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浙江省杭州杭十三中2024-2025学年第二学期七年级期中考试数学试题
1．（2025七下·杭州期中）下列现象中，属于平移的是（　　）
A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动
C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动
2．（2025七下·杭州期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·杭州期中） 2025年3月27日，在SEMICON China2025展会现场，深圳新凯来工业机器有限公司首次对外公开半导体产品线，被市场称为国产芯片设备的“重大突破”.已知某国产芯片制程为0.00000007米，则0.00000007用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·杭州期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·杭州期中）如图，点A、B、E在一条直线上，则根据以下条件不能判断 的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·杭州期中）已知实数x、y、k满足 ，则代数式 的值是（　　）
A．4 B．6 C．5 D．7
7．（2025七下·杭州期中）今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·杭州期中）下列说法：①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中正确的是（　　）
A．①④⑤ B．②③④ C．②⑤ D．①④
9．（2025七下·杭州期中）如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，将点C、D分别折至 、 .若 ，则用含x的式子可以将 表示为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·杭州期中）在矩形ABCD内将两种边长分别为a和b( )的正方形纸片按图1和图2两种方式放置，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（　　）
A．BC B．a C．AB D．b
11．（2025七下·杭州期中）若 是方程 的一个解，则 　 　.
12．（2025七下·杭州期中）若 ， ，则 　 　， 　 　.
13．（2025七下·杭州期中）如图，直线AB、CD相交于点O， 于点O.若 ，则 　 　.
14．（2025七下·杭州期中）在解关于x，y的方程组 时，甲同学因看错了c，得到的解为 ，而正确的解为 ，则a=　 　，　 　，　 　.
15．（2025七下·杭州期中）已知 ，则代数式 　 　.
16．（2025七下·杭州期中）已知关于x，y的方程组 ，现给出以下结论：① 是该方程组的一个解；②无论a取何值， 的值始终是一个定值；③当 时，该方程组的解也是方程 的解；④若 ，则 .其中正确的是　 　（填序号）.
17．（2025七下·杭州期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025七下·杭州期中） 解下列方程组：
（1）
（2）
19．（2025七下·杭州期中） 如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度， .的三个顶点都在网格顶点处.现将 平移得到 ，使点A对应点D，点B对应点E.
（1）过点B作 ，且与 成内错角；
（2）画出平移后的 ；
（3）求 的面积.
20．（2025七下·杭州期中） 已知多项式 的展开式中不含 项.
（1）求m的值；
（2）化简： ，并在（1）的条件下求值.
21．（2025七下·杭州期中） 已知：如图， ， .
（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由；
（2）若DG平分 ， ，求 的度数.
22．（2025七下·杭州期中） 某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器(加工时接缝材料不计).
（1）根据题意可列出以下表格：
　 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器
长方形铁片的数量 4张 a张
正方形铁片的数量 b张 2张
则a=　 　，b=　 　；
（2）若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个
（3）已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个.若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器(两种容器都要有)，则有哪几种方案可供选择
23．（2025七下·杭州期中）
（1）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.根据1
可以得到 ， ，ab之间的等量关系式：　 　，根据图2可以得到 ， ，ab之间的等量关系式：　 　.
（2）【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若 ，则 　 　， 　 　.
（3）【知识迁移】如图2所示，C为线段BG上的一点，以BC、CG为边分别向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为 和 ，若 ，两正方形的面积和 求图中阴影部分面积.
24．（2025七下·杭州期中） 已知直线 ，点M、N分别是直线AB和CD上的两点，点G为直线AB和CD之间的一点，连接MG、NG.
（1）如图1，若 ， ，试说明 ；
（2）如图2，在(1)的结论下，点P是直线CD下方一点，满足MG平分 ，ND平分 .若 ，求 的度数；
（3）如图3，点P是直线AB上方一点，连结PM、PN，若点G为线段NQ上一点，GM的延长线为 的三等分线，NP平分 ， ，则 　 　.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A、足球滚动存在曲线运动、旋转运动，不是平移，不符合题意；
B、 货物在传送带上移动，属于平移，符合题意；
C、 小朋友在荡秋千，是旋转运动，不是平移，不符合题意；
D、 汽车雨刮器的摆动 ，是旋转运动，不是平移，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据平移的定义，对选项进行一 一分析，排除错误答案．
2．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、未知量x的次数不是1，不属于二元一次方程；
B、选项属于二元一次方程；
C、项2xy中整体未知量的次数为2，不属于二元一次方程；
D、分母含有未知量，属于分式方程，不属于二元一次方程.
故答案为： B.
【分析】二元一次方程的定义是含有两个未知数且未知数的次数均为1的整式方程，根据此定义判断各选项.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】根据科学记数法的表示方法，将小于1的正数表示为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为负整数，通过确定小数点移动的位数来确定指数n的值.
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；单项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、要求a≠0，但选项没有规定，故运算错误；
B、，运算正确；
C、，运算错误；
D、，运算错误.
故答案为：B.
【分析】A、成立的前提是a≠0；B、根据幂的乘方法则可得；C、根据单项式除以单项式法则可得；D、根据完全平方公式展开可得.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、若，根据“内错角相等，两直线平行”，可判断 ，故A不符合题意；
B、若，根据“同位角相等，两直线平行”，可判断 ，故A不符合题意；
C、若，根据“内错角相等，两直线平行”，只可判断，无法判断，故C符合题意；
D、若，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判断 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定定理，逐项判断即可求解．
6．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，将①+②，可得3x-y=5.
故答案为：5.
【分析】只需要将原方程组中的两个方程相加，即可抵消k，直接计算出3x-y.
7．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据条件“ 每3人坐一辆车，则有2辆空车 ”可得方程3（x-2）=y；根据条件“ 每2人坐一辆车，则有9人需要步行 ”可得方程.
故答案为： .
【分析】根据题意列方程判断即可.
8．【答案】D
【知识点】点到直线的距离；平面中直线位置关系；对顶角及其性质；平行公理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：①在同一平面内，两条直线的位置关系确实只有平行和相交两种，因此说法①正确；
②过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，而原选项未强调“直线外”，因此说法②错误；
③相等的角不一定是对顶角，对顶角需满足有公共顶点且两边互为反向延长线的条件，因此说法③错误；
④点到直线的距离确实定义为垂线段的长度，说法④正确.
故答案为：D.
【分析】①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种；②根据平行公理可判断；③结合对顶角定义判断；④根据“两直线平行，同位角相等”判断.
9．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，延长EF到H.
∵这是长方形纸带，
∴BC∥AD.
∴∠DEF=∠CFH.
∵折叠，
∴∠CFH=∠C'FH。
∴∠DEF=∠CFH=∠C'FH=.
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质以及长方形的性质可得.
10．【答案】C
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：图1中阴影部分周长为；
图2中阴影部分周长为
∴l=2AB，即只要测量图中AB长.
故答案为：C.
【分析】分别求出图1、图2的表达式，然后作差，根据结果判断.
11．【答案】6
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：代入 到原方程，有3+1=a-2，解得a=6.
故答案为：6.
【分析】将已知解代入方程，通过解方程求出未知数 a .
12．【答案】6；
【知识点】同底数幂乘法的逆用；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解： ，.
故答案为：、 .
【分析】根据同底数幂的乘除法法则计算即可，若同底数幂相乘，底数不变，指数相加；若同底数幂相除，底数不变，指数相减.
13．【答案】130°
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵与为邻补角，且 ，
∴、.
∴.
∵ ，
∴.
∴.
故答案为：130° .
【分析】先根据与为邻补角的关系，结合比例条件，得出度数，从而得出对顶角度数. 另外，由垂直条件可知，然后用360°减去、即得到度数.
14．【答案】2；1；-2
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：将甲错误的解 代入中，可得.
将正确的解 代入中，可得、
于是有，解得，且c=-2.
故答案为：2、1、-2 .
【分析】甲同学因看错c导致错解，但即便是错解，也是满足，于是可得到关于a、b的第一个方程a-b=1. 然后将正确的解代入方程，得到关于a、b的第二个方程a+3b=5，联立可求a、b，同时也可求出c.
15．【答案】2023
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，∴
∴
故答案为： 2023.
【分析】整理 ，整体代入条件即可.
16．【答案】①②③
【知识点】因式分解﹣公式法；二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①将解 代入原方程组，可得第一个方程，即；第二个方程，即.两个方程均有，故 是该方程组的一个解，故①正确；②设 ，将①×2+①，得，即，无论a取何值，的值始终为定值，故②正确；③当 时，原方程组为，解得，方程 变为.
将代入，方程左边为，右边为，左边=右边，故 当 时，该方程组的解也是方程 的解，故③正确；④若，则有，由③可知，，则有，即，于是代入原方程组的第二个方程，有，即，故④错误；
故答案为：①②③ .
【分析】根据不同选项代入验证即可.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂的运算法则可计算. 任何非0数的零次幂都等于1，于是. ，其绝对值为它的相反数，于是. 最后计算即可；
（2）根据完全平方公式展开，根据多项式除以单项式法则计算 ，然后将两者相加.
18．【答案】（1）解：将代入，可得，解得.
再将代入到，可得.
即方程组的解为
（2）解： 设.
将②×3-①，得，解得.
将代入②，可得，解得.
即方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法，直接将代入，先消去y解x，再解y；
（2）利用加减消元法，将②×3-①，先消去y解x，再解y.
19．【答案】（1）解： 即所求；

（2）解： 就是要求的角；

（3）解：
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）题目要求，即要求BP∥AC，且与 成内错角，相当于将AC平移到BP，C点对应B点. 根据此平移规则，即可找到P点，连接BP即可；
（2）点A对应点D，也就是说平移规则为：原图形向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度. 根据此规则，即可找到C的对应点F，以及B的对应点E，连接D、E、F即可.
20．【答案】（1）解： 原式 = ，不含 项则 ，即
（2）解：原式 =
= .
代入m=2，计算得
【知识点】多项式的项、系数与次数；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）首先展开多项式 ，根据题意不含项，可得对应项系数为0，从而求得m的值；
（2）化简代数式，并将求得的m值代入计算其值.
21．【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴
（2）解：∵平分，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由线平行得到角互补，即，然后结合条件可知，根据内错角相等，两直线平行可知GD与CA是平行关系；
（2）根据平行线的性质，得到. 根据角平分线的定义，可得到 即再根据平行线的性质即可得出 的度数， 然后根据两直线平行，同位角相等解答即可
22．【答案】（1）3；1
（2）解：设加工x个竖式容器，y个横式容器，可得方程组：
解得
答：可以加工20个竖式容器，30个横式容器.
（3）解：设可以加工a个竖式容器，b个横式容器，可得方程：
，可得
答：有两种方案选择，即①购买10个竖式容器、5个横式容器；②购买4个竖式容器、10个横式容器.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由图片可知，1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片以及1张正方形铁片，而1个横式无盖容器需要3张长方形铁片以及2张正方形铁片.
即a=3，b=1.
故答案为：3、1.
【分析】（1）根据图2可直接得到a、b；
（2）设加工x个竖式容器，y个横式容器，然后根据条件的等量关系列出方程组并解方程组即可；
（3）设可以加工a个竖式容器，b个横式容器，结合每种容器的单个费用列出关于a、b的二元一次方程，然后从a、b均为正整数的角度出发，找出符合条件的a、b即可.
23．【答案】（1）；
（2）20；4
（3）解：设正方形ABCD边长为x，正方形CEFG边长为y，因为，则，因为，所以，可得.
.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）如图1所示，设边长为的正方形面积为，其面积.
于是有.
如下图2所示，设边长为的正方形面积为，其面积.
于是有，即.
故答案为：、；
（2）∵，
∴.
∴.
故答案为：20、4.
【分析】（1）不论图1还是图2，都可以从“大正方形面积=组成的小正方形面积之和”的角度可得到相应的等式；
（2）根据（1），代入条件即可计算；
（3）设正方形ABCD边长为x，正方形CEFG边长为y，模仿（2）的思路先计算出xy值. 然后阴影部分的面积可通过边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积以及2个直角边分别为、的直角三角形面积得到.
24．【答案】（1）证明：如图，过点G作，
∵，，
∴.
∴，.
∴.
（2） 解：设GN与MP的交点为O.
∵，同时，.
∴.
根据（1），.
∴
∵平分，
∴.
∴
∴
（3）60°或48°
【知识点】角平分线的概念；乌鸦嘴模型；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（3）设GM延长线交PN与点H.
①若，则.
∵平分 ，
∴.
∵，且，
∴.
∴
∵.
在内，，而.
∴
∴，整理可得
，解得；
①若，与①同理，有
，整理可得，解得.
故答案为：60°或48°.
【分析】（1）作辅助线GH，通过平行证明，后得证；
（2）由图可知，既是的一个外角，也是的一个外角，以此为突破点，结合条件，即可得到与的数量关系；
（3）这里需要分两种情况：①；②进行讨论，结合条件、（1）所得结论、三角形外角和定理等，最终得到的方程，解之即可.
1 / 1浙江省杭州杭十三中2024-2025学年第二学期七年级期中考试数学试题
1．（2025七下·杭州期中）下列现象中，属于平移的是（　　）
A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动
C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动
【答案】B
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A、足球滚动存在曲线运动、旋转运动，不是平移，不符合题意；
B、 货物在传送带上移动，属于平移，符合题意；
C、 小朋友在荡秋千，是旋转运动，不是平移，不符合题意；
D、 汽车雨刮器的摆动 ，是旋转运动，不是平移，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据平移的定义，对选项进行一 一分析，排除错误答案．
2．（2025七下·杭州期中）下列方程中，属于二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、未知量x的次数不是1，不属于二元一次方程；
B、选项属于二元一次方程；
C、项2xy中整体未知量的次数为2，不属于二元一次方程；
D、分母含有未知量，属于分式方程，不属于二元一次方程.
故答案为： B.
【分析】二元一次方程的定义是含有两个未知数且未知数的次数均为1的整式方程，根据此定义判断各选项.
3．（2025七下·杭州期中） 2025年3月27日，在SEMICON China2025展会现场，深圳新凯来工业机器有限公司首次对外公开半导体产品线，被市场称为国产芯片设备的“重大突破”.已知某国产芯片制程为0.00000007米，则0.00000007用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】根据科学记数法的表示方法，将小于1的正数表示为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为负整数，通过确定小数点移动的位数来确定指数n的值.
4．（2025七下·杭州期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；单项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、要求a≠0，但选项没有规定，故运算错误；
B、，运算正确；
C、，运算错误；
D、，运算错误.
故答案为：B.
【分析】A、成立的前提是a≠0；B、根据幂的乘方法则可得；C、根据单项式除以单项式法则可得；D、根据完全平方公式展开可得.
5．（2025七下·杭州期中）如图，点A、B、E在一条直线上，则根据以下条件不能判断 的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、若，根据“内错角相等，两直线平行”，可判断 ，故A不符合题意；
B、若，根据“同位角相等，两直线平行”，可判断 ，故A不符合题意；
C、若，根据“内错角相等，两直线平行”，只可判断，无法判断，故C符合题意；
D、若，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判断 ，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定定理，逐项判断即可求解．
6．（2025七下·杭州期中）已知实数x、y、k满足 ，则代数式 的值是（　　）
A．4 B．6 C．5 D．7
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，将①+②，可得3x-y=5.
故答案为：5.
【分析】只需要将原方程组中的两个方程相加，即可抵消k，直接计算出3x-y.
7．（2025七下·杭州期中）今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？（选自《孙子算经》）题目大意：有若干人要坐车，若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？设共有x辆车，y个人，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据条件“ 每3人坐一辆车，则有2辆空车 ”可得方程3（x-2）=y；根据条件“ 每2人坐一辆车，则有9人需要步行 ”可得方程.
故答案为： .
【分析】根据题意列方程判断即可.
8．（2025七下·杭州期中）下列说法：①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等.其中正确的是（　　）
A．①④⑤ B．②③④ C．②⑤ D．①④
【答案】D
【知识点】点到直线的距离；平面中直线位置关系；对顶角及其性质；平行公理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：①在同一平面内，两条直线的位置关系确实只有平行和相交两种，因此说法①正确；
②过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，而原选项未强调“直线外”，因此说法②错误；
③相等的角不一定是对顶角，对顶角需满足有公共顶点且两边互为反向延长线的条件，因此说法③错误；
④点到直线的距离确实定义为垂线段的长度，说法④正确.
故答案为：D.
【分析】①在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和相交两种；②根据平行公理可判断；③结合对顶角定义判断；④根据“两直线平行，同位角相等”判断.
9．（2025七下·杭州期中）如图，将一张长方形纸带沿EF折叠，将点C、D分别折至 、 .若 ，则用含x的式子可以将 表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，延长EF到H.
∵这是长方形纸带，
∴BC∥AD.
∴∠DEF=∠CFH.
∵折叠，
∴∠CFH=∠C'FH。
∴∠DEF=∠CFH=∠C'FH=.
故答案为：A.
【分析】根据折叠的性质以及长方形的性质可得.
10．（2025七下·杭州期中）在矩形ABCD内将两种边长分别为a和b( )的正方形纸片按图1和图2两种方式放置，矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（　　）
A．BC B．a C．AB D．b
【答案】C
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：图1中阴影部分周长为；
图2中阴影部分周长为
∴l=2AB，即只要测量图中AB长.
故答案为：C.
【分析】分别求出图1、图2的表达式，然后作差，根据结果判断.
11．（2025七下·杭州期中）若 是方程 的一个解，则 　 　.
【答案】6
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：代入 到原方程，有3+1=a-2，解得a=6.
故答案为：6.
【分析】将已知解代入方程，通过解方程求出未知数 a .
12．（2025七下·杭州期中）若 ， ，则 　 　， 　 　.
【答案】6；
【知识点】同底数幂乘法的逆用；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解： ，.
故答案为：、 .
【分析】根据同底数幂的乘除法法则计算即可，若同底数幂相乘，底数不变，指数相加；若同底数幂相除，底数不变，指数相减.
13．（2025七下·杭州期中）如图，直线AB、CD相交于点O， 于点O.若 ，则 　 　.
【答案】130°
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵与为邻补角，且 ，
∴、.
∴.
∵ ，
∴.
∴.
故答案为：130° .
【分析】先根据与为邻补角的关系，结合比例条件，得出度数，从而得出对顶角度数. 另外，由垂直条件可知，然后用360°减去、即得到度数.
14．（2025七下·杭州期中）在解关于x，y的方程组 时，甲同学因看错了c，得到的解为 ，而正确的解为 ，则a=　 　，　 　，　 　.
【答案】2；1；-2
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：将甲错误的解 代入中，可得.
将正确的解 代入中，可得、
于是有，解得，且c=-2.
故答案为：2、1、-2 .
【分析】甲同学因看错c导致错解，但即便是错解，也是满足，于是可得到关于a、b的第一个方程a-b=1. 然后将正确的解代入方程，得到关于a、b的第二个方程a+3b=5，联立可求a、b，同时也可求出c.
15．（2025七下·杭州期中）已知 ，则代数式 　 　.
【答案】2023
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，∴
∴
故答案为： 2023.
【分析】整理 ，整体代入条件即可.
16．（2025七下·杭州期中）已知关于x，y的方程组 ，现给出以下结论：① 是该方程组的一个解；②无论a取何值， 的值始终是一个定值；③当 时，该方程组的解也是方程 的解；④若 ，则 .其中正确的是　 　（填序号）.
【答案】①②③
【知识点】因式分解﹣公式法；二元一次方程组的解；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①将解 代入原方程组，可得第一个方程，即；第二个方程，即.两个方程均有，故 是该方程组的一个解，故①正确；②设 ，将①×2+①，得，即，无论a取何值，的值始终为定值，故②正确；③当 时，原方程组为，解得，方程 变为.
将代入，方程左边为，右边为，左边=右边，故 当 时，该方程组的解也是方程 的解，故③正确；④若，则有，由③可知，，则有，即，于是代入原方程组的第二个方程，有，即，故④错误；
故答案为：①②③ .
【分析】根据不同选项代入验证即可.
17．（2025七下·杭州期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）根据负整数指数幂的运算法则可计算. 任何非0数的零次幂都等于1，于是. ，其绝对值为它的相反数，于是. 最后计算即可；
（2）根据完全平方公式展开，根据多项式除以单项式法则计算 ，然后将两者相加.
18．（2025七下·杭州期中） 解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：将代入，可得，解得.
再将代入到，可得.
即方程组的解为
（2）解： 设.
将②×3-①，得，解得.
将代入②，可得，解得.
即方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法，直接将代入，先消去y解x，再解y；
（2）利用加减消元法，将②×3-①，先消去y解x，再解y.
19．（2025七下·杭州期中） 如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度， .的三个顶点都在网格顶点处.现将 平移得到 ，使点A对应点D，点B对应点E.
（1）过点B作 ，且与 成内错角；
（2）画出平移后的 ；
（3）求 的面积.
【答案】（1）解： 即所求；

（2）解： 就是要求的角；

（3）解：
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）题目要求，即要求BP∥AC，且与 成内错角，相当于将AC平移到BP，C点对应B点. 根据此平移规则，即可找到P点，连接BP即可；
（2）点A对应点D，也就是说平移规则为：原图形向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度. 根据此规则，即可找到C的对应点F，以及B的对应点E，连接D、E、F即可.
20．（2025七下·杭州期中） 已知多项式 的展开式中不含 项.
（1）求m的值；
（2）化简： ，并在（1）的条件下求值.
【答案】（1）解： 原式 = ，不含 项则 ，即
（2）解：原式 =
= .
代入m=2，计算得
【知识点】多项式的项、系数与次数；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）首先展开多项式 ，根据题意不含项，可得对应项系数为0，从而求得m的值；
（2）化简代数式，并将求得的m值代入计算其值.
21．（2025七下·杭州期中） 已知：如图， ， .
（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由；
（2）若DG平分 ， ，求 的度数.
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴
（2）解：∵平分，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由线平行得到角互补，即，然后结合条件可知，根据内错角相等，两直线平行可知GD与CA是平行关系；
（2）根据平行线的性质，得到. 根据角平分线的定义，可得到 即再根据平行线的性质即可得出 的度数， 然后根据两直线平行，同位角相等解答即可
22．（2025七下·杭州期中） 某铁件加工厂用图1的长方形和正方形铁片(长方形的宽与正方形的边长相等)可以加工成图2的竖式与横式两种无盖的长方体容器(加工时接缝材料不计).
（1）根据题意可列出以下表格：
　 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器
长方形铁片的数量 4张 a张
正方形铁片的数量 b张 2张
则a=　 　，b=　 　；
（2）若现有170张长方形铁片和80张正方形铁片，用于加工图2的竖式容器和横式容器时，两种铁片刚好全部用完，则可以加工出无盖竖式容器和无盖横式容器各多少个
（3）已知该铁件加工厂加工出的此竖式容器费用为50元/个，此横式容器的费用为60元/个.若五金店老板计划支付800元用于采购一批竖式容器和横式容器(两种容器都要有)，则有哪几种方案可供选择
【答案】（1）3；1
（2）解：设加工x个竖式容器，y个横式容器，可得方程组：
解得
答：可以加工20个竖式容器，30个横式容器.
（3）解：设可以加工a个竖式容器，b个横式容器，可得方程：
，可得
答：有两种方案选择，即①购买10个竖式容器、5个横式容器；②购买4个竖式容器、10个横式容器.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由图片可知，1个竖式无盖容器需要4张长方形铁片以及1张正方形铁片，而1个横式无盖容器需要3张长方形铁片以及2张正方形铁片.
即a=3，b=1.
故答案为：3、1.
【分析】（1）根据图2可直接得到a、b；
（2）设加工x个竖式容器，y个横式容器，然后根据条件的等量关系列出方程组并解方程组即可；
（3）设可以加工a个竖式容器，b个横式容器，结合每种容器的单个费用列出关于a、b的二元一次方程，然后从a、b均为正整数的角度出发，找出符合条件的a、b即可.
23．（2025七下·杭州期中）
（1）【知识生成】数学中，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.根据1
可以得到 ， ，ab之间的等量关系式：　 　，根据图2可以得到 ， ，ab之间的等量关系式：　 　.
（2）【知识应用】应用上述等量关系，解决以下问题：若 ，则 　 　， 　 　.
（3）【知识迁移】如图2所示，C为线段BG上的一点，以BC、CG为边分别向上下两侧作正方形ABCD，正方形CEFG，两正方形的面积分别记为 和 ，若 ，两正方形的面积和 求图中阴影部分面积.
【答案】（1）；
（2）20；4
（3）解：设正方形ABCD边长为x，正方形CEFG边长为y，因为，则，因为，所以，可得.
.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）如图1所示，设边长为的正方形面积为，其面积.
于是有.
如下图2所示，设边长为的正方形面积为，其面积.
于是有，即.
故答案为：、；
（2）∵，
∴.
∴.
故答案为：20、4.
【分析】（1）不论图1还是图2，都可以从“大正方形面积=组成的小正方形面积之和”的角度可得到相应的等式；
（2）根据（1），代入条件即可计算；
（3）设正方形ABCD边长为x，正方形CEFG边长为y，模仿（2）的思路先计算出xy值. 然后阴影部分的面积可通过边长为的正方形面积减去边长为的正方形面积以及2个直角边分别为、的直角三角形面积得到.
24．（2025七下·杭州期中） 已知直线 ，点M、N分别是直线AB和CD上的两点，点G为直线AB和CD之间的一点，连接MG、NG.
（1）如图1，若 ， ，试说明 ；
（2）如图2，在(1)的结论下，点P是直线CD下方一点，满足MG平分 ，ND平分 .若 ，求 的度数；
（3）如图3，点P是直线AB上方一点，连结PM、PN，若点G为线段NQ上一点，GM的延长线为 的三等分线，NP平分 ， ，则 　 　.
【答案】（1）证明：如图，过点G作，
∵，，
∴.
∴，.
∴.
（2） 解：设GN与MP的交点为O.
∵，同时，.
∴.
根据（1），.
∴
∵平分，
∴.
∴
∴
（3）60°或48°
【知识点】角平分线的概念；乌鸦嘴模型；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：（3）设GM延长线交PN与点H.
①若，则.
∵平分 ，
∴.
∵，且，
∴.
∴
∵.
在内，，而.
∴
∴，整理可得
，解得；
①若，与①同理，有
，整理可得，解得.
故答案为：60°或48°.
【分析】（1）作辅助线GH，通过平行证明，后得证；
（2）由图可知，既是的一个外角，也是的一个外角，以此为突破点，结合条件，即可得到与的数量关系；
（3）这里需要分两种情况：①；②进行讨论，结合条件、（1）所得结论、三角形外角和定理等，最终得到的方程，解之即可.
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