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2025年数学小升初高频易错考点专题训练：立体图形
一、单选题
1．一个正方体的表面展开图如下图所示，那么原正方体中与“1”所在面相对的面所标的字是(　　)。
A．2 B．4 C．5 D．6
2． 用同样的小正方体拼成一个较大的正方体，至少需要（　　）个小正方体。
A．4 B．8 C．10
3．把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，削去部分是圆柱体的（　　）。
A． B． C．
4．下面哪个图，不能折成正方体。(　　)
A． B． C．
5．圆柱的任意一条高和底面上相对应的一条半径所组成的角是（　　）。
A．锐角 B．直角 C．钝角
6．图中呈现的是一瓶已经喝了一些的果汁和一个圆锥形玻璃杯，如果瓶中的果汁倒入这种圆锥形玻璃杯，最多可以倒满（　　）。（容器厚度忽略不计）
A．2杯 B．3杯 C．4杯 D．6杯
7．把一个圆柱制成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆柱体积的（　　）
A．3倍 B．2倍 C． D．
8．一个长方体火柴盒长5厘米、宽4厘米、高1.5厘米。做这样一个火柴盒外盒要用硬纸板多少平方厘米？列式为（　　）
A．5×4×2+4×1.5×2 B．（4×1.5+5×1.5）×2+5×4
C．5×4×2+5×1.5 D．（4+1.5）×2×5
9．一个圆柱的底面直径是10厘米，高是4分米，它的侧面积是（　　）平方厘米。
A．400 B．12.56 C．125.6 D．1256
10．一块长方体木料的长是5cm，宽是4cm，高是3cm。把它锯成一个最大的正方体后，剩下木料的体积（不计损耗）是（　　）cm3。
A．2 B．33 C．18 D．30
二、判断题
11．如果圆柱的底面半径扩大4倍，高不变，则它的体积扩大16倍。 （　　）
12．一个正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大6倍。
13．一个圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的体积就扩大到原来的9倍。
(　　)
14．表面积相等的两个圆柱，它们的体积一定相等。（　　）
15．一个正方体和一个圆柱体的底面积和高都相等，它们的体积也一定相等。（　　）
16．如果一个正方体的棱长扩大到原来的4倍，它的体积就扩大到原来的64倍。（　　）
三、填空题
17．该图　 　可以折叠成长方体
18．一个长方体，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，它的表面积是　 　平方厘米，体积是　 　立方厘米．
19．方方想把包好的粽子放进盒子里送给奶奶，她用厚卡纸制作了一个漂亮的正方体包装盒，这个包装盒的棱长为20cm。做一个这样的包装盒至少需要　 　cm2的厚卡纸，这个包装盒的容积是　 　cm3。（卡纸的厚度忽略不计）
20． 一个棱长6分米的正方体削成一个最大的圆柱体，这个圆柱的底面积是　 　平方分米，体积是　 　立方分米。
21．如图是一个正方体的展开图．写有数字“1”的面和写有　 　的面是相对的。
22．一顶帽子上面是圆柱形，用黄色布料做；帽檐部分是圆环，用紫色布料做（如下图）。制作这顶帽子至少需要　 　cm2的黄色布料。（单位：cm）
23．从一个长为8厘米、宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的体积是　 　立方厘米。
24．把体积是28.26m 圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是　 　m 。
25．要砌一条长6米，高2米，厚24厘米的墙，如果用长24厘米，宽12厘米，厚6厘米的砖来砌，至少需要　 　块。
26．直角三角形ABC，AC＝4厘米，AB＝5厘米，BC＝3厘米，如果以直角边为轴旋转一周得到一个　 　形，它的体积最大是　 　立方厘米．
四、计算题
27．求下面图形的表面积和体积：（注：圆锥只求体积）
（1）
（2）
五、解答题
28．在一个棱长为4厘米的正方体的上面、前面、右面的正中位置分别挖一个边长为1厘米的正方形小孔，并打通到对面。求打孔后剩下部分的体积。
29．“造纸术”是我国“四大发明”之一。《天工开物》中记载了造纸的具体流程：取材→蒸煮→入帘→压纸→烘干。
（1）在“入帘”环节要把煮烂的木浆倒入纸槽。一个从里面量长12 dm、宽10 dm、高5dm的长方体纸槽最多能容纳　 　L木浆。
（2）宣纸烘干后，为了在运输过程中宣纸不受损坏，工匠制作了专用的木箱来装宣纸。如果一个长方体木箱长6 dm、宽5dm、高6dm，那么制作这个木箱至少需要多少平方分米的木板？
30．一个圆柱形水桶的底面半径是4 cm。把一块铁块从水桶中取出后，水桶里的水面下降了1.5cm。这块铁块的体积是多少立方厘米？(铁块上的水忽略不计)
31．一圆锥形谷堆底部周长为9米，高为4米，经过一夜发现谷堆在重力作用下底部的周长变为12米。若谷堆的容量不变，那么此时谷堆的高为多少？
32．用12个棱长1cm的小正方体搭一个长方体，什么时候搭成的长方体表面积最小
（1）先列表试一试，算一算。
长/cm 12 　 　 　
宽/cm 1 　 　 　
高/cm 1 　 　 　
棱长之和/cm 56 　 　 　
表面积/cm2 50 　 　 　
（2）长方体在体积相等的情况下，什么时候表面积最小
（3）如果要包装24个小正方体，你会选择哪种外包装方案 为什么
六、解决问题
33．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长是4cm、宽是3cm、高是5cm。
（1）正方体的棱长是多少厘米？
（2）正方体的表面积是多少平方厘米？
（3）正方体的体积是多少立方厘米？
34．有一个长方体容器，底面长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米（最大面为底面），如果把这个容器盖紧（不漏水），再朝左竖起来（最小面为底面），里面的水深是多少厘米？
35．求圆锥的体积
七、图形计算
36．求图形旋转一周得到的立体图形的体积。
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：“1”与“5”相间，所以与“1”所在面相对的面所标的字是“5”，C选项正确；
故答案为：C。
【分析】根据正方体表面展开图相对面的性质：相间的两个正方形是相对面；观察展开图，“1”和“5”相间，所以“1”的相对面是“5”；“2”和“4”相间，是一组相对面；“3”和“6”相间，是一组相对面，由此可得出正确答案为C。
2．【答案】B
【解析】【解答】解：2×2×2=8（个），至少需要8个小正方体。
故答案为：B。
【分析】用同样大小的正方体拼成一个较大的正方体，每条棱上至少需要2个小正方体，所以拼成这个大正方体至少需要的小正方体是8个。
3．【答案】B
4．【答案】B
【解析】【解答】解：第二个图形不能折成正方体。
故答案为：B。
【分析】
5．【答案】B
【解析】【解答】解：圆柱的任意一条高和底面上相对应的一条半径所组成的角是直角。
故答案为：B。
【分析】圆柱两个底面之间的距离就是圆柱的高。圆柱的任意一条高都垂直与底面，当然也垂直于对应的半径。
6．【答案】D
【解析】【解答】解：3×2=6(杯)
故答案为：D。
【分析】果汁瓶的底面直径和圆锥形玻璃杯杯口的直径相等，瓶中果汁的高度是2h，圆锥形玻璃杯中能装饮料的高度为h；等底等高的情况下，圆柱的体积是圆锥体积的3倍；据此计算出可以倒的杯数。
7．【答案】C
【解析】【解答】解： 把一个圆柱制成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆柱体积的。
故答案为：C。
【分析】 把一个圆柱制成一个最大的圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的，则削去部分的体积是圆柱体积的。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：5×4×2＋5×1.5×2=（4＋1.5）×5×2。
故答案为：D。
【分析】做这样一个火柴盒外盒要用硬纸板的面积=长×宽×2＋长×高×2=（宽＋高） ×长×2。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：4分米=40厘米
3.14×10×40
=31.4×40
=1256（平方厘米）
故答案为：D。
【分析】圆柱的侧面积=底面周长×高；其中，底面周长=π×直径。
10．【答案】B
【解析】【解答】解：5×4×3-3×3×3
=20×3-9×3
=60-27
=33（立方厘米）
故答案为：B。
【分析】把长方体锯成一个最大的正方体，正方体的棱长与长方体长、宽、高中最小的数据相等； 剩下木料的体积=长方体的体积-正方体的体积；其中，长方体的体积=长×宽×高；正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
11．【答案】正确
【解析】【解答】解：如果圆柱的底面半径扩大4倍，高不变，则它的体积扩大4×4=16倍。
故答案为：正确。
【分析】圆柱的体积=πr2h，当底面半径扩大4倍，高不变时，现在圆柱的体积=π（r×4）2h=16πr2h=原来圆柱的体积×16。
12．【答案】错误
【解析】【解答】解：一个正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大9倍，原题说法错误。
故答案为：错误。
【分析】正方体的棱长扩大多少倍，正方体的表面积扩大棱长扩大倍数的平方倍.
13．【答案】正确
【解析】【解答】解：半径扩大到原来的3倍， 底面的面积扩大到原来的9倍，高不变，所以体积也扩大到原来的9倍。
故答案为：正确
【分析】圆锥体积公式为：其中，为底面半径，为高。代入变化后的半径计算新体积
当半径变为，高不变时，新体积为：因此，体积确实扩大到原来的9倍。
14．【答案】错误
【解析】【解答】解：表面积相等的两个圆柱，它们的体积不一定相等。原题说法错误。
故答案为：错误。
【分析】表面积相等的两个圆柱，圆柱的底面积和高都不一定相等，所以体积不一定相等。
15．【答案】正确
【解析】【解答】解：正方体是特殊的长方体，所以一个正方体和一个圆柱体的底面积和高都相等，它们的体积也一定相等。
故答案为：正确。
【分析】由于圆柱的体积计算公式，是把圆柱体切拼成近似的长方体，由长方体的体积公式推导出圆柱体的体积公式，都是体积=底面积×高，所以它们的体积也一定相等。
16．【答案】正确
【解析】【解答】解：4×4×4
=16×4
=64
故答案为：正确。
【分析】正方体的体积=棱长×棱长×棱长，正方体的棱长扩大到原来的4倍，它的体积就扩大到原来的64倍。
17．【答案】能
【解析】【分析】通过观察，符合长方体展开图
18．【答案】94；60
【解析】【解答】表面积：
(5×4+5×3+4×3)×2
=(20+15+12)×2
=47×2
=94（平方厘米）
体积：
5×4×3
=20×3
=60（立方厘米）
故答案为：94；60.
【分析】已知长方体的长、宽、高，求长方体的表面积，用公式：长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2，求长方体的体积，用公式：长方体的体积=长×宽×高，据此列式解答.
19．【答案】2400；8000
【解析】【解答】解：20×20×6
＝400×6
＝2400（cm2）
20×20×20
＝400×20
＝8000（cm3）。
故答案为：2400；8000。
【分析】做一个这样的包装盒至少需要厚卡纸的面积=正方体包装盒的棱长×棱长×6，这个包装盒的容积=棱长×棱长×棱长。
20．【答案】28.26；169.56
【解析】【解答】解： 正方体削成一个最大的圆柱体，圆柱的底面直径是6分米，高是6分米，
圆柱的底面半径：6÷2=3（分米）
底面积：3.14×3×3=28.26（平方分米）
体积：28.26×6=169.56（立方分米）
故答案为：28.26；169.56。
【分析】π×底面半径的平方=圆柱的底面积，圆柱的底面积×高=圆柱的体积。
21．【答案】字母“A”
【解析】【解答】解：3和“B”是相对的面，“2”和“C”是相对的面，那么“1”和“A”是相对的面。
故答案为：字母“A”。
【分析】以“A”为正方体的底面将其围成正方体，那么3和“B”是正方体左右的两个面，“2”和“C”是正方体前后的两个面，“1”是正方体上面的面，据此解答。
22．【答案】942
【解析】【解答】解：20÷2=10（厘米）
3.14×20×10＋3.14×102
=62.8×10＋3.14×100
=628＋314
=942（平方厘米）。
故答案为：942。
【分析】制作这顶帽子至少需要黄色布料的面积=圆柱的底面直径×π×高＋π×圆柱底面半径2。
23．【答案】120
【解析】【解答】解：（立方厘米）
故答案为：120。
【分析】最大的立方体棱长为6，用长方体体积减去正方体体积即可。
24．【答案】18.84
【解析】【解答】解：28.26×=18.84（m3）
故答案为：18.84。
【分析】把一格圆柱的体积削成最大的圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的，则削去部分的体积就是圆柱体积的，由此计算即可。
25．【答案】1667
【解析】【解答】解：24厘米=0.24米，12厘米=0.12米，6厘米=0.06米
6×2×0.24÷(0.24×0.12×0.06)
=2.88÷0.001728
≈1667(块)
故答案为：1667
【分析】用墙的体积除以一块砖的体积即可求出需要的块数，注意统一单位.
26．【答案】圆锥；50.24
【解析】【解答】解：以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥形，体积最大是：
3.14×4 ×3×
=3.14×16
=50.24（立方厘米）
故答案为：圆锥；50.24。
【分析】以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周会得到一个圆锥，圆锥的高是做轴的直角边，另一条直角边是底面半径，要使圆锥的体积最大，就要使底面积最大，所以底面半径是4厘米，高是3厘米时的体积是最大的。
27．【答案】（1）解：表面积：
32×3.14×2+3×2×3.14×4
=18×3.14+24×3.14
=42×3.14
=131.88（平方厘米）
体积：
32×3.14×4
=36×3.14
=113.04（立方厘米）
（2）解：体积：
（6÷2）2×3.14×6÷3
=18×3.14
=56.52（立方厘米）
【解析】【分析】（1）圆柱的表面积=底面积×2+侧面积，底面积=π×半径×半径，侧面积=π×直径×高；圆柱的体积=底面积×高；
（2）圆锥的体积=底面积×高÷3。
28．【答案】4×4×4-(1×1×4×3-1×1×2)= 54(立方厘米)
【解析】【分析】求部分体积问题，一般情况下是用总体积一部分体积=所求体积，有的时候体积有重叠，把重叠的部分减掉，即可求出正确的体积
29．【答案】（1）600
（2）解：（6×5+6×6+6×5）×2
=（30+36+30）×2
=96×2
= 192（dm3）
答：制作这个木箱至少需要192平方分米的木板。
【解析】【解答】解：（1）12×10×5
=120×5
=600（L）
故答案为：（1）600。
【分析】（1）长方体的容积=长×宽×高；
（2）长方体表面积＝（长×宽+长×高+宽×高）×2；代数据计算即可。
30．【答案】解：3.14×42×1.5
＝3.14×16×1.5
＝50.24×1.5
＝75.36（立方厘米）；
答：这块铁块的体积是75.36立方厘米。
【解析】【分析】圆柱的底面是圆形，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆柱的底面积；水桶里的水面下降了1.5cm，说明铁块的体积等于水面下降的体积，水面下降的体积等于圆柱的底面积乘水面下降的高度。
31．【答案】解：÷（）=81×4÷144=2.25米
答：高为2.25米
【解析】【分析】解：谷堆底部半径=，体积为
周长变为12米，半径=，体积为。
两式相除得到现在的高=81×4÷144=2.25米
圆锥体积公式=底面积×高，根据题意代入求解即可。
32．【答案】（1）解：
长/cm 12 6 4 3
宽/cm 1 2 3 2
高/cm 1 1 1 2
棱长之和/cm 56 36 32 28
表面积/cm2 50 40 38 32
（2）解：在长为3厘米，宽为2厘米，高为2厘米的时候表面积最小。
（3）解：如果要包装24个小正方体，我会选择排成长为4厘米，宽为3厘米，高为2厘米的长方体，因为这样排列表面积最小，最省包装纸，降低包装成本。
【解析】【分析】（1）长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；
（2）计算后比较大下可知：在长为3厘米，宽为2厘米，高为2厘米的时候表面积最小；
（3）选择包装的长方体的表面积越小，成本就越少。
33．【答案】（1）解：（4+3+5）×4
=12×4
=48（厘米）
48÷12=4（厘米）
答：正方体的棱长是4厘米。
（2）解：4×4×6=96（平方厘米）
答：正方体的表面积是96平方厘米。
（3）解：4×4×4=64（立方厘米）
答：正方体的体积是64立方厘米。
【解析】【分析】（1）（长+宽+高）×4=长方体的棱长和；长方体的棱长和=正方体的棱长和，正方体的棱长和÷12=正方体的棱长；
（2）正方体的棱长×棱长×6=正方体的表面积；
（3）正方体的棱长×棱长×棱长=正方体的体积。
34．【答案】解：（30×20×6）÷（20×10）
=3600÷200
=18（cm）
答：里面的水深是18厘米。
【解析】【分析】水的体积是不变的。先根据原来的放置方法用长乘宽乘水的深度求出水的体积，然后用水的体积除以竖起来后的底面积即可求出此时的水深。
35．【答案】解：（6÷2） ×3.14×8.5×
=9×3.14×8.5×
=28.26×8.5×
=240.21×
＝80.07（cm ）
答：体积是80.07cm 。
【解析】【分析】圆锥的体积=（底面直径÷2）2×π×h×，据此代入数值作答即可。
36．【答案】解：3.14×32×10-3.14×32×(10-7)×
=3.14×90-3.14×9
=3.14×81
=254.34(dm3)；
答：立体图形的体积是254.34dm3。
【解析】【分析】由题图可知，旋转一周得到的立体图形是一个底面半径为3dm、高为10dm的圆柱减去一个底面半径为3dm，高为10-7=3dm的圆锥，圆柱体积=πr2h，圆锥的体积=πr2h，据此求解。
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：136分
分值分布 客观题（占比） 56.0(41.2%)
主观题（占比） 80.0(58.8%)
题量分布 客观题（占比） 25(69.4%)
主观题（占比） 11(30.6%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 10(27.8%) 28.0(20.6%)
解答题 5(13.9%) 36.0(26.5%)
图形计算 1(2.8%) 5.0(3.7%)
计算题 1(2.8%) 10.0(7.4%)
解决问题 3(8.3%) 25.0(18.4%)
单选题 10(27.8%) 20.0(14.7%)
判断题 6(16.7%) 12.0(8.8%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (63.9%)
2 容易 (27.8%)
3 困难 (8.3%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 正方体的展开图 6.0(4.4%) 1,4,21
2 圆柱的侧面积、表面积 4.0(2.9%) 9,22
3 圆锥的特征 5.0(3.7%) 31
4 正方体的特征 2.0(1.5%) 2
5 正方体的体积 26.0(19.1%) 10,16,23,28,33
6 圆柱与圆锥体积的关系 8.0(5.9%) 3,6,7,24
7 长方体的表面积 27.0(19.9%) 8,18,29,32
8 长方体、正方体的容积 10.0(7.4%) 19,29
9 长方体的体积 15.0(11.0%) 10,18,23,25,34
10 圆锥的体积（容积） 31.0(22.8%) 13,26,27,31,35,36
11 正方体的表面积 6.0(4.4%) 12,19
12 圆柱的体积（容积） 30.0(22.1%) 11,14,15,20,27,30,36
13 长方体的展开图 2.0(1.5%) 17
14 圆柱的特征 2.0(1.5%) 5
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