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重难点01讲 圆幂定理（2种题型）
1.识别几何模型。
2.利用“圆幂定理”模型解决问题
一、相交弦定理
二、切割线定理
题型一：相交弦定理
一．选择题（共5小题）
1．如图：若弦BC经过圆O的半径OA的中点P，且PB＝3，PC＝4，则圆O的直径为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】本题可根据相交弦定理求解，延长AO交⊙O于D，可用半径表示出AP，DP的长，根据相交弦定理可得：AP PD＝BP PC，由此可求出⊙O的半径，进而可求出直径的长．
【解答】解：延长AO交⊙O于点D，
设⊙O的半径是x，
根据相交弦定理，得＝12，x＝4，
因此⊙O的直径是8．
故选：B．
【点评】注意延长半径构造相交弦，根据相交弦定理列方程求解．
2．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．4cm
【分析】利用垂径定理和相交弦定理求解．
【解答】解：利用垂径定理可知，DP＝CP＝3，
∵P是半径OB的中点．
∴AP＝3BP，AB＝4BP，
利用相交弦的定理可知：BP 3BP＝3×3，
解得BP＝，
即AB＝4．
故选：D．
【点评】本题的关键是利用垂径定理和相交弦定理求线段的长．
3．如图，⊙O中，弦AB和CD相交于P，CP＝2.5，PD＝6，AB＝8，那么以AP、PB的长为两根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣8x﹣15＝0 B．x2﹣8x+15＝0 C．x2+8x﹣15＝0 D．x2+8x+15＝0
【分析】如果设AP＝a，PB＝b；根据相交弦定理：AP×PB＝DP×PC；可知ab＝15，又根据a+b＝AB＝8；根据一元二次方程根与系数的关系，可判断谁是正确的．
【解答】解：设AP＝a，PB＝b；
则根据相交弦定理可得：AP×PB＝DP×PC，
∴ab＝15，
又知：a+b＝AB＝8；
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得方程为：
x2﹣8x+15＝0；
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是相交弦定理和一元二次方程根与系数的关系．
4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（　　）
A．4cm B．3cm C．5cm D．cm
【分析】首先根据相交弦定理得PA PB＝PC PD，得PD＝2．设DE＝x，再根据切割线定理得AE2＝ED EC，即
x（x+8）＝20，x＝2或x＝﹣10（负值舍去），则PE＝2+2＝4．
【解答】解：∵PA PB＝PC PD，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，
∴PD＝2；
设DE＝x，
∵AE2＝ED EC，
∴x（x+8）＝20，
∴x＝2或x＝﹣10（负值舍去），
∴PE＝2+2＝4．
故选：A．
【点评】此题综合运用了相交弦定理和切割线定理．
5．如图点P为弦AB上一点，连接OP，过P作PC⊥OP，PC交⊙O于点C，若AP＝4，PB＝2，则PC的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
【分析】延长CP交圆于D点．运用垂径定理和相交弦定理求解．
【解答】解：延长CP交圆于D点．
根据垂径定理，PC＝PD；
根据相交弦定理，PC PD＝PB PA＝2×4＝8．
∴PC2＝8，PC＝2．
故选：C．
【点评】根据PC⊥OP联想到垂径定理，所以作辅助线后求解．
二．填空题（共8小题）
6．已知如图，等腰△ABC内接于⊙O，∠B＝∠ACB＝30°，弦AD交BC于E，AE＝2，ED＝4，则⊙O的半径为　2　．
【分析】连接OA，OC，AO交BC于点F，根据已知和圆周角定理可证∠O＝2∠D＝60°，即证△OAC是等边三角形，可证△ABE≌△ACE，得到∠AEB＝∠AEC＝90°，由勾股定理和相交弦定理得BE CE＝（BF+EF）（BF﹣EF）＝BF2﹣EF2＝AB2﹣AF2﹣EF2＝AB2﹣AE2＝AB2﹣4＝8，即可求AB2＝12，半径等于2．
【解答】解：连接OA，OC，AO交BC于点F，则OA＝OC，∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
由圆周角定理知，∠O＝2∠D＝60°，
所以等腰△OAC是等边三角形，
有AB＝AC＝OA，
∵∠B＝∠C，
∴AE⊥BC
∵AB＝AC，AE＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△ACE，
∴BE＝CE，∠AEB＝∠AEC，
∵∠AEB+∠AEC＝180°，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴BF2＝AB2﹣AF2，AF2+EF2＝AE2，
由相交弦定理知，BE CE＝AE ED＝8，
而BE CE＝（BF+EF）（BF﹣EF）＝BF2﹣EF2＝AB2﹣AF2﹣EF2＝AB2﹣AE2＝AB2﹣4＝8，
∴AB2＝12，
∴半径等于2．
【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，相交弦定理求解．
7．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是　8　mm．
【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．
【解答】解：钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
则下面的距离就是2．
利用相交弦定理可得：2×8＝AB×AB，
解得AB＝8．
故答案为：8．
【点评】本题的关键是利用垂径定理和相交弦定理求线段的长．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，AB＝2，BC＝4，E是BC的中点，AE的延长线交⊙O于点F，则EF的长是　　．
【分析】由于E是BC中点，即BE＝CE＝AB＝2；在等腰Rt△ABE中，易求得斜边AE的长，根据相交弦定理即可求出EF的长．
【解答】解：∵E是BC的中点；
∴BE＝CE＝AB＝2；
在Rt△ABE中，AB＝BE＝2；
因此AE＝＝2；
∵AE EF＝BE CE＝4，AE＝2；
∴EF＝．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、相交弦定理等知识的应用．
9．如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C，若AB＝8，BC＝1，则AM＝　6　．
【分析】根据相交弦定理可证AB BC＝EB BF＝（EM+MB）（MF﹣MB）＝AM2﹣MB2＝8，又由直径对的圆周角是直角，用勾股定理即可求解AM＝6．
【解答】解：作过点M、B的直径EF，交圆于点E、F，
则EM＝MA＝MF，
由相交弦定理知，AB BC＝EB BF＝（EM+MB）（MF﹣MB）＝AM2﹣MB2＝8，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AMB＝90°，
由勾股定理得，AM2+MB2＝AB2＝64，
∴AM＝6．
【点评】本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解．
10．善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB⊥弦CD于E），设AE＝x，BE＝y，他用含x，y的式子表示图中的弦CD的长度，通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式　x+y≥2　．
【分析】此题中隐含的不等关系：直径是圆中最长的弦，所以AB≥CD．
首先可以表示出AB＝x+y，再根据相交弦定理的推论和垂径定理，得CD＝2CE＝2．
【解答】解：根据相交弦定理的推论，得CE2＝AE BE，则CE＝．
根据垂径定理，得CD＝2CE，
即（CD）2＝xy，
∴CD＝2CE＝2．
又AB＝x+y，且AB≥CD，得x+y≥2．
【点评】本题考查：直径是圆中最长的弦；相交弦定理的推论以及垂径定理的综合应用．
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长是　4　．
【分析】根据相交弦定理及垂径定理求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，
∴CG＝GD，CF＝FG＝CG，
∵CF＝2，∴CG＝GD＝2×2＝4，FD＝2+4＝6，
由相交弦定理得EF AF＝CF FD（这里利用相似三角形的性质证明），
即EF＝＝＝4，
故EF的长是4．
【点评】此题很简单，解答此题的关键是熟知相交弦定理及垂径定理．
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
12．已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝　15　．
【分析】根据相交弦定理求DT；根据切割线定理和勾股定理列方程求解．
【解答】解：根据相交弦定理得DT CD＝AD BD，DT＝9．
设PB＝x．根据切割线定理和勾股定理得：
PT2＝PD2﹣DT2＝PB PA，
即（x+6）2﹣81＝x（x+9），
解得x＝15，即PB＝15．
【点评】此题综合运用了相交弦定理、切割线定理和勾股定理．
13．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为，则O点到BE的距离OM＝　　．
【分析】作OM⊥BE于M，连接OE，BD，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得BD是直径．根据勾股定理及相交弦定理求得BE，EF的值，从而得到BF的值，利用垂径定理求得MF，ME，最后根据勾股定理即可求得OM的值．
【解答】解：作OM⊥BE于M，连接OE，BD，
∵∠DCB＝90°，
∴BD是直径，
∵OE＝DE＝1，
∴BE＝＝，
∵EF＝＝，
∴BF＝，
∴MF＝，ME＝，
∴OM＝＝．
【点评】此题综合运用了勾股定理、相交弦定理、垂径定理．
三．解答题（共2小题）
14．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E点，若CD＝10，DE＝2，求AB的长．
【分析】根据垂径定理可知，AE＝BE，再根据相交弦定理可求得AE的长，从而求出AB的长．
【解答】解：CD＝10，DE＝2
∴CE＝8
根据相交弦定理得DE×CE＝AE2解得AE＝4
根据垂径定理得AB＝8．
【点评】本题主要考查了垂径定理和相交弦定理．
15．如图，⊙O的直径AB＝10，弦DE⊥AB于点H，AH＝2．
（1）求DE的长；
（2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，若PC＝2，求PD的长．
【分析】（1）根据垂径定理和相交弦定理求解；
（2）根据切割线定理进行计算．
【解答】解：（1）∵直径AB＝10，弦DE⊥AB于点H，
∴DH＝EH，
∴DH EH＝AH BH＝16，
∴DH＝4，
∴DE＝8；
（2）∵PC切⊙O于点C，
∴PC2＝PD PE，
∵PC＝2，
∴PD＝2，或PD＝﹣10（舍去），
∴PD＝2．
【点评】此题主要考查相交弦定理和切割线定理的运用．
题型二、切割线定理
一．选择题（共5小题）
1．已知：如图⊙O的割线PAB交⊙O于点A，B，PA＝7cm，AB＝5cm，PO＝10cm，则⊙O的半径是（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
【分析】延长PO交圆于D，由已知可求得PB的长，再根据割线定理即可求得半径的长．
【解答】解：延长PO交圆于D，
∵PA＝7cm，AB＝5cm，
∴PB＝12cm；
设圆的半径是x，
∵PA PB＝PC PD，
∴（10﹣x）（10+x）＝84，
∴x＝4．
故选：A．
【点评】根据割线定理列方程求解．
2．如图：PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA PB＝30，PC＝3，则CD的长为（　　）
A．10 B．7 C． D．3
【分析】根据割线定理得PA PB＝PC PD，从而可求得PD的长，进而可得到CD的长．
【解答】解：∵PA PB＝PC PD，PA PB＝30，PC＝3，
∴PD＝＝10，
∴CD＝10﹣3＝7．
故选：B．
【点评】考查了割线定理的运用．
3．如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB＝2cm，BC＝8cm，则PA的长等于（　　）
A．4cm B．16cm C．20cm D．2cm
【分析】根据已知得到PC的长，再根据切割线定理即可求得PA的长．
【解答】解：∵PB＝2cm，BC＝8cm，
∴PC＝10cm，
∵PA2＝PB PC＝20，
∴PA＝2，
故选：D．
【点评】此题主要是运用了切割线定理．注意：切线长的平方应是PB和PC的乘积．
4．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据切线长定理得AE＝AC，根据勾股定理得AB的长，从而得到BE的长，再利用切割线定理得BE2＝BD BC，从而可求得BD的长，也就得到了半径的长．
【解答】解：∵AE＝AC＝5，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝13，
∴BE＝8；
∵BE2＝BD BC，
∴BD＝，
∴CD＝，
∴圆的半径是，
故选：A．
【点评】此题综合运用了切线长定理、勾股定理和切割线定理．
5．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线．若PA＝8cm，PB＝4cm，则⊙O的直径为（　　）
A．6cm B．8cm C．12cm D．16cm
【分析】根据切割线定理得PA2＝PB PC从而可求得PC的长，也就不难求得AB的长．
【解答】解：∵PA2＝PB PC，PA＝8cm，PB＝4cm，
∴PC＝16cm，
∴BC＝12cm．
故选：C．
【点评】此题主要是运用了切线长定理，注意最后要求的是圆的直径．
二．填空题（共3小题）
6．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，若PB＝BC＝2，则PA＝　　．
【分析】首先根据切割线定理得到PA2＝PB PC，利用等式即可求出PA．
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，
∴PA2＝PB PC，
而PB＝BC＝2，
∴PA2＝2×4＝8，
∴PA＝．
故填空答案：．
【点评】本题主要考查了切割线定理，正确利用定理是解决本题的关键．
7．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则AD＝　　．
【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据切割线定理解答．
【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5；
∵BC2＝BD BA，
∴42＝BD 5，
∴BD＝，
∴AD＝AB﹣BD＝5﹣＝．
【点评】此题主要考查切割线定理的运用．
8．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点P，则AP＝　　．
【分析】先求出AB的长，再根据割线定理列出等式求解即可．
【解答】解：Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝，BC＝1，
∴AB＝＝，
设AC交圆于M，延长AC交圆于N，
则AM＝AC﹣CM＝﹣1 AN＝+1
根据AM AN＝AP AB得，
（﹣1）（+1）＝AP×，
解得AP＝．
【点评】本题主要考查了圆的割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA PB＝PC PD．
三．解答题（共4小题）
9．如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于D点，弦DE∥CB，Q是AB上一动点，CA＝1，CD是⊙O半径的倍．
（1）求⊙O的半径R；
（2）当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积．
【分析】（1）根据切割线定理即可列方程求解；
（2）据弦DE∥CB，可以连接OD，OE，则阴影部分的面积就转化为扇形ODE的面积．所以阴影部分的面积不变．只需根据直角三角形的边求得角的度数即可．
【解答】解：（1）连OD，OE；根据题意，得CD＝R，
由切割线定理，得CD2＝CA CB，3R2＝1+2R，解得：R＝1或R＝﹣（负数舍去）．
即⊙O的半径R为1；
（2）当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积不发生变化．
连接OD、OE；
∵DE∥CB，
∴S△ODE＝S△QDE；
∴S阴影＝S扇形ODE；
∵CD切⊙O于D点，
∴DO⊥CD，
∴∠CDO＝90°，
∵＝，
∴∠DCO＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴∠ODE＝60°，
∴△ODE是等边三角形；
∴S阴影＝S扇形ODE＝．
【点评】熟练运用切割线定理，能够把不规则图形的面积进行转换是解题的关键．
10．如图，⊙O的直径AB＝10，弦DE⊥AB于点H，AH＝2．
（1）求DE的长；
（2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，若PC＝2，求PD的长．
【分析】（1）根据垂径定理和相交弦定理求解；
（2）根据切割线定理进行计算．
【解答】解：（1）∵直径AB＝10，弦DE⊥AB于点H，
∴DH＝EH，
∴DH EH＝AH BH＝16，
∴DH＝4，
∴DE＝8；
（2）∵PC切⊙O于点C，
∴PC2＝PD PE，
∵PC＝2，
∴PD＝2，或PD＝﹣10（舍去），
∴PD＝2．
【点评】此题主要考查相交弦定理和切割线定理的运用．
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90度．BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P，K两点，作MT⊥BC于T．
（1）求证：AK＝MT；
（2）求证：AD⊥BC；
（3）当AK＝BD时，求证：．
【分析】（1）用角平分线的性质，圆的半径相等解题；
（2）根据图中相等角，找互余关系的角，从而推出垂直关系．
（3）连接PN，MK，根据已知证明△ABD≌△CMT再根据边之间的转化即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵BM平分∠ABC，∠BAC＝90°，MT⊥BC，
∴AM＝MT．
又∵AM＝AK，
∴AK＝MT．
（2）∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM．
∵AM＝AN，
∴∠AMN＝∠ANM．
又∵∠ANM＝∠BND，
∴∠AMN＝∠BND．
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABM+∠AMB＝90°．
∴∠CBM+∠BND＝90°．
∴∠BDN＝90°．
∴AD⊥BC．
（3）连接PN、KM
∵BNM和BPK为⊙A的割线，
∴BN BM＝BP BK．
∴．
∵AK＝BD，AK＝MT，
∴BD＝MT．
∵AD⊥BC，MT⊥BC，
∴∠ADB＝∠MTC＝90°．
∴∠C+∠CMT＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°．
∴∠ABC＝∠CMT．
在△ABD和△CMT中，，
∴△ABD≌△CMT．
∴AB＝MC．
∵AK＝AM，
∴AB+AK＝MC+AM．
即BK＝AC．
∴．
【点评】本题考查了角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，圆的割线定理，全等三角形的判定，综合性强．
12．如图，AB是⊙O的直径，CB、CE分别切⊙O于点B、D，CE与BA的延长线交于点E，连接OC、OD．
（1）△OBC与△ODC是否全等？　是　（填“是”或“否”）；
（2）已知DE＝a，AE＝b，BC＝c，请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算⊙O半径r的一种方案：
①你选用的已知数是　a、b、c，或其中2个　；
②写出求解过程．（结果用字母表示）
【分析】（1）由切线和切线长定理可知，∠ODC＝∠OBC＝90°，OD＝OB，OC＝OC从而得到△OBC≌△ODC（HL）；
（2）可选择a，b，c或其中的两个．求由勾股定理求解或切割线定理求解．
【解答】解：（1）△OBC与△ODC全等．
证明：∵CD、CB是⊙O的切线
∴∠ODC＝∠OBC＝90°
∵OD＝OB，OC＝OC
∴△OBC≌△ODC（HL）；
（2）①选择a、b、c，或其中2个；
②若选择a、b：由切割线定理：a2＝b（b+2r），得r＝
若选择a、b、c：
方法一：在Rt△EBC中，由勾股定理：（b+2r）2+c2＝（a+c）2，得r＝
方法二：Rt△ODE∽Rt△CBE，，得r＝
方法三：连接AD，可证：AD∥OC，，得r＝
若选择a、c：需综合运用以上的多种方法，得r＝
若选择b、c，则有关系式2r3+br2﹣bc2＝0．
【点评】本题考查了切线的概念，切线长定理，勾股定理及全等三角形的判定等知识点的综合运用．
一．选择题（共2小题）
1．（2022秋 武汉期中）如图，已知AB是⊙O的一条弦，直径CD与弦AB交于点E，且BE＝3AE，已知DE＝8，CE＝2，则点O到AB的距离为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】作OH⊥AB于H，由相交弦定理可求AE的长，再由垂径定理可求EH的长，最后由勾股定理即可求解．
【解答】解：作OH⊥AB于H，
∵AE BE＝CE DE，BE＝3AE，
∴3AE2＝8×2＝16，
∴AE＝，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH，
∵BE＝3AE，
∴AB＝4AE，
∴AH＝2AE＝，
∴EH＝AH﹣AE＝，
∵DE＝8，CE＝2，
∴OC＝5，
∴OE＝OC﹣CE＝3，
∴OH＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理，相交弦定理，勾股定理，关键是作OH⊥AB于H，构造直角三角形，以便应用勾股定理解决问题．
2．（2021 涟源市三模）如图，⊙O上经过点A的切线交直径CB的延长线于点P，且∠C＝30°，⊙O的半径为2，则下列结论错误的是（　　）
A．的长为 B．△ABP为等腰三角形
C．B为OP中点 D．∠P＝30°
【分析】连接OA，证出△OAB是等边三角形，得出∠OAB＝∠OBA＝60°，AB＝OB，由切线的性质得出∠OAP＝90°，由等腰三角形的性质及弧长公式可得出答案．
【解答】解：连接OA，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝60°，AB＝OB，
∵AP是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP＝90°，
∴∠BAP＝30°，
∴∠P＝60°﹣∠BAP＝30°，
∴AB＝BP，
∴OB＝BP，
即B为OP的中点．
故选项B，C，D正确，
∵⊙O的半径为2，
∴．
故A选项不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
二．解答题（共2小题）
3．（2020 青秀区校级三模）如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O，交AB于点D，连接CD，OD，已知∠A+∠1＝90°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可得到∠1＝2∠B，则利用∠A+∠1＝90°和三角形内角和得到∠ACB＝90°，然后根据切线的性质可判断AC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中利用互余得到∠A＝60°，再根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系，在Rt△ACD中可计算出AC＝2AD＝8，在Rt△ABC中可计算出BC＝CA＝8，从而得到⊙O的半径．
【解答】（1）证明：∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠1＝∠B+∠ODB＝2∠B，
∵∠A+∠1＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵AC为⊙O半径，
∴AC是O的切线；
（2）解：在RtΔ△ABC中，∵∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
在Rt△ACD中，AC＝2AD＝8，
在Rt△ABC中，
BC＝AC＝8，
∴⊙O的半径为4．
【点评】本题考查了切线的判定，解题关键是判定经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，熟记含30°角的直角三角形三边的关系．
4．（2023 郸城县一模）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点C，D是线段AB同侧两点，且∠ACB＝∠ADB．
求证：点A，B，C，D四点共圆．
证明：作△ABC的外接圆⊙O，假设点D在⊙O外或在⊙O内．
如图2，若点D在⊙O外．设AD与⊙O交于点E，连接BE，
则∠ACB＝∠AEB（依据一），
又∵∠AEB＝∠ADB+∠DBE（依据二），
∴∠ACB＝∠ADB+∠DBE．
∴∠ACB＞∠ADB．这与已知条件“∠ACB＝∠ADB”矛盾，故点D在⊙O外不成立；
如图3，若点D在⊙O内，……
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作△ABC的外接圆⊙O，点D在⊙O上，即点A，B，C，D四点共圆．
（1）填空：将材料中依据一、依据二补充完整；
依据一：　同弧所对的圆周角相等　；
依据二：　三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和　．
（2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（3）填空：如图4，在四边形ABCD中，∠ABD＝∠ACD，对角线AC，BD交于点E，E为AC中点，若BD＝6，BE＝4，则AC＝　4　．
【分析】（1）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论；
（2）作△ABC的外接圆⊙O，假设点D在⊙O外或在⊙O内．由反证法、圆周角定理以及三角形的外角性质即可得出结论；
（3）证点A，B，C，D四点共圆，再由相交弦定理得AE CE＝BE DE，然后由E为AC中点，得AE＝CE＝AC，即可解决问题．
【解答】解：（1）依据一：同弧所对的圆周角相等；
依据二：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）如图3，若点D在⊙O内，延长AD与⊙O交于点E，连接BE，
则∠ACB＝∠AEB，
又∵∠ADB＝∠ADB+∠DBE，
∴∠ACB＝∠AEB+∠DBE．
∴∠ACB＜∠ADB．
这与已知条件“∠ACB＝∠ADB”矛盾，故点D在⊙O内不成立；
（3）∵∠ABD＝∠ACD，
∴点A，B，C，D四点共圆，
∴AE CE＝BE DE，
∵E为AC中点，
∴AE＝CE＝AC，
∵BD＝6，BE＝4，
∴DE＝BD﹣BE＝2，
∴AC AC＝4×2，
解得：AC＝4（负值已舍去），
故答案为：4．
【点评】本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆、反证法、圆周角定理、相交弦定理以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和反证法，证明四点共圆是解题的关键，属于中考常考题型．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)重难点01讲 圆幂定理（2种题型）
1.识别几何模型。
2.利用“圆幂定理”模型解决问题
一、相交弦定理
二、切割线定理
题型一：相交弦定理
一．选择题（共5小题）
1．如图：若弦BC经过圆O的半径OA的中点P，且PB＝3，PC＝4，则圆O的直径为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．4cm
3．如图，⊙O中，弦AB和CD相交于P，CP＝2.5，PD＝6，AB＝8，那么以AP、PB的长为两根的一元二次方程是（　　）
A．x2﹣8x﹣15＝0 B．x2﹣8x+15＝0 C．x2+8x﹣15＝0 D．x2+8x+15＝0
4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA＝4cm，PB＝3cm，PC＝6cm，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，若AE＝cm，则PE的长为（　　）
A．4cm B．3cm C．5cm D．cm
5．如图点P为弦AB上一点，连接OP，过P作PC⊥OP，PC交⊙O于点C，若AP＝4，PB＝2，则PC的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
二．填空题（共8小题）
6．已知如图，等腰△ABC内接于⊙O，∠B＝∠ACB＝30°，弦AD交BC于E，AE＝2，ED＝4，则⊙O的半径为　 　．
7．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是　 　mm．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，AB＝2，BC＝4，E是BC的中点，AE的延长线交⊙O于点F，则EF的长是　 　．
9．如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C，若AB＝8，BC＝1，则AM＝　　．
10．善于归纳和总结的小明发现，“数形结合”是初中数学的基本思想方法，被广泛地应用在数学学习和解决问题中．用数量关系描述图形性质和用图形描述数量关系，往往会有新的发现．小明在研究垂直于直径的弦的性质过程中（如图，直径AB⊥弦CD于E），设AE＝x，BE＝y，他用含x，y的式子表示图中的弦CD的长度，通过比较运动的弦CD和与之垂直的直径AB的大小关系，发现了一个关于正数x，y的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式　 　．
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长是　　．
12．已知：如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A，B两点且与直径CT交于点D，CD＝2，AD＝3，BD＝6，则PB＝　　．
13．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，如果⊙O的半径为，则O点到BE的距离OM＝　　．
三．解答题（共2小题）
14．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E点，若CD＝10，DE＝2，求AB的长．
15．如图，⊙O的直径AB＝10，弦DE⊥AB于点H，AH＝2．
（1）求DE的长；
（2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，若PC＝2，求PD的长．
题型二、切割线定理
一．选择题（共5小题）
1．已知：如图⊙O的割线PAB交⊙O于点A，B，PA＝7cm，AB＝5cm，PO＝10cm，则⊙O的半径是（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
2．如图：PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA PB＝30，PC＝3，则CD的长为（　　）
A．10 B．7 C． D．3
3．如图，已知PA是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B、C两点，PB＝2cm，BC＝8cm，则PA的长等于（　　）
A．4cm B．16cm C．20cm D．2cm
4．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线．若PA＝8cm，PB＝4cm，则⊙O的直径为（　　）
A．6cm B．8cm C．12cm D．16cm
二．填空题（共3小题）
6．如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，若PB＝BC＝2，则PA＝　　．
7．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，则AD＝　　．
8．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点P，则AP＝　　．
三．解答题（共4小题）
9．如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于D点，弦DE∥CB，Q是AB上一动点，CA＝1，CD是⊙O半径的倍．
（1）求⊙O的半径R；
（2）当Q从A向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积．
10．如图，⊙O的直径AB＝10，弦DE⊥AB于点H，AH＝2．
（1）求DE的长；
（2）延长ED到P，过P作⊙O的切线，切点为C，若PC＝2，求PD的长．
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90度．BM平分∠ABC交AC于M，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P，K两点，作MT⊥BC于T．
（1）求证：AK＝MT；
（2）求证：AD⊥BC；
（3）当AK＝BD时，求证：．
12．如图，AB是⊙O的直径，CB、CE分别切⊙O于点B、D，CE与BA的延长线交于点E，连接OC、OD．
（1）△OBC与△ODC是否全等？　　（填“是”或“否”）；
（2）已知DE＝a，AE＝b，BC＝c，请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算⊙O半径r的一种方案：
①你选用的已知数是　 　；
②写出求解过程．（结果用字母表示）
一．选择题（共2小题）
1．（2022秋 武汉期中）如图，已知AB是⊙O的一条弦，直径CD与弦AB交于点E，且BE＝3AE，已知DE＝8，CE＝2，则点O到AB的距离为（　　）
A． B． C．2 D．
2．（2021 涟源市三模）如图，⊙O上经过点A的切线交直径CB的延长线于点P，且∠C＝30°，⊙O的半径为2，则下列结论错误的是（　　）
A．的长为 B．△ABP为等腰三角形
C．B为OP中点 D．∠P＝30°
二．解答题（共2小题）
3．（2020 青秀区校级三模）如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O，交AB于点D，连接CD，OD，已知∠A+∠1＝90°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙O的半径．
4．（2023 郸城县一模）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点C，D是线段AB同侧两点，且∠ACB＝∠ADB．
求证：点A，B，C，D四点共圆．
证明：作△ABC的外接圆⊙O，假设点D在⊙O外或在⊙O内．
如图2，若点D在⊙O外．设AD与⊙O交于点E，连接BE，
则∠ACB＝∠AEB（依据一），
又∵∠AEB＝∠ADB+∠DBE（依据二），
∴∠ACB＝∠ADB+∠DBE．
∴∠ACB＞∠ADB．这与已知条件“∠ACB＝∠ADB”矛盾，故点D在⊙O外不成立；
如图3，若点D在⊙O内，……
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作△ABC的外接圆⊙O，点D在⊙O上，即点A，B，C，D四点共圆．
（1）填空：将材料中依据一、依据二补充完整；
依据一：　同弧所对的圆周角相等　；
依据二：　三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和　．
（2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（3）填空：如图4，在四边形ABCD中，∠ABD＝∠ACD，对角线AC，BD交于点E，E为AC中点，若BD＝6，BE＝4，则AC＝　4　．
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