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2025年深圳市宝安中学中考三模
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）濮阳为中华上古文明的重要发祥地，地下文物丰富，“中华第一龙”就出土自中国颛顼的老家濮阳．这些珍贵的文物记载着华夏民族的伟大历史．下列四件文物中，不考虑纹路，仅考虑外观，主视图与左视图不一致的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x+1）2＝1 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2＝1
3．（3分）透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感．如图是运用透视法绘制的一个图案，已知AB∥CD∥EF，，则的值为（　　）
≈
A． B． C． D．
4．（3分）地面上铺满了正方形的地砖（40cm×40cm），现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟．为了估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了如下数据：
抛掷总次数 50 100 300 500 800 1000
圆碟与地砖间的间隙相交的次数 29 45 133 219 353 440
圆碟与地砖间的间隙相交的频率 0.580 0.450 0.443 0.438 0.441 0.440
由此可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为（　　）
A．0.42 B．0.44 C．0.50 D．0.58
5．（3分）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　）
A．3.82cm B．5cm C．6.18cm D．7.2cm
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AB＝BE B．
C．△ACE是等腰三角形 D．
7．（3分）已知点M（6，a﹣3），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝3，BC＝4，AD＝5，动点P从点A出发按A→B→C的方向在AB，BC边上移动，记PA＝x（x＞0），点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）若x＝2y（y≠0），则　 　 ．
10．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m2﹣m+2022的值为 　 　 ．
11．（3分）如图是某路口的部分通行路线示意图，一辆车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该车从F口驶出的概率是 　 　 ．
12．（3分）如图，△ABC的顶点A，B在双曲线上，顶点C在y轴上，AB边过原点，BC边与双曲线交于点D，若BD＝3CD，△ABC的面积为50，则k的值为 　 　 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，且AE＝BD，M为DE的中点，当的值最大时，的值为 　 　 ．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（6分）计算：．
15．（7分）先化简（1），再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
16．（8分）“十二年学习在南外，十二年成长在深圳湾”的南外集团教育历程和“葆有外语特色，做强数理实力”的南外教育内涵获得了全社会的广泛认可．为了不断提升学生对南外集团的归属感，集团举办了一次南外校史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：50≤x＜60，B：60≤x＜70，C：70≤x＜80，D：80≤x＜90，E：90≤x≤100，并绘制出如图的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为 　 　 °，并将条形统计图补充完整．
（2）若“90≤x≤100”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．则这组数据的众数是 　 　 ，中位数是 　 　 ．
（3）经过初赛，进入决赛的同学有1名女生（记为A）和2名男生（记为B，C），现从这三位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率．
17．（9分）已知：如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF和BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）如果AF平分∠DAB，BF＝4，，求DC的长．
18．（9分）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵20元．花费2800元购买的排球数量比花费4000元购买的足球数量少5个，其中，排球单价不低于100元．
（1）求排球、足球的单价各为多少？
（2）若排球、足球共买60个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了8500元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元．
19．（11分）综合实践
设计“脚手架”支杆的长度
材料1 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线AED和矩形ABCD构成．已知矩形的长BC＝12米，宽AB＝3米，抛物线最高点E到地面BC的距离为7米．
材料2 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱PQ和MN，如图所示．
材料3 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁PN．搭建成一个矩形“脚手架”PQMN，如图所示．
问题解决
任务1 确定大棚形状 按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线AED的函数表达式．
任务2 尝试计算间距 若两根支撑柱PQ，MN的高度均为6米，求两根支撑柱PQ，MN之间的水平距离．
任务3 探索最优方案 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁PN．搭建成一个矩形“脚手架”PQMN，求出“脚手架”三根支杆PQ、PN、MN的长度之和的最大值．
20．（11分）【问题呈现】
（1）如图①，在凸四边形ABCD中，DA＝DB，∠ABD＝60°，连接AC，∠DCB＝30°，某数学小组在进行探究时发现CD2、CB2和CA2之间存在一定的数量关系；
小明同学给出了如下解决思路：
以CD为边作等边△CDE，连接BE，则易证△ADC≌△BDE，且∠ECB＝90°，此时BE＝AC，CE＝CD，进而推导出CD2、CB2和CA2之间的数量关系为 　 　 ．
【类比探究】
（2）如图②，在凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，∠BCD＝45°，连接AC，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明．
【实际应用】
（3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形ABCD零件（CD＞AD），如图③所示．其中AB＝4厘米，AD＝5厘米，DE⊥AB，垂足是E，且E是AB的中点，且∠ADE＝∠DCB，连结BD，AC．在尝试画图的过程中，王师傅发现CD2，CB2和CA2之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出CD2，CB2和CA2之间的数量关系．（不写证明过程）
2025年深圳市宝安中学中考三模
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A B C D A A
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）濮阳为中华上古文明的重要发祥地，地下文物丰富，“中华第一龙”就出土自中国颛顼的老家濮阳．这些珍贵的文物记载着华夏民族的伟大历史．下列四件文物中，不考虑纹路，仅考虑外观，主视图与左视图不一致的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、物体的主视图与左视图相同，故选项不符合题意；
B、选项物体的主视图与左视图不相同，故选项符合题意；
C、物体的主视图与左视图相同，故选项不符合题意；
D、物体的主视图与左视图相同，故选项不符合题意；
故选：B．
2．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣1＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x+1）2＝1 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣1）2＝1
【解答】解：由原方程移项，得
x2+2x＝1，
等式的两边同时加上12，得
x2+2x+12＝1+12，
配方，得
（x+1）2＝2．
故选：B．
3．（3分）透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感．如图是运用透视法绘制的一个图案，已知AB∥CD∥EF，，则的值为（　　）
≈
A． B． C． D．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
4．（3分）地面上铺满了正方形的地砖（40cm×40cm），现在向这一地面上抛掷半径为5cm的圆碟．为了估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率，数学兴趣小组进行试验，得到了如下数据：
抛掷总次数 50 100 300 500 800 1000
圆碟与地砖间的间隙相交的次数 29 45 133 219 353 440
圆碟与地砖间的间隙相交的频率 0.580 0.450 0.443 0.438 0.441 0.440
由此可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为（　　）
A．0.42 B．0.44 C．0.50 D．0.58
【解答】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，圆碟与地砖间的间隙相交的频率在0.44左右，
∴可估计圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约为0.44．
故选：B．
5．（3分）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“sol”的声音．若AB＝10cm，且敲击时发出音符“sol”的声音，则液面高度AC约为（　　）
A．3.82cm B．5cm C．6.18cm D．7.2cm
【解答】解：由题知，
因为液面高度AC与瓶高AB之比为黄金比，且AB＝10cm，
所以AC≈0.618AB＝6.18（cm）．
故选：C．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AB＝BE B．
C．△ACE是等腰三角形 D．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，BO＝DOBD，
∵CE∥BD，DC∥BE，
∴四边形DBEC是平行四边形，
∴CE＝BD＝AC，
∴OBCE，
∴△ACE是等腰三角形，
故选：D．
7．（3分）已知点M（6，a﹣3），N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由N（﹣2，a），P（2，a）在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意；
由M（6，a﹣3），N（2，a），可知在y轴的右侧，y随x的减小而减小，故选项D不符合题意，选项A符合题意；
故选：A．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝3，BC＝4，AD＝5，动点P从点A出发按A→B→C的方向在AB，BC边上移动，记PA＝x（x＞0），点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，分两种情况：
（1）当点P在AB上移动时，
点D到直线PA的距离为：
y＝DA＝5（0≤x≤3），即点D到PA的距离为AD的长度，是定值5；
（2）当点P在BC上移动时，
连接AC，过D作DE⊥AP于E，如图所示：
∵AB＝3，BC＝4，
∴AC5，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠DAE，
∵∠ABP＝∠AED＝90°，
∴△PAB∽△ADE，
∴，
∴，
∴y（3＜x≤5），
综上，观察各选项，只有A选项图形符合．
故选：A．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）若x＝2y（y≠0），则　2　 ．
【解答】解：∵x＝2y，
∴2．
故答案为：2．
10．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m2﹣m+2022的值为 　2024　 ．
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴m2﹣m+2022＝2+2022＝2024，
故答案为：2024．
11．（3分）如图是某路口的部分通行路线示意图，一辆车从入口A驶入，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则该车从F口驶出的概率是 　　 ．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中该车从F口驶出的结果有1种，
∴该车从F口驶出的概率为．
故答案为：．
12．（3分）如图，△ABC的顶点A，B在双曲线上，顶点C在y轴上，AB边过原点，BC边与双曲线交于点D，若BD＝3CD，△ABC的面积为50，则k的值为 　﹣10　 ．
【解答】解：设，则．
设C（0，y1），则OC＝﹣y1，
，
∴x1y1＝﹣50，
∴，
∴，
变形得3x1y1＝15k．
又∵x1y1＝﹣50，
∴k＝﹣10．
故答案为：﹣10．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，且AE＝BD，M为DE的中点，当的值最大时，的值为 　　 ．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，且AE＝BD，如图，过点C 作CF⊥AC 且CF＝AE，连接EF，取EF 的中点G，连接CG，DG．
∴AD＝CE，CF⊥AC，
∴∠FCE＝90°，
又∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠FCE＝∠EAD，
在△ADE和△CEF中，
，
∴△ADE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，∠AED＝∠CFE，∠ADE＝∠CEF，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CEF+∠AED＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴，
在Rt△DEG中，DE＝EF＝2EG，设EG＝x，则DE＝2x，
根据勾股定理，得，
，
∴，
∵CG+DG≥CD，
∴，
∴，即 的最大值为．
此时D，G，C三点共线，
又∵EG＝CG，
∴∠CEF＝∠ACD，
∵∠ADE＝∠CEF，
∠ACD＝∠CEF＝∠ADE，
∴△ACD∽△ADE，
∴．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（6分）计算：．
【解答】解：
．
15．（7分）先化简（1），再从﹣1，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
【解答】解：原式

，
当a＝1或2时，分式无意义，
故当a＝﹣1时，原式，
当a＝0时，原式．
16．（8分）“十二年学习在南外，十二年成长在深圳湾”的南外集团教育历程和“葆有外语特色，做强数理实力”的南外教育内涵获得了全社会的广泛认可．为了不断提升学生对南外集团的归属感，集团举办了一次南外校史知识竞赛，并随机抽取部分学生，将竞赛成绩按以下五组进行整理（得分用x表示）：A：50≤x＜60，B：60≤x＜70，C：70≤x＜80，D：80≤x＜90，E：90≤x≤100，并绘制出如图的统计图1和图2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）图1中A组所在扇形的圆心角度数为 　54　 °，并将条形统计图补充完整．
（2）若“90≤x≤100”这一组的数据为：90，96，92，95，93，96，96，95，97，100．则这组数据的众数是 　96　 ，中位数是 　95.5　 ．
（3）经过初赛，进入决赛的同学有1名女生（记为A）和2名男生（记为B，C），现从这三位同学中决出冠亚军，请用列表或画树状图法求冠亚军的两人恰好是一男一女的概率．
【解答】解：（1）参加此次竞赛总人数：23÷23%＝100（人），
A组所在扇形的圆心角度数＝360°54°，
B组人数：100×15%＝15（人），
条形统计图如图所示：
故答案为：54．
（2）排序为90，92，93，95，95，96，96，96，97，100，
∴中位数为：95.5，
∵96出现次数最多，
∴众数为96，
故答案为：96，95.5；
（3）画树状图如下：
∴一共有6种等可能的结果，其中冠亚军的两人恰好是一男一女的情况有4种，
∴冠亚军的两人恰好是一男一女的概率为．
17．（9分）已知：如图，在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF和BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）如果AF平分∠DAB，BF＝4，，求DC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD＝BC，
∴∠BAF＝∠AFD，
∵AF平分∠DAB，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF，
由（1）可知，四边形BFDE是矩形，
∴∠DFB＝90°，
∴∠BFC＝180°﹣90°＝90°，
∴sinC，
即，
∴BC＝5，
∴DF＝AD＝BC＝5，CF3，
∴DC＝DF+CF＝5+3＝8．
18．（9分）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵20元．花费2800元购买的排球数量比花费4000元购买的足球数量少5个，其中，排球单价不低于100元．
（1）求排球、足球的单价各为多少？
（2）若排球、足球共买60个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了8500元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元．
【解答】解：（1）设排球的单价为x元，则足球的单价为（x+20）元，
依题意得：5，
解得：x1＝80（不符合题意，舍去），x2＝140，
经检验，x＝140是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝160，
答：排球的单价为140元，足球的单价为160元；
（2）设学校购买m个足球，则购买（60﹣m）个排球，
依题意得：（60﹣m）≤m（60﹣m），
解得：15≤m≤20，
设费用为w元，
由题意得：w＝160m+140（60﹣m）＝20m+8400，
∵20＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝15时，w的最小值＝20×15+8400＝8700，
∵8700＞8500，8700﹣8500＝200，
∴张老师带的钱够不够，最少还200元．
答：张老师带的钱够不够，最少还差200元．
19．（11分）综合实践
设计“脚手架”支杆的长度
材料1 为培养学生劳动实践能力，某学校在校西南角开辟出一块劳动实践基地．如图是其中蔬菜大棚的横截面，它由抛物线AED和矩形ABCD构成．已知矩形的长BC＝12米，宽AB＝3米，抛物线最高点E到地面BC的距离为7米．
材料2 冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，学校决定在大棚两侧安装两根垂直于地面且关于y轴对称的支撑柱PQ和MN，如图所示．
材料3 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁PN．搭建成一个矩形“脚手架”PQMN，如图所示．
问题解决
任务1 确定大棚形状 按如图所示建立平面直角坐标系，求抛物线AED的函数表达式．
任务2 尝试计算间距 若两根支撑柱PQ，MN的高度均为6米，求两根支撑柱PQ，MN之间的水平距离．
任务3 探索最优方案 为了进一步固定大棚，准备在两根支撑柱上架横梁PN．搭建成一个矩形“脚手架”PQMN，求出“脚手架”三根支杆PQ、PN、MN的长度之和的最大值．
【解答】解：任务1：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12（米），
∴点A（﹣6，3），点D（6，3），
根据题意和图象可得，顶点E的坐标为（0，7），
∴可设抛物线AED的解析式为：y＝ax2+7，
把点A（﹣6，3）代入解析式可得：36a2+7＝3，
解得：，
抛物线AED的解析式为：；
任务2：当y＝6时，，
解得x＝±3，
∵3﹣（﹣3）＝3+3＝6（米），
∴两根支撑柱之间的水平距离为6米；
任务3：设N点坐标为，PQ、PN、MN的长度之和为w米，
则PN＝2m，，
∴，
∵，
当时，w有最大值，最大值为，
∴“脚手架”三根支杆PQ，PN，MN的长度之和的最大值为米．
20．（11分）【问题呈现】
（1）如图①，在凸四边形ABCD中，DA＝DB，∠ABD＝60°，连接AC，∠DCB＝30°，某数学小组在进行探究时发现CD2、CB2和CA2之间存在一定的数量关系；
小明同学给出了如下解决思路：
以CD为边作等边△CDE，连接BE，则易证△ADC≌△BDE，且∠ECB＝90°，此时BE＝AC，CE＝CD，进而推导出CD2、CB2和CA2之间的数量关系为 　AC2＝CD2+BC2　 ．
【类比探究】
（2）如图②，在凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，∠BCD＝45°，连接AC，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明．
【实际应用】
（3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形ABCD零件（CD＞AD），如图③所示．其中AB＝4厘米，AD＝5厘米，DE⊥AB，垂足是E，且E是AB的中点，且∠ADE＝∠DCB，连结BD，AC．在尝试画图的过程中，王师傅发现CD2，CB2和CA2之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出CD2，CB2和CA2之间的数量关系．（不写证明过程）
【解答】解：（1）∵DA＝DB，∠ABD＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴AB＝BD，∠ADB＝60°，
∵以CD为边作等边△CDE，连接BE，
∴DE＝DC，∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴BE＝AC，
∵∠BCD＝30°，∠DCE＝60°，
∴∠BCE＝90°，
∴BE2＝BC2+CE2，
∴AC2＝CD2+BC2，
故答案为：AC2＝CD2+BC2；
（2）（1）中的结论改变，AC2＝2CD2+BC2；
证明：∵AD＝BD，AD⊥BD，
∴△ADB是等腰直角三角形，
如图②，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，使∠CDE＝90°，DE＝DC，连接BE，
∴CECD，∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴BE＝AC，
∵∠BCD＝45°，∠DCE＝45°，
∴∠BCE＝90°，
∴BE2＝BC2+CE2，
∴AC2＝2CD2+BC2；
（3）∵DE⊥AB，E是AB的中点，
∴AD＝DB，∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAB＝90°，
如图3，将△ACD绕点D逆时针旋转得到△BGD，连接CG，
∴AC＝BG，CD＝CG，∠ADC＝∠BDG，
∴∠ADB＝∠CDG，
∴1，
∴△ADB∽△CDG，
∴，∠DAB＝∠DCG，
∴，
∵AB＝4厘米，AD＝5厘米，
∴，
∴CG，
∵∠ADE＝∠DCB，
∴∠DCB+∠DCG＝90°，
∴∠BCG＝90°，
∴BG2＝BC2+CG2，
∴AC2＝BC2+（）2，
即AC2＝BC2CD2．

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