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第12练 反比例函数的图像与性质
1.反比例函数的概念
一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2.反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3.反比例函数的性质
反比例函数
k的符号 k>0 k<0
图像
性质 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k>0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k<0时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
4.反比例函数解析式的确定
确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
5.反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PA，PB，则所得的矩形PMON的面积S=PAPB=。。
1．若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象不经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：，故该函数的图象经过点；
，故该函数的图象经过点；
，故该函数的图象经过点；
，故该函数的图象经不过点．
故选：D．
2．点是反比例函数图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵点（3，4）是反比例函数图象上一点，
∴m2+2m=3×4=12，A、2×6=12，因此（2，6）在反比例函数的图象上；B、2×（-6）=-12，因此（2，-6）不在反比例函数的图象上；C、4×（-3）=-12，因此（4，-3）不在反比例函数的图象上；D、3×（-4）=-12，因此（3，-4）不在反比例函数的图象上；故选：A．
3．下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：，，、，点不在反比例函数图象上，故本选项不合题意；、，点在反比例函数图象上，故本选项符合题意；、，
点不在反比例函数图象上，故本选项不合题意；、，点不在反比例函数图象上，故本选项不合题意．故选：．
4．反比例函数图像上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：反比例函数图像在一三象限，随的增大而减小，
又点，，，，，在图像上，且，
点，，，在第三象限，，
点，在第一象限，，
，
故选：B．
5．一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1 k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1
C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
【答案】D
【解析】解：由图可知，当y1＞y2，的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．故选D．
6．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵k<0，
∴函数的图象在第二、四象限，函数也必经过第二、四象限，
又∵函数过点(-1,0)，
∴的图象在第二、三、四象限，
故选：B．
7．如图，在平面直角坐标系中，为正方形的对称中心，，分别在轴和轴上，双曲线经过、两点，则正方形的边长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【解析】解：过点C作CE⊥y轴于E，
设点A的坐标为（m，0），点B的坐标为（0，n），
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB，∠ABC=90°，
∴∠EBC+∠ABO=∠ABO+BAO=90°，
∴∠EBC=∠OAB，
又∵∠BEC=∠AOB=90°，
∴△BEC≌△AOB（AAS），
∴，，
∴点C的坐标为（n，m+n）
∵点P是正方形ABCD的对称中心，
∴点P为AC的中点，
∴点P的坐标为（），
∵点C、P都在反比例函数上，
∴，
∴或，
∴，
故选：C．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，点B(10，8)，点D在BC边上，连接AD，把ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数（k≠0）的图象经过点D，则k的值为（　　）
A．20 B．30 C．40 D．48
【答案】B
【解析】解：∵△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，点B（10，8），
∴AE＝AB＝10，DE＝BD，
∵AO＝8，AE＝10，
∴OE＝＝6，CE＝10﹣6＝4，
设点D的坐标是（10，b），
则CD＝b，DE＝8﹣b，
∵CD2+CE2＝DE2，
∴b2+42＝（8﹣b）2，
解得b＝3，
∴点D的坐标是（10，3），
∵反比例函数的图象经过点D，
∴k＝10×3＝30，
故选：B．
9．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为______．
【答案】4
【解析】解：∵AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，
∴△AOC的面积为2，
∵S△AOC＝|k|＝2，且反比例函数y＝图象在第一象限，
∴k＝4，
故答案为：4．
10．一次函数的图象与反比例函数相交于点和点，若，则x的取值范围是______．
【答案】或
【解析】解：将点，代入一次函数，得，
解得，∴一次函数解析式为，
∴随着x的增大而增大，
将点代入反比例函数，得k＝4×2＝8，∴反比例函数解析式为，
∴当时，且y随x的增大而减小，当时，且y随x的增大而减小，
∴由图可知：当时，或．
11．若正比例函数与反比例函数 的图像没有交点，则 取值范围是____________
【答案】或
【解析】解：∵正比例函数与反比例函数 的图像没有交点，
∴当正比例函数图象在一三象限，反比例函数图象在二四象限时没有交点，
或当正比例函数图象在二四象限，反比例函数图象在一三象限时没有交点，
∴或，解得：或.
故答案为：或.
12．正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是_____________
【答案】或
【解析】解：由正比例函数与反比例函数图象都经过点，即正比例函数为
反比例函数为
当正比例函数图象在反比例函数图象上方时，即＞，解得或．
故答案是或．
13．已知函数，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求：
(1)y与x的函数关系式；
(2)当时，y的值．
【答案】(1)；(2)
【分析】(1)根据题意设，，
则，
把x＝4，y＝11；x＝1，代入，得，
，即，
解得，k＝4，m＝3，
则y与x函数关系式为：；
(2)把x＝9代入，得，．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的正半轴上，，．对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点，分别与，交于点，．
(1)若，求的值；
(2)连接，若，求的面积．
【答案】(1)28；(2)
【分析】(1)解：∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，而OC＝10，
∴，
∴B（4，0），A（4，8），C（10，0），
∵对角线AC，BD相交于点E，
∴点E为AC的中点，
∴E（7，4），
把E（7，4）代入y＝得k＝7×4＝28；
(2)解：∵，
∴BE＝EC＝5，
∵BF+BE＝11，
∴BF＝6，
设OB＝t，则F（t，6），E（t+3，4），
∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点E、F，
∴6t＝4（t+3），
解得t＝6，
∴k＝6t＝36，
∴反比例函数解析式为y＝，
当x＝12时，y＝，
∴G（12，3），
∴△CEG的面积＝．
15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)已知点的横坐标为3．
①求反比例函数的表达式；
②不等式的解集是________；
若，则的取值范围是________．
【答案】(1)①；②或；(2)
【分析】(1)把x＝3代入，
可得，
∴A（3，4），
把（3，4）代入，可得m＝3×4＝12，
∴反比例函数的解析式为；
根据题意可得 ，
解得 或，
∴A(3，4)，B(-3，-4)，
结合图象可得不等式的解集是或，
故答案为：或
(2)解：根据题意可得 ，解得 或，
∴A(，)，B(，)，
∴，
∵，
∴，解得，
故答案为：.
16．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为．过点和的直线分别与AB，BC交于点M，N．
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；
(2)若反比例函数的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
(3)若反比例函数的图象与有公共点，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)；M（4，4）；(2)；点N在函数的图象上；(3)16≤m≤32
【分析】(1)解：设直线DE的解析式为y＝kx＋b（k≠0），
∵点D，E的坐标为（0，6）、（12，0），
∴，
解得，
∴直线DE的解析式为．
∵点M在AB边上，B（8，4），且四边形OABC是矩形，
∴点M的纵坐标为4，
又∵点M在直线上，
∴；
∴x＝4；
∴M（4，4）；
(2)解：∵经过点M（4，4），
∴m＝16．
∴．
又∵点N在BC边上，B（8，4），
∴点N的横坐标为8．
∵点N在直线上，
∴y＝2；
∴N（8，2）；
∵当x＝8时，，
∴点N在函数的图象上．
(3)解：当反比例函数y=（x＞0）的图象通过点M（4，4），N（8，2）时m的值最小，当反比例函数y=（x＞0）的图象通过点B（8，4）时m的值最大，
∴4=，则m的最小值为16，
4=，则m的最大值为32，
∴16≤m≤32．
17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图像经过点A（3，m）与B（6，m﹣6），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接AB、BC．
（1）求m的值；
（2）求证：△ABC为等腰三角形；
（3）第一象限是否存在D、E，使得D在双曲线上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）不存在符合题意的点D，E，理由见解析
【解析】解：（1）反比例函数的图象经过点与，
且，
，
解得：；
（2）如图，过作于点，
，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
点纵的坐标为6，
即，
的纵坐标为12，
则，
，
，
垂直平分，
，
为等腰三角形；
（3）不存在，理由如下：
如图，以为边在右侧作正方形，过作于点，
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
，，
∴，，
又∵，，，
∴，，
解得：，，
∴点E的坐标为（9，－3），
点在第四象限，不合题意；
如图，以为对角线作正方形，过点E作x轴的垂线，垂足为点H，过点B作BF⊥EH，垂足为点F，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵BF⊥EH，EH⊥CH，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
，
∴，，
设，，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴点E的坐标为（1.5，4.5），
∵正方形的对角线互相平分，
∴，，
∴，，
∴，，
解得：，，
∴点D的坐标为（7.5，1.5），
∵反比例函数y＝的图像经过点B（6， 6），
∴k＝6×6＝36，
∵7.5×1.5≠36，1.5×4.5≠36，
∴点D、E均不在反比例函数的图象上，
∴此时不存在符合题意的点D，E，
如图，以为边在左侧作正方形，过B作于点F，过E作于点H，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵BF⊥OC，EH⊥OC，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴点E的坐标为（－3，3），
点在第二象限，不合题意，
综上所述，在第一象限不存在D、E，使得D在双曲线上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是正方形．
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1.反比例函数的概念
一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2.反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3.反比例函数的性质
反比例函数
k的符号 k>0 k<0
图像
性质 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k>0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 ①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0； ②当k<0时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
4.反比例函数解析式的确定
确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
5.反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PA，PB，则所得的矩形PMON的面积S=PAPB=。。
1．若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象不经过的点是（ ）
A． B． C． D．
2．点是反比例函数图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
3．下列各点中，在反比例函数图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
4．反比例函数图像上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．一次函数y1＝k1x+b和反比例函数y2＝（k1 k2≠0）的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．﹣2＜x＜1
C．x＜﹣2或x＞1 D．x＜﹣2或0＜x＜1
6．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，为正方形的对称中心，，分别在轴和轴上，双曲线经过、两点，则正方形的边长为（ ）
A． B．3 C． D．4
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO，点B(10，8)，点D在BC边上，连接AD，把ABD沿AD折叠，使点B恰好落在OC边上点E处，反比例函数（k≠0）的图象经过点D，则k的值为（　　）
A．20 B．30 C．40 D．48
9．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若△AOD的面积为1，则k的值为______．
10．一次函数的图象与反比例函数相交于点和点，若，则x的取值范围是______．
11．若正比例函数与反比例函数 的图像没有交点，则 取值范围是____________
12．正比例函数与反比例函数的一个交点为 ，当正比例函数的图像在反比例函数图像的上方时，则 的取值范围是_____________
13．已知函数，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求：
(1)y与x的函数关系式；
(2)当时，y的值．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的正半轴上，，．对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点，分别与，交于点，．
(1)若，求的值；
(2)连接，若，求的面积．
15．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)已知点的横坐标为3．
①求反比例函数的表达式；
②不等式的解集是________；
若，则的取值范围是________．
16．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为．过点和的直线分别与AB，BC交于点M，N．
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；
(2)若反比例函数的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
(3)若反比例函数的图象与有公共点，请直接写出m的取值范围．
17．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图像经过点A（3，m）与B（6，m﹣6），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接AB、BC．
（1）求m的值；
（2）求证：△ABC为等腰三角形；
（3）第一象限是否存在D、E，使得D在双曲线上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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