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第04练 中心对称与中心对称图形
1．中心对称图形与中心对称：
中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
2.中心对称的性质：
关于中心对称的两个图形是全等形。
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的（ ）
A． B． C． D．
2．已知点与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．一个角的补角一定大于这个角
C．等边三角形是中心对称图形 D．旋转改变图形的形状和大小
6．如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（-4，-3），则点A′的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第________象限．
8．在等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有_______个．
9．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则AE的长是____________．
10．在平面直角坐标系xOy中，直线（）与直线，直线分别交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，，则的值为________．
11．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（小方格是边长为1个单位长度的正方）．
(1)将沿轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的；
(2)画出，使得和关于原点中心对称；
(3)写出的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请解答下列问题：
(1)画出关于原点成中心对称的图形；
(2)如果内部有一点M（x，y），经过（1）中的变换后对应点坐标是_______；
(3)已知，，当的值最小时，则_______．
13．在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的项点叫做格点，连接任意两个格点的线段叫做格点线段．
（1）如图1，已知格点线段AB，CD．请添加一条格点线段EF，使它们构成轴对称图形；
（2）如图2，已知格点线段AB和格点C，在网格中找一个格点D，使格点A，B，C，D四点构成中心对称图形，并直接写出你所画的四边形的面积．（画出一种即可）
14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为：，，．
（1）将经过平移得到，若点的应点的坐标为（2,5），则点，的对应点，的坐标分别为________________；
（2）在如图的坐标系中画出，并画出与关于原点成中心对称的．
（3）在坐标系中画出绕点逆时针旋转90度后所得，则的坐标为________．
15．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C的坐标为，线段，上分别有两个动点P，Q，连结，已知，以，为邻边作平行四边形，设．
（1）求点A，B的坐标，并用含m的代数式表示点D的坐标．
（2）当与平行四边形的面积相等时，求点Q的坐标．
（3）是否存在点P，Q使得以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，说明理由．
（4）作点D关于点Q的对称点，当点恰好落在直线上时，________．（直接写出结果）
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1．中心对称图形与中心对称：
中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，那么我们就说，这个图形成中心对称图形。
中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。
2.中心对称的性质：
关于中心对称的两个图形是全等形。
关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。
1．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；故选A．
2．已知点与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】点A(2,4)与点B关于原点对称，则点B的坐标为( 2, 4)，故选：D．
2．已知点与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；B选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C选项是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；D选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；故选：A．
4．下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：C．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行 B．一个角的补角一定大于这个角
C．等边三角形是中心对称图形 D．旋转改变图形的形状和大小
【答案】A
【解析】平行于同一条直线的两条直线平行，故A是真命题，符合题意；一个角的补角不一定大于这个角，如直角的补角还是直角，故B是假命题，不符合题意；等边三角形不是中心对称图形，故C是假命题，不符合题意；旋转不改变图形的形状和大小，故D是假命题，不符合题意；故选A．
6．如图，将△ABC绕点C（0，-1）旋转180°得到△A′B′C，若点A的坐标为（-4，-3），则点A′的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：作A′E⊥y轴于点E，AD⊥y轴于点D，则∠A′EC=∠ADC，
∵∠A′CE=∠ACD，AC=A′C，
∴△A′EC≌△ADC（AAS），
∴AD=A′E，CE=CD，
∵点A的坐标为（-4，-3），OC=1，
∴AD=4，OD=3，
∴AD=A′E=4，CD=2，
∴CE=2，
∴OE=1，
∴点A′的坐标为（4，1）．
故选：C．
7．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第________象限．
【答案】一
【解析】解：∵点P（m，m-n）与点Q（-2，3）关于原点对称，
∴，
解得：
则点M（m，n）坐标为：（2，5）在第一象限．
故答案为：一
8．在等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有_______个．
【答案】3
【解析】解：等腰三角、等边三角形形是轴对称图形；平行四边形是中心对称图形；矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故答案为：3．
9．如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则AE的长是____________．
【答案】
【解析】解：∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称，
∴△ABC≌△DEC，
∴AB＝DE＝1，AC＝DC＝，∠D＝∠BAC＝90°，
∴AD＝1，
∵∠D＝90°，
∴AE＝，
故答案为：．
10．在平面直角坐标系xOy中，直线（）与直线，直线分别交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，，则的值为________．
【答案】0
【解析】因为正比例函数的图像关于原点对称，
且直线与直线关于原点对称，
∴A，B关于原点对称，
∴．
故答案为：0．
11．在平面直角坐标系中，的位置如图所示（小方格是边长为1个单位长度的正方）．
(1)将沿轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的；
(2)画出，使得和关于原点中心对称；
(3)写出的坐标．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)；；
【分析】(1)如图，为所作；
(2)如图，为所作；
(3)由图即可得，、、
12．如图，在平面直角坐标系中（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形），的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请解答下列问题：
(1)画出关于原点成中心对称的图形；
(2)如果内部有一点M（x，y），经过（1）中的变换后对应点坐标是_______；
(3)已知，，当的值最小时，则_______．
【答案】(1)见解析；(2)；(3)－3
【分析】(1)如图所示；
(2)∵关于原点对称的点横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数，
∴M（x，y），经过（1）中的变换后对应点坐标是是（-x，-y），
故答案为：（-x，-y）；
(3)如图，将B1向右平移两格得B2，连接B2A交x轴于点E，将点E向左平移两格得到点D，连接B1D，此时的值最小，
将B1（-5，2）向右平移两格得B2（-3，2），且A（2，-3），
设直线B2A的函数关系式为y=kx+b，
∴，解得：
∴直线B2A的函数关系式为y=-x-1，
将y=0代入y=-x-1，得x=-1，
∴E（-1，0），
∴a+2=-1，得：a=-3，
故答案为：-3
13．在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的项点叫做格点，连接任意两个格点的线段叫做格点线段．
（1）如图1，已知格点线段AB，CD．请添加一条格点线段EF，使它们构成轴对称图形；
（2）如图2，已知格点线段AB和格点C，在网格中找一个格点D，使格点A，B，C，D四点构成中心对称图形，并直接写出你所画的四边形的面积．（画出一种即可）
【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，8
【解析】解：（1）如图1中，线段EF即为所求作．
（2）如图2中，四边形ABCD即为所求作．
S平行四边形ABCD=3×5-2××1×3-2××2×2=8．
14．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为：，，．
（1）将经过平移得到，若点的应点的坐标为（2,5），则点，的对应点，的坐标分别为________________；
（2）在如图的坐标系中画出，并画出与关于原点成中心对称的．
（3）在坐标系中画出绕点逆时针旋转90度后所得，则的坐标为________．
【答案】（1）、；（2）见解析；（3）见解析，
【解析】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：
A1，B1的坐标分别为（-1，2），（3，2），
故答案为：A1（-1，2），B1（3，2），
（2）如图所示,即为所求作，
（3）如图所示，即为所求作，
故答案为：
15．如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C的坐标为，线段，上分别有两个动点P，Q，连结，已知，以，为邻边作平行四边形，设．
（1）求点A，B的坐标，并用含m的代数式表示点D的坐标．
（2）当与平行四边形的面积相等时，求点Q的坐标．
（3）是否存在点P，Q使得以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，说明理由．
（4）作点D关于点Q的对称点，当点恰好落在直线上时，________．（直接写出结果）
【答案】（1）点A（-3，0），点B（0，4），点D（2+m，4-2m）；（2）点Q （3）的值为1或或；（4）．
【解析】解：（1）当时，，即点B坐标为（0，4），
当时，，解得：，即点A坐标为（-3，0），
∵，，
∴，，
∵在平行四边形中，，，
∴点D坐标为（2+m，4-2m），
综上所述：点A坐标为（-3，0），点B坐标为（0，4），点D坐标为（2+m，4-2m）；
（2）由（1）可知：，
∴，
∴，
，
∴当与平行四边形的面积相等时，，
解得，（舍去），
故点Q的坐标为
（3）由（1）可知：点B（0，4），点D（2+m，4-2m），
∴，
，
以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形有三种可能：
①当时，则：，
解得：
②当时，则：，
解得：，（舍去），
③当时，则：，
解得：，（此时，故舍去），
综上所述：当等于1，，时，以O，B，D为顶点的三角形是等腰三角形；
（4）当点恰好落在直线上时，设点坐标为，
∵点D关于点Q的对称点是点，
∴点Q是线段中点，
∵点D坐标为（2+m，4-2m），点Q坐标为（-m，0），
∴ ，
解得：，
故填：．
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