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第07练 三角形的中位线
1.三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
说明：三角形的中位线与三角形的中线不同。
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
1．如图，菱形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，E为CD中点，连接OE，则OE的长是（ ）
A．3 B． C．6 D．9
【答案】B
【解析】解：∵菱形ABCD的周长为36，
∴CD=BC=9，且O为BD的中点，
∵E为CD的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴OE=CB=．
故选：B．
2．下列说法错误的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半
D．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，正确，不符合题意；B、错误．对角线相等的四边形不一定是矩形，符合题意；C、三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半，正确，不符合题意；D、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意，故选：B
3．如图，在中，、分别是直角边、的中点，若，则边上的中线的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．10
【答案】D
【解析】解：∵D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴．
∵DE=10，
∴AB=2DE=20．
∵CP是中斜边AB上的中线，，
∴
故选：D．
4．如图，平行四边形的周长为20．，对角线，相交于点，点是的中点．则的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】解：∵ ABCD的周长为20，
∴2(BC+AB)=20，
则BC+AB=10．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，，
∴OA=OC =AC=4．
∵点E是BC的中点，点O是AC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，CE=BC，
∴OE=AB，
∴△COE的周长=OC+ CE + OE =AC+ (BC+AB)=4+5=9，
故选：B．
5．如图，CD是的中线，E，F分别是AC，DC的中点，，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】解：∵点E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
∴AD=2EF=2，
∵CD是△ABC的中线，
∴BD=AD=2
故选：B．
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
【答案】B
【解析】解：∵M、N分别是线段AE、AF的中点，
∴，
∵点E在BC边上从点B向点C移动，
∴当点E运动到点C的位置时，EF最小，此时，EF=4-1=3，
∴线段MN的最小值为1.5.
故选：B
7．如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：为的中位线，
，
在中，是的中点，
，
，
故选：D．
8．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若，则四边形EFGH为矩形；
②若，则四边形EFGH为菱形；
③若AC与BD互相垂直且相等，则四边形EFGH是正方形；
④若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴，，
同理，
∴EH=GF，GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
①若AC=BD，则EH=GF=GH=EF，则四边形EFGH是菱形，故①错误；
②若AC⊥BD，则EF⊥EH，∴平行四边形EFGH是矩形，故②错误；
③若AC与BD互相垂直且相等，结合①②的判断可知四边形EFGH是正方形，故③正确；
④若四边形EFGH是平行四边形，并不能推出AC与BD互相平分，故④错误，
故选A．
9．如图，D是内一点，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形的周长是___________．
【答案】17
【解析】∵BD⊥CD，BD=8，CD=6，
∴．
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH=FG=AD，EF=GH=BC．
∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC．
又∵AD=7，
∴四边形EFGH的周长=10+7=17．
故答案为：17．
10．已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为__．
【答案】8
【解析】解：∵点D，E，F分别为△ABC三边的中点，
∴EF＝AB，DE＝AC，DF＝BC，
∵△ABC的周长为16，
∴AB+AC+BC＝16，
∴△DEF的周长＝EF+DE+DF＝（AB+AC+BC）＝8，
故答案为：8．
11．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为_____．
【答案】2
【解析】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，
∴DF＝AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝2．
故答案为：2．
12．如图，在矩形ABCD中，，，E是AD上一点，，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是______．
【答案】10
【解析】
过点 P 作 PM∥FE交AD于M ，
如图， F为AP的中点， PM∥FE ，FE为△APM的中位线，
∴AM =2AE=4 ，PM =2EF ，
当EF取最小值时，即PM最短，
当PM⊥AD时，PM最短，
此时PM = AB =6 ， DM=8 ，
在Rt△PMD中，PD =10 ，
当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是10．
故答案为：10·
13．如图，点E在 ABCD外，连接BE，DE，延长AC交DE于F，F为DE的中点．
(1)求证：AF∥BE；
(2)若AD=2，∠ADC=60°，∠ACD=90°，AC=2CF，求BE．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】(1)证明：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是BD的中点，
∵F为DE的中点，
∴OF是△DBE的中位线，
∴OF∥BE，
∴AF∥BE；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA=2OC，
∵AC=2CF，
∴OA=OC=CF，
∵∠ADC=60°，∠ACD=90°，
∴∠DAC=30°，
∵AD=2，
∴DC=1，
∴AC=，
∴OF=AC=，
∴BE=2OF=2．
14．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D使OD=OB，连AD、CD．
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)若∠AOB＝60°，E为BC的中点，连OE，OE=2．求对角线的长及矩形的面积．
【答案】(1)见解析；(2)对角线的长为8，矩形的面积为
【分析】(1)证明：∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
又∵OD=OB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形；
(2)解：∵OA=OC，
∴E为BC的中点，
∴BE=CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴AB=2OE=2×2=4，
∵ABCD为矩形，
∴OA=AC，OB=BD，
∵AC= BD，
∴OA= OB，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=BO=AB=4，
∴对角线AC=BD=2OA=8，
∵∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB=4，AC=8，
∴，
∴ 矩形的面积.
15．如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EFGH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)请再添加一个条件，使得四边形EFGH是矩形，（写出添加的条件即可，不用写证明过程）．
【答案】(1)见解析
(2)添加条件AC⊥BD，能使得四边形EFGH是矩形．
【分析】(1)证明：如图，连接BD，
∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴，EH∥BD，，FG∥BD，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)解：添加条件AC⊥BD，能使得四边形EFGH是矩形，
理由如下：如图，连接AC、BD，
由（1）知四边形EFGH为平行四边形，
∵EF∥AC，
∴EF⊥BD，
∵EH∥BD，
∴EH⊥EF，
∴∠FEH=90°．
∴四边形EFGH是矩形．
16．如图，点D是ABC内一点，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，，AD＝6，求四边形EFGH的周长．
【答案】(1)见解析；(2)10
【分析】(1)证明：∵点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．
∴EH＝FG＝AD，BC，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(2)∵∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，
∴BC＝2CD＝4．
由（1）得：四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝6，
∴四边形EFGH的周长＝AD+BC＝6+4＝10．
17．如图，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）请在图中用一把无刻度的直尺画出边的中点（保留画图痕迹，无需证明过程）；
（3）若，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．
①若点为直线上的一点，当运动时间为何值时，以、、、构成的四边形可以是菱形？
②在点运动过程中，直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①3或；②0或3或8或13或14或17
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AB∥CD，
又∵O是AD的中点，
∴OD是△EBC的中位线，
∴D是EC的中点，
∴ED=CD=AB，
又∵ED∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形；
（2）如图所示，连接AC交BD于M，连接MO并延长交AE于N，连接BN交AC于G，连接OG并延长交AB于F即为所求；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴M为BD的中点，
又∵O为AD的中点，
∴MO是△ADB的中位线，
∴MN∥AB，
∵四边形AEDB是平行四边形，
∴AE//BD，
∴四边形ANMB是平行四边形，
∴G为AM的中点，
∴OG为三角形AMN的中位线，
∴OF//BD，
∴GF是△AMB的中位线，
∴F为AB的中点；
（3）①∵∠BDC=90°，DC=4，BC=5，
∴， AB=ED=4，
当BC为菱形的边长时，则菱形的边长为5，
∴CP=5，
∴EP=EC-PC=3，
∴t=3；
当BC为菱形的对角线时，连接PQ交BC于G，
∴∠PGC=90°，
设CP=x，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴t=3或时以B、C、P、Q构成的四边形BCPQ可以是菱形；
②如图所示，当P在E点时，此时P到AE和DE的距离都为0符合题意，此时t=0；
当P在C点时，此时P到CE和BC的距离都为0符合题意，此时t=8，
同理当P在B点时t=13，当P在A点时，t=17；
当P在EC上时，P到AB和到AE的距离相等，即EP=HP=AE=3，
∴t=3，
∴BH=PD=1，
∴当P运动到图中H所在的位置时，也满足题意此时t=1+5+8=14；
当P在EC上，P到AB和BC的距离相等时，则PH=3，
∵ ，BC=5，PH=3，BD=3，
∴PC=5，
∴EP=3，此时t=3；
当P在BC上时，P到AB和到AE的距离以及P到AE和EC的距离不可能相等；
当P在AB上时，只有前面求解的如图所示的H位置，
∴综上所述，t=0或3或8或13或14或17时，P到四边形AECB相邻两边距离相等．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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1.三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
说明：三角形的中位线与三角形的中线不同。
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
1．如图，菱形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，E为CD中点，连接OE，则OE的长是（ ）
A．3 B． C．6 D．9
2．下列说法错误的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半
D．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
3．如图，在中，、分别是直角边、的中点，若，则边上的中线的长为（ ）
A．5 B．6 C． D．10
4．如图，平行四边形的周长为20．，对角线，相交于点，点是的中点．则的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．如图，CD是的中线，E，F分别是AC，DC的中点，，则BD的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
7．如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　 ）
A． B． C． D．
8．如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若，则四边形EFGH为矩形；
②若，则四边形EFGH为菱形；
③若AC与BD互相垂直且相等，则四边形EFGH是正方形；
④若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，D是内一点，，E、F、G、H分别是的中点，则四边形的周长是___________．
10．已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长为__．
11．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为_____．
12．如图，在矩形ABCD中，，，E是AD上一点，，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是______．
13．如图，点E在 ABCD外，连接BE，DE，延长AC交DE于F，F为DE的中点．
(1)求证：AF∥BE；
(2)若AD=2，∠ADC=60°，∠ACD=90°，AC=2CF，求BE．
14．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点，连接BO并延长至D使OD=OB，连AD、CD．
(1)求证：四边形ABCD为矩形；
(2)若∠AOB＝60°，E为BC的中点，连OE，OE=2．求对角线的长及矩形的面积．
15．如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，连接EFGH．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)请再添加一个条件，使得四边形EFGH是矩形，（写出添加的条件即可，不用写证明过程）．
16．如图，点D是ABC内一点，点E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果∠BDC＝90°，∠DBC＝30°，，AD＝6，求四边形EFGH的周长．
17．如图，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）请在图中用一把无刻度的直尺画出边的中点（保留画图痕迹，无需证明过程）；
（3）若，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．
①若点为直线上的一点，当运动时间为何值时，以、、、构成的四边形可以是菱形？
②在点运动过程中，直接写出点到四边形相邻两边距离相等时的值．
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