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蔺阳中学高2023级高二下期末模拟考试
数学试题
数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置.
2.选择题答案使用铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效.
3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效.
第I卷（选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
2．若双曲线的离心率为，则该双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
3．已知随机变量，则（ ）
A． B． C．4 D．7
4．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
5. 袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（ ）
A. B. C. D.
6．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．10 B．9 C．6 D．3
7. 为了防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学试卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）
A. 150 B. 180 C. 200 D. 280
8．已知是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
多选题：本题共3.小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A．的坐标为 B．
C． D．
10．在正三棱柱中，D为BC中点，则（ ）
A． B．平面
C． D．平面
11. 已知是函数的极大值点，则（ ）
A．函数的极小值为0
B．若，则
C．若，则有3个相异的零点
D．若（其中），则
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 .
13. 的展开式中的常数项为 .
14. 已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本小题满分13分)已知数列满足，且.
（1）证明是等差数列，并求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和.
16.(本小题满分15分)某校为了了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图.若立定跳远成绩落在区间的左侧，则认为该学生属“成绩不达标”的学生，其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）：
（1）若该校高三某男生的跳远距离为，
试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？
（2）该校利用分层抽样的方法从样本区间，，中共抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在的人数为，求的分布列和数学期望.
17．(本小题满分15分)已知双曲线的左、右焦点分别为，，且点到的渐近线的距离为2．
（1）求的方程；
（2）记的左顶点为，过点的直线l与交于两点（异于点）．
证明：直线的斜率之积为定值.
18. (本小题满分17分) 正方体的棱长为4，
分别为中点，．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求三棱锥的体积．
(本小题满分17分)函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来定义如下：
设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的【图1】，区间为凹的区间；
设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，
则称在区间上的图形是凸的【图2】．区间为凸的区间；
关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：
设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么
①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；
②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有
其中是的导函数，为的一阶导数：是的导函数，为的二阶导数．
根据以上内容，完成如下问题：
（1）求函数的凹的区间和凸的区间；
（2）若在区间上图象是凹的，求实数的取值范围；
（3）证明：．
蔺阳中学高2023级高二下期末模拟考试
数学试题（解析）
数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置.
2.选择题答案使用铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效.
3.非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效.
第I卷（选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【详解】函数的导数为，所以曲线在处的切线斜率．
2．若双曲线的离心率为，则该双曲线的焦距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，,，得，故该双曲线的焦距为.
3．已知随机变量，则（ ）
A． B． C．4 D．7
【答案】D
【详解】因为，所以，则.
4．已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【详解】由题意可得，.
5. 袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】记第一次摸到白球为事件，第二次摸到黑球为事件，
则，，故．
6．已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．10 B．9 C．6 D．3
【答案】B
【详解】因为数列是各项都为正数的等比数列，则，
所以，，则，故.
7. 为了防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学试卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）
A. 150 B. 180 C. 200 D. 280
【答案】A
【详解】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．
若是1，1，3，则有种，
若是1，2，2，则有种，所以共有150种不同的方法．
8．已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得，即，令得，故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时.
多选题：本题共3.小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A．的坐标为 B．
C． D．
【答案】BD
【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误；
对于BC，由抛物线定义可得，所以，，解得，故B正确C错误；对于D，，故D正确.
10．在正三棱柱中，D为BC中点，则（ ）
A． B．平面
C． D．平面
【答案】BD
【详解】如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为，则，
对于A，，
则，
则不成立，故A错误；
对于BC，，
设平面的法向量为，则，得，令，则，所以，，
则平面，平面，故BD正确；
对于D，，则，显然不成立，故C错误；
11. 已知是函数的极大值点，则（ ）
A．函数的极小值为0
B．若，则
C．若，则有3个相异的零点
D．若（其中），则
【详解】对于A中，由函数，可得，因为是的极大值点，所以，解得，所以，
可得，当时，，单调递增；
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以函数的极大值点为，极小值点为0，所以A正确；
对于B中，当时，，则，因为在区间上单调递减，所以，所以B错误；对于C中，由，且当时，，
当时，，可得的图象，如图所示，
当时，有3个相异零点，所以C正确；
对于D中，因为，要证，只需证明，由在上单调递增，需证明，
即当时，证明，构造函数（其中），
则，
当时，，则在上单调递增，所以，即当时，，所以，所以，所以D正确．
第II卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 .
【答案】.
【详解】由题意，该组数据的平均数为，
所以该组数据的方差是.
13．的展开式中的常数项为______．
【答案】17
【详解】二项式展开式的通项公式为，
令，得，该项为，令，得，该项为.
所以的展开式中的常数项为.
14. 已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为______．
【答案】
【详解】由，得，
由，得，，得，
所以，因为，所以，
所以，得，所以在区间上的“新不动点”为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知数列满足，且.
(1)证明是等差数列，并求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和；
【详解】（1）由，可得，
又，所以是1为首项1为公差的等差数列，所以，所以；
（2）由（1）知，所以，
，
两式相减，得，
故；
16．某校为了了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图.若立定跳远成绩落在区间的左侧，则认为该学生属“成绩不达标”的学生，其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）：
(1)若该校高三某男生的跳远距离为，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？
(2)该校利用分层抽样的方法从样本区间，，中共抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，设选出的两人中跳远距离在的人数为，求的分布列和数学期望.
【详解】（1）由题意可知：各小矩形面积从左到右依次为0.1，0.2，0.2，0.3，0.15，0.05，
，∵∴该生属于“体能不达标”的学生.
（2）区间的人数为人，的人数为人，的人数为，在抽出的人数为人，在抽出的人数为人，在抽出的人数为人，
则 可能取值为0，1，2∴，，
，∴的分布列为
0 1 2
∴.
17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且点到的渐近线的距离为2．
(1)求的方程；
(2)记的左顶点为，过点的直线l与交于两点（异于点）．
证明：直线的斜率之积为定值.
【详解】（1）由题意知，可得，解得，因为点到直线的距离为2，可得，又因为，可得，所以的方程为．
由（1）知双曲线的左顶点为，设，，由题意知直线l斜率不为0，设直线，联立方程组，整理得，所以，且，，
所以
，故直线的斜率之积为定值．
18．正方体的棱长为4，分别为中点，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积．
【详解】（1）法一、在正方形中，
由条件易知，所以，
则，故，即，
在正方体中，易知平面，且，
所以平面，
又平面，∴，
∵平面，∴平面；
法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设是平面的一个法向量，
则，令，则，所以，
易知，则也是平面的一个法向量，∴平面；
（2）同上法二建立的空间直角坐标系，所以，
由（1）知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即，
设平面与平面的夹角为，则；
（3）由（1）知平面，平面，∴，
易知，
又，则D到平面的距离为，
由棱锥的体积公式知：.
19. 函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：
设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的【图1】，区间为凹的区间；
设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，
则称在区间上的图形是凸的【图2】．区间为凸的区间；
关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：
设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么
①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；
②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有
其中是的导函数，为的一阶导数：是的导函数，为的二阶导数．
根据以上内容，完成如下问题：
（1）求函数的凹的区间和凸的区间；
（2）若在区间上图象是凹的，求实数的取值范围；
（3）证明：．
【小问1详解】，
令，解得或；令，解得.
因此，函数的凹的区间是和，凸的区间是.
【小问2详解】，
在区间上图象是凹的，，即.
所以，即.
令，
即函数在上单调递减.所以，
因此，实数的取值范围是.
【小问3详解】，
构造函数，
令，解得， 易知函数在上单调递增，在上单调递减.
所以，
因此，，当且仅当时取等号.
构造函数，
令，则，易知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因此，当且仅当时取等号.
综上，

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