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甘肃省会宁县第一中学2025届高三下学期高考冲刺数学试卷（三模）
1．（2025·会宁模拟）若集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·会宁模拟）若向量，且，则实数（　　）
A．2 B． C．18 D．
3．（2025·会宁模拟）若抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·会宁模拟）函数的最小值和最小正周期分别为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·会宁模拟）已知圆柱的高为4，它的表面积与体积的数值之比为2，则该圆柱的体积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·会宁模拟）定义：二阶行列式，三阶行列式，的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式，称为元素的代数余子式，三阶行列式等于它的任一行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和．（　　）
A．0 B． C．6 D．
7．（2025·会宁模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·会宁模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·会宁模拟）若复数，则（　　）
A．
B．为纯虚数
C．复数在复平面内对应的点位于第四象限
D．
10．（2025·会宁模拟）已知定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（　　）
A．函数为偶函数
B．函数为减函数
C．函数的图象关于点中心对称
D．的解集为
11．（2025·会宁模拟）在平面直角坐标系中，动点到定点与轴的距离之积为常数，记点的轨迹为曲线，曲线的图象如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．
B．曲线的方程为
C．曲线关于直线对称
D．曲线上的点到轴的距离的最大值为
12．（2025·会宁模拟）若随机变量，且，则　 　．
13．（2025·会宁模拟）如图所示，在三棱锥中，平面平面，若为线段上一动点，则的最小值为　 　．
14．（2025·会宁模拟）已知直线与曲线相切，则　 　．
15．（2025·会宁模拟）某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据．
10 20 30 40 50
650 640 600 590 580
（1）一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．
（2）请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度．
参考公式：；
相关系数．
参考数据：．
16．（2025·会宁模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围．
17．（2025·会宁模拟）已知等差数列的前项和为，且满足．
（1）求的通项公式．
（2）设数列的前项和为．
①求；
②是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（2025·会宁模拟）已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）若分别为椭圆的上 下顶点，直线与椭圆相交于两点，且．
①证明：直线过定点．
②过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值．
19．（2025·会宁模拟）已知四边形为矩形，四边形为直角梯形，，二面角的大小为．
（1）若为的中点．
①求点到平面的距离；
②若，求平面与平面夹角的余弦值．
（2）若，点为线段的中点，将沿折起，使得与四边形在平面的同侧，且平面平面，点为四面体的内切球球面上的一动点，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：易知或．
故答案为：D.
【分析】根据集合并集的定义运算求解即可．
2．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，且，
则，解得．
故答案为：B.
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可．
3．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，
因为抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，所以，
解得，即，则双曲线的渐近线方程为．
故答案为：B.
【分析】先求抛物线的焦点坐标，再由题意求的值，最后根据双曲线的渐近线方程求解即可.
4．【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数
，
当时，函数取最小值，
函数的最小正周期．
故答案为：C.
【分析】利用余弦的二倍角余弦化简，再根据三角函数的性质以及最小正周期公式求解即可．
5．【答案】B
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆柱的底面圆半径为，则圆柱的体积为，表面积为，
由题意可得：，解得，
则该圆柱的体积为．
故答案为：B.
【分析】设圆柱的底面圆半径为，表示圆柱的表面积和体积，根据它的表面积与体积的数值之比为2，求出，再求体积即可．
6．【答案】A
【知识点】二阶行列式与逆矩阵
【解析】【解答】解：
．
故答案为：A.
【分析】根据题干的定义及三阶行列式的计算法则计算即可．
7．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：，
，
则．
故答案为：D.
【分析】利用换底公式结合对数的运算求解判断即可.
8．【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：若，
，
则．
故答案为：C.
【分析】利用全概率公式以及条件概率的计算即可.
9．【答案】A,B
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、为纯虚数，故B正确；
C、，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误；
D、，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】利用复数的除法化简复数即可判断A；利用复数的减法结合复数的概念即可判断B；利用复数的几何意义即可判断C；利用复数的模长公式即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解： 定义在上的函数满足， 则函数关于中心对称，故C正确；
因为关于中心对称，所以函数关于对称，即函数为奇函数，故A错误；
因为，即，当时，，
当时，，所以函数为减函数，故B正确；
令，则，即，
则等价于，
因为函数为减函数，所以，即，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】由函数满足可得函数关于中心对称即可判断AC；由，利用单调性的定义即可判断B；利用单调性即可求解即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：AB、由 动点到定点与轴的距离之积为常数 ，
可得，化简得，
因为点在曲线上，所以，解得，
则曲线的方程为，故A正确，B错误；
C、由图可知：图象关于直线对称，则曲线上的点关于直线对称的点为，因为，所以曲线关于直线对称，故C正确；
D、当时，曲线，解得或，则曲线上的点到轴的距离的最大值为，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】通过已知条件化简方程，利用曲线上的点满足方程来确定参数的值，再根据对称点的性质判断曲线的对称性，最后通过特定条件求解曲线与坐标轴相关的最值即可.
12．【答案】6
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：若随机变量，且，
则和关于对称，即，故．
故答案为：6.
【分析】根据正态曲线的对称性求解即可．
13．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面垂直的判定；解三角形
【解析】【解答】解： 在三棱锥中，平面平面，
满足，则，
记的中点为，连接，如图所示：
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，平面，所以，
由，得，则为等边三角形，
把绕翻折，使得平面与平面在同一平面上，
连接交于点，则，如图所示：
则的最小值为平面内的长度，
，
即，则的最小值为．
故答案为：.
【分析】由题意，利用勾股定理得，记的中点为，得，根据面面垂直的性质定理得出、为等边三角形，把绕翻折，使得平面与平面在同一平面上，则的最小值为平面内的长度，再利用余弦定理求解即可.
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；恒过定点的直线；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：直线变形为，
则直线恒过点，
设切点为，
曲线，，所以，故切线方程为，
因为切线恒过点，所以，解得，
则切线方程为，即，则，故．
故答案为：．
【分析】先求直线恒过定点，设切点为，求导，利用点斜式求切线方程，代入定点求出可得答案．
15．【答案】（1）解：由统计数据可知：，
因为，，
，
因为，所以该经验回归方程的拟合效果非常好；
（2）解：由（1）知：，，
因为，所以，
则所求的经验回归方程为，
当时，，
则冷却速率为时，该金属的凝固点温度为．
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）根据表格里面的数据求出的平均值，再根据相关系数公式求出相关系数即可；
（2）先求回归方程，再将冷却速率值代入，求出金属的凝固点温度即可.
（1）易知，
因为，，
，
因为
所以该经验回归方程的拟合效果非常好．
（2）由（1）知，由，
因为，
所以，故所求的经验回归方程为．
当时，，
所以冷却速率为时，该金属的凝固点温度为．
16．【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，，函数在上单调递减；
当时，由，解得，
由，解得，则函数在，上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：不等式等价于，分离参数可得，
令定义域为，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
且，则，即，
故的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，根据的取值范围讨论导数正负确定函数的单调区间即可；
（2）分离参数可得，令，求导，利用导数判断函数单调性，求出最大值，即可得的取值范围.
（1），
当时，，函数在上单调递减；
当时，由得，由得，所以函数在，上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）恒成立等价于，即．
令，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即．
所以的取值范围为．
17．【答案】（1）解：设数列的公差为，因为，
所以，
所以，解得，所以，解得，
因为，所以，
则数列的通项公式是；
（2）解：①、由（1）知，则，即，
，
则；
②、存在；，理由如下：
设，由①知，所以，
假设存在实数，使得数列为等差数列，
当时，
，
只有当时，为常数，其他值均不合要求，
故存在实数时，使得数列是等差数列．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）设数列的公差为，利用等差数列性质由求出，由求出，再根据与关系求公差，最后由与、关系求，写出数列的通项公式.即可；
（2）①、先根据求，再对裂项，最后通过裂项相消求即可；
②、先表示出，再求时，，令其为常数确定的值.
（1）因为，
所以，解得，
设数列的公差为，所以，
解得．因为，所以，
所以的通项公式是．
（2）①由（1）知，所以，
所以，
所以，
故；
②存在；，理由如下：
设，由①知，所以，
假设存在实数，使得数列为等差数列，
当时，
，
只有当时，为常数，其他值均不合要求，
故存在实数时，使得数列是等差数列．
18．【答案】（1）解：由椭圆的离心率为，可得，则，即，所以，
因为椭圆过点，所以，解得，则，
故椭圆的标准方程为；
（2）解：（i）当直线的斜率不存在时，易知为锐角，不合题意，
所以直线的斜率存在．设直线的方程为，
联立，消元整理得，
设，由韦达定理可得：，
易知，因为，所以，即，
所以，
即，
化简得，
所以，
由，解得，所以直线的方程为，
直线过定点，且，此时在椭圆内，满足直线与椭圆有两个交点；
（ii），设，由于，所以，
故点的轨迹是以为直径的圆（点除外），
所以点到的距离的最大值为圆的半径，即，
则面积的最大值为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率，求得的关系，得，再由椭圆过点求出，即可得椭圆方程；
（2）（i）当直线的斜率不存在时，易知为锐角，不合题意，设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据代入韦达定理可得直线过定点且定点在椭圆内，可得答案；
（ii）设，根据，得点的轨迹是以为直径的圆（点除外），求出点到的距离的最大值即可．
（1）设椭圆的焦距为，因为椭圆的离心率为，
所以，故，所以，所以．
因为椭圆过点，所以，解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）（i）当直线的斜率不存在时，易知为锐角，不合题意，
所以直线的斜率存在．设直线的方程为，
由，得，
设，所以，
易知，因为，所以，
即，
所以，
即，
化简得，
所以．
由，解得，所以直线的方程为，
直线过定点，且，此时在椭圆内，
满足直线与椭圆有两个交点；
（ii），设，由于，所以，
故点的轨迹是以为直径的圆（点除外），
所以点到的距离的最大值为圆的半径，即，
所以面积的最大值为．
19．【答案】（1）解：①、设的中点分别为，连接，
在平面内，过点作，垂足为，如图所示：
因为四边形为矩形，所以，
又因为，且分别为的中点，所以，所以，
因为，平面，平面，所以，
因为，且，平面，所以平面，
因为，所以．
因为，所以，则点到平面的距离为；
②过点作平面，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
由①知，，
由，
可得，，
，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，即，令，解得，
则为平面的一个法向量，
，即令，解得，
则为平面的一个法向量，
，
故平面与平面夹角的余弦值为；
（2）解：易知四面体是棱长为的正四面体，作平面，设内切球的球心为，建立空间直角坐标系，如图所示：
且，则．
设内切球的半径为，由等体积法知，则，
设内切球球面上任意一点为，则，
空间中必存在一定点，使球上的点满足，
即，
则，
因为，所以，解得，
易知.
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）①、设的中点分别为，连接，
在平面内，过点作，垂足为，根据矩形以及中位线性质，由线面垂直的判定，结合勾股定理以及锐角三角函数求解即可；
②、过点作平面，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间两点距离公式建立方程进行等量代换，根据图象，求解即可.
（1）①设的中点分别为，连接，
在平面内，过点作，垂足为，如图所示：
因为四边形为矩形，所以．
因为，且分别为的中点，所以，所以，
因为，平面，平面，所以．
因为，且，平面，所以平面．
因为，所以．
因为，所以，故点到平面的距离为.
②过点作平面，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
由①知，．
因为，
所以，，
所以，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
所以，所以，令，解得，
所以为平面的一个法向量．
，所以令，解得，
所以为平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（2）易知四面体是棱长为的正四面体，作平面，设内切球的球心为，建立如图所示的坐标系，
且，则．
设内切球的半径为，由等体积法知，所以，
设内切球球面上任意一点为，则，
空间中必存在一定点，使球上的点满足，
即，
则，
因为，所以，解得，
易知.
1 / 1甘肃省会宁县第一中学2025届高三下学期高考冲刺数学试卷（三模）
1．（2025·会宁模拟）若集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：易知或．
故答案为：D.
【分析】根据集合并集的定义运算求解即可．
2．（2025·会宁模拟）若向量，且，则实数（　　）
A．2 B． C．18 D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，且，
则，解得．
故答案为：B.
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可．
3．（2025·会宁模拟）若抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点为，
因为抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，所以，
解得，即，则双曲线的渐近线方程为．
故答案为：B.
【分析】先求抛物线的焦点坐标，再由题意求的值，最后根据双曲线的渐近线方程求解即可.
4．（2025·会宁模拟）函数的最小值和最小正周期分别为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数
，
当时，函数取最小值，
函数的最小正周期．
故答案为：C.
【分析】利用余弦的二倍角余弦化简，再根据三角函数的性质以及最小正周期公式求解即可．
5．（2025·会宁模拟）已知圆柱的高为4，它的表面积与体积的数值之比为2，则该圆柱的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆柱的底面圆半径为，则圆柱的体积为，表面积为，
由题意可得：，解得，
则该圆柱的体积为．
故答案为：B.
【分析】设圆柱的底面圆半径为，表示圆柱的表面积和体积，根据它的表面积与体积的数值之比为2，求出，再求体积即可．
6．（2025·会宁模拟）定义：二阶行列式，三阶行列式，的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式，称为元素的代数余子式，三阶行列式等于它的任一行（或列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和．（　　）
A．0 B． C．6 D．
【答案】A
【知识点】二阶行列式与逆矩阵
【解析】【解答】解：
．
故答案为：A.
【分析】根据题干的定义及三阶行列式的计算法则计算即可．
7．（2025·会宁模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：，
，
则．
故答案为：D.
【分析】利用换底公式结合对数的运算求解判断即可.
8．（2025·会宁模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：若，
，
则．
故答案为：C.
【分析】利用全概率公式以及条件概率的计算即可.
9．（2025·会宁模拟）若复数，则（　　）
A．
B．为纯虚数
C．复数在复平面内对应的点位于第四象限
D．
【答案】A,B
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、为纯虚数，故B正确；
C、，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误；
D、，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】利用复数的除法化简复数即可判断A；利用复数的减法结合复数的概念即可判断B；利用复数的几何意义即可判断C；利用复数的模长公式即可判断D.
10．（2025·会宁模拟）已知定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（　　）
A．函数为偶函数
B．函数为减函数
C．函数的图象关于点中心对称
D．的解集为
【答案】B,C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解： 定义在上的函数满足， 则函数关于中心对称，故C正确；
因为关于中心对称，所以函数关于对称，即函数为奇函数，故A错误；
因为，即，当时，，
当时，，所以函数为减函数，故B正确；
令，则，即，
则等价于，
因为函数为减函数，所以，即，故D错误．
故答案为：BC.
【分析】由函数满足可得函数关于中心对称即可判断AC；由，利用单调性的定义即可判断B；利用单调性即可求解即可判断D.
11．（2025·会宁模拟）在平面直角坐标系中，动点到定点与轴的距离之积为常数，记点的轨迹为曲线，曲线的图象如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．
B．曲线的方程为
C．曲线关于直线对称
D．曲线上的点到轴的距离的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：AB、由 动点到定点与轴的距离之积为常数 ，
可得，化简得，
因为点在曲线上，所以，解得，
则曲线的方程为，故A正确，B错误；
C、由图可知：图象关于直线对称，则曲线上的点关于直线对称的点为，因为，所以曲线关于直线对称，故C正确；
D、当时，曲线，解得或，则曲线上的点到轴的距离的最大值为，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】通过已知条件化简方程，利用曲线上的点满足方程来确定参数的值，再根据对称点的性质判断曲线的对称性，最后通过特定条件求解曲线与坐标轴相关的最值即可.
12．（2025·会宁模拟）若随机变量，且，则　 　．
【答案】6
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：若随机变量，且，
则和关于对称，即，故．
故答案为：6.
【分析】根据正态曲线的对称性求解即可．
13．（2025·会宁模拟）如图所示，在三棱锥中，平面平面，若为线段上一动点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；直线与平面垂直的判定；解三角形
【解析】【解答】解： 在三棱锥中，平面平面，
满足，则，
记的中点为，连接，如图所示：
因为，所以，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，平面，所以，
由，得，则为等边三角形，
把绕翻折，使得平面与平面在同一平面上，
连接交于点，则，如图所示：
则的最小值为平面内的长度，
，
即，则的最小值为．
故答案为：.
【分析】由题意，利用勾股定理得，记的中点为，得，根据面面垂直的性质定理得出、为等边三角形，把绕翻折，使得平面与平面在同一平面上，则的最小值为平面内的长度，再利用余弦定理求解即可.
14．（2025·会宁模拟）已知直线与曲线相切，则　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；恒过定点的直线；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：直线变形为，
则直线恒过点，
设切点为，
曲线，，所以，故切线方程为，
因为切线恒过点，所以，解得，
则切线方程为，即，则，故．
故答案为：．
【分析】先求直线恒过定点，设切点为，求导，利用点斜式求切线方程，代入定点求出可得答案．
15．（2025·会宁模拟）某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据．
10 20 30 40 50
650 640 600 590 580
（1）一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．
（2）请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度．
参考公式：；
相关系数．
参考数据：．
【答案】（1）解：由统计数据可知：，
因为，，
，
因为，所以该经验回归方程的拟合效果非常好；
（2）解：由（1）知：，，
因为，所以，
则所求的经验回归方程为，
当时，，
则冷却速率为时，该金属的凝固点温度为．
【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）根据表格里面的数据求出的平均值，再根据相关系数公式求出相关系数即可；
（2）先求回归方程，再将冷却速率值代入，求出金属的凝固点温度即可.
（1）易知，
因为，，
，
因为
所以该经验回归方程的拟合效果非常好．
（2）由（1）知，由，
因为，
所以，故所求的经验回归方程为．
当时，，
所以冷却速率为时，该金属的凝固点温度为．
16．（2025·会宁模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，，函数在上单调递减；
当时，由，解得，
由，解得，则函数在，上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：不等式等价于，分离参数可得，
令定义域为，，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
且，则，即，
故的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，根据的取值范围讨论导数正负确定函数的单调区间即可；
（2）分离参数可得，令，求导，利用导数判断函数单调性，求出最大值，即可得的取值范围.
（1），
当时，，函数在上单调递减；
当时，由得，由得，所以函数在，上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）恒成立等价于，即．
令，当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，即．
所以的取值范围为．
17．（2025·会宁模拟）已知等差数列的前项和为，且满足．
（1）求的通项公式．
（2）设数列的前项和为．
①求；
②是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设数列的公差为，因为，
所以，
所以，解得，所以，解得，
因为，所以，
则数列的通项公式是；
（2）解：①、由（1）知，则，即，
，
则；
②、存在；，理由如下：
设，由①知，所以，
假设存在实数，使得数列为等差数列，
当时，
，
只有当时，为常数，其他值均不合要求，
故存在实数时，使得数列是等差数列．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）设数列的公差为，利用等差数列性质由求出，由求出，再根据与关系求公差，最后由与、关系求，写出数列的通项公式.即可；
（2）①、先根据求，再对裂项，最后通过裂项相消求即可；
②、先表示出，再求时，，令其为常数确定的值.
（1）因为，
所以，解得，
设数列的公差为，所以，
解得．因为，所以，
所以的通项公式是．
（2）①由（1）知，所以，
所以，
所以，
故；
②存在；，理由如下：
设，由①知，所以，
假设存在实数，使得数列为等差数列，
当时，
，
只有当时，为常数，其他值均不合要求，
故存在实数时，使得数列是等差数列．
18．（2025·会宁模拟）已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）若分别为椭圆的上 下顶点，直线与椭圆相交于两点，且．
①证明：直线过定点．
②过点作的垂线，垂足为，求面积的最大值．
【答案】（1）解：由椭圆的离心率为，可得，则，即，所以，
因为椭圆过点，所以，解得，则，
故椭圆的标准方程为；
（2）解：（i）当直线的斜率不存在时，易知为锐角，不合题意，
所以直线的斜率存在．设直线的方程为，
联立，消元整理得，
设，由韦达定理可得：，
易知，因为，所以，即，
所以，
即，
化简得，
所以，
由，解得，所以直线的方程为，
直线过定点，且，此时在椭圆内，满足直线与椭圆有两个交点；
（ii），设，由于，所以，
故点的轨迹是以为直径的圆（点除外），
所以点到的距离的最大值为圆的半径，即，
则面积的最大值为．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率，求得的关系，得，再由椭圆过点求出，即可得椭圆方程；
（2）（i）当直线的斜率不存在时，易知为锐角，不合题意，设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据代入韦达定理可得直线过定点且定点在椭圆内，可得答案；
（ii）设，根据，得点的轨迹是以为直径的圆（点除外），求出点到的距离的最大值即可．
（1）设椭圆的焦距为，因为椭圆的离心率为，
所以，故，所以，所以．
因为椭圆过点，所以，解得，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）（i）当直线的斜率不存在时，易知为锐角，不合题意，
所以直线的斜率存在．设直线的方程为，
由，得，
设，所以，
易知，因为，所以，
即，
所以，
即，
化简得，
所以．
由，解得，所以直线的方程为，
直线过定点，且，此时在椭圆内，
满足直线与椭圆有两个交点；
（ii），设，由于，所以，
故点的轨迹是以为直径的圆（点除外），
所以点到的距离的最大值为圆的半径，即，
所以面积的最大值为．
19．（2025·会宁模拟）已知四边形为矩形，四边形为直角梯形，，二面角的大小为．
（1）若为的中点．
①求点到平面的距离；
②若，求平面与平面夹角的余弦值．
（2）若，点为线段的中点，将沿折起，使得与四边形在平面的同侧，且平面平面，点为四面体的内切球球面上的一动点，求的最小值．
【答案】（1）解：①、设的中点分别为，连接，
在平面内，过点作，垂足为，如图所示：
因为四边形为矩形，所以，
又因为，且分别为的中点，所以，所以，
因为，平面，平面，所以，
因为，且，平面，所以平面，
因为，所以．
因为，所以，则点到平面的距离为；
②过点作平面，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
由①知，，
由，
可得，，
，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，即，令，解得，
则为平面的一个法向量，
，即令，解得，
则为平面的一个法向量，
，
故平面与平面夹角的余弦值为；
（2）解：易知四面体是棱长为的正四面体，作平面，设内切球的球心为，建立空间直角坐标系，如图所示：
且，则．
设内切球的半径为，由等体积法知，则，
设内切球球面上任意一点为，则，
空间中必存在一定点，使球上的点满足，
即，
则，
因为，所以，解得，
易知.
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）①、设的中点分别为，连接，
在平面内，过点作，垂足为，根据矩形以及中位线性质，由线面垂直的判定，结合勾股定理以及锐角三角函数求解即可；
②、过点作平面，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间两点距离公式建立方程进行等量代换，根据图象，求解即可.
（1）①设的中点分别为，连接，
在平面内，过点作，垂足为，如图所示：
因为四边形为矩形，所以．
因为，且分别为的中点，所以，所以，
因为，平面，平面，所以．
因为，且，平面，所以平面．
因为，所以．
因为，所以，故点到平面的距离为.
②过点作平面，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
由①知，．
因为，
所以，，
所以，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
所以，所以，令，解得，
所以为平面的一个法向量．
，所以令，解得，
所以为平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（2）易知四面体是棱长为的正四面体，作平面，设内切球的球心为，建立如图所示的坐标系，
且，则．
设内切球的半径为，由等体积法知，所以，
设内切球球面上任意一点为，则，
空间中必存在一定点，使球上的点满足，
即，
则，
因为，所以，解得，
易知.
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