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第11练 分式方程
（一）分式方程
1.分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3.分式方程的特殊解法
换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
（二）列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；
1.工程问题
（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间
（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量
（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题
2.行程问题
（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间
（2）常见等量关系：
相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及问题（设甲速度快）：
同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程
同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程
3.水中航行问题：
顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；
逆流速度=船在静水中的速度–水流速度
4.增长率问题：
常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；
5.数字问题：
基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100
（三）列方程解应用题的常用方法
1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。
2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。
3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。
4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。
1．已知方程：
①； ② ③； ④．
这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】根据定义可知，①②③为分式方程，故选：B．
2．某工程甲单独做需x天完成，如果乙单独做要比甲多3天．若甲乙合作5天后，余下的由甲独做3天也能完成该工程，那么根据题意可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：∵某工程甲单独做需x天完成，如果乙单独做要比甲多3天
∴为甲每天能完成的工作量，为乙每天能完成的工作量，即甲乙合作5天的工作量，为甲独做3天的工作量，化简为：．故选：A．
3．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．
【答案】D
【解析】解：，
化简得：，
当分式方程有增根时，
代入得，
当分母为0时，，
的值为-1或1，
故选：D．
4．若关于x的方程有增根，则a的值是（ ）．
A．3 B．—3 C．9 D．—9
【答案】A
【解析】解：原方程两边同乘以(x 3)得
2(x 3)+a=x，
∵方程有增根，
∴增根为x=3，
将x=3代入得，a=3，
故选：A．
5．若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：
去分母，得
x+m-3m=3(x-2)解得x=3-m
∵3-m≠2
∴m≠1
又分式方程的解为正实数
∴3-m＞0
∴m＜3
∴实数m的取值范围是
故选：A．
6．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（ ）
A．k≤-12且k≠-3 B．k>-12 C．k<-12且k≠-3 D．k<-12
【答案】D
【解析】方程的两边同时乘以得：
，
∴，
∴，
∴，
∵解为负数，
∴，
解得：，故D正确．
故选：D．
7．方程的解是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】D
【解析】解：两边同乘，得 ，
去括号，移项并合并同类项，得 ，
系数化为1，求得 ，
经检验，为原分式方程的增根，原方程无解．
故选：D
8．如果关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
【答案】C
【解析】解：解不等式得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵原不等式组至少有3个整数解，
∴，
解分式方程得：，
∵，
∴，解得：，
∵原分式方程的解是非负数，
∴，解得：，
综上分析，a的范围是：且，
∴满足条件的整数a的和为：2+3+5+6=16，
故选：C．
9．方程＝0的根是__．
【答案】x=﹣2
【解析】解：分式方程，
去分母得：x2﹣4＝0，
解得：x＝2或x＝﹣2，
经检验：x＝2是增根，
则分式方程的解为x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
10．开学在即，由于新冠疫情学校决定共用6000元分两次购进口罩2200个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.2倍，则第二次购买口罩的单价是_________元．
【答案】
【解析】解：设第二次购买口罩的单价是x元，则第一次购买口罩的单价是1.2x元，
依题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，且符合题意．
故答案为：．
11．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是______．
【答案】
【解析】解：设，则，
原方程化为：，
两边同时乘以y得：，即．
故答案为：．
12．若关于x的分式方程＝有增根，则实数m的值是____．
【答案】6
【解析】解：∵分式方程有增根，
∴x﹣3＝0，
解得x＝3，
原分式方程化为：3﹣2x＝m﹣9，
把x＝3代入3﹣2x＝m﹣9，
得3﹣2×3＝m﹣9，
解得m＝6，
故答案为：6．
13．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)原方程无解；(2)
【分析】(1)去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
是增根，原方程无解；
(2)去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的解．
14．小明去离家3000米的奧体中心看某明星演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有30分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小明骑车的时间比跑步的时间少用了5分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
(1)求小明跑步的平均速度；
(2)如果小明在家取票和寻找“共享单车”共用了4分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由．
【答案】(1)小明跑步的平均速度为200米/分钟
(2)小明能在演唱会开始前赶到奥体中心，见解析
【分析】(1)设小明跑步的平均速度为x米/分钟，则小明骑车的平均速度为1.5x米/分钟，
根据题意得：，
解得：x＝200．
经检验，x＝200是原分式方程的解．
答：小明跑步的平均速度为200米/分钟．
(2)小明跑步到家所需时间为3000÷200＝15（分钟），
小明骑车所用时间为15－5＝10（分钟），
小明从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为15＋10＋4＝29（分钟），
∵29＜30，
∴小明能在演唱会开始前赶到奥体中心．
15．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【答案】(1)30天；(2)225000元
【分析】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
(2)该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（天），
则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．
答：该工程的费用为225000元．
16．截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通” “互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间国道全长为500，经过改修高速公路后，长度减少了100，高速公路通车后，一辆长途汽车在高速公路上行驶的平均速度比在国道上行驶的平均速度快30/，从甲地到乙地，由高速公路所需时间是由国道所需时间的一半．求该长途汽车在国道上行驶的平均速度．
【答案】50km/h
【解析】解：设长途汽车在国道上行驶的平均速度为/，则在高速公路上行驶的平均速度为（+30）/，
由题意得：，
解得：，
经检验：是方程的根，且符合实际，
答：该长途汽车在国道上行驶的平均速度为50/．
17．已知，关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求b为何值时分式方程无解；
(3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．
【答案】(1)；(2)；(3)3、29、55、185
【分析】(1)解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
解得：，
检验：把代入，
∴原分式方程的解为：．
(2)解：把a=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
①当时，即，原分式方程无解；
②当时，得，
Ⅰ.时，原分式方程无解，
即时，
此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，
即时，
此时b=5；
综上所述，时，分式方程无解．
(3)解：把a=3b代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
，
解得：，
∵b为正整数，x为整数，
∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，
对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
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（一）分式方程
1.分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是：
（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母
（2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3.分式方程的特殊解法
换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
（二）列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；
1.工程问题
（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间
（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量
（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题
2.行程问题
（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间
（2）常见等量关系：
相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及问题（设甲速度快）：
同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程
同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程
3.水中航行问题：
顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；
逆流速度=船在静水中的速度–水流速度
4.增长率问题：
常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；
5.数字问题：
基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100
（三）列方程解应用题的常用方法
1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。
2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。
3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。
4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。
1．已知方程：
①； ② ③； ④．
这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．某工程甲单独做需x天完成，如果乙单独做要比甲多3天．若甲乙合作5天后，余下的由甲独做3天也能完成该工程，那么根据题意可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
3．若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．
4．若关于x的方程有增根，则a的值是（ ）．
A．3 B．—3 C．9 D．—9
5．若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（ ）
A．k≤-12且k≠-3 B．k>-12 C．k<-12且k≠-3 D．k<-12
7．方程的解是（ ）
A． B． C． D．无解
8．如果关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程的解是非负数，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
9．方程＝0的根是__．
10．开学在即，由于新冠疫情学校决定共用6000元分两次购进口罩2200个免费发放给学生．若两次购买口罩的费用相同，且第一次购买口罩的单价是第二次购买口罩单价的1.2倍，则第二次购买口罩的单价是_________元．
11．用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是______．
12．若关于x的分式方程＝有增根，则实数m的值是____．
13．解方程：
(1)；
(2)．
14．小明去离家3000米的奧体中心看某明星演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有30分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小明骑车的时间比跑步的时间少用了5分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
(1)求小明跑步的平均速度；
(2)如果小明在家取票和寻找“共享单车”共用了4分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由．
15．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
16．截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通” “互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间国道全长为500，经过改修高速公路后，长度减少了100，高速公路通车后，一辆长途汽车在高速公路上行驶的平均速度比在国道上行驶的平均速度快30/，从甲地到乙地，由高速公路所需时间是由国道所需时间的一半．求该长途汽车在国道上行驶的平均速度．
17．已知，关于x的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求b为何值时分式方程无解；
(3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．
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