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第13练 用反比例函数解决问题
用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
①定：审题确定出问题中的两个变量，并用字母表示出来。
②求：用待定系数法或列方程法求出函数解析式，并求出自变量的取值范围。
③解：利用反比例函数的图象及其性质去分析问题、解决问题，得到数学结论。
④答写出实际问题的答案。
【点拨】求反比例函数解析式的两种方法：
①待定系数法：若题目中已知是反比例函数，则设其解析式为 然后将x，y的值代入，求出k值即可。
②列方程法：若题目中不知是什么函数，通常列出关于两个变量x，y的方程，变形即可得到函数解析式。
1．下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（ ）
A．人的身高与年龄
B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C．正方形的面积与它的边长
D．圆的周长与它的半径
【答案】D
【解析】解：、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意；、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意；、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意；、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意；故选：D。
2．为了建设生态文明，某工厂自2020年1月开始限产并进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．9月份该厂利润达到200万元
D．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
【答案】D
【解析】解：A、设反比例函数的解析式为，
把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
当时，，
月份的利润为50万元，正确，不合题意；B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，正确，不合题意；C、设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：，
故时，，
解得：，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，正确，不合题意．
D、当时，则，
解得：，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，不正确，符合题意．
故选：D．
3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内气压大于时，气球将爆炸，为了安全，该气球内气体体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：设P与V的函数关系式为，
则，得k=40，
故函数关系式为，
∵当气球内气压大于120Kpa时，气球将爆炸，
∴，
解得：，
∴该气球内气体体积V（cm3）的取值范围是：，故选B．
4．某药品研究所开发一种抗新冠肺炎的新药，经大量动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间的函数关系如图所示（当时，与成反比），若血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间不低于6．5小时，则称药物治疗有效．根据图象信息计算并判断下列选项错误的是（ ）
A．当血液中药物浓度上升时，与之间的函数关系式是．
B．当血液中药物浓度下降时，与之间的函数关系式是．
C．血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为5个小时．
D．这种抗菌新药不可以作为有效药物投入生产．
【答案】C
【解析】由图象可知，当0≤x≤4时，y与x成正比例关系，设y＝kx．
由图象可知，当x＝4时，y＝8，
∴4k＝8，解得：k＝2；∴y＝2x（0≤x≤4）．
又由题意可知：当4≤x≤10时，y与x成反比，设y＝．
由图象可知，当x＝4时，y＝8，
∴m＝4×8＝32；∴（4≤x≤10）．
即：血液中药物浓度上升时y＝2x（0≤x≤4）；血液中药物浓度下降下（4≤x≤10）；故A,B正确
（2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升即：y≥4．
∴2x≥4且≥4，
解得：x≥2且x≤8；∴2≤x≤8，即持续时间为6小时．
∵不低于6.5小时为有效．
∴抗菌新药不能作为有效药物投入生产．
故D正确，C错误，
故选C．
5．函数y=-kx+k与函数(k≠0)在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A． B． C．D．
【答案】D
【解析】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y随着x的增大而减小，D选项符合，C选项错误；当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于负半轴，y随着x的增大而增大，A、B均错误；故选择：D．
6．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟
【答案】C
【解析】解：当时，设，
将点代入得：，解得，
则此时，
当时，设，
将点代入得：，
则此时，
综上，，
当时，，解得，
当时，，解得，
则当时，，
所以此次消毒的有效时间是（分钟），
故选：C．
7．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变的条件下，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________．
【答案】0.6
【解析】解：设函数解析式为，
∵当时，，
∴，
∴，
∵气球内的气压大于时，气球将爆炸，
，
解之得，即气球的体积应不小于，
故答案为：0.6．
8．一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数．当时，，则ρ与V的函数关系是___________．
【答案】ρ=
【解析】解：设，当V=10m3时，ρ=1.43kg/m3，
所以1.43=，即k=14.3，
所以ρ与V的函数关系式是ρ=，
故答案为：ρ=．
9．矩形的面积为20，则长y与宽x的函数关系式为_____．
【答案】y＝．
【解析】由题意得：xy=20，
∴y=，
故答案为：y=．
10．方方驾驶小汽车匀速从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时，方方上午8点驾驶小汽车从A地出发，需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，则小汽车行驶速度v的范围______________．
【答案】
【解析】解：由题意可得：
，且全程速度限定为不超过120千米小时，
关于的函数表达式为：，，
8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时
将代入得；将代入得．
小汽车行驶速度的范围为：，
故答案为：．
11．你吃过兰州拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度（cm）是面条粗细横截面积cm2的反比例函数，当时，
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若面条的总长度是6400cm，求面条的横截面积
【答案】（1）y＝（x＞0）；（2）0.02cm2
【解析】解：（1）设反比例函数图象设解析式为：y＝，
由图得，反比例函数上一点坐标为（0.04，3200）代入：y＝，
有3200＝，
解得：k＝128，又题中实际意义需x＞0，
∴y与x的函数表达式为：y＝（x＞0）；（2）令y＝6400得：6400＝，
解得：x＝0.02，
答：面条的横截面积0.02cm2．
12．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出这个函数的表达式；
（2）当气体体积为时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小于多少？
【答案】（1）；（2）96；
（3）气球的体积应不小于
【解析】（1）设与的函数关系式为，
把，代入上式，
解得．
∴与的函数关系式为．
（2）
当时，．
（3）由，得，
∴气球的体积应不小于．
13．为了预防新冠病毒，某中学对教室进行药熏消毒，已知药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量（mg）与时间（min）成正比例，药物燃烧完后，（mg）与时间（min）成反比例（如图所示），现测得药物10min燃烧完，此时教室内每立方米空气中的含药量达到最大，为8mg，根据图象，解答下列问题：
（1）求药物燃烧时（mg）与（min）的函数关系式及药物燃烧完后（mg）与时间（min）的函数关系式，并写出它们自变量的取值范围；
（2）据测定，只有当教室内每立方米空气中的含药量不低于4 mg，且至少持续作用10分钟以上，才能完全杀死病毒，请问这次药熏消毒是否有效？
【答案】（1）（）；（）；（2）消毒有效
【解析】解：（1）设药物燃烧时与的函数关系式为（），根据题意，得：
，
∴，
∴（ ），
设药物燃烧完后与的函数关系式为（），根据题意，得：
，
∴，
（ ），
（2）当时，
令，则，
解得 ，
当时，
令，则，
解得 ，
∵当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴持续时间＝．
∴这次药熏消毒有效．
14．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤ν≤120．
（1）求v与t的函数关系式及t的取值范围；
（2）客车上午8点从甲地出发．客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间到达乙地，求客车行驶速度v的范围．
【答案】（1）v与t的函数表达式为v＝（5≤t≤10）；
（2）客车行驶速度v的范围为80千米/小时≤v≤90千米/小时
【解析】解：（1）设v与t的函数关系式为，将（5，120）代入，
得：120＝，
解得：k＝600，
∴v与t的函数表达式为v＝（5≤t≤10）；（2）当t＝（8点到下午14点40分）时，
v＝＝600÷＝90（千米/小时），
当t＝时，v＝＝600÷＝80（千米/小时），
∴客车行驶速度v的范围为80千米/小时≤v≤90千米/小时．
15．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速（千米/小时）与时间（小时）成反比例函数关系缓慢减弱．
（1）这场沙尘暴的最高风速是__________千米/小时，最高风速维持了__________小时；（2）当时，求出风速（千米/小时）与时间（小时）的函数关系式；
（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，求“危险时刻”共有几小时．
【答案】（1）32，10；（2）；（3）共有59.5小时
【解析】解：（1）0～4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4=32千米/时，
10～20时，风速不变，最高风速维持时间为2010=10小时；故答案为：32，10．
（2）设，将代入，得：，
解得：．
所以当时，风速（千米/小时）与时间（小时）之间的函数关系为：．
（3）∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米，
∴4.5时风速为10千米/时．
将代入，
得，解得，
（小时）
故在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有59.5小时．
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用反比例函数解决实际问题的一般步骤：
①定：审题确定出问题中的两个变量，并用字母表示出来。
②求：用待定系数法或列方程法求出函数解析式，并求出自变量的取值范围。
③解：利用反比例函数的图象及其性质去分析问题、解决问题，得到数学结论。
④答写出实际问题的答案。
【点拨】求反比例函数解析式的两种方法：
①待定系数法：若题目中已知是反比例函数，则设其解析式为 然后将x，y的值代入，求出k值即可。
②列方程法：若题目中不知是什么函数，通常列出关于两个变量x，y的方程，变形即可得到函数解析式。
1．下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（ ）
A．人的身高与年龄
B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度
C．正方形的面积与它的边长
D．圆的周长与它的半径
2．为了建设生态文明，某工厂自2020年1月开始限产并进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的部分，下列选项错误的是（ ）
A．4月份的利润为50万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．9月份该厂利润达到200万元
D．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示，当气球内气压大于时，气球将爆炸，为了安全，该气球内气体体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．某药品研究所开发一种抗新冠肺炎的新药，经大量动物实验，首次用于临床人体实验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间的函数关系如图所示（当时，与成反比），若血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间不低于6．5小时，则称药物治疗有效．根据图象信息计算并判断下列选项错误的是（ ）
A．当血液中药物浓度上升时，与之间的函数关系式是．
B．当血液中药物浓度下降时，与之间的函数关系式是．
C．血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为5个小时．
D．这种抗菌新药不可以作为有效药物投入生产．
5．函数y=-kx+k与函数(k≠0)在同一直角坐标系中的大致图像可能是（ ）
A． B． C．D．
6．某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）
A．11分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．20分钟
7．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变的条件下，气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________．
8．一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数．当时，，则ρ与V的函数关系是___________．
9．矩形的面积为20，则长y与宽x的函数关系式为_____．
10．方方驾驶小汽车匀速从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时，方方上午8点驾驶小汽车从A地出发，需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，则小汽车行驶速度v的范围______________．
11．你吃过兰州拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度（cm）是面条粗细横截面积cm2的反比例函数，当时，
（1）求y与x的函数表达式；
（2）若面条的总长度是6400cm，求面条的横截面积
12．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）写出这个函数的表达式；
（2）当气体体积为时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小于多少？
13．为了预防新冠病毒，某中学对教室进行药熏消毒，已知药物燃烧阶段，教室内每立方米空气中的含药量（mg）与时间（min）成正比例，药物燃烧完后，（mg）与时间（min）成反比例（如图所示），现测得药物10min燃烧完，此时教室内每立方米空气中的含药量达到最大，为8mg，根据图象，解答下列问题：
（1）求药物燃烧时（mg）与（min）的函数关系式及药物燃烧完后（mg）与时间（min）的函数关系式，并写出它们自变量的取值范围；
（2）据测定，只有当教室内每立方米空气中的含药量不低于4 mg，且至少持续作用10分钟以上，才能完全杀死病毒，请问这次药熏消毒是否有效？
14．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤ν≤120．
（1）求v与t的函数关系式及t的取值范围；
（2）客车上午8点从甲地出发．客车需在当天14点40分至15点30分（含14点40分与15点30分）间到达乙地，求客车行驶速度v的范围．
15．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速（千米/小时）与时间（小时）成反比例函数关系缓慢减弱．
（1）这场沙尘暴的最高风速是__________千米/小时，最高风速维持了__________小时；（2）当时，求出风速（千米/小时）与时间（小时）的函数关系式；
（3）在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么在沙尘暴整个过程中，求“危险时刻”共有几小时．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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