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【高考真题】2025年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（天津卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2025·天津）集合， 则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：集合，则，
集合，则.
故答案为：D.
【分析】根据集合的并集、补集定义求解即可.
2．（2025·天津）设x∈R，“x=0”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，即充分性成立；
当时，，即，即必要性不成立，
故是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据充分、必要条件的定义结合三角函数知识判断即可.
3．（2025·天津）已知函数y=f(x)的图象如下，则f(x)的解析式可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：A、函数为奇函数，图象不关于轴对称，故A不符合；
B、函数为奇函数，图象不关于轴对称，故B不符合；
C、函数为偶函数，当时，函数值都大于，故C不符合；
D、函数为偶函数，图象关于轴对称，故D符合.
故答案为：D.
【分析】根据函数的奇偶性，特殊值结合图象判断即可.
4．（2025·天津）若为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（　　）
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、 若， 则 或异面，故A错误；
B、 若， 则，故B错误；
C、 若， 则 ，故C正确；
D、 若，则或或，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据空间中线线，线面、面面位置关系判断即可.
5．（2025·天津）下列说法错误的是（　　）
A．若则
B．若则
C．越接近于1，相关性越强
D．越接近于0，相关性越弱
【答案】B
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、，则，故A正确；
B、，则，故B错误；
C、越接近于1，相关性越强 ，故C正确；
D、越接近于0，相关性越弱 ，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的特征即可判断AB；根据相关系数的性质即可判断CD.
6．（2025·天津）已知， 则前12项和为（　　）
A．112 B．48 C．80 D．64
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
当时，，符合上式，即，
则前12项和为：|a1|+|a2|+…+|a4|+|a5|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-(a5+a6+..+a12)=2(a1+a2+a3+a4)-(a1+a2+..+a12)=2S4-S12=2(-16+32)-(-144+96)=80.
故答案为：C.
【分析】根据与的关系求得数列的通项公式，再去绝对值求和即可.
7．（2025·天津）函数的零点所在区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：易知函数在上单调递减，
且，，，
则的零点所在区间为.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数、幂函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可.
8．（2025·天津）已知， 在上单调递增，为它的一条对称轴，为它的一个对称中心， 当时，（　　）
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数为一条对称轴，为一个对称中心，
所以周期，即，又因为，所以，
又因为函数在上单调递增，
所以，
又因为，所以，即函数，
当时，，
由正弦函数的单调性可知：.
故答案为：A.
【分析】利用函数的对称轴、对称中心求周期，确定，再由函数在上单调递增，确定的值，得到函数的解析式，再利用整体思想及正弦函数的性质求解即可.
9．（2025·天津）双曲线的左、右焦点分别为. 以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若则双曲线的离心率（　　）
A．2 B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】抛物线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，，设，
过作轴的垂线，过作垂线的垂线，垂足为，如图所示：
易知直线为抛物线的准线，即，
由双曲线的定义可知：①，
若②，由①②解得：，，
在中，，
因为点在上，所以，所以，
即，
整理可得：，解得，则离心率.
故答案为：A.
【分析】过作轴的垂线，过作垂线的垂线，垂足为，利用抛物线、双曲线的定义结合已知条件求得，，再在中，利用勾股定理，结合点在抛物线上确定点P的坐标，代入双曲线求解即可.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10．（2025·天津）已知i是虚数单位，则　 　．
【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据复数模的性质求解即可.
11．（2025·天津）在的展开式中，的系数为　 　．
【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，解得，则的展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】写出展开式的通项，令求得r的值，代入求展开式中的系数即可.
12．（2025·天津）与轴交于点A，与轴交于点B，与圆交于C，D两点，，则　 　．
【答案】2
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知，，，
因为，所以，
圆心到直线的距离为，则.
故答案为：.
【分析】由题意，先求点的坐标，再由两点间距离公式求得，可得，最后利用点到直线的距离公式结合勾股定理求解即可.
13．（2025·天津）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈，
第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，
若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6，
若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4，
①小桐一周跑11圈的概率为　 　．
②若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4圈，记合格周数为，则期望　 　．
【答案】0.6；3.2
【知识点】二项分布；全概率公式
【解析】【解答】解：记事件A为小桐一周跑11圈，：分为第一次跑5圈，第二次跑6圈；第一次跑6圈，第二次跑5圈，则小桐一周跑11圈的概率为；
记事件B为至少跑11圈，则，
则，.
故答案为：0.6；3.2.
【分析】由题意，利用全概率公式求解即可；再求至少跑11圈的概率，利用二项分布的期望公式求解即可.
14．（2025·天津）中，为边的中点， ， 则　 　（用表示），若，． 则　 　．
【答案】；-15
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为为边的中点，所以，
则
；
又因为，，所以，
，
所以，所以，
则
.
故答案为：；.
【分析】根据向量的线性运算以及向量的数量积求解即可.
15．（2025·天津），对，均有恒成立，则　 　．
【答案】-4
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：令
当时，，，要使，恒成立，
则，解得，存在使得不等式成立；
当时，函数为二次函数
对，均有恒成立，
当时，，
当时，，
即，
当时，原不等式化为，即，
观察可知，时，，对恒成立，
当且仅当时等号成立，
此时，，说明时，均可取到，满足题意，
则.
故答案为：.
【分析】令，分和讨论，取特殊值，，得到，验证时，是否取到，进而判断最小值是否取到即可.
三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（2025·天津）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】（1）解： 在中，，由正弦定理可得，
因为，所以，即；
（2）解：，，由余弦定理，可得，
整理可得，解得，；
（3）解：由正弦定理，可得，
因为，所以，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理求解即可；
（2）由（1）的结论，结合余弦定理求解即可；
（3）由（1）（2）的结论，结合正弦定理求得，再根据同角三角函数基本关系求得，最后利用两角和的正弦公式展开求值即可.
17．（2025·天津）正方体的棱长为4，分别为中点，
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求三棱锥D-FBE的体积.
【答案】（1）证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，，
，
因为，，所以，
又因为，所以平面；
（2）解：由（1）可知：可作为平面的法向量，
设平面的法向量为，则，即，
取，，即，
，则平面与平面夹角的余弦值为；
（3）解：由（1）可知平面，因为平面，所以，
，
因为，所以点到平面的距离为，
则.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（3）利用空间向量法计算点到面的距离，再利用椎体体积公式求解即可.
18．（2025·天津）已知椭圆的左焦点为， 右顶点为为上一点，且直线的斜率△PFA的面积为， 离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线与椭圆有唯一交点（异于点A）， 求证：平分.
【答案】（1）解：易知，，离心率为，则，即，
设，因为直线的斜率为，所以，
所以，所以，即，
又因为，所以，解得，即，，
则椭圆方程为；
（2）解：由（1）可得，，，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，消元整理可得，
因为过点的直线与椭圆有唯一交点，所以，
所以，解得，则直线的方程为，
联立，解得，
则，，，，
由余弦定理得，
则平分.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用椭圆的额离心率求得，设，由直线求得，得点的坐标，再由三角形面积求得c，即可得椭圆方程；
（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，由题意求得直线方程，以及点，再利用余弦求，证明即可.
19．（2025·天津）已知为等差数列，为等比数列，，
（1）求的通项公式；
（2）， ，有，
①求证：， 均有；
②求中所有元素之和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，可得，解得，
则，；
（2）① 证明：由（1）可得或，，
当时，
设①，
②，
①-②可得，
即，为中的最大元素，
，
恒成立，
则， 均有；
② 解：由(i)可得，为中的最大元素，
由题意可得：，
其中，
则的所有元素的和中各项出现的次数均为：
次，
所以中所有元素的和为.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意列式求解，再写出通项公式即可；
（2） ① 、由题意，结合（1）求出和的最大值，再作差是比较大小证明即可；
② 根据中元素的特征，得到中的元素的和中各项出现的次数均为次，即可求解.
20．（2025·天津）已知
（1）时，求在点处的切线方程；
（2）有3个零点且，
①求的取值范围；
②证明：.
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，且，
则在点处的切线方程为，即；
（2）解： ① 、令，则，令，
由题意可得：与曲线有3个不同的交点，
，，
令，解得或，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
当时，，单调递减，且当时，，当时，，
作出函数图象，如图所示：
由图可知：；
② 由图象可知：，则，
设，则
满足，可得，
作差可得，
则由对数均值不等式可得，则，
要证，
即证，只需证，
即证，又因为，则，
所以，故只需证
设函数，则，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
故，即，
由，可知成立，
即.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义求解即可；
（2）①、令，分离参数可得，问题转化为与曲线有3个不同的交点，求导，利用导数判断函数的单调性，作出图象，数形结合求解即可；
②、由 ② 的图形，可得的范围，整体换元，转化为，可得，作差利用对数平均不等式可得，再由，可得，再构造函数，利用放缩法证明即可.
1 / 1【高考真题】2025年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（天津卷）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2025·天津）集合， 则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·天津）设x∈R，“x=0”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025·天津）已知函数y=f(x)的图象如下，则f(x)的解析式可能是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·天津）若为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（　　）
A．若， 则 B．若， 则
C．若， 则 D．若，则
5．（2025·天津）下列说法错误的是（　　）
A．若则
B．若则
C．越接近于1，相关性越强
D．越接近于0，相关性越弱
6．（2025·天津）已知， 则前12项和为（　　）
A．112 B．48 C．80 D．64
7．（2025·天津）函数的零点所在区间是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·天津）已知， 在上单调递增，为它的一条对称轴，为它的一个对称中心， 当时，（　　）
A． B． C．1 D．0
9．（2025·天津）双曲线的左、右焦点分别为. 以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点，若则双曲线的离心率（　　）
A．2 B．5 C． D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10．（2025·天津）已知i是虚数单位，则　 　．
11．（2025·天津）在的展开式中，的系数为　 　．
12．（2025·天津）与轴交于点A，与轴交于点B，与圆交于C，D两点，，则　 　．
13．（2025·天津）小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈，
第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，
若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6，
若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4，
①小桐一周跑11圈的概率为　 　．
②若一周至少跑11圈为动量达标，则连续跑4圈，记合格周数为，则期望　 　．
14．（2025·天津）中，为边的中点， ， 则　 　（用表示），若，． 则　 　．
15．（2025·天津），对，均有恒成立，则　 　．
三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（2025·天津）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
17．（2025·天津）正方体的棱长为4，分别为中点，
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求三棱锥D-FBE的体积.
18．（2025·天津）已知椭圆的左焦点为， 右顶点为为上一点，且直线的斜率△PFA的面积为， 离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线与椭圆有唯一交点（异于点A）， 求证：平分.
19．（2025·天津）已知为等差数列，为等比数列，，
（1）求的通项公式；
（2）， ，有，
①求证：， 均有；
②求中所有元素之和．
20．（2025·天津）已知
（1）时，求在点处的切线方程；
（2）有3个零点且，
①求的取值范围；
②证明：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：集合，则，
集合，则.
故答案为：D.
【分析】根据集合的并集、补集定义求解即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，即充分性成立；
当时，，即，即必要性不成立，
故是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据充分、必要条件的定义结合三角函数知识判断即可.
3．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：A、函数为奇函数，图象不关于轴对称，故A不符合；
B、函数为奇函数，图象不关于轴对称，故B不符合；
C、函数为偶函数，当时，函数值都大于，故C不符合；
D、函数为偶函数，图象关于轴对称，故D符合.
故答案为：D.
【分析】根据函数的奇偶性，特殊值结合图象判断即可.
4．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、 若， 则 或异面，故A错误；
B、 若， 则，故B错误；
C、 若， 则 ，故C正确；
D、 若，则或或，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据空间中线线，线面、面面位置关系判断即可.
5．【答案】B
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：A、，则，故A正确；
B、，则，故B错误；
C、越接近于1，相关性越强 ，故C正确；
D、越接近于0，相关性越弱 ，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据正态分布的特征即可判断AB；根据相关系数的性质即可判断CD.
6．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
当时，，符合上式，即，
则前12项和为：|a1|+|a2|+…+|a4|+|a5|+…+|a12|=a1+a2+a3+a4-(a5+a6+..+a12)=2(a1+a2+a3+a4)-(a1+a2+..+a12)=2S4-S12=2(-16+32)-(-144+96)=80.
故答案为：C.
【分析】根据与的关系求得数列的通项公式，再去绝对值求和即可.
7．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：易知函数在上单调递减，
且，，，
则的零点所在区间为.
故答案为：B.
【分析】利用指数函数、幂函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可.
8．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数为一条对称轴，为一个对称中心，
所以周期，即，又因为，所以，
又因为函数在上单调递增，
所以，
又因为，所以，即函数，
当时，，
由正弦函数的单调性可知：.
故答案为：A.
【分析】利用函数的对称轴、对称中心求周期，确定，再由函数在上单调递增，确定的值，得到函数的解析式，再利用整体思想及正弦函数的性质求解即可.
9．【答案】A
【知识点】抛物线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知，，设，
过作轴的垂线，过作垂线的垂线，垂足为，如图所示：
易知直线为抛物线的准线，即，
由双曲线的定义可知：①，
若②，由①②解得：，，
在中，，
因为点在上，所以，所以，
即，
整理可得：，解得，则离心率.
故答案为：A.
【分析】过作轴的垂线，过作垂线的垂线，垂足为，利用抛物线、双曲线的定义结合已知条件求得，，再在中，利用勾股定理，结合点在抛物线上确定点P的坐标，代入双曲线求解即可.
10．【答案】
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据复数模的性质求解即可.
11．【答案】
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，解得，则的展开式中的系数为.
故答案为：.
【分析】写出展开式的通项，令求得r的值，代入求展开式中的系数即可.
12．【答案】2
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：易知，，，
因为，所以，
圆心到直线的距离为，则.
故答案为：.
【分析】由题意，先求点的坐标，再由两点间距离公式求得，可得，最后利用点到直线的距离公式结合勾股定理求解即可.
13．【答案】0.6；3.2
【知识点】二项分布；全概率公式
【解析】【解答】解：记事件A为小桐一周跑11圈，：分为第一次跑5圈，第二次跑6圈；第一次跑6圈，第二次跑5圈，则小桐一周跑11圈的概率为；
记事件B为至少跑11圈，则，
则，.
故答案为：0.6；3.2.
【分析】由题意，利用全概率公式求解即可；再求至少跑11圈的概率，利用二项分布的期望公式求解即可.
14．【答案】；-15
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为为边的中点，所以，
则
；
又因为，，所以，
，
所以，所以，
则
.
故答案为：；.
【分析】根据向量的线性运算以及向量的数量积求解即可.
15．【答案】-4
【知识点】函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：令
当时，，，要使，恒成立，
则，解得，存在使得不等式成立；
当时，函数为二次函数
对，均有恒成立，
当时，，
当时，，
即，
当时，原不等式化为，即，
观察可知，时，，对恒成立，
当且仅当时等号成立，
此时，，说明时，均可取到，满足题意，
则.
故答案为：.
【分析】令，分和讨论，取特殊值，，得到，验证时，是否取到，进而判断最小值是否取到即可.
16．【答案】（1）解： 在中，，由正弦定理可得，
因为，所以，即；
（2）解：，，由余弦定理，可得，
整理可得，解得，；
（3）解：由正弦定理，可得，
因为，所以，
则.
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理求解即可；
（2）由（1）的结论，结合余弦定理求解即可；
（3）由（1）（2）的结论，结合正弦定理求得，再根据同角三角函数基本关系求得，最后利用两角和的正弦公式展开求值即可.
17．【答案】（1）证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知，，，，
，
因为，，所以，
又因为，所以平面；
（2）解：由（1）可知：可作为平面的法向量，
设平面的法向量为，则，即，
取，，即，
，则平面与平面夹角的余弦值为；
（3）解：由（1）可知平面，因为平面，所以，
，
因为，所以点到平面的距离为，
则.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（3）利用空间向量法计算点到面的距离，再利用椎体体积公式求解即可.
18．【答案】（1）解：易知，，离心率为，则，即，
设，因为直线的斜率为，所以，
所以，所以，即，
又因为，所以，解得，即，，
则椭圆方程为；
（2）解：由（1）可得，，，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，消元整理可得，
因为过点的直线与椭圆有唯一交点，所以，
所以，解得，则直线的方程为，
联立，解得，
则，，，，
由余弦定理得，
则平分.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用椭圆的额离心率求得，设，由直线求得，得点的坐标，再由三角形面积求得c，即可得椭圆方程；
（2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，由题意求得直线方程，以及点，再利用余弦求，证明即可.
19．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，可得，解得，
则，；
（2）① 证明：由（1）可得或，，
当时，
设①，
②，
①-②可得，
即，为中的最大元素，
，
恒成立，
则， 均有；
② 解：由(i)可得，为中的最大元素，
由题意可得：，
其中，
则的所有元素的和中各项出现的次数均为：
次，
所以中所有元素的和为.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意列式求解，再写出通项公式即可；
（2） ① 、由题意，结合（1）求出和的最大值，再作差是比较大小证明即可；
② 根据中元素的特征，得到中的元素的和中各项出现的次数均为次，即可求解.
20．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，且，
则在点处的切线方程为，即；
（2）解： ① 、令，则，令，
由题意可得：与曲线有3个不同的交点，
，，
令，解得或，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
当时，，单调递减，且当时，，当时，，
作出函数图象，如图所示：
由图可知：；
② 由图象可知：，则，
设，则
满足，可得，
作差可得，
则由对数均值不等式可得，则，
要证，
即证，只需证，
即证，又因为，则，
所以，故只需证
设函数，则，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
故，即，
由，可知成立，
即.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义求解即可；
（2）①、令，分离参数可得，问题转化为与曲线有3个不同的交点，求导，利用导数判断函数的单调性，作出图象，数形结合求解即可；
②、由 ② 的图形，可得的范围，整体换元，转化为，可得，作差利用对数平均不等式可得，再由，可得，再构造函数，利用放缩法证明即可.
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