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2024-2025学年第二学期六月月考试卷
高一数学
分值：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 2
2. 在中，，，，则的面积为（ ）
A B. C. D. 1
3. 已知向量满足，，，则（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 在中，点D是边的中点，点G在上，且是的重心，则用向量、表示为（ ）
A. B.
C. D.
5. 在如图所示正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
6. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（ ）
A. 12 B. C. 16 D.
7. 已知，，且和均为钝角，则值为（ ）
A. B. C. 或 D.
8. 已知，且三点共线，则的最小值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设是平面内一组基，则下列向量中不能作为基的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11. 设是复数，则下列命题中的真命题是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，角所对的边分别为，且是方程的两个根，，则c的值是________．
13. 如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（在同一水平面上）测得M点的仰角为点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离为________m．
14. 《几何原本》第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，点C是以为直径的圆O上异于的点，P为平面外一点，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线l．
（1）求证：直线平面；
（2）求证：直线平面．
16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，E是的中点．
（1）求证：；
（2）设与交于O点，是否存在上一点F，使得平面平面，若存在请指出F点位置，并说明理由．
17. 在中，角所对的边分别为，设向量，记．
（1）求函数的最大值；
（2）若，求c．
18. 2025年春晚《秧BOT》节目将机器人元素融入舞台，展示了我国在机器人研发领域的卓越实力．某机器人研发团队设计了一款机器狗捕捉足球游戏，在如图所示的矩形中，在点A处放置机器狗，在的中点B处放置足球，它们做匀速直线运动，且无其他外界干扰．已知米，足球运动速度为v米/秒，设机器狗在点F处捕捉到足球，若点F在矩形内（含边界），则捕捉成功．记足球和机器狗的运动方向与所成夹角分别为．
（1）当长度不受限制，时，机器狗以米/秒的速度捕捉足球，则为何值时，机器狗能捕捉成功？
（2）已知足球与机器狗运动方向所成夹角为长度不受限制，当机器狗成功捕捉足球时，求机器狗与足球运动的总路程的最大值．
19. 正等角中心亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当中的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，若．
（1）求A；
（2）若，求的面积；
（3）设点P为的费马点，求．
2024-2025学年第二学期六月月考试卷
高一数学
分值：150分 时间：120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】BC
【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】##
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【16题答案】
【答案】（1）见解析 （2）F为中点，
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）8米
【19题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）

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