝45．
故答案为：45°．
【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：是解题的关键．
7．（2021秋 东城区校级月考）如图，⊙O的半径为10cm，弦AB垂直平分半径OC，垂足为点D．
（1）弦AB的长为 　10cm　．
（2）求劣弧的长．
【分析】（1）先利用垂径定理得出AB＝2BD，∠ODB＝90°，OD＝5，进而根据勾股定理求出BD，即可得出结论；
（2）先利用锐角三角函数求出∠BOD＝60°，最后利用扇形的弧长公式即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，⊙O半径为10cm，
∴OB＝OC＝10，
∵弦AB垂直平分半径OC，
∴AB＝2BD，∠ODB＝90°，ODOC＝5，
在Rt△BOD中，根据勾股定理得，BD5，
∴AB＝2BD＝10cm；
故答案为：10cm；
（2）由（1）知，OD＝5，
在Rt△BOD中，cos∠BOD，
∴∠BOD＝60°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOB＝2∠BOD＝120°，
cm．
【点评】此题主要考查了垂径定理，锐角三角函数，勾股定理，弧长公式，求出AB是解本题的关键．
二．扇形面积的计算（共7小题）
8．（2021秋 汝州市期末）半径为6的圆中，一个扇形的圆心角为60°，则该扇形的面积为（　　）
A．6π B．3π C．2π D．π
【分析】根据扇形面积计算公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：S6π．
故选：A．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行计算是解决本题的关键．
9．（2021秋 毕节市期末）一个圆中有三个扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占总面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是（　　）
A．30° B．108° C．110° D．120°
【分析】根据扇形统计图的意义可得，扇形丙的圆心角占360°的30%，计算即可得答案．
【解答】解：360°×（1﹣50%﹣20%）
＝360°×30%
＝108°，
故选：B．
【点评】本题考查认识平面图形，掌握扇形统计图的意义是正确解答的前提．
10．（2021秋 西乡县期末）一个扇形的圆心角是135°，半径为4，则这个扇形的面积为（　　）
A．π B．π C．4π D．6π
【分析】利用扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：扇形的面积6π，
故选：D．
【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积．
11．（2021秋 包头期末）钟面上的分针长为2cm，从8点到8点15，经过了15分钟，分针在钟面上扫过的面积是 　π　cm2．（结果保留π）
【分析】首先要明确分针1小时（60分钟）转1周，扫过的面积是一个圆的面积，15分钟分针扫过的面积是圆面积的，根据圆的面积公式s＝πr2，把数据代入公式进行解答．
【解答】解：依题意，得
π×22＝π（cm2）；
故答案为：π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算和旋转的性质．此题解答关键是明确分针的尖端30分钟走的路程是圆周长的一半，扫过的面积是圆面积的一半，然后根据圆的周长和面积公式解决问题
12．（2022春 巢湖市校级期中）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，以AD、BD、AB分别作半圆，如果只已知一条线段的长度即可求出图中的阴影部分面积，则这条线段可以是（　　）
A．CD B．AD C．AB D．BC
【分析】根据扇形面积的计算方法得出S阴影部分π（AD BD），再根据射影定理得到CD2＝AD BD即可得出答案．
【解答】解：S阴影部分＝S大半圆﹣S小半圆1﹣S小半圆2
π×（）2π×（）2π×（）2
π×（AB2﹣AD2﹣BD2）
π×[（AD+BD）2﹣AD2﹣BD2]
π×（2AD BD）
π（AD BD），
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，
∴CD2＝AD BD，
∴只要已知CD的长即可，
故选：A．
【点评】本题考查扇形面积的计算以及相似三角形的判定和性质，掌握扇形面积的计算方法以及射影定理是解决问题的关键．
13．（2022春 渝北区月考）等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝2，以点O为圆心，OA为半径作扇形AOB，则图中阴影部分的面积为（　　）（结果保留π）
A．4π﹣2 B．π C．π﹣2 D．2
【分析】根据S阴影部分＝S扇形AOB﹣S△AOB，利用扇形面积、三角形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：S阴影部分＝S扇形AOB﹣S△AOB
2×2
＝π﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积、三角形面积的计算方法是正确解答的关键．
14．（2021秋 开化县期末）如图，已知AB是⊙O直径，且AB＝8．C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC，∠CBD＝30°．
（1）求∠COA的度数．
（2）求出CE的长度．
（3）求出图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠OCB＝∠CBD＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC＝30°，即可求得∠COA＝60°；
（2）根据平行线的性质得到∠AEO＝∠ADB＝90°，由∠AOC＝60°，求得∠A＝30°，即可得到OEOAOC，即可求得CE2；
（3）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°，
∴∠COA＝∠OCB+∠OBC＝60°；
（2）∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
∵∠AOC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴OEOA，
∴CEOC2；
（3）连接OD，
∵∠CBD＝∠OBC＝30°，
∴∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD是等边三角形，
∴S阴影＝S扇形BOD﹣S△BODπ﹣4．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．
【过关检测】
一．选择题（共6小题）
1．（2022 费县一模）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为5cm，则图中弧CD的长为_______cm．（结果保留π）（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接OC，OD，求出圆心角∠COD的度数，然后根据弧长公式求出弧长即可．
【解答】解：连接OC，OD，
∵AC、BD分别与⊙O相切于点C、D，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
由四边形内角和为360°可得，
∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴π，
故选：A．
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
2．（2022 海曙区校级开学）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2．以点A为圆心，AB为半径作，向菱形内部作，使，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．3 C．2 D．
【分析】首先判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB＝BD＝2，然后根据S阴影＝S菱形﹣S扇形BAD﹣S弓形BEC求出阴影部分的面即可．
【解答】解：如图所示：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝2，
∴S阴影＝S菱形﹣S扇形BAD﹣S弓形BEC＝22（）．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，扇形的面积的计算，明确S阴影＝S菱形﹣S扇形BAD﹣S弓形BEC是解题的关键．
3．（2022 上城区二模）已知半径为6的扇形的面积为12π，则扇形的弧长为（　　）
A．4 B．2 C．4π D．2π
【分析】根据扇形面积的计算公式即可求出答案．
【解答】解：设扇形的弧长为l，由扇形面积公式可得，
12π，
解得l＝4π，
故选：C．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知B（2，0），四边形ABCD和AEFG都是正方形，点A、D、E共线，点G、A、B在x轴上，点C，E，F在以O为圆心OC为半径的圆上，则的长为（　　）
A． B． C． D．5π
【分析】设点A（a，0），则AB＝2﹣a，根据正方形的性质可得BC＝AB＝2﹣a，根据勾股定理在Rt△OBC中，可得OC2＝OB2+BC2＝22+（2﹣a）2＝8﹣4a+a2，由圆的性质可得OE＝OC，在Rt△OAE中，AE＝AG＝2a，根据勾股定理可得OE2＝OA2+AE2，即可算出a的值，即可算出OC的长度，可证明△OBC≌△EGO中，可得∠COB+∠FOG＝90°，即∠FOC＝90°，由弧长公式计算即可得出答案．
【解答】解：设点A（a，0），则AB＝2﹣a，
根据题意可得，
BC＝AB＝2﹣a，
在Rt△OBC中，
OC2＝OB2+BC2＝22+（2﹣a）2＝8﹣4a+a2，
∵OE＝OC，
在Rt△OAE中，AE＝AG＝2a，
∴OE2＝OA2+AE2，
∴8﹣4a+a2＝a2+（2a）2，
解得：a＝1，a＝﹣2（舍去），
∴点A（1，0），AB＝1，
∴OC，
在△OBC和△EGO中，
，
△OBC≌△EGO（SAS），
∴∠EOG＝∠OCB，
∵∠COB+∠OCB＝90°，
∴∠COB+∠FOG＝90°，
∴∠FOC＝90°，
∴弧FC的长．
故选：A．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，坐标与图形的性质，正方形的性质，熟练掌握弧长的计算，坐标与图形的性质，正方形的性质进行求解是解决本题的关键．
5．（2022 蓬安县模拟）如图，在半径为4的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是AB上一动点，点D是OC的中点，连结AD并延长交OB于点E，则图中阴影部分面积的最小值为（　　）
A．4π﹣4 B．4π C．2π﹣4 D．2π
【分析】根据题意和图形，可以画出相应的辅助线，OA＝4，∠AOE＝90°，则当OE取得最大值时，阴影部分的面积取得最小值，则当AE和半径为2的小圆O相切时，OE最大，然后计算即可．
【解答】解：∵点D是OC的中点，OC＝4，
∴OD＝2，OA＝4，
∴点D在以点O为圆心2为半径的圆弧上，
∴当AE′与小圆O相切时，OE′最大，此时OC′与小圆O交于点D′，
∵OA＝4，∠AOE＝90°，
∴当OE最大时，阴影部分取得最小值，
∵∠AD′O＝90°，OD′＝2，OA＝4，
∴OA＝2OD′，
∴∠OAD′＝30°，
∴tan∠OAE′，
即tan30°，
解得OE′，
∴图中阴影部分面积的最小值为：4π，
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算、解直角三角形，解答本题的关键是分析出何时阴影部分面积最小．
6．（2022 达拉特旗一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为2，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（　　）
A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．4π﹣3
【分析】连接AD，OE，先通过直径所对是圆周角是直角，证出∠CDF＝∠DAC，从而得出∠BAC＝2∠DAC＝30°，再通过S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE计算即可．
【解答】解：连接AD，OE，作OH⊥AE于H，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠CDF＝∠DAC，
∵∠CDF＝15°，
∴∠DAC＝15°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°，
∴∠AOE＝120°，
在Rt△AOH中，OA＝2，
∴OHOA，AH＝cos30°×OA＝3，
∴AE＝2AH＝6，
∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE 64π﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及扇形的面积计算等知识，求出扇形的圆心角度数是解决问题的关键．
二．填空题（共8小题）
7．（2022 呼兰区一模）一个扇形的面积为3π，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为 　3　cm．
【分析】应用扇形面积计算公式S，进行计算即可得出答案．
【解答】解：设扇形的半径为r，
S，
3πr，
解得：r＝3．
故答案为3．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式进行求解是解决本题的关键．
8．（2022 南平模拟）在半径为3的圆中，圆心角为20°的扇形面积是 　　．
【分析】应用扇形面积计算公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：S．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
9．（2022 虎丘区校级模拟）如图，等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2．分别以点 B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点 D、E、F，则图中阴影部分的面积为 　1　．
【分析】先根据等腰直角三角形的性质计算出AB，AC的长，再计算出△ABC的面积，根据∠B+∠C＝90°，两个扇形的半径相等，即可算出扇形的面积，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，计算即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴AB，
∴S△ABC1，
∵∠A+∠C＝90°，BE＝CE，
∴S扇，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇＝1．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算及根据题意应用面积差求阴影部分的方法进行求解是解决本题的关键．
10．（2022 莆田模拟）如图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为 　　（结果保留π）．
【分析】由平行线的性质可得，∠1＝∠2，因为两个扇形的半径相等，即可算出两个扇形的圆心角的和为∠1+∠3＝90°，根据扇形面积计算公式即可得出答案．
【解答】解：如图，
根据平行线的性质可得，
∠1＝∠2，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴S．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
11．（2022春 南岗区校级月考）已知扇形的弧长为4π，直径为16，则此扇形的圆心角为 　90°　．
【分析】设此扇形的圆心角为x°，代入弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：设此扇形的圆心角为x°，
由题意得，4π，
解得，x＝90，
故答案为：90°．
【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式l是解题的关键．
12．（2022 福州模拟）在半径为6的圆中，150°的圆心角所对的弧长是 　5π　．
【分析】利用弧长公式计算即可．
【解答】解：弧长5π，
故答案为：5π．
【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l，属于中考常考题型．
13．（2022春 沭阳县期中）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以3cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 　9πcm2　．
【分析】根据题意和图形，可以发现阴影部分的面积之和等于以3cm为半径的圆的面积．
【解答】解：由图可得，
阴影部分所对的圆心角之和为360°，
∴图中阴影部分的面积之和为：π×32＝9π（cm2），
故答案为：9πcm2．
【点评】本题考查扇形面积的计算、多边形内角与外角，解答本题的关键是发现阴影部分的面积之和等于以3cm为半径的圆的面积．
14．（2022 九龙坡区模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AB，以点B为圆心，以OB的长为半径作弧，交弧AB于点C，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积为 　　．
【分析】利用扇形面积、三角形面积的计算方法，根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OC、BC，则△OBC是等边三角形，
∴S阴影部分＝S凸△OBC﹣S扇形OBD
＝2S扇形OBC﹣S△OBC﹣S扇形OBD
＝22
，
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理、扇形面积的计算，掌握扇形面积、三角形面积的计算方法是正确解答的前提．
三．解答题（共6小题）
15．（2022春 长兴县月考）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧长和面积．
【分析】根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：扇形AOB的弧长4π（cm）；
扇形AOB的扇形面积12π（cm2）．
【点评】本题考查了考查了扇形的弧长和面积的计算，熟练掌握扇形的弧长和面积是解题的关键．
16．（2022 费县一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．
（1）求∠B的度数；
（2）若AB＝3，求的长．
【分析】（1）连接OC，根据平行线的性质和三角形外角定义求出∠COB，再利用等腰三角形的性质求出∠B即可；
（2）连接OE，根据圆周角定理求出∠COE的度数，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°；
（2）连接OE，
∵⊙O的直径AB＝3，
∴OA＝1.5，
∵∠COE＝2∠CAE＝2×36°＝72°，
∴π．
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键．
17．（2022 石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC为直径的⊙O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD．
（1）求∠AED的度数．
（2）求DB的长．
（3）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理和直角三角函数即可求得∠AED＝30°；
（2）解直角三角形求得AB＝8，进而即可求得DB＝6；
（3）利用S阴影＝S扇形OCD﹣S△OCD求得即可．
【解答】解：（1）∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝2，AC＝4，
∴sin∠ACD，
∴∠ACD＝30°，
∴∠AED＝∠ACD＝30°；
（2）∵∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，
∴∠CAB＝60°，
在Rt△ABC中，cos∠CAB，即cos60°
∴AB＝8，
∴DB＝AB﹣AD＝8﹣2＝6；
（3）连接OD，
∵OC＝OD，∠ACD＝30°，
∴∠ODC＝∠ACD＝30°，
∴∠OCD＝120°，
∵AD＝2，AC＝4，
∴CD2，
∴S△OCDS△ACD，
∴S阴影＝S扇形OCD﹣S△OCDπ．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（2022春 亭湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
（1）若∠B＝28°，求的度数；
（2）若D是AB的中点，AB＝4，求阴影部分的面积；
（3）若，求AD AB的值．
【分析】（1）连接CD，如图，利用互余计算出∠BAC＝62°，然后计算出∠ACD的度数，则根据圆心角定理得到的度数；
（2）利用斜边上的中线性质得到CD＝AD＝BDAB＝2，再判断△ACD为等边三角形，则∠ACD＝60°，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积＝S扇形ACD﹣S△ACD进行计算；
（3）根据垂径定理得到AH＝DHAD，再根据相似三角形的性质得到AC2＝AH AB，然后把AC＝2代入计算可得到AD AB的值．
【解答】解：（1）连接CD，如图，
∵∠ACB＝90°，∠B＝28°，
∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝62°，
∴∠ACD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴的度数为56°；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，
∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CD＝AD＝BDAB＝2，
∵CD＝CA，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，CH＝CD sin60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形ACD﹣S△ACDπ；
（3）过点C作CH⊥AD于H，
∵∠ACB＝90°，CH⊥AB，
∴∠ACB＝∠AHC，
∵∠A＝∠A，
∴△ACH∽△ABC，
∴AC：AB＝AH：AC，
∴AC2＝AH AB，
即（2）2AD AB，
∴AD AB＝24．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为r的扇形面积为S，则S扇形πr2或S扇形lr（其中l为扇形的弧长）．也考查了垂径定理和相似三角形的性质．
19．（2021秋 船营区校级期末）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD、AD、OB、OC．已知∠ADB＝30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝8cm，求图中扇形BOC的面积（结果保留π）．
【分析】（1）先根据垂径定理得出BE＝CE，，再根据圆周角定理即可得出∠AOC的度数；
（2）先解直角三角形得出OC的长，再求出∠BOC的度数，再根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵BC⊥OA，
∴BE＝CE，，
∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB，
又∵∠ADB＝30°，
∴∠AOC＝60°．
（2）∵BC＝8cm，
∴CEBC＝4cm，
∵∠AOC＝60°，
∴sin60°，
∴OC8cm，
∵∠AOC＝∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴S扇形OBCπ（cm2）．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、扇形面积的计算、解直角三角形等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解答此题的关键．
20．（2021秋 亭湖区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB＝2m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取π近似值为3，近似值为1.7）
【分析】（1）扇形AOB的面积减去△AOB的面积就是弧田的实际面积；
（2）先根据弧田面积（弦×矢+矢2）计算出弧田的面积，再与（1）中的结果相减，即可相差的值．
【解答】解：（1）∵OD⊥AB，OD为半径，
∴ACAB2（m），
∠AOC∠AOB120°＝60°，
在Rt△ACO中，∠OAC＝30°，
∴设OC＝x，则AO＝2x，
∴x2（2x）2，
解得：x＝1或﹣1（不符合题意，舍去），
∴OA＝2m，
∴弧田的实际面积＝S扇形AOB﹣S△OAB
21
＝（）m2，
∴弧田的实际面积为（）m2；
（2）∵圆心到弦的距离等于1，
∴矢长为1，
∴弧田面积（21+12）
＝（）m2，
∴两者之差为：（）
1.7﹣1.7
＝0.1（m2）．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，牢记扇形面积公式是解决问题的关键．
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