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第12讲 弧长及扇形的面积（2种题型）
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程并会应用解决问题.
一．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
二．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
一．弧长的计算（共13小题）
1．（2023 南京一模）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为 （　　）
A． B．π C．2π D．3π
【分析】连接OD、OE，根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质求出∠DOE＝60°，再根据弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OD、OE，
∵∠A＝60°，
∴∠B+∠C＝120°，
∵OB＝OD，OE＝OC，
∴∠ODB＝∠B，∠OEC＝∠C，
∴∠BOD+∠EOC＝360°﹣120°×2＝120°，
∴∠DOE＝60°，
∴的长为：＝π，
故选：B．
【点评】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
2．（2022秋 常州期末）如图，同一个圆中的两条弦AB、CD相交于点E．若∠AEC＝120°，AC＝4，则与长度之和的最小值为（　　）
A．4π B．2π C． D．
【分析】如图，以AC为边作等边△ACH，则∠AHC＝60°，而∠AEC＝120°，则E在△ACH的外接圆P上运动，记AB，CD所在的圆为⊙O，连接OA，OB，OC，OD，证明∠AOD+∠BOC＝120°，再证明OA+OC≥AC，（当A，O，C三点共线时取等号），再利用弧长公式进行计算即可．
【解答】解：如图，以AC为边作等边△ACH，则∠AHC＝60°，而∠AEC＝120°，
则E在△ACH的外接圆P上运动，记AB，CD所在的圆为⊙O，连接OA，OB，OC，OD，
∴，，
∴∠AOD+∠BOC＝2（∠ACD+∠BAC）＝2（180°﹣∠AEC）＝2×60°＝120°，
结合三角形的三边关系可得：OA+OC≥AC，（当A，O，C三点共线时取等号），
当OA+OC＝AC时，⊙O半径最小，此时半径为，
∴此时与的和最小，
最小值为：．
故选：C．
【点评】本题考查弧长的计算，确定弧长和取最小值时圆心O的位置是解本题的关键．
3．（2023 苏州一模）半径是10cm，圆心角为120°的扇形弧长为 　　cm．（结果保留π）
【分析】直接利用弧长公式计算即可．
【解答】解：∵扇形的半径是10cm，圆心角为120°，
∴扇形弧长＝＝（cm）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解决问题的关键．
4．（2023 泗洪县二模）若扇形的圆心角为36°，半径为15，则该扇形的弧长为 　3π　．
【分析】直接利用弧长公式计算即可．
【解答】解：该扇形的弧长＝＝3π．
故答案为：3π．
【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝．
5．（2022秋 广陵区校级期末）如图，点C，D在⊙O上直径AB两侧的两点，∠ACD＝60°，AB＝8，则的长为 　　．
【分析】连接OD．根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ACD＝120°，那么∠BOD＝60°，代入弧长公式计算即可．
【解答】解：如图，连接OD．
∵∠ACD＝60°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝120°，
∴∠BOD＝60°，
∵AB＝8，
∴OA＝OB＝4，
∴的长为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ACD＝120°是解题的关键．
6．（2023 启东市三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，AC＝AD，若∠ABC＝130°，⊙O的半径为9，则劣弧的长为（　　）
A．4π B．8π C．9π D．18π
【分析】连接OD，OC．利用圆内接四边形的性质求出∠ADC，再求出圆心角∠DOC，利用弧长公式求解．
【解答】解：连接OD，OC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝130°，
∴∠ADC＝50°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC＝50°，
∴∠DAC＝80°，
∴∠DOC＝2∠DAC＝160°，
∴的长＝＝8π．
故选：B．
【点评】本题考查弧长公式，圆内接四边形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是求出圆心角，记住弧长公式．
7．（2023 苏州一模）如图，正方形ABCD的边长是1，延长AB到E，以A为圆心，AE为半径的弧恰好经过正方形的顶点C，则的长为 　　．

【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，求出∠EAC，再根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：连接AC，
由勾股定理得：AC＝＝，
∵AB是小正方形的对角线，
∴∠EAC＝45°，
∴的长度是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质和弧长计算等知识点，注意：一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是．
8．（2023 宝应县校级三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则的长为 　　．
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，求出∠EAF，再根据弧长公式求出答案即可．
【解答】解：如图，连接AC，
则AC＝＝，
∴弧长＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质和弧长计算等知识点，注意：一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是．
9．（2023 海陵区一模）如图，⊙O的直径为10，点P是弦AB所对优弧上一动点，连接AP、BP，作AH⊥BP，垂足为H．
（1）若∠P＝45°，求AB的长及的长；
（2）若AB＝5，求点H到AP的距离的最大值．
【分析】（1）连接OA，OB，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠AOB＝90°，然后利用勾股定理及扇形弧长面积公式即可求得答案；
（2）结合已知条件易得△AOB是等边三角形，则∠AOB＝90°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠P＝30°，再由三角函数可得AH＝AP，PH＝AP，设点H到AP的距离为h，利用等面积法可得h＝AP，那么当AP为直径时，h最大，从而得出答案．
【解答】
（1）如图，连接OA，OB，
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝OB＝5，
∵∠P＝45°，
∴∠AOB＝2∠P＝90°，
∴AB＝＝5，的长为：＝π；
（2）∵AB＝OA＝OB＝5，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠P＝∠AOB＝30°，
∵AH⊥BP，
∴AH＝AP，PH＝AP，
设点H到AP的距离为h，
则AH PH＝AP h，
那么h＝AP，
若要h最大，那么AP最大即可，
故当AP为直径时h最大，即h最大值为×10＝，
即点H到AP的距离的最大值为．
【点评】本题主要考查与圆有关的性质及与圆有关的计算，（1）中圆周角定理及弧长公式是重要知识点，必须熟练掌握；（2）中利用等面积法得出点H到AP的距离与AP的数量关系是解题的关键．
10．（2022秋 如皋市期末）如图，CE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，垂足为点D，连AB，AC，AE．
（1）求证：∠ACB＝∠E；
（2）若∠ACB＝30°，AC＝3，求的长．
【分析】（1）根据垂径定理得到＝，则根据等弧所对的圆周角相等得到∠ACB＝∠E；
（2）先利用（1）的结论得到∠E＝30°，再根据圆周角定理得到∠AOC＝60°，则可判断△OAC为等边三角形，所以OA＝AC＝3，然后根据弧长公式求解．
【解答】（1）证明：∵OA⊥弦BC，
∴＝，
∴∠ACB＝∠E；
（2）解：∵∠E＝∠ACB＝30°，
∴∠AOC＝2∠E＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴OA＝AC＝3，
∴的长为＝π．
【点评】本题考查了弧长的计算：记住弧长公式是解决问题的关键（弧长公式为l＝，其中弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了垂径定理和圆周角定理．
11．（2023 建湖县三模）如图，弧AB与∠ACB的一边CB切于点B，与另一边CA交于点A，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝，则弧AB的长是 　π　．（结果保留π）．
【分析】设所在圆的圆心为O点，连接OB、OA，过O点作OD⊥AC于D点，设⊙O的半径为r，根据切线的性质得到OB⊥BC，再证明四边形OBCD为矩形的∠BOD＝90°，OD＝BC＝5 ，CD＝OB＝r，接着在Rt△OAD中利用勾股定理得到（r﹣5）2+（5）2＝r2，解方程求出r，得AD＝5，OA＝10，然后利用正弦的定义求出∠AOD＝30°，所以∠AOB＝60°，最后利用弧长公式求出即可．
【解答】解：设所在圆的圆心为O点，连接OB、OA，过O点作OD⊥AC于D点，如图，设⊙O的半径为r，
∵BC与⊙O相切，
∴OB⊥BC，
∵∠OBA＝∠ODA＝90°，∠ACB＝90°
∴四边形OBCD为矩形，
∴∠BOD＝90°，OD＝BC＝5 ，CD＝OB＝r，
∴AD＝r﹣5，
在Rt△OAD中，（r﹣5）2+（5 ）2＝r2，
解得：r＝10，
AD＝10﹣5＝5，OA＝10，
∴AD＝OA，
∴∠AOD＝30°，
∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，
∴的长＝＝π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了弧长公式和直角三角形的性质，能求出∠AOB的度数是解此题的关键．
12．（2023 淮阴区一模）半径为3，圆心角为30°的扇形的弧长为 　　．
【分析】根据弧长的计算公式即可得到结论．
【解答】解：弧长l＝＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了扇形的弧长的计算，熟记弧长的计算公式是解题的关键．
13．（2023 兴化市一模）75°的圆心角所对的弧长是π，则此弧所在圆的半径为　6　．
【分析】利用弧长公式求解即可．
【解答】解：设扇形的半径为r．
则有＝π，
解得r＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式：l＝．
二．扇形面积的计算（共14小题）
14．（2023 天宁区校级一模）已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm，则这个扇形的面积是 　2π　cm2．
【分析】根据扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：扇形的面积＝＝2πcm2．
故答案是：2π．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键．
15．（2023 鼓楼区校级三模）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为 　2　．
【分析】根据扇形的面积公式S扇形＝lR进行计算即可．
【解答】解：∵S扇形＝lR，即4＝l×4，
∴l＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握S扇形＝lR是正确解答的前提．
16．（2023 连云港二模）如图所示，将扇形OAB沿OA方向平移得对应扇形CDE，线段CE交弧AB点F，当OC＝CF时平移停止．若∠O＝60°，OB＝3，则两个扇形重叠部分的面积为 　　．
【分析】连接OF，过点C作CH⊥OF，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出，根据三角函数求出，根据S阴＝S扇形AOF﹣S△COF求出结果即可．
【解答】解：如图所示，连接OF，过点C作CH⊥OF，
由平移性质知，CE∥OB，
∴∠CFO＝∠BOF，
∵CO＝CF，
∴∠COF＝∠CFO，
∴，
在等腰△OCF中，，
∴CH＝OH tan30°＝×＝，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线求出，．
17．（2023 大丰区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是 　　．
【分析】连接OD、BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：连接OD、BC，
∵CD⊥AB，OC＝OD，
∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，
∵OC∥DB，
∴∠COB＝∠OBD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴OD＝DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝60°，
∵DM＝CM，
∴S△OBC＝S△OBD，
∵OC∥DB，
∴S△OBD＝S△CBD，
∴S△OBC＝S△CBD，
∴图中阴影部分的面积＝扇形COB的面积＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，正确添加辅助线是解题的关键．
18．（2022秋 连云港期末）一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（　　）
A．260° B．240° C．140° D．120°
【分析】设这个扇形的圆心角是n°，根据，求出这个扇形的圆心角为多少即可．
【解答】解：设这个扇形的圆心角是n°，
由题意得，
∴n＝240，
∴这个扇形的圆心角为240度．
故选：B．
【点评】此题主要考查了扇形的面积的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：设圆心角是n°，圆的半径为r的扇形面积为S，则．
19．（2023 锡山区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接OD，BC，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM＝CM，∠COB＝∠BOD，推出△BOD是等边三角形，得到∠BOC＝60°，根据扇形的面积公式即可求得圆的半径，然后根据弧长公式求得即可．
【解答】解：连接OD，BC．
∵CD⊥AB，OC＝OD，
∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，
∵OC∥BD，
∴∠COB＝∠OBD，
∴∠BOD＝∠OBD，
∴OD＝DB，
∴△BOD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵OC∥DB，
∴S△OBD＝S△CBD，
∴图中阴影部分的面积＝＝2π，
∴OC＝2或﹣2（舍去），
∴的长＝＝π，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，弧长的计算，圆周角定理，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
20．（2023 连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（　　）
A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20
【分析】根据进行的性质可求出BD，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆进行计算即可．
【解答】解：如图，连接BD，则BD过点O，
在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5，
∴BD2＝AB2+AD2＝41，
S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆
＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2
＝+20﹣
＝20，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
21．（2022秋 苏州期末）如图，C为⊙O上一点，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠ABC＝30°，现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到△A'BC'，BC'交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接OC，OD，根据∠ABC＝30°及旋转，得到∠ABC＝∠CBC'＝30°，∠DOB＝60°，从而得到△BOD是等边三角形，结合AB是⊙O的直径，即可得到∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，从而得到△AOC是等边三角形，即可得到OD⊥BC，∠BOC＝120°，根据扇形面积公式及三角形面积公式即可得到答案．
【解答】解：连接OC，OD，过O作OE⊥BD，
∵AB是⊙O的直径，∠ABC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∵△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到ΔA'BC'，
∴∠ABC＝∠CBC'＝30°，
∴∠DOB＝60°，△BOD是等边三角形，
∴∠BOC＝120°，OD⊥BC，
∴Rt△OCF≌Rt△DBF（HL），
∴阴影部分的面积为：S扇COD＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，扇形面积公式，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，利用扇形面积减三角形面积求得阴影部分面积．
22．（2023 启东市三模）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 　　．
【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．
【解答】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠ADB＝∠BDC＝60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB＝2，
∴△ABD的高为＝，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠DBE+∠DBF＝60°，∠ABE+∠DBE＝60°，
∴∠ABE＝∠DBF，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
∵∠A＝∠DBH，AB＝BD，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD＝﹣×2×＝﹣．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD的面积等于△ABD的面积是解题关键．
23．（2023 工业园区校级二模）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是 　﹣　．
【分析】由翻折的性质得到CA＝CO，而OA＝OC，得到△OAC是等边三角形，求出扇形OAC的面积，△AOC的面积，即可求出阴影的面积．
【解答】解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形AOB中，OA＝2，
∴OC＝OA＝2，
∵点A与圆心O重合，
∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，
∴OC＝AC，
∴OA＝OC＝AC＝2，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵CD⊥OA，
∴CD＝＝，
∴阴影部分的面积为：﹣×2×＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查扇形面积的计算、翻折变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（2023 如皋市一模）如图，⊙O的直径AB＝8，C为⊙O上一点，在AB的延长线上取一点P，连接PC交⊙O于点D，PO＝4，∠OPC＝30°．
（1）求CD的长；
（2）计算图中阴影部分的面积．
【分析】（1）作OE⊥CD于点E，连接OC，OD，根据垂径定理得CE＝DE，再根据PO＝4，∠OPC＝30°，得OE＝2，再根据勾股定理计算即可；
（2）根据阴影部分的面积为扇形COD的面积减去△COD的面积即可．
【解答】解：（1）作OE⊥CD于点E，连接OC，OD，
∴CE＝DE，
∵PO＝4，∠OPC＝30°，
∴OE＝PO＝2，
∵直径AB＝8，
∴OD＝4，
∴DE＝＝＝2，
∴CD＝2DE＝4；
（2）∵OD＝2DE，
∴∠DOE＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴阴影部分的面积为﹣×4×2＝﹣4．
【点评】本题考查了垂径定理，扇形面积的计算，含30°的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式．
25．（2022秋 南京期末）如图，用长度均为12m的两根绳子分别围成矩形ABCD和扇形OEF，设AB的长为xm，半径OE为Rm，矩形和扇形的面积分别为S1m2，S2m2．
（1）BC的长为 　（6﹣x）　m，的长为 　（12﹣2R）　m；（用含x或R的代数式表示）
（2）求S1，S2的最大值，并比较大小．
【分析】（1）根据长方形周长公式和扇形周长的定义可求BC，的长；
（2）根据长方形面积公式，扇形的面积公式，结合完全平方公式可求S1，S2的最大值，再进行比较即可求解．
【解答】解（1）BC的长为12÷2﹣x＝（6﹣x）m，
的长为（12﹣2R）m．
故答案为：（6﹣x），（12﹣2R）；
（2）S1＝x（6﹣x）＝﹣（x﹣3） 2+9，
∵﹣1＜0，
∴当x＝3时，S1有最大值9．
S2＝（12﹣2R）R＝﹣（R﹣3） 2+9，
∵﹣1＜0，
∴当R＝3时，S2有最大值9．
∴S1的最大值＝S2的最大值．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，弧长的计算，关键是熟练掌握长方形周长公式和扇形周长的定义，长方形面积公式，扇形的面积公式．
26．（2023 清江浦区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AC＝4，求阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD、CD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD＝∠ODC，根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，推出△ACD是直角三角形，根据直角三角形的性质得到EC＝ED，求得∠ECD＝∠EDC于是得到结论；
（2）由（1）已证：∠ODF＝90°，根据直角三角形内角和得到∠DOF＝60°，求得∠F＝30°，解直角三角形得到根据扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD、CD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
又∵点E是斜边AC的中点，
∴EC＝ED，
∴∠ECD＝∠EDC
又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90度，
∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）解：由（1）已证：∠ODF＝90°，
∵∠B＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠F＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝4，
∴BC＝＝＝4，
∴，
在Rt△ODF中，，
∴阴影部分的面积为：＝．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，切线的判定，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
27．（2023 邗江区二模）如图，已知⊙O的半径为3，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以B的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是 　π﹣　．
【分析】连接AC、BC，如图，先判断△ACB为等边三角形，则∠BAC＝60°，由于S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，所以图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O，然后利用扇形的面积公式、等边三角形的面积公式和圆的面积公式计算．
【解答】解：连接BC，如图，
由作法可知AC＝BC＝AB＝3，
∴△ACB为等边三角形
∴∠BAC＝60°，
∴S弓形BC＝S扇形BAC﹣S△ABC，
∴图中阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O
＝4（S扇形BAC﹣S△ABC）+2S△ABC﹣S⊙O
＝4S扇形BAC﹣2S△ABC﹣S⊙O
＝4×﹣2×3××3﹣π×（）2
＝π﹣．
故答案为：π﹣．
【点评】本题考查了扇形的面积和三角形的面积计算等知识点，明确阴影部分的面积＝4S弓形BC+2S△ABC﹣S⊙O是解此题的关键．
一、单选题
1．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，A，B，C，D为上的点，且直线与夹角为．若，，的长分别为，和，则的半径是（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】延长，与直线交于E，连接，设弧长为所对的圆周角为，根据题意得出，，利用三角形内角和定理求得，即可求得弧长为所对的圆心角为，代入弧长公式即可求得的半径．
【详解】解：延长，与直线交于E，连接，
，，的长分别为，和，
的长为，的长为，
设弧长为所对的圆周角为，则，，
，，
，
，
弧长为所对的圆心角为，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了弧长的计算，三角形内角和定理，求得弧长为所对的圆心角是解题的关键．
2．（2023·江苏南通·统考三模）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为9，则劣弧的长为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接；由圆内接四边形性质可得的度数，再由及三角形内角和定理可求得的度数，由圆周角定理可得的度数，最后由弧长公式即可求得结果．
【详解】解：连接，如图；
∵四边形是圆内接四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，等腰三角形性质，弧长公式等知识，综合运用这些知识是关键．
3．（2022秋·江苏淮安·九年级统考阶段练习）如图，矩形中，，F是中点，以点A为圆心，为半径作弧交于点E，以点B为圆心，为半径作弧交于点G，则图中阴影部分面积的差为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】根据图形可以求得的长，然后根据图形即可求得的值．
【详解】解：∵在矩形中，，F是中点，
∴，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
4．（2023·江苏苏州·统考二模）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，、两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，先证是等边三角形，求出，再利用扇形面积公式分别求出和，即可得出结果．
【详解】解：如图，连接，

由题意，，
是等边三角形，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查扇形面积计算、等边三角形的性质，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键．
5．（2023·江苏南京·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是，与x轴相切．点A，B在上，它们的横坐标分别是0，9．若沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，过点作轴于点，轴于点，求出的坐标，当点B第一次落在x轴上时，点移动的距离为的长，进而得到此时点的坐标，根据旋转过程中的长度不变，确定的位置，再进行求解即可．
【详解】解：连接，过点作轴于点，轴于点，

∵
∴，
∵与x轴相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点的横坐标为：，，
∴在平行于轴的直线上，即：，
∴，
∴的长为，
当点B第一次落在x轴上时，点移动的距离为的长，
∴此时点的坐标为：，
∵沿着x轴向右作无滑动的滚动，的长度保持不变，
∴点位置转动到如图所示的位置：

∵，
∴，
∴，即：，
故选B．
【点睛】本题考查坐标与图形，切线的性质，求弧长，勾股定理．解题的关键是确定点B第一次落在x轴上时，点和点的位置．
6．（2023·江苏南京·校考二模）如图，是⊙的直径，弦于点，若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂径定理得到， ，，再利用三角函数求出，即可利用弧长公式计算解答．
【详解】如图：连接，

是的直径，弦于点，，
， ，，
，
，
的长的长，
故选：B．
【点睛】此题考查垂径定理，解直角三角形，弧长公式，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
7．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弧的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点O作，连接，根据题中条件可得，，即可得到弧长弧长，用弧长公式求解即可．
【详解】解：过点O作，连接，如图所示，

∵将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴弧长2弧长，
∵，
∴，
∵，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的几何问题，涉及到圆的性质、弧长公式等，正确作出辅助线是关键．
8．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点E．若，，则与长度之和的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，以为边作等边，则，而，则E在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，，证明，再证明，（当，，三点共线时取等号），再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图，以为边作等边，则，而，
则E在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，，
∴，，
∴
，
∵结合三角形的三边关系可得：，（当，，三点共线时取等号），
当时，半径最小，此时半径为，
∴此时与的和最小，最小值为：．
故选C．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的三边关系的应用，三角形外接圆的含义，圆周角定理的应用，弧长的计算，确定弧长和取最小值时圆心O的位置是解本题的关键．
9．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，菱形的边长为，，点为边的中点．点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点．当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】D
【分析】如图，连接、、，设、交于点，交于点，连接，设中点为，连接、，根据菱形及等边三角形得性质可得，，可得出，可得必经过点，根据，可得点在以为直径的圆上，根据、的速度及菱形性质可得当点达到点时，点达到点，，可得点点运动路径长是的长，利用勾股定理可求出的长，根据圆周角定理可得，利用弧长公式即可得答案．
【详解】如图，连接、、，设、交于点，交于点，连接，设中点为，连接、，
∵菱形的边长为，，
∴，是等边三角形，
∵点为边的中点，
∴，，，
∵点的速度为每秒个单位，点的速度为每秒个单位，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴必经过点，
∵，，
∴点在以为直径的圆上，且、、、四点共圆，
∵当点达到点时，点达到点，，
∴点点运动路径长是的长，
∵，，
∴，
∴，即点点运动路径长是．
故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理及弧长公式，正确得出点的运动轨迹是解题关键．
10．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设弧和弧的交点为E,连接作.先求出，再求出，即可得到.再根据即可得到空白的面积.再根据即可得到得到阴影的面积，再用即可得到空白的面积，最后用即可得到图中空白两部分的面积之差.
【详解】设弧和弧的交点为E,连接则是等边三角形
作，则


故选：D
【点睛】本题主要考查了圆中求不规则图形的面积，熟练掌握扇形的面积公式及拱形面积的计算方法是解题的关键
二、填空题
11．（2023·江苏淮安·统考二模）已知圆锥侧面展开图的半径为，圆心角为，则该圆锥的侧面积为______．（结果保留）
【答案】
【分析】根据扇形面积的计算方法即可求解．
【详解】解：根据题意得，图的半径为，圆心角为，
∴圆锥的侧面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查扇形的面积的计算方法，掌握扇形面积的计算是解题的关键．
12．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为，则它的母线长为___________．
【答案】12
【分析】圆锥的底面周长即为侧面展开后扇形的弧长，已知扇形的圆心角，所求圆锥的母线即为扇形的半径，利用扇形的弧长公式求解．
【详解】解：∵圆锥的底面半径是4，
∴圆锥的底面圆周长为，
∴侧面展开后所得的扇形的弧长是，
∵侧面展开后所得的扇形的圆心角为
∴侧面展开后所得的扇形的半径为：
∵圆锥的母线就是侧面展开后所得的扇形的半径，
∴圆锥的母线长度为12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了求圆锥的母线长．关键是体现两个转化，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．
13．（2017秋·江苏南京·九年级统考期中）已知扇形的圆心角为120°，弧长为，则它的半径为______．
【答案】3
【分析】根据弧长计算进行求解即可．
【详解】解：设扇形的半径为，
由题意得，，
解得，
∴扇形的半径为，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了求扇形半径，熟知弧长计算公式是解题的关键
14．（2022·江苏常州·校考二模）已知的对角线，将绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为_____．
【答案】
【分析】点D所转过的路径是一段圆心角为180°，半径为的弧，根据平行四边形的性质可得，根据弧长公式计算即可得答案．
【详解】∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵将绕其对称中心旋转，
∴点D所转过的路径是一段圆心角为180°，半径为的弧，
∴点所转过的路径长=，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质及弧长，熟练掌握弧长公式是解题关键．
15．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）一个扇形的弧长是，半径是，则这个扇形的圆心角是______．
【答案】
【分析】根据弧长公式计算即可求解．
【详解】根据弧长公式，
解得.
故答案为：150.
【点睛】本题考查了弧长的计算，解题的关键是熟记公式：弧长公式.
16．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为________．
【答案】2
【分析】先由扇形的面积公式求圆心角度数，然后再由弧长公式即可得出结论．
【详解】解：设扇形的圆心角为，由题意可得，
解得，
扇形的弧长为，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是扇形面积及弧长的计算，熟记扇形的面积和弧长公式是解答此题的关键．
17．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是______．

【答案】
【分析】连接，由翻折的性质及圆的性质可得是等边三角形，则扇形面积减去等边三角形的面积即为所求的阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接，设l交于点D，

由翻折的性质得：，，，
，
，
即是等边三角形，
，由勾股定理得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积等知识，得到等边三角形是解题的关键．
18．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为___________．
【答案】
【分析】根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而得出，再根据旋转可得旋转的圆心角为，半径，根据扇形面积的计算方法进行计算即可。
【详解】解：连接，如下图：
∵，
∴
∴，
又∵点为的中点，
∴，
弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，
由题意可得：，
∴，，
又∵，
∴，
∴
扫过的部分的面积就是，
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理及逆定理，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股定理的逆定理是正确解答的前提．
三、解答题
19．（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在中，弦与交于点，点为的中点，现有以下信息：

①为直径；②；③．
(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．
你选择的条件是______，结论是______（填写序号），请说明理由．
(2)在（1）的条件下，若的长为，求半径．
【答案】(1)①②；③；详见解析（答案不唯一，证明合理即可）
(2)
【分析】（1）任选其中两条作为已知条件，剩余一条作为结论，均为真命题，结合圆当中的基本性质和定理进行证明即可；
（2）结合条件可推出，从而结合弧长计算公式直接求解即可．
【详解】（1）证：如图所示，连接，
∵点为的中点，
∴，，
情况一：选择条件是①②，结论是③，是真命题；理由如下：
∵为直径，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴条件是①②，结论是③，该命题为真命题；
情况二：选择条件是①③，结论是②，是真命题；理由如下：
∵为直径，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴条件是①③，结论是②，该命题为真命题；
情况三：选择条件是②③，结论是①，是真命题；理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵是圆上的弦，
∴为直径，
∴条件是②③，结论是①，该命题为真命题；
故答案为：①②；③；（答案不唯一，证明合理即可）

（2）解：由（1）可知，，
如图所示，连接，则，
∵的长为，
∴，解得：，
∴的半径．

【点睛】本题考查圆的基本性质，圆周角定理，以及弧长计算等，理解直径所对的圆周角为直角及其推论，掌握弧长计算公式是解题关键．
20．（2023·江苏·模拟预测）如图，是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，点C是的中点，四边形是平行四边形．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径为1，求图中弧所围成的阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再由与圆相切证明四边形是矩形即可；
（2）可根据进行求解．
【详解】（1）证明：连接，
是⊙的直径，
点O在上，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
与⊙O相切于点D，
，
四边形是矩形，
，
是⊙O的半径，且，
是⊙O的切线．
（2）解：连接，则，
，
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查圆的切线的判定综合问题和求不规则图形的面积，解题的关键是证明直线与半径垂直，用割补法求不规则图形的面积，利用了平行四边形、矩形以及正方形的判定和性．
21．（2023·江苏连云港·校考二模）如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，过点作，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）通过证明得到，即可证得是的切线；
（2）先证明，得到，进而求出，得到，通过即可得到答案．
【详解】（1）证明：连结
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即
而点在上，
∴是的切线；
（2）解：如下图所示，连接
∵，
∴ ，
∴，
∴，
连结，，交于，则，
∴，
∴，而，
∴，
∵是中点，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆的性质，全等三角形的性质和平行直线的性质，解题的关键是数量掌握圆的相关知识．
22．（2022春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)画出向左平移5个单位长度后得到的，并写出点的坐标 　 　；
(2)画出将绕原点O顺时针旋转90°后的，并写出点C旋转到所经过的路径长为 　 　．
【答案】(1)见解析，；
(2)见解析，
【分析】（1）根据平移变换的定义作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据旋转变换的定义作出旋转后的对应点，再首尾顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，点的坐标为，
故答案为：；
（2）如图所示，即为所求，
∵，
∴点C旋转到所经过的路径长为，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查作图—平移变换和旋转变换，弧长，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义和性质．
23．（2023·江苏徐州·校考三模）如图，已知P是外一点．按要求完成下列问题：

(1)作图：(保留作图的痕迹)
①连接，与交与点A，延长，与交于点B；
②以点P为圆心，长为半径画弧，以点O为圆心，长为半径画弧；
③两弧相交于点C，连接，与交于点D，连接，．
(2)证明：为的切线；
(3)计算：利用直尺、三角尺或量角器测量相关数据，可计算出弧与弦所围“弓形”的面积为______．(结果保留根号或精确到)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意完成作图即可；
（2）先连接，得到是等腰三角形，点D是的中点，再利用等腰三角形“三线合一”证明即可；
（3）测量出圆的半径和扇形的圆心角，再根据面积公式计算即可；数据仅供参考，以实际测量为准．
【详解】（1）解：依题意画图如下：

（2）如下图：连接，依题意得：，；

∵，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴
∴点D是的中点，是中底边上的中线，
∴是中底边上的高，即，
∴，
∴为的切线；
（3）经测量得到，半径，(数据仅供参考，以实际测量为准)
过点O作于E，则由垂径定理可知，

∵，，
∴°，
∴，
∴
∴
弧与弦所围“弓形”的面积为：．
【点睛】本题考查用尺规作圆的切线的方法，圆切线的证明，弓形面积的求法等知识，根据题意正确作出图形是解题的关键．
24．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)的外接圆半径为______；内切圆的半径为______；
(2)将绕着点顺时针旋转后得到，请在图中画出，并求出线段旋转过程中所扫过的面积(结果保留)．
【答案】(1)；
(2)图见解析；扫过的面积：
【分析】（1）先根据各点坐标利用直角坐标系和勾股定理求三角形各边长度，然后根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半求得外接圆半径，利用直角三角形内切圆半径公式即可求解；
（2）利用网格特点和旋转的性质画图．根据扇形面积公式和三角形公式，通个面积的加减求得AC扫过部分面积即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
在中
，
∴的外接圆半径为
∴内切圆的半径为：，
故答案为；；
（2）如图，为所作图形；
∵为旋转所得，
∴，
∴ ，
则线段扫过的面积为：
，
即 ．
【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆、内切圆与圆心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个角；直角三角形的内切圆直径为两直角边和与斜边的差；也考查了旋转变换和与扇形有关的阴影面积，综合运用以上知识是解题的关键．
25．（2023·江苏南通·统考一模）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．

(1)求的度数；
(2)若，计算图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，由切线的性质得到，由切线长定理推出，求出，推出是等边三角形，即可得到的度数；
（2）由证明得到求出的长，即可求出的面积，求出扇形的面积，即可求出阴影的面积．
【详解】（1）解：如图，连接，

，是的切线，，为切点，
，
是等边三角形，
；
（2）如图，连接，

，，
，
，，
，
，
，
，
【点睛】本题考查切线的性质，扇形面积、三角形面积的计算，等边三角形的判定与性质，求出扇形和的面积是解答本题的关键．
一．选择题（共6小题）
1．（2022 费县一模）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为5cm，则图中弧CD的长为_______cm．（结果保留π）（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接OC，OD，求出圆心角∠COD的度数，然后根据弧长公式求出弧长即可．
【解答】解：连接OC，OD，
∵AC、BD分别与⊙O相切于点C、D，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
由四边形内角和为360°可得，
∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴π，
故选：A．
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
2．（2022 海曙区校级开学）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2．以点A为圆心，AB为半径作，向菱形内部作，使，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．3 C．2 D．
【分析】首先判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB＝BD＝2，然后根据S阴影＝S菱形﹣S扇形BAD﹣S弓形BEC求出阴影部分的面即可．
【解答】解：如图所示：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝2，
∴S阴影＝S菱形﹣S扇形BAD﹣S弓形BEC＝22（）．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质，扇形的面积的计算，明确S阴影＝S菱形﹣S扇形BAD﹣S弓形BEC是解题的关键．
3．（2022 上城区二模）已知半径为6的扇形的面积为12π，则扇形的弧长为（　　）
A．4 B．2 C．4π D．2π
【分析】根据扇形面积的计算公式即可求出答案．
【解答】解：设扇形的弧长为l，由扇形面积公式可得，
12π，
解得l＝4π，
故选：C．
【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知B（2，0），四边形ABCD和AEFG都是正方形，点A、D、E共线，点G、A、B在x轴上，点C，E，F在以O为圆心OC为半径的圆上，则的长为（　　）
A． B． C． D．5π
【分析】设点A（a，0），则AB＝2﹣a，根据正方形的性质可得BC＝AB＝2﹣a，根据勾股定理在Rt△OBC中，可得OC2＝OB2+BC2＝22+（2﹣a）2＝8﹣4a+a2，由圆的性质可得OE＝OC，在Rt△OAE中，AE＝AG＝2a，根据勾股定理可得OE2＝OA2+AE2，即可算出a的值，即可算出OC的长度，可证明△OBC≌△EGO中，可得∠COB+∠FOG＝90°，即∠FOC＝90°，由弧长公式计算即可得出答案．
【解答】解：设点A（a，0），则AB＝2﹣a，
根据题意可得，
BC＝AB＝2﹣a，
在Rt△OBC中，
OC2＝OB2+BC2＝22+（2﹣a）2＝8﹣4a+a2，
∵OE＝OC，
在Rt△OAE中，AE＝AG＝2a，
∴OE2＝OA2+AE2，
∴8﹣4a+a2＝a2+（2a）2，
解得：a＝1，a＝﹣2（舍去），
∴点A（1，0），AB＝1，
∴OC，
在△OBC和△EGO中，
，
△OBC≌△EGO（SAS），
∴∠EOG＝∠OCB，
∵∠COB+∠OCB＝90°，
∴∠COB+∠FOG＝90°，
∴∠FOC＝90°，
∴弧FC的长．
故选：A．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，坐标与图形的性质，正方形的性质，熟练掌握弧长的计算，坐标与图形的性质，正方形的性质进行求解是解决本题的关键．
5．（2022 蓬安县模拟）如图，在半径为4的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是AB上一动点，点D是OC的中点，连结AD并延长交OB于点E，则图中阴影部分面积的最小值为（　　）
A．4π﹣4 B．4π C．2π﹣4 D．2π
【分析】根据题意和图形，可以画出相应的辅助线，OA＝4，∠AOE＝90°，则当OE取得最大值时，阴影部分的面积取得最小值，则当AE和半径为2的小圆O相切时，OE最大，然后计算即可．
【解答】解：∵点D是OC的中点，OC＝4，
∴OD＝2，OA＝4，
∴点D在以点O为圆心2为半径的圆弧上，
∴当AE′与小圆O相切时，OE′最大，此时OC′与小圆O交于点D′，
∵OA＝4，∠AOE＝90°，
∴当OE最大时，阴影部分取得最小值，
∵∠AD′O＝90°，OD′＝2，OA＝4，
∴OA＝2OD′，
∴∠OAD′＝30°，
∴tan∠OAE′，
即tan30°，
解得OE′，
∴图中阴影部分面积的最小值为：4π，
故选：B．
【点评】本题考查扇形面积的计算、解直角三角形，解答本题的关键是分析出何时阴影部分面积最小．
6．（2022 达拉特旗一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为2，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（　　）
A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．4π﹣3
【分析】连接AD，OE，先通过直径所对是圆周角是直角，证出∠CDF＝∠DAC，从而得出∠BAC＝2∠DAC＝30°，再通过S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE计算即可．
【解答】解：连接AD，OE，作OH⊥AE于H，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠CDF＝∠DAC，
∵∠CDF＝15°，
∴∠DAC＝15°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠DAC＝30°，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA＝30°，
∴∠AOE＝120°，
在Rt△AOH中，OA＝2，
∴OHOA，AH＝cos30°×OA＝3，
∴AE＝2AH＝6，
∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE 64π﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及扇形的面积计算等知识，求出扇形的圆心角度数是解决问题的关键．
二．填空题（共8小题）
7．（2022 呼兰区一模）一个扇形的面积为3π，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为 　3　cm．
【分析】应用扇形面积计算公式S，进行计算即可得出答案．
【解答】解：设扇形的半径为r，
S，
3πr，
解得：r＝3．
故答案为3．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式进行求解是解决本题的关键．
8．（2022 南平模拟）在半径为3的圆中，圆心角为20°的扇形面积是 　　．
【分析】应用扇形面积计算公式进行计算即可得出答案．
【解答】解：S．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
9．（2022 虎丘区校级模拟）如图，等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2．分别以点 B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点 D、E、F，则图中阴影部分的面积为 　1　．
【分析】先根据等腰直角三角形的性质计算出AB，AC的长，再计算出△ABC的面积，根据∠B+∠C＝90°，两个扇形的半径相等，即可算出扇形的面积，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，计算即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝90°，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴AB，
∴S△ABC1，
∵∠A+∠C＝90°，BE＝CE，
∴S扇，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇＝1．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算及根据题意应用面积差求阴影部分的方法进行求解是解决本题的关键．
10．（2022 莆田模拟）如图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为 　　（结果保留π）．
【分析】由平行线的性质可得，∠1＝∠2，因为两个扇形的半径相等，即可算出两个扇形的圆心角的和为∠1+∠3＝90°，根据扇形面积计算公式即可得出答案．
【解答】解：如图，
根据平行线的性质可得，
∠1＝∠2，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴S．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
11．（2022春 南岗区校级月考）已知扇形的弧长为4π，直径为16，则此扇形的圆心角为 　90°　．
【分析】设此扇形的圆心角为x°，代入弧长公式计算，得到答案．
【解答】解：设此扇形的圆心角为x°，
由题意得，4π，
解得，x＝90，
故答案为：90°．
【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式l是解题的关键．
12．（2022 福州模拟）在半径为6的圆中，150°的圆心角所对的弧长是 　5π　．
【分析】利用弧长公式计算即可．
【解答】解：弧长5π，
故答案为：5π．
【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l，属于中考常考题型．
13．（2022春 沭阳县期中）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以3cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 　9πcm2　．
【分析】根据题意和图形，可以发现阴影部分的面积之和等于以3cm为半径的圆的面积．
【解答】解：由图可得，
阴影部分所对的圆心角之和为360°，
∴图中阴影部分的面积之和为：π×32＝9π（cm2），
故答案为：9πcm2．
【点评】本题考查扇形面积的计算、多边形内角与外角，解答本题的关键是发现阴影部分的面积之和等于以3cm为半径的圆的面积．
14．（2022 九龙坡区模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AB，以点B为圆心，以OB的长为半径作弧，交弧AB于点C，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积为 　　．
【分析】利用扇形面积、三角形面积的计算方法，根据图形中各个部分面积之间的关系进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OC、BC，则△OBC是等边三角形，
∴S阴影部分＝S凸△OBC﹣S扇形OBD
＝2S扇形OBC﹣S△OBC﹣S扇形OBD
＝22
，
故答案为：．
【点评】本题考查圆周角定理、扇形面积的计算，掌握扇形面积、三角形面积的计算方法是正确解答的前提．
三．解答题（共6小题）
15．（2022春 长兴县月考）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧长和面积．
【分析】根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：扇形AOB的弧长4π（cm）；
扇形AOB的扇形面积12π（cm2）．
【点评】本题考查了考查了扇形的弧长和面积的计算，熟练掌握扇形的弧长和面积是解题的关键．
16．（2022 费县一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．
（1）求∠B的度数；
（2）若AB＝3，求的长．
【分析】（1）连接OC，根据平行线的性质和三角形外角定义求出∠COB，再利用等腰三角形的性质求出∠B即可；
（2）连接OE，根据圆周角定理求出∠COE的度数，然后根据弧长公式计算即可．
【解答】解：（1）连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AE⊥CD，
∴OC∥AE，
∴∠CAD＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠COB＝2∠CAD＝36°×2＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝（180°﹣∠COB）÷2＝（180°﹣72°）÷2＝54°；
（2）连接OE，
∵⊙O的直径AB＝3，
∴OA＝1.5，
∵∠COE＝2∠CAE＝2×36°＝72°，
∴π．
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键．
17．（2022 石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC为直径的⊙O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD．
（1）求∠AED的度数．
（2）求DB的长．
（3）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据圆周角定理和直角三角函数即可求得∠AED＝30°；
（2）解直角三角形求得AB＝8，进而即可求得DB＝6；
（3）利用S阴影＝S扇形OCD﹣S△OCD求得即可．
【解答】解：（1）∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∵AD＝2，AC＝4，
∴sin∠ACD，
∴∠ACD＝30°，
∴∠AED＝∠ACD＝30°；
（2）∵∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，
∴∠CAB＝60°，
在Rt△ABC中，cos∠CAB，即cos60°
∴AB＝8，
∴DB＝AB﹣AD＝8﹣2＝6；
（3）连接OD，
∵OC＝OD，∠ACD＝30°，
∴∠ODC＝∠ACD＝30°，
∴∠OCD＝120°，
∵AD＝2，AC＝4，
∴CD2，
∴S△OCDS△ACD，
∴S阴影＝S扇形OCD﹣S△OCDπ．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（2022春 亭湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
（1）若∠B＝28°，求的度数；
（2）若D是AB的中点，AB＝4，求阴影部分的面积；
（3）若，求AD AB的值．
【分析】（1）连接CD，如图，利用互余计算出∠BAC＝62°，然后计算出∠ACD的度数，则根据圆心角定理得到的度数；
（2）利用斜边上的中线性质得到CD＝AD＝BDAB＝2，再判断△ACD为等边三角形，则∠ACD＝60°，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积＝S扇形ACD﹣S△ACD进行计算；
（3）根据垂径定理得到AH＝DHAD，再根据相似三角形的性质得到AC2＝AH AB，然后把AC＝2代入计算可得到AD AB的值．
【解答】解：（1）连接CD，如图，
∵∠ACB＝90°，∠B＝28°，
∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝62°，
∴∠ACD＝180°﹣62°﹣62°＝56°，
∴的度数为56°；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，
∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CD＝AD＝BDAB＝2，
∵CD＝CA，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，CH＝CD sin60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形ACD﹣S△ACDπ；
（3）过点C作CH⊥AD于H，
∵∠ACB＝90°，CH⊥AB，
∴∠ACB＝∠AHC，
∵∠A＝∠A，
∴△ACH∽△ABC，
∴AC：AB＝AH：AC，
∴AC2＝AH AB，
即（2）2AD AB，
∴AD AB＝24．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为r的扇形面积为S，则S扇形πr2或S扇形lr（其中l为扇形的弧长）．也考查了垂径定理和相似三角形的性质．
19．（2021秋 船营区校级期末）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD、AD、OB、OC．已知∠ADB＝30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝8cm，求图中扇形BOC的面积（结果保留π）．
【分析】（1）先根据垂径定理得出BE＝CE，，再根据圆周角定理即可得出∠AOC的度数；
（2）先解直角三角形得出OC的长，再求出∠BOC的度数，再根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵BC⊥OA，
∴BE＝CE，，
∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB，
又∵∠ADB＝30°，
∴∠AOC＝60°．
（2）∵BC＝8cm，
∴CEBC＝4cm，
∵∠AOC＝60°，
∴sin60°，
∴OC8cm，
∵∠AOC＝∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴S扇形OBCπ（cm2）．
【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、扇形面积的计算、解直角三角形等知识，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解答此题的关键．
20．（2021秋 亭湖区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB＝2m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取π近似值为3，近似值为1.7）
【分析】（1）扇形AOB的面积减去△AOB的面积就是弧田的实际面积；
（2）先根据弧田面积（弦×矢+矢2）计算出弧田的面积，再与（1）中的结果相减，即可相差的值．
【解答】解：（1）∵OD⊥AB，OD为半径，
∴ACAB2（m），
∠AOC∠AOB120°＝60°，
在Rt△ACO中，∠OAC＝30°，
∴设OC＝x，则AO＝2x，
∴x2（2x）2，
解得：x＝1或﹣1（不符合题意，舍去），
∴OA＝2m，
∴弧田的实际面积＝S扇形AOB﹣S△OAB
21
＝（）m2，
∴弧田的实际面积为（）m2；
（2）∵圆心到弦的距离等于1，
∴矢长为1，
∴弧田面积（21+12）
＝（）m2，
∴两者之差为：（）
1.7﹣1.7
＝0.1（m2）．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，牢记扇形面积公式是解决问题的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第12讲 弧长及扇形的面积（2种题型）
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程并会应用解决问题.
一．弧长的计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．
二．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
一．弧长的计算（共13小题）
1．（2023 南京一模）如图，在△ABC中，以BC为直径的半圆分别与AB，AC交于点D，E．若BC＝6，∠A＝60°，则的长为 （　　）
A． B．π C．2π D．3π
2．（2022秋 常州期末）如图，同一个圆中的两条弦AB、CD相交于点E．若∠AEC＝120°，AC＝4，则与长度之和的最小值为（　　）
A．4π B．2π C． D．
3．（2023 苏州一模）半径是10cm，圆心角为120°的扇形弧长为 　 　cm．（结果保留π）
4．（2023 泗洪县二模）若扇形的圆心角为36°，半径为15，则该扇形的弧长为 　 　．
5．（2022秋 广陵区校级期末）如图，点C，D在⊙O上直径AB两侧的两点，∠ACD＝60°，AB＝8，则的长为 　 　．
6．（2023 启东市三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，AC＝AD，若∠ABC＝130°，⊙O的半径为9，则劣弧的长为（　　）
A．4π B．8π C．9π D．18π
7．（2023 苏州一模）如图，正方形ABCD的边长是1，延长AB到E，以A为圆心，AE为半径的弧恰好经过正方形的顶点C，则的长为 　 　．

8．（2023 宝应县校级三模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则的长为 　 　．
9．（2023 海陵区一模）如图，⊙O的直径为10，点P是弦AB所对优弧上一动点，连接AP、BP，作AH⊥BP，垂足为H．
（1）若∠P＝45°，求AB的长及的长；
（2）若AB＝5，求点H到AP的距离的最大值．
10．（2022秋 如皋市期末）如图，CE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，垂足为点D，连AB，AC，AE．
（1）求证：∠ACB＝∠E；
（2）若∠ACB＝30°，AC＝3，求的长．
11．（2023 建湖县三模）如图，弧AB与∠ACB的一边CB切于点B，与另一边CA交于点A，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝，则弧AB的长是 　 　．（结果保留π）．
12．（2023 淮阴区一模）半径为3，圆心角为30°的扇形的弧长为 　 　．
13．（2023 兴化市一模）75°的圆心角所对的弧长是π，则此弧所在圆的半径为　 　．
二．扇形面积的计算（共14小题）
14．（2023 天宁区校级一模）已知扇形的圆心角为80°，半径为3cm，则这个扇形的面积是 　 　cm2．
15．（2023 鼓楼区校级三模）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为 　 　．
16．（2023 连云港二模）如图所示，将扇形OAB沿OA方向平移得对应扇形CDE，线段CE交弧AB点F，当OC＝CF时平移停止．若∠O＝60°，OB＝3，则两个扇形重叠部分的面积为 　 　．
17．（2023 大丰区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是 　 　．
18．（2022秋 连云港期末）一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（　　）
A．260° B．240° C．140° D．120°
19．（2023 锡山区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M．连接OC，DB．如果OC∥DB，图中阴影部分的面积是2π，那么图中阴影部分的弧长是（　　）
A． B． C． D．
20．（2023 连云港）如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（　　）
A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20
21．（2022秋 苏州期末）如图，C为⊙O上一点，AB是⊙O的直径，AB＝4，∠ABC＝30°，现将△ABC绕点B按顺时针方向旋转30°后得到△A'BC'，BC'交⊙O于点D，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
22．（2023 启东市三模）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是 　 　．
23．（2023 工业园区校级二模）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是 　 　．
24．（2023 如皋市一模）如图，⊙O的直径AB＝8，C为⊙O上一点，在AB的延长线上取一点P，连接PC交⊙O于点D，PO＝4，∠OPC＝30°．
（1）求CD的长；
（2）计算图中阴影部分的面积．
25．（2022秋 南京期末）如图，用长度均为12m的两根绳子分别围成矩形ABCD和扇形OEF，设AB的长为xm，半径OE为Rm，矩形和扇形的面积分别为S1m2，S2m2．
（1）BC的长为 　 　m，的长为 　 　m；（用含x或R的代数式表示）
（2）求S1，S2的最大值，并比较大小．
26．（2023 清江浦区校级三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AC＝4，求阴影部分的面积．
27．（2023 邗江区二模）如图，已知⊙O的半径为3，AB是直径，分别以点A、B为圆心，以B的长为半径画弧．两弧相交于C、D两点，则图中阴影部分的面积是 　 　．
一、单选题
1．（2023秋·江苏南京·九年级统考期末）如图，A，B，C，D为上的点，且直线与夹角为．若，，的长分别为，和，则的半径是（ ）
A．4 B． C．5 D．
2．（2023·江苏南通·统考三模）如图，四边形是的内接四边形，连接，，若，的半径为9，则劣弧的长为（　　）

A． B． C． D．
3．（2022秋·江苏淮安·九年级统考阶段练习）如图，矩形中，，F是中点，以点A为圆心，为半径作弧交于点E，以点B为圆心，为半径作弧交于点G，则图中阴影部分面积的差为（ ）
A． B． C． D．6
4．（2023·江苏苏州·统考二模）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，、两点之间的距离为，圆心角为，则图中摆盘的面积是（ ）．

A． B． C． D．
5．（2023·江苏南京·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是，与x轴相切．点A，B在上，它们的横坐标分别是0，9．若沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·江苏南京·校考二模）如图，是⊙的直径，弦于点，若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
7．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弧的长是（ ）

A． B． C． D．
8．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，同一个圆中的两条弦、相交于点E．若，，则与长度之和的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，菱形的边长为，，点为边的中点．点从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，点同时从点出发，以每秒个单位的速度向点运动，连接，过点作于点．当点到达点时，点也停止运动，则点的运动路径长是（ ）
A． B．12 C． D．
10．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）如图，正方形的边，弧和弧都是以2为半径的圆弧，则图中空白两部分的面积之差是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·江苏淮安·统考二模）已知圆锥侧面展开图的半径为，圆心角为，则该圆锥的侧面积为______．（结果保留）
12．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为，则它的母线长为___________．
13．（2017秋·江苏南京·九年级统考期中）已知扇形的圆心角为120°，弧长为，则它的半径为______．
14．（2022·江苏常州·校考二模）已知的对角线，将绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为_____．
15．（2022秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）一个扇形的弧长是，半径是，则这个扇形的圆心角是______．
16．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）已知扇形的半径为4，面积为4，则该扇形的弧长为________．
17．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线与交于点C，连接．若，则图中阴影部分的面积是______．

18．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为___________．
三、解答题
19．（2023·江苏泰州·统考二模）如图，在中，弦与交于点，点为的中点，现有以下信息：

①为直径；②；③．
(1)从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题．
你选择的条件是______，结论是______（填写序号），请说明理由．
(2)在（1）的条件下，若的长为，求半径．
20．（2023·江苏·模拟预测）如图，是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，点C是的中点，四边形是平行四边形．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径为1，求图中弧所围成的阴影部分的面积．
21．（2023·江苏连云港·校考二模）如图，在中，，以为直径作，与交于点，与交于点，过点作，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
22．（2022春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：
(1)画出向左平移5个单位长度后得到的，并写出点的坐标 　 　；
(2)画出将绕原点O顺时针旋转90°后的，并写出点C旋转到所经过的路径长为 　 　．
23．（2023·江苏徐州·校考三模）如图，已知P是外一点．按要求完成下列问题：

(1)作图：(保留作图的痕迹)
①连接，与交与点A，延长，与交于点B；
②以点P为圆心，长为半径画弧，以点O为圆心，长为半径画弧；
③两弧相交于点C，连接，与交于点D，连接，．
(2)证明：为的切线；
(3)计算：利用直尺、三角尺或量角器测量相关数据，可计算出弧与弦所围“弓形”的面积为______．(结果保留根号或精确到)
24．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)的外接圆半径为______；内切圆的半径为______；
(2)将绕着点顺时针旋转后得到，请在图中画出，并求出线段旋转过程中所扫过的面积(结果保留)．
25．（2023·江苏南通·统考一模）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．

(1)求的度数；
(2)若，计算图中阴影部分的面积．
一．选择题（共6小题）
1．（2022 费县一模）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为5cm，则图中弧CD的长为_______cm．（结果保留π）（　　）
A． B． C． D．
2．（2022 海曙区校级开学）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2．以点A为圆心，AB为半径作，向菱形内部作，使，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．3 C．2 D．
3．（2022 上城区二模）已知半径为6的扇形的面积为12π，则扇形的弧长为（　　）
A．4 B．2 C．4π D．2π
4．如图，在平面直角坐标系中，已知B（2，0），四边形ABCD和AEFG都是正方形，点A、D、E共线，点G、A、B在x轴上，点C，E，F在以O为圆心OC为半径的圆上，则的长为（　　）
A． B． C． D．5π
5．（2022 蓬安县模拟）如图，在半径为4的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是AB上一动点，点D是OC的中点，连结AD并延长交OB于点E，则图中阴影部分面积的最小值为（　　）
A．4π﹣4 B．4π C．2π﹣4 D．2π
6．（2022 达拉特旗一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为2，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为（　　）
A．16π﹣12 B．16π﹣24 C．20π﹣12 D．4π﹣3
二．填空题（共8小题）
7．（2022 呼兰区一模）一个扇形的面积为3π，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为 　 　cm．
8．（2022 南平模拟）在半径为3的圆中，圆心角为20°的扇形面积是 　 　．
9．（2022 虎丘区校级模拟）如图，等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2．分别以点 B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、AC于点 D、E、F，则图中阴影部分的面积为 　 　．
10．（2022 莆田模拟）如图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为 　 　（结果保留π）．
11．（2022春 南岗区校级月考）已知扇形的弧长为4π，直径为16，则此扇形的圆心角为 　 　．
12．（2022 福州模拟）在半径为6的圆中，150°的圆心角所对的弧长是 　 　．
13．（2022春 沭阳县期中）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以3cm为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 　 　．
14．（2022 九龙坡区模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AB，以点B为圆心，以OB的长为半径作弧，交弧AB于点C，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积为 　 　．
三．解答题（共6小题）
15．（2022春 长兴县月考）如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为6cm．求扇形AOB的弧长和面积．
16．（2022 费县一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．
（1）求∠B的度数；
（2）若AB＝3，求的长．
17．（2022 石家庄模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，AC＝4，且BC＞AC，以边AC为直径的⊙O交斜边AB于D，AD＝2，点E为AC左侧半圆上一点，连接AE，DE，CD．
（1）求∠AED的度数．
（2）求DB的长．
（3）求图中阴影部分的面积．
18．（2022春 亭湖区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
（1）若∠B＝28°，求的度数；
（2）若D是AB的中点，AB＝4，求阴影部分的面积；
（3）若，求AD AB的值．
19．（2021秋 船营区校级期末）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD、AD、OB、OC．已知∠ADB＝30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝8cm，求图中扇形BOC的面积（结果保留π）．
20．（2021秋 亭湖区期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积的公式为：弧田面积（弦×矢+矢2）．如图，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角∠AOB为120°，弦长AB＝2m的弧田．
（1）计算弧田的实际面积；
（2）按照《九章算术》中弧田面积的公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（取π近似值为3，近似值为1.7）
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