资源简介

第06练 矩形、菱形、正方形
（一）矩形
矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。
1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫做长方形）
2.矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。
3．矩形性质定理2：矩形的对角线相等。
4.矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。
说明：因为四边形的内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。
5.矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
说明：要判定四边形是矩形的方法是：
方法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）
方法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）
方法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2）
（二）菱形
菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。
1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质1：菱形的四条边相等。
3.菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
4.菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。
5.菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
说明：要判定四边形是菱形的方法是：
方法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。
方法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2）
方法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1）
（三）正方形
正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。
1.正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
3.正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
4.正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。
5.正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。
注意：要判定四边形是正方形的方法有
方法一：第一步证出有一组邻边相等； 第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明）
方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理1）
方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理2
1．如图，在矩形纸片ABCD中，，，折叠纸片使边DC落在对角线DB上，折痕为DE，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】C
【解析】解：令折叠后点C在BD上的对应点为点
∵矩形ABCD折叠后CD边落在BD上，
∴∠BC′E=∠DC′E=∠C=90°，
∵CD=AB=6，BC=AD=8，
∴C′D=6，BD===10，
∴C′B=BD-C′D=10-6=4，
设CE=C′E=x，则EB=8-x，
由勾股定理得：
C′B2+ C′E2=EB2
∴42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
即CE=3，
∴===9；
故选：C．
2．一组对边平行，且对角线相等的四边形是( )
A．等腰梯形 B．矩形
C．正方形 D．等腰梯形或矩形
【答案】D
【解析】解：分为两种情况：
①当，且时，四边形是矩形；
②当，且时，四边形是等腰梯形．
故选：D．
3．如图，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，若适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形．那么这个条件可以是（　　）
A．BA＝BC B．AC＝BD
C．AB∥CD D．AC、BD互相平分
【答案】D
【解析】解：四边形中，、互相垂直，
若四边形是菱形，需添加的条件是：
、互相平分；（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）
故选：D．
4．如图，在矩形中，对角线、交于点，，以下说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵ 四边形是矩形，矩形对角线互相平分且相等
∴ ，
∴选项A和选项D正确；
∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴选项C正确；
∵，
∴，
∴不是等边三角形，
∴，
∴选项B错误，符合题意．
故选B．
5．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（ ）
A．128 B．64 C．32 D．144
【答案】A
【解析】解：根据题题得：小正方形的边长等于BE-AE，
∵，，
∴小正方形的边长=13-5=8，
∴．
故选：A
6．如图，O为菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝6，BD＝8，则线段OE的长为（　　）
A．3 B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形，
又∵AC＝6，BD＝8，
∴OC=3，OD=4，
∴,
在矩形OCED中，OE=CD=5，
故选：C．
7．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（ ）
A．4 B．8 C． D．16
【答案】D
【解析】解：∵两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC，∠AGB＝30°
∴，，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
四边形周长为16．
故选D．
8．如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形菱形平行四边形矩形 B．平行四边形正方形平行四边形矩形
C．平行四边形正方形菱形矩形 D．平行四边形菱形正方形矩形
【答案】A
【解析】解：如图，连接AC，
∵点为矩形的对称中心，
∴OA=OC，
在矩形ABCD中，AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，∠OFC=∠OEA，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴当AE＜CE时，四边形AECF是平行四边形，
当AE=CE时，四边形AECF是菱形，
当AE＞CE时，四边形AECF是平行四边形，
当点E到达点B时，四边形AECF是矩形；
∴四边形形状的变化依次为
故选：平行四边形菱形平行四边形矩形．
故选：A
9．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______．
【答案】8
【解析】∵AB∥CD，
∴∠ABC=30°，
又∵两条纸条的宽度均为2，
∴AB=4，
同理可得AD=4，
又∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=AD=4，
∴四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD=4×2=8，
故答案为8．
10．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形CEFG的面积为2，点G在线段CD上，且B、C、E三点在一条直线上，联结AC、AE，则△ACE的面积是_____．
【答案】
【解析】解：∵正方形ABCD的面积为5，正方形CEFG的面积为2．
∴．
∴△ACE的面积＝＝．
故答案为：．
11．如图，在矩形中，若，，则的长为________．
【答案】14
【解析】解：四边形是矩形，，
，
在中，，
，
，
故答案为：14．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为______．
【答案】2.5
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，∠BOC=90°，∠ABD=∠CBD，
∴，
∵，
∴∠ABD=∠BOE，
∴∠EBO=∠EOB，
∴BE=OE，
∵∠OBC+∠OCB=90°，∠EOB+∠EOC=90°，
∴∠EOC=∠ECO，
∴OE=CE，
∴，
故答案为：2.5．
13．如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F．
(1)若∠BAD＝60°，PE＝1，求AE的长．
(2)若∠BAD＝90°，判断四边形AEPF的形状，并说明理由．
【答案】(1)；(2)正方形，理由见解析
【分析】(1)解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠PAE＝30°
∵PE⊥AB，
∴AP＝2PE＝2，
；
(2)证明：四边形是正方形，
理由如下：，，，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
；
四边形是正方形．
14．如图，在四边形ABCD中，，E为BC的中点，，．
(1)求证：四边形ABED是菱形；
(2)过点E作于点F，若，，求EF的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】(1)证明：∵，，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵Rt△BCD中，E是斜边BC的中点，
∴DE =BE，
∴四边形ABED是菱形．
(2)过点D作DG⊥BC于点G，如图所示：
在Rt△BCD中，
，
，
∵DC=8，BC=12，
∴DG=，
又∵S菱形ABED = AB·EF = BE·DG，AB=BE，
∴EF =DG =．
15．如图，点E在平行四边形ABCD的对角线AC上，连BE并延长到F，使BE＝EF，连DF．
(1)求证：DF∥AC
(2)若BF＝2AB且CD与EF的交点G正好是CD的中点，请连接CF、DE，判断四边形CEDF的形状，并证明．
【答案】(1)见解析；(2)四边形CEDF是矩形，见解析
【分析】(1)过点F作FH∥AB，交AC的延长线于点H，
∴ ∠ABE=∠HFE，∠AEB=∠HEF，
∵BE=EF，
∴△ABE≌△HFE，
∴AB=HF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，CD∥AB，
∴HF=CD，CD∥FH，
∴四边形CDFH是平行四边形，
∴DF∥CH，
∴DF∥AC．
(2)根据（1），得DF∥AC，
∴ ∠DGF=∠CGE，∠DFG=∠CEG，
∵CG=GD，
∴△DGF≌△CGE，
∴EG=GF，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∵BE=2EF，BF＝2AB，四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=EF，
∴四边形CEDF是矩形．
16．如图，平行四边形中，对角线、相交于点， BE∥AC交的延长线于点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】(1)证明：如图，四边形是平行四边形，
．
又点在的延长线上，
．
又，
四边形是平行四边形，
．
又，
，
平行四边形是矩形；
(2)解：在矩形中，，，
是等边三角形，
，
，
又四边形是平行四边形，
，
，
在中，，
四边形的面积．
17．如图1，点E是正方形ABCD的边BC上的任意一点（不与B、C重合），EF⊥AE与正方形的外角∠DCG的角平分线交于点F．
(1)求证：AE＝EF
(2)将图1放在平面直角坐标系中，如图2，连DF、BF，BF与AE交于点H，若正方形ABCD的边长为4，则四边形ABFD的面积是否随E点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形ABFD的面积．
(3)在（2）的条件下，若S△BCF＝4，求四边形AHFD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)点E在BC上运动时，四边形ABFD的面积不变化，始终等于16；
(3)S四边形AHFD=．
【分析】(1)证明：如图1，在AB上截取BH=BE，连接HE，
∵AB=BC，
∴AH=EC，
∵∠B=90°，
∴∠BHE=∠BEH=45°，
∴∠AHE=135°，
∵∠BCD=90°，
∴∠DCG=90°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠GCF=45°，
∴∠ECF=135°，
∴∠AHE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，∠B=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠CEF=∠BAE，
在△AHE和△ECF中，，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
(2)解；连接BD，作FN⊥x轴于点N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC=45°，
∴∠DBC=∠FCN=45°，
∴CF∥BD，
∴S△BFD=S△BCD，
∴S四边形ABFD=S△BFD+S△BAD=S△BCD+ S△BAD=S正方形ABCD=42=16，
即点E在BC上运动时，四边形ABFD的面积不变化，始终等于正方形ABCD的面积16；
(3)解：∵S△BCF=BC·FN=×4×FN=4，
∴FN=2，
由(1)可得AE=EF，
又∵∠ABE=∠ENF=90°，∠BAE=∠NEF，
∴△ABE≌△ENF(AAS)，
∴BE=FN=2，EN=AB=4，
∴BN=BE+EN=6，
∴点E的坐标为(2，0)，点F的坐标为(6，2)，
设直线BF的解析式为y=kx，
将F(6，2)代入可得2=6k，
解得k=，
∴直线BF的解析式为y=x，
设直线AE的解析式为y=mx+n，
将A(0，4)，E(2，0)代入可得，
解得，
∴y=-2x+4，
由，
解得，
∴点H的坐标为(，)，　
∴S△ABH=AB×xH=×4×=，
∴S四边形AHFD=S四边形ABFD- S△ABH =16-=．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第06练 矩形、菱形、正方形
（一）矩形
矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。
1.矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫做长方形）
2.矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。
3．矩形性质定理2：矩形的对角线相等。
4.矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。
说明：因为四边形的内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。
5.矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。
说明：要判定四边形是矩形的方法是：
方法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）
方法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）
方法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2）
（二）菱形
菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。
1.菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质1：菱形的四条边相等。
3.菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
4.菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。
5.菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
说明：要判定四边形是菱形的方法是：
方法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。
方法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2）
方法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1）
（三）正方形
正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。
1.正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2.正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
3.正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
4.正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。
5.正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。
注意：要判定四边形是正方形的方法有
方法一：第一步证出有一组邻边相等； 第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明）
方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理1）
方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理2
1．如图，在矩形纸片ABCD中，，，折叠纸片使边DC落在对角线DB上，折痕为DE，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
2．一组对边平行，且对角线相等的四边形是( )
A．等腰梯形 B．矩形
C．正方形 D．等腰梯形或矩形
3．如图，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，若适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形．那么这个条件可以是（　　）
A．BA＝BC B．AC＝BD
C．AB∥CD D．AC、BD互相平分
4．如图，在矩形中，对角线、交于点，，以下说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（ ）
A．128 B．64 C．32 D．144
6．如图，O为菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝6，BD＝8，则线段OE的长为（　　）
A．3 B． C．5 D．6
7．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放，AB＝AF，AE＝BC．AE与BC交于点G，AD与CF交于点H，且∠AGB＝30°，AB＝2，则四边形AGCH的周长为（ ）
A．4 B．8 C． D．16
8．如图，点为矩形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形菱形平行四边形矩形 B．平行四边形正方形平行四边形矩形
C．平行四边形正方形菱形矩形 D．平行四边形菱形正方形矩形
9．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______．
10．如图，正方形ABCD的面积为5，正方形CEFG的面积为2，点G在线段CD上，且B、C、E三点在一条直线上，联结AC、AE，则△ACE的面积是_____．
11．如图，在矩形中，若，，则的长为________．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为______．
13．如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F．
(1)若∠BAD＝60°，PE＝1，求AE的长．
(2)若∠BAD＝90°，判断四边形AEPF的形状，并说明理由．
14．如图，在四边形ABCD中，，E为BC的中点，，．
(1)求证：四边形ABED是菱形；
(2)过点E作于点F，若，，求EF的长．
15．如图，点E在平行四边形ABCD的对角线AC上，连BE并延长到F，使BE＝EF，连DF．
(1)求证：DF∥AC
(2)若BF＝2AB且CD与EF的交点G正好是CD的中点，请连接CF、DE，判断四边形CEDF的形状，并证明．
16．如图，平行四边形中，对角线、相交于点， BE∥AC交的延长线于点，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的面积．
17．如图1，点E是正方形ABCD的边BC上的任意一点（不与B、C重合），EF⊥AE与正方形的外角∠DCG的角平分线交于点F．
(1)求证：AE＝EF
(2)将图1放在平面直角坐标系中，如图2，连DF、BF，BF与AE交于点H，若正方形ABCD的边长为4，则四边形ABFD的面积是否随E点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形ABFD的面积．
(3)在（2）的条件下，若S△BCF＝4，求四边形AHFD的面积．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑