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第03练 图形的旋转
1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。）
2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。
1．如图，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB'C'，则∠BAC'=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：在等腰直角△ABC中，∠BAC=45°，
∵旋转角为60°，
∴∠CAC′=60°，
∴∠BAC′=∠BAC+∠CAC′=45°+60°=105°．
故选：D．
2．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在CD边上，DE=2，把△ADE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE'，连接EE'，则线段EE'的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】解：∵在正方形ABCD中，AB=5，点E在CD边上，DE=2，
∴EC=4，BC=6，
又∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，
∴DE=BE′=2，
∴E′C=E′B+BC=2+6=8，
又∵△EE′C是直角三角形，
∴EE'=，
故选：D．
3．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ）
A．逆时针，30° B．逆时针，105° C．顺时针，30° D．顺时针，105°
【答案】D
【解析】解∵将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE=75°，
∴∠BCE=180°-∠DCE=105°，
∴△ABC绕点C旋转，顺时针旋转105°得到△DEC，
故选D．
4．图，方格纸中的△ABC经过变换，可以得到△A1B1C1，则正确的变换方法是（ ）
A．将△ABC向右平移5格
B．将△ABC向右平移5格，再向下平移4格
C．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后，再向下平移3格
D．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后，再向下平移3格
【答案】D
【解析】解：根据图象知，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后，再向下平移3格即可得到△A1B1C1，
故选：D．
5．图，在中，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．当点E恰好在上时，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度得到△DEC，
∴∠ABC=∠DEC=90°，CA=CD，∠ACB=∠ACD=30°，
∴△ACD为等腰三角形，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠CAD+∠CDA+∠ACD=180°，
∴∠CAD=∠CDA=75°，
∴∠ADE=∠DEC ∠DAC=90° 75°=15°，
故选：B．
6．如图，线段CD是由线段AB绕点O顺时针旋转得到的，其中点A，B的对应点分别是点C，D，则下列各角中等于旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：根据旋转角定义可知，本题的旋转角有：∠AOC、∠BOD．故选：D．
7．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝4，则BE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴AB=AE，∠BAE=60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE=AB，
∵AB=4，
∴BE=4．
故选：B．
8．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转角为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．15°
【答案】B
【解析】解：△ABD经旋转后到达△ACE的位置，△ABC是等边三角形，
旋转角为，故选B
9．如图，已知△ABC绕点A逆时针旋转a（0＜a＜∠BAC）得到△ADF，AB＝AC，AD交BC于点F，DE交BC、AC于点G、H，则以下结论：①△ABF≌△AEH：②FG＝GC：③连接AG、FH，则AG⊥FH：④当DF的长度最大时，AD平分∠BAC．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转α（0＜α＜∠BAC）得到△ADE，
∴∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，∠C=∠E，AB=AD，AC=AE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，AB=AE，
∴∠B=∠E，
∴△BAF≌△EAH（ASA），故①正确；
∴AF=AH，∠AFB=∠AHE，
∴DF=CH，
∵∠AFB=∠DFG，∠AHE=∠CHG，
∴∠DFG=∠CHG，
又∵∠DGF=∠CGH，
∴△DGF≌△CGH（AAS），
∴FG=GH，故②错误；
∵AF=AH，FG=HG，
∴AG垂直平分FH，故③正确；
当DF最大时，即AF最短，
∴AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，故④正确．
故正确的个数是3个，
故选：C．
10．如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边AB上，则点与点B之间的距离为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】解：如图，连接，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∵∠A=60°，∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，在Rt△ABC中，AB=2AC=4，
∴BC=，
∴，
故选：B．
11．如图，在中，，，BD是的角平分线，过点D作交BC边于点E．若，则图中阴影部分面积为 （ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【答案】B
【解析】解：∵，BD是的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵，
∴∠BDE=90°，
∴∠CBD=∠DEB=45°，
∴BD=DE，
将△DEC绕点D顺时针旋转90°得到△DBT．
∴∠DEC=∠DBT=135°，
∴∠ABD+∠DBT=180°，
∴A，B，T共线，
∵AC=6，AD=2，
∴DC=DT=4，
∴图中阴影部分的面积．
故选：B．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△，此时点恰好在AB边上，连接B ，则△的周长为（　　）
A． B．1+ C．2+ D．3+
【答案】D
【解析】∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=1，
∴，．
∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△，此时点恰好在AB边上，
∴，，，．
∵∠A=60°，
∴△CA 为等边三角形，
∴∠AC =60°，，
∴∠BC =60°，，
∴△CB 为等边三角形，
∴B =BC=，
∴．
故选D．
13．已知是由绕着点A旋转90°得到的，其中．
(1)尺规作图：将沿着A到D的方向平移，使得点C的对应点恰好落线段DE上，请作出平移后的图形，其中点A对应点，点B对应点（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】(1)解：如下图所示，△为所求作的图形；
(2)由旋转得，，，，
由平移得，，，
∵在中，，．
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
设，则，
∴，
解得，即，
∴．
14．阅读下列材料：
问题：如图1，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，∠EAB＝60°，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．
(1)求证：EG＝AG＋BG．
(2)如果将原问题中的“∠EAB＝60°”改为“∠EAB＝90°”，原问题中的其它条件不变（如图2），请探究线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析；(2)EG+BG=AG，证明见解析
【分析】(1)证明：如图：在GE上取一点H，使GH=GB，连接HB，EB，AG，
∵∠EGB=∠EAB=60°，
∴△HGB，△EAB是等边三角形，
∴BE=BA，BH=BG，∠ABE=∠GBH=60°，
∴∠HBE=∠GBA，
∴△HBE≌△GBA(SAS)，
∴HE=GA，
∴GE=GH+HE=BG+AG；
(2)解：结论： EG+BG=AG，
理由如下：如图2，将△AGE绕A顺时针旋转90°至△AHB处，
∴HB=GE，AH=AG，
∵在四边形ABGE中，∠ABG+∠AEG=180°，
∴∠ABH+∠ABG=180°，
即H，B，G三点共线，
∵AH=AG，
∴△AHG是等腰直角三角形，
∴HG=AG，
∵HG=HB+BG=EG+BG，
∴EG+BG=AG．
15．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△A的位置，使得．
(1)请判断△ACC'的形状，并说明理由．
(2)求∠BAB'的度数．
【答案】(1)为等腰三角形，理由见详解；(2)
【分析】(1)解：为等腰三角形．
理由如下：
∵，，
∴．
又∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△A的位置，
C、C′为对应点，点A为旋转中心，
∴，
∴为等腰三角形；
(2)解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△A的位置，，
∴，
∴，
∴
由（1）得，，
∴，
∴．
16．如图，在和中，，将绕点旋转（其中），连接和，与分别交于点和点．
(1)求证：；
(2)试确定线段和的数量关系和位置关系；
(3)连接和，在旋转过程中，的面积记为，的面积记为，试判断和的大小，并给予证明．
【答案】(1)见解析
(2)，，理由见解析
(3)，证明见解析
【分析】(1)证明：∵，
∴，
∴，
在与中
，
∴；
(2)解：∵，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴．
(3)解：如图，作于，于，
，，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴．
17．（1）如图1，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数．
为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________；
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图2，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系并证明；
（3）如图3，在中，，，，点在内部，连接，，，并且，请直接写出的值（提示：可通过旋转变换，将三条线段、、转化到同一条直线上）．
【答案】（1）150°；（2），证明见解析；（3）
【解析】解：（1）由题意得，
∴ ，∠APB=， ， ，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴△是直角三角形，且 ，
∴∠APB= ．
（2），理由如下：
把绕点逆时针旋转得到，如图，
则，，，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
即 ．
（3）将△PAB绕点B顺时针旋转60°至 ，连接，如图，
∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2，
∴BC=，
∵△PAB绕点B顺时针旋转60°至，
∴ ，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴ ，，
∵∠APC=∠CPB=∠BPA=120°，
∴ ，
∴ 四点共线，
∴，
∴．
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1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。）
2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。
1．如图，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB'C'，则∠BAC'=（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E在CD边上，DE=2，把△ADE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE'，连接EE'，则线段EE'的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
3．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ）
A．逆时针，30° B．逆时针，105° C．顺时针，30° D．顺时针，105°
4．图，方格纸中的△ABC经过变换，可以得到△A1B1C1，则正确的变换方法是（ ）
A．将△ABC向右平移5格
B．将△ABC向右平移5格，再向下平移4格
C．将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°后，再向下平移3格
D．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后，再向下平移3格
5．图，在中，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．当点E恰好在上时，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，线段CD是由线段AB绕点O顺时针旋转得到的，其中点A，B的对应点分别是点C，D，则下列各角中等于旋转角的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝4，则BE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转角为（ ）
A．75° B．60° C．45° D．15°
9．如图，已知△ABC绕点A逆时针旋转a（0＜a＜∠BAC）得到△ADF，AB＝AC，AD交BC于点F，DE交BC、AC于点G、H，则以下结论：①△ABF≌△AEH：②FG＝GC：③连接AG、FH，则AG⊥FH：④当DF的长度最大时，AD平分∠BAC．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边AB上，则点与点B之间的距离为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．
11．如图，在中，，，BD是的角平分线，过点D作交BC边于点E．若，则图中阴影部分面积为 （ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△，此时点恰好在AB边上，连接B ，则△的周长为（　　）
A． B．1+ C．2+ D．3+
13．已知是由绕着点A旋转90°得到的，其中．
(1)尺规作图：将沿着A到D的方向平移，使得点C的对应点恰好落线段DE上，请作出平移后的图形，其中点A对应点，点B对应点（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，，求的长度．
14．阅读下列材料：
问题：如图1，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，∠EAB＝60°，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．
(1)求证：EG＝AG＋BG．
(2)如果将原问题中的“∠EAB＝60°”改为“∠EAB＝90°”，原问题中的其它条件不变（如图2），请探究线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．
15．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△A的位置，使得．
(1)请判断△ACC'的形状，并说明理由．
(2)求∠BAB'的度数．
16．如图，在和中，，将绕点旋转（其中），连接和，与分别交于点和点．
(1)求证：；
(2)试确定线段和的数量关系和位置关系；
(3)连接和，在旋转过程中，的面积记为，的面积记为，试判断和的大小，并给予证明．
17．（1）如图1，等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3，4，5，求的度数．
为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________；
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图2，中，，，，为上的点，且，判断，，之间的数量关系并证明；
（3）如图3，在中，，，，点在内部，连接，，，并且，请直接写出的值（提示：可通过旋转变换，将三条线段、、转化到同一条直线上）．
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