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第05练 平行四边形
1.平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。
3.平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。
4.平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。
5.平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。
6.平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
7.平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
8.平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
9.平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。
（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．ABCD，ADBC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，ABCD D．AB＝CD，AD＝BC
【答案】C
【解析】解：A、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；B、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；故选：C．
2．下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（　　）
A．一组对角相等，一组邻角互补
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对边相等
D．一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线
【答案】B
【解析】解：A、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；B、不能判定平行四边形，如等腰梯形；C、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；D、能用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定平行四边形；故选：B．
3．已知四边形ABCD中，ABCD，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．ADBC D．∠C＋∠D＝180
【答案】B
【解析】解：A、，，四边形是平行四边形，不符合题意；B、，一组对边平行，另一组对边相等不能推出四边形是平行四边形，符合题意；C、，两组对边平行，四边形是平行四边形，不符合题意；D、，得出，根据，四边形是平行四边形，不符合题意；故选：B．
4．如图，下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A． AB∥CD，AB=CD B． AB∥CD，AD∥BC
C． AB=CD，AD=BC D． AB∥CD，AD=BC
【答案】D
【解析】解：A、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；C、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、∵AB∥CD，AD=BC，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；故选：D．
5．用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为直角”时，应先作出的假设是（ ）
A．一个三角形中不能有两个角为锐角 B．一个三角形中不能有两个角为钝角
C．一个三角形中能有两个角为直角 D．一个三角形中能有两个角为锐角
【答案】C
【解析】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”第一步应假设一个三角形中能有两个角为直角．故选：C．
6．如图，点E为 ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（　　）
A．80° B．81° C．82° D．83°
【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝180°－∠B＝180°－72°＝108°，
∵AB＝BE，
∴，
∵AE＝EC，
∴，
∴∠ACD＝∠BCD－∠ACE＝108°－27°＝81°,
故选：B.
7．如图，的对角线与相交于点O，，若，则的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．11
【答案】C
【解析】解： ，，
，
故选C
8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD=∠BDC，OA=OC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC
C．∠ABC=∠ADC，AB=CD D．∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB
【答案】C
【解析】解：∵∠ABD=∠BDC，OA=OC，
又∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD（AAS），
∴DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意；∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC+∠BAD=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意；∵∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB，
∴∠ADB=∠CBD，
∴AD∥CB，
∵∠ABD=∠BDC，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意；C、∠ABC=∠ADC，AB=CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；故选：C．
9．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为_________________．
【答案】或
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6，
①如图：
由平行四边形面积公式得：BC×AE＝CD×AF＝15，
求出AE＝，AF＝3，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，
把AB＝5，AE＝代入求出BE＝，
同理DF＝3，
∴CE＝6+，CF＝3+5，
即CE+CF＝11+，
②如图：
∵AB＝5，AE＝，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝，
同理DF＝3，由①知：CE＝6﹣，CF＝3﹣5，
∴CE+CF＝1+，
故答案为：11+或1+．
10．在中，周长为20cm，对角线AC交BD于点O，比的周长多4，则边AB=______．
【答案】7cm
【解析】解：∵△OAB 比 △OBC 的周长多4，
∴（OA+AB+OB）-（OC+OB+BC）=4，
又平行四边形的对角线互相平分，
∴OA=OC，
∴AB-BC=4，即BC=AB-4，
又 ABCD 的周长为20cm，
∴2（AB+BC）=20，
即AB+AB-4=10，
∴AB=7 cm，
故答案为7cm ．
11．已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若△ABC沿射线BC方向平移x个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则x的值是______．
【答案】6或或5
【解析】解：分3种情况讨论：
①当DE=AE时，
作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM是平行四边形，
∴AM=NE，AM=AD=x，CN=BC=3，
∴x+x=6-（3-x），
∴x=6；②当AD=AE=x时，
∵将△ABC沿射线BC方向平移x个单位得到△DEF，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=x，
∴NE=x-3，
∵AN2+NE2=AE2，
∴42+（x-3）2=x2，
∴x=．
③DE=DA时，AE=AB=5
综上所述：当x=6或或5时，△ADE是等腰三角形．
故答案为：6或或5．
12．如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的度数是_____________
【答案】
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB＋∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB＋∠ACB＝3∠CAB＝180° ∠ABC＝180° 108°，
∴∠BAC＝24°，
故答案为：24°．
13．如图，已知在 ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F．
(1)求∠EAF的度数；
(2)如果AB＝6，求线段AE的长．
【答案】(1)60°；(2)
【分析】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°，
∵∠B＝60°，
∴∠C＝120°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∵在四边形AECF中，∠EAF＋∠AEC＋∠C＋∠AFC＝360°，
∴∠EAF＝60°．
(2)解：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝6，
∵∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°，
∴，
由勾股定理，得
，
∴．
14．如图，点B、F、C、E在一条直线上，交于点O．
(1)求证：与互相平分；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；(2)4
【分析】(1)证明：如图，连接，
，
，
，
，
在与中， ，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
与互相平分．
(2)解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
15．如图，在中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，连接DE，求DE的长．
【答案】(1)见解析；(2)12
【分析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ECF＝∠EBA，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE，
则在△BAE和△CFE中，
，
∴△BAE≌△CFE（），
∴AB＝CF，
∴CF＝CD；(2)由（1）得：CF＝CD，△BAE≌△CFE，
∴AE＝EF，DF＝2CD，
∵AB＝CD，
∴DF＝2AB，
∵AD＝2AB，
∴AD＝DF，
∵AE＝EF，
∴DE⊥AF
在中，，
∴
16．已知ABCD中，，．
(1)如图1，对角线AC、BD交于点O，若，求BD的长；
(2)点E是直线CD上的一个动点，直线BE交直线AC于点H，过点A作交直线CD于点F，垂足为点M，连接FH．
①如图2，当点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合）时，判断线段BH、AF、FH的数量关系，并证明．
② 当点E在边DC的延长线上时，若，判断线段BH、AF、FH之间的数量关系，在图3中画出图形并直接写出结论，不需证明．
【答案】(1)BD＝
(2)①BH＝AF＋FH，证明见解析；②画图见解析；当时，有AF＝BH＋FH；当45 <∠BEC<90 时，有FH＝BH＋AF；当时，点F不存在
【分析】(1)解：∵ABCD，
∴0C＝， ，
∵AC⊥BC，AC＝BC，BC＝4，
∴OC＝，
在Rt△BCO中，
，
∴BD＝；(2)①BH＝AF＋FH，
证明：延长AF和BC交于点G，
∵AC⊥BC，AF⊥BE，
∴∠HBC＋∠BHC＝∠AHM＋∠HAF＝，
∵∠BHC＝∠AHM，
∴∠HBC＝∠HAF，
在△BCH和△ACG中，
，
∴△BCH≌△ACG(ASA)，
∴BH＝AG，HC＝CG，
在△FCH和△FCG中，
，
∴△FCH≌△FCG(SAS)，
∴HF＝FG，
∴BH＝AG＝AF＋FG＝AF＋FH ，
②当时，有AF＝BH＋FH，如图，
理由：延长FH、BC相交于G，连接AG，设AF交BC于N，
∵，
∴∠HBC+∠BHC=90°，
∵，
∴∠HAM+∠BHC=90°，
∴∠HBC=∠HAM，即∠HBC=∠CAN，
在△BCH和△ACN中，
，
∴△BCH≌△ACN(ASA)，
∴CH＝CN，∠BHC=∠ANC，
∵，，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∵ABCD，
∴DCAB，
∴∠FCB=∠ABC=45°，∠FCH=∠BAC=45°，
∴∠FCB=∠FCH，
在△FCN和△FCH中，
在△FCN和△FCH中，
，
∴△FCN≌△FCH(SAS)，
∴∠CFN=∠CFH，
∵∠GHC=∠CFG+∠FCH，∠ANC=∠FCN+∠CFN，
∵∠BHC=∠ANC，
∴∠GHC=∠BHC，
在△BCH和△GCH中，
，
∴△BCH≌△GCH(ASA)，
∴GH=BH，BH=CH，∠HBC=∠HGC，
∴CH=AC，∠FAH=∠HGC，
∴∠CAG=∠CGA，
∴∠FAH+∠CAG=∠FGC+∠CHA，即∠FAG=FGA，
∴AF=GF=FH+HG，
∴AF= BH+FH；当时，有FH＝BH＋AF，如图，
理由：延长AM、CB相交于G，
∵，
∴∠G+∠GAC=90°，
∵，
∴∠BHC+∠GAC=90°，
∴∠G=∠BHC，
在△ACG和△BCH中，
，
∴△ACG≌△BCH(ASA)，
∴AG=BH，CG=CH，
∵，AC=BC，
∴∠BAC=45°，
∵ABCD，
∴DCAB，
∴∠ACF=∠BAC=45°，
∴∠GCF=∠ACB+∠ACF=90°+45°=135°
∵∠BCH=90°，
∴∠HCF=360°-∠GCF-∠BCH=360°-135°-90°=135°，
∴∠GCF=∠HCF，
在△FCG和△FCH中，
，
∴△FCG≌△FCH(SAS)，
∴FG=FH，
∴FH=AF+AG=AF+BH
当时，则CD⊥BE，因AF⊥BE，所以AFCD，即AF与CD无交点，如图，所以点F不存在．
综上，当时，有AF＝BH＋FH；当时，有FH＝BH＋AF；当∠BCE=90° 时，点F不存在．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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1.平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。
3.平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。
4.平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。
5.平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。
6.平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
7.平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
8.平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
9.平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。
（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．ABCD，ADBC B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，ABCD D．AB＝CD，AD＝BC
2．下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（　　）
A．一组对角相等，一组邻角互补
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．两组对边相等
D．一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线
3．已知四边形ABCD中，ABCD，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD＝BC C．ADBC D．∠C＋∠D＝180
4．如图，下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A． AB∥CD，AB=CD B． AB∥CD，AD∥BC
C． AB=CD，AD=BC D． AB∥CD，AD=BC
5．用反证法证明“一个三角形中不能有两个角为直角”时，应先作出的假设是（ ）
A．一个三角形中不能有两个角为锐角 B．一个三角形中不能有两个角为钝角
C．一个三角形中能有两个角为直角 D．一个三角形中能有两个角为锐角
6．如图，点E为 ABCD的边BC上的一点，连接AE，满足AB＝BE，AE＝EC，若∠B＝72°，则∠ACD的度数为（　　）
A．80° B．81° C．82° D．83°
7．如图，的对角线与相交于点O，，若，则的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．11
8．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠ABD=∠BDC，OA=OC B．∠ABC=∠ADC，AD∥BC
C．∠ABC=∠ADC，AB=CD D．∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB
9．在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为_________________．
10．在中，周长为20cm，对角线AC交BD于点O，比的周长多4，则边AB=______．
11．已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若△ABC沿射线BC方向平移x个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则x的值是______．
12．如图，是平行四边形的对角线，点在上，，，则的度数是_____________
13．如图，已知在 ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F．
(1)求∠EAF的度数；
(2)如果AB＝6，求线段AE的长．
14．如图，点B、F、C、E在一条直线上，交于点O．
(1)求证：与互相平分；
(2)若，求的长．
15．如图，在中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，连接DE，求DE的长．
16．已知ABCD中，，．
(1)如图1，对角线AC、BD交于点O，若，求BD的长；
(2)点E是直线CD上的一个动点，直线BE交直线AC于点H，过点A作交直线CD于点F，垂足为点M，连接FH．
①如图2，当点E是边CD上一点（点E不与点C、D重合）时，判断线段BH、AF、FH的数量关系，并证明．
② 当点E在边DC的延长线上时，若，判断线段BH、AF、FH之间的数量关系，在图3中画出图形并直接写出结论，不需证明．
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