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浙江省温州市部分学校（瑞安中学附属学校等校）2024-2025学年七年级下学期数学期中学能诊断试题
一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分.请选出每小题中最符合题意的一个选项,不选、多选、错选均不得分)
1．（2025七下·瑞安期中）沙燕风筝是传统风筝中最具代表性的，不仅性能良好，还有祈福的寓意。图1是一沙燕风筝的示意图，在下列四个选项中，能由图1经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·瑞安期中） 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·瑞安期中） 红细胞的平均直径约是0.000008m，将数据0.000008用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·瑞安期中） 若，则n的值为（　　）
A．-6 B．1 C．5 D．6
5．（2025七下·瑞安期中）化简的结果是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·瑞安期中）根据∠1=∠2，能得到AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·瑞安期中） 若 ， ， 则 的值是（　　）
A．4 B．6 C．10 D．16
8．（2025七下·瑞安期中）将一条长方形纸带按如图方式折叠，若∠1=112°，则∠2的度数为（　　）
A．34° B．44° C．39° D．56°
9．（2025七下·瑞安期中） 若关于 x，y 的方程组的解是，则关于 x，y 的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·瑞安期中） 如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和.若知道下列条件，可以求值的是（　　）
A．长方形纸片的面积 B．长方形纸片的周长
C．长方形纸片和①的面积差 D．图1与图2阴影部分的面积差
二、填空题(本大题有6小题,每小题3分,共18分)
11．（2025七下·瑞安期中） 已知二元一次方程 ，用含 y 的代数式表示 x，则 　 　.
12．（2025七下·瑞安期中）如图，将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置。已知三角形ABC的周长是17，四边形ABFD的周长是21，那么平移的距离是　 　。
13．（2025七下·瑞安期中） 《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”这个题目的意思是甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家羊的数量就一样多.”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为　 　.
14．（2025七下·瑞安期中） 已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为-7，则ab的值为　 　.
15．（2025七下·瑞安期中） 光线在不同介质中传播会发生折射.由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面时发生了折射，水面与玻璃杯的底面平行.若，则　 　（用含a的代数式表示）.
16．（2025七下·瑞安期中） 如图，小明准备将78张形状、大小完全相同的小长方形（长是宽的3倍）卡片，既不重叠又无空隙地放在一个长方形（长与宽的比为10：9）的蛇年插画边沿，则得到的新长方形的长与宽的比为　 　.
三、解答题(本大题有8小题,共72分.解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七下·瑞安期中）解方程组：
（1） ；
（2）.
18．（2025七下·瑞安期中）计算：
（1） ；
（2） .
19．（2025七下·瑞安期中）在化简的过程中，小明有以下两种方法：
解法一：原式= （第一步）
=-6x；（第二步）
解法二：原式= （第一步）
= （第二步）
=. （第三步）
小明发现两种解法的结果不同，请你帮他判断上述解法是否正确.如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的.若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程.
20．（2025七下·瑞安期中）先化简，再求值：
（1） ，其中 ；
（2） 已知 ，求代数式 的值.
21．（2025七下·瑞安期中）如图，直线 CD，EF 交于点 O，OA，OB 分别平分 和 ，且 .
（1） 请判定直线 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；
（2） 若 ，求 的度数.
22．（2025七下·瑞安期中） 在月历上，我们可以发现其中某些日期满足一定的规律，某兴趣小组对此进行了活动探究.
探究主题：月历中的数学
初步探究 ⑴图1是2025年4月份的月历，用图2所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中 的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，尝试计算： ▲ ；
猜测说明 ⑵多次尝试可以发现，上述运算结果都是定值.设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整 式运算的有关知识对上述规律进行说明；
深度探究 ⑶在某张月历中，两个“Z”字型框架如图3摆放，若每框中A，E上的数各自相乘，两积之差为 360，求a，b的值.
23．（2025七下·瑞安期中） 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 A 0.50
超过17吨但不超过30吨的部分 B 0.50
超过30吨的部分 3.00 0.50
(说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费)
已知小王家 2024 年 7 月用水 15 吨，交水费 30 元；8 月份用水 26 吨，交水费 61 元.
（1） 求 a，b 的值.
（2） 如果小王家 9 月份上交水费 108 元，则小王家这个月用水多少吨？
（3） 小王家 10 月份忘记去交水费，当他 11 月去交水费时发现两个月一共用水 52 吨（其中 10 月份用水超过 30 吨），一共交水费 132.59 元（其中包含 10 月份的滞纳金，即 10 月份水费的 2%），求小王家 11 月份用水多少吨.（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
24．（2025七下·瑞安期中）如图，直线AB∥CD，直线MN⊥AB分别交AB，CD于点M，N，直角三角板EMF如图放置，∠FEM=30°，直线NG∥EF。
（1）求∠GND的度数。
（2）将三角板EMF绕点M以每秒2°的速度顺时针旋转，得到三角板E'MF'，旋转的时间为t（0①当三角板E'MF'的一边与直线NG平行时，求t的值；
②三角板EMF绕点M旋转的同时，直线NG绕点N以每秒3°的速度逆时针旋转到NG'，若NG'⊥E'M，求t的值。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解： 根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形如下：
故答案为：D.
【分析】平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解： 计算正确，符合题意；
原计算错误，不符合题意；
原计算错误，不符合题意；
原计算错误，不符合题意，
故答案为：A .
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘除法，单项式乘多项式的运算法则，逐一判断各选项， 即可得到结果.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B .
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数.
4．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
又·
故答案为：A .
【分析】根据题意，把 展开后，与原式相比较， 即可得到结果.
5．【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：C .
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则求解即可.
6．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2不是同位角，不能得到 AB∥CD；
B、∠1=∠2只能得到AC∥BD，但不能得到AB∥CD；
C、∠1与∠2不是同位角，不能得到 AB∥CD；
D、根据内错角相等，两直线平行可知，通过∠1=∠2能得到 AB∥CD.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可.
7．【答案】A
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：
.
故答案为：D .
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可.
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∠3=180°-∠1=180°-112°=68°，
由折叠可知∠2=∠4，
由平行线的性质可知∠3=∠2+∠4，进而可得∠2=.
故答案为：A.
【分析】由折叠的性质可知∠2=∠4，再由两直线平行，同位角相等可推知∠2=，从而可解.
9．【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 由可得
∵关于x、y的方程组 的解为
∴，解得
故答案为：C .
【分析】将第一个方程组的解代入方程，与第二个方程组组成新的的方程组，即可求解.
10．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
则 即：
；
∵矩形的面积是 ab，矩形的周长是
故A、B是正确的；
又因为①的面积是( ②的面积是
；
故③正确，
故答案为：D .
【分析】用字母表示长度，列代数式，运用整式的运算进行验证.
11．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
所以
故答案为：
【分析】先把含y的项进行移项，再把x的系数化为1即可.
12．【答案】2
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：因为 由 平移得到，
所以
又因为三角形ABC的周长是17，四边形ABFD的周长是21，
所以
即
所以
即平移的距离是2.
故答案为： 2.
【分析】先根据三角形ABC和四边形ABFD的周长得出 得长，再根据平移的性质即可求出平移的距离.
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：
故答案为： .
【分析】根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”和“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多”为等量关系，列出方程组即可.
14．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∵展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为
解得
故答案为： 3.
【分析】根据题意，把 展开后，其二次项的系数为0，一次项的系数为 ， 求得a， b的值，得到结果.
15．【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵空气中的光线平行，
∵水面与玻璃杯的底面平行，
故答案为：
【分析】根据平行线的性质即可解决问题.
16．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设在 插画的长上放了x张小长方形卡片，宽上放了y张小长方形卡片，
依题意，得：
解得：
∴ 新长方形的长与宽的比为12×3：2=36：29，
故答案为： .
【分析】设在 插画的长上放了x张小长方形卡片，宽上放了y张小长方形卡片，根据题意列方程组求出x和y的值，即可解题.
17．【答案】（1）解：
得
解得：
把 代入①，得
解得：
∴方程组的解为 ；
（2）解：
整理，得
得
得
得
解得：
把 代入①，得
解得：
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)利用加减消元法解方程组即可；
(2)把原方程组整理，再利用加减消元法解方程组即可.
18．【答案】（1）解：原式=-1+1+8=8；
（2）解：原式=.
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；积的乘方运算
【解析】【分析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答.
19．【答案】解：解法一错误，从第一步开始出错；
解法二错误，也是从第一步开始出错；
正确的解答过程：原式=.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据完全平方公式及平方差公式进行计算，再合并同类项， 即可得出答案
20．【答案】（1）解：原式 ，
当 时，原式 ；
（2）解：原式 ，
由已知得 ，所以原式 .
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】(1)先运用完全平方公式、多项式乘以多项式展开，然后合并，再把x的值代入计算解题；
(2)先根据单项式乘以多项式、平方差公式展开，然后去括号合并，再整体代入计算解题.
21．【答案】（1）解： ，理由如下：
分别平分和，
，
，
，
，
，
.
（2）解：平分，
，
，
∵设，则，，
∴.
∵，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】(1)根据角平分线平分角，结合平角的定义推出 推出 即可得出结论；
(2)根据角平分线平分角，得到 结合平角的定义和. 进行求解即可.
22．【答案】解：⑴15；
⑵∵C上的数为x，
∴B上的数为，D上的数为，A上的数为，E上的数为
∴；
⑶∵两框A.E上的数各自相乘，其差为360.
∴，
又∵，
∴，
∴.
【知识点】整式的混合运算；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：15；
【分析】(1)计算得到结果，归纳总结即可得到结果；
(2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则A，B，D，E四个数依次为 ，根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，即可证明；
(3)中间位置上的数为a，则最小的数为 最大的数为 ，根据题意列出关系式， 即可求解.
23．【答案】（1）解：由题意，得，
解得；
（2）解：由题意可知，（元），（元），（元），
设小王家这个月用水 x 吨，
由题意，得，
解得.
答：小王家这个月用水 40 吨；
（3）解：设 11 月份用水 m 吨，则 10 月份用水吨.
①当 ，
可得 ，
解得；
②当 ，
可得 ，
解得 ( 舍去 )，
即小王家 11 月份用水 13 吨.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】(1)根据“小王家2024年7月用水15吨， 交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设小王家这个月用水x吨，根据小王家9月份上交水费108元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(3)设小王家11月份用水y吨，则小王家10月份用水 吨， 分 及 两种情况考虑，根据小王家一共交水费132.59元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.
24．【答案】（1）解：
，
（2）解：①如图1，∵0∴只有 MF'∥NG 一种情形，
则∠FMF'=∠MNG=60°，
∴2t=60，∴t=30。
②如图2，此时∠MPN=90°。
∵∠BMP+∠DNP=∠MPN，
∴2t+30+3t=90，
∴t=12。
如图3，此时∠MPN=90°.
∵∠EMP+∠CNG'=90°，
∴180-2t+150-3t=90，
∴t=48。
综上，若 NG'⊥E'M ，则t的值为12或48。
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【分析】(1)由三角板可知 再根据平行的性质即可得解；
(2)①根据题意可知只有 一种情形， 所以 进而得解；
②在旋转过程中会出现两次垂直，分别是 在MN左侧和右侧，分别画出图形，建立方程求解即可.
1 / 1浙江省温州市部分学校（瑞安中学附属学校等校）2024-2025学年七年级下学期数学期中学能诊断试题
一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分.请选出每小题中最符合题意的一个选项,不选、多选、错选均不得分)
1．（2025七下·瑞安期中）沙燕风筝是传统风筝中最具代表性的，不仅性能良好，还有祈福的寓意。图1是一沙燕风筝的示意图，在下列四个选项中，能由图1经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解： 根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形如下：
故答案为：D.
【分析】平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫作图形的平移运动，简称平移．
2．（2025七下·瑞安期中） 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式除以单项式；积的乘方运算
【解析】【解答】解： 计算正确，符合题意；
原计算错误，不符合题意；
原计算错误，不符合题意；
原计算错误，不符合题意，
故答案为：A .
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘除法，单项式乘多项式的运算法则，逐一判断各选项， 即可得到结果.
3．（2025七下·瑞安期中） 红细胞的平均直径约是0.000008m，将数据0.000008用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B .
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数.
4．（2025七下·瑞安期中） 若，则n的值为（　　）
A．-6 B．1 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
又·
故答案为：A .
【分析】根据题意，把 展开后，与原式相比较， 即可得到结果.
5．（2025七下·瑞安期中）化简的结果是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
故答案为：C .
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则求解即可.
6．（2025七下·瑞安期中）根据∠1=∠2，能得到AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2不是同位角，不能得到 AB∥CD；
B、∠1=∠2只能得到AC∥BD，但不能得到AB∥CD；
C、∠1与∠2不是同位角，不能得到 AB∥CD；
D、根据内错角相等，两直线平行可知，通过∠1=∠2能得到 AB∥CD.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可.
7．（2025七下·瑞安期中） 若 ， ， 则 的值是（　　）
A．4 B．6 C．10 D．16
【答案】A
【知识点】同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：
.
故答案为：D .
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可.
8．（2025七下·瑞安期中）将一条长方形纸带按如图方式折叠，若∠1=112°，则∠2的度数为（　　）
A．34° B．44° C．39° D．56°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∠3=180°-∠1=180°-112°=68°，
由折叠可知∠2=∠4，
由平行线的性质可知∠3=∠2+∠4，进而可得∠2=.
故答案为：A.
【分析】由折叠的性质可知∠2=∠4，再由两直线平行，同位角相等可推知∠2=，从而可解.
9．（2025七下·瑞安期中） 若关于 x，y 的方程组的解是，则关于 x，y 的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解： 由可得
∵关于x、y的方程组 的解为
∴，解得
故答案为：C .
【分析】将第一个方程组的解代入方程，与第二个方程组组成新的的方程组，即可求解.
10．（2025七下·瑞安期中） 如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形ABCD中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和.若知道下列条件，可以求值的是（　　）
A．长方形纸片的面积 B．长方形纸片的周长
C．长方形纸片和①的面积差 D．图1与图2阴影部分的面积差
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
则 即：
；
∵矩形的面积是 ab，矩形的周长是
故A、B是正确的；
又因为①的面积是( ②的面积是
；
故③正确，
故答案为：D .
【分析】用字母表示长度，列代数式，运用整式的运算进行验证.
二、填空题(本大题有6小题,每小题3分,共18分)
11．（2025七下·瑞安期中） 已知二元一次方程 ，用含 y 的代数式表示 x，则 　 　.
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
所以
故答案为：
【分析】先把含y的项进行移项，再把x的系数化为1即可.
12．（2025七下·瑞安期中）如图，将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置。已知三角形ABC的周长是17，四边形ABFD的周长是21，那么平移的距离是　 　。
【答案】2
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：因为 由 平移得到，
所以
又因为三角形ABC的周长是17，四边形ABFD的周长是21，
所以
即
所以
即平移的距离是2.
故答案为： 2.
【分析】先根据三角形ABC和四边形ABFD的周长得出 得长，再根据平移的性质即可求出平移的距离.
13．（2025七下·瑞安期中） 《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”这个题目的意思是甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家羊的数量就一样多.”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为　 　.
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：
故答案为： .
【分析】根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”和“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多”为等量关系，列出方程组即可.
14．（2025七下·瑞安期中） 已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为-7，则ab的值为　 　.
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∵展开式中不含x的二次项，且一次项的系数为
解得
故答案为： 3.
【分析】根据题意，把 展开后，其二次项的系数为0，一次项的系数为 ， 求得a， b的值，得到结果.
15．（2025七下·瑞安期中） 光线在不同介质中传播会发生折射.由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面时发生了折射，水面与玻璃杯的底面平行.若，则　 　（用含a的代数式表示）.
【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵空气中的光线平行，
∵水面与玻璃杯的底面平行，
故答案为：
【分析】根据平行线的性质即可解决问题.
16．（2025七下·瑞安期中） 如图，小明准备将78张形状、大小完全相同的小长方形（长是宽的3倍）卡片，既不重叠又无空隙地放在一个长方形（长与宽的比为10：9）的蛇年插画边沿，则得到的新长方形的长与宽的比为　 　.
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设在 插画的长上放了x张小长方形卡片，宽上放了y张小长方形卡片，
依题意，得：
解得：
∴ 新长方形的长与宽的比为12×3：2=36：29，
故答案为： .
【分析】设在 插画的长上放了x张小长方形卡片，宽上放了y张小长方形卡片，根据题意列方程组求出x和y的值，即可解题.
三、解答题(本大题有8小题,共72分.解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七下·瑞安期中）解方程组：
（1） ；
（2）.
【答案】（1）解：
得
解得：
把 代入①，得
解得：
∴方程组的解为 ；
（2）解：
整理，得
得
得
得
解得：
把 代入①，得
解得：
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)利用加减消元法解方程组即可；
(2)把原方程组整理，再利用加减消元法解方程组即可.
18．（2025七下·瑞安期中）计算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式=-1+1+8=8；
（2）解：原式=.
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；积的乘方运算
【解析】【分析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答.
19．（2025七下·瑞安期中）在化简的过程中，小明有以下两种方法：
解法一：原式= （第一步）
=-6x；（第二步）
解法二：原式= （第一步）
= （第二步）
=. （第三步）
小明发现两种解法的结果不同，请你帮他判断上述解法是否正确.如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的.若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程.
【答案】解：解法一错误，从第一步开始出错；
解法二错误，也是从第一步开始出错；
正确的解答过程：原式=.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】根据完全平方公式及平方差公式进行计算，再合并同类项， 即可得出答案
20．（2025七下·瑞安期中）先化简，再求值：
（1） ，其中 ；
（2） 已知 ，求代数式 的值.
【答案】（1）解：原式 ，
当 时，原式 ；
（2）解：原式 ，
由已知得 ，所以原式 .
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】(1)先运用完全平方公式、多项式乘以多项式展开，然后合并，再把x的值代入计算解题；
(2)先根据单项式乘以多项式、平方差公式展开，然后去括号合并，再整体代入计算解题.
21．（2025七下·瑞安期中）如图，直线 CD，EF 交于点 O，OA，OB 分别平分 和 ，且 .
（1） 请判定直线 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；
（2） 若 ，求 的度数.
【答案】（1）解： ，理由如下：
分别平分和，
，
，
，
，
，
.
（2）解：平分，
，
，
∵设，则，，
∴.
∵，
∴，
∴.
【知识点】角的运算；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】(1)根据角平分线平分角，结合平角的定义推出 推出 即可得出结论；
(2)根据角平分线平分角，得到 结合平角的定义和. 进行求解即可.
22．（2025七下·瑞安期中） 在月历上，我们可以发现其中某些日期满足一定的规律，某兴趣小组对此进行了活动探究.
探究主题：月历中的数学
初步探究 ⑴图1是2025年4月份的月历，用图2所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中 的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，尝试计算： ▲ ；
猜测说明 ⑵多次尝试可以发现，上述运算结果都是定值.设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整 式运算的有关知识对上述规律进行说明；
深度探究 ⑶在某张月历中，两个“Z”字型框架如图3摆放，若每框中A，E上的数各自相乘，两积之差为 360，求a，b的值.
【答案】解：⑴15；
⑵∵C上的数为x，
∴B上的数为，D上的数为，A上的数为，E上的数为
∴；
⑶∵两框A.E上的数各自相乘，其差为360.
∴，
又∵，
∴，
∴.
【知识点】整式的混合运算；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：15；
【分析】(1)计算得到结果，归纳总结即可得到结果；
(2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则A，B，D，E四个数依次为 ，根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，即可证明；
(3)中间位置上的数为a，则最小的数为 最大的数为 ，根据题意列出关系式， 即可求解.
23．（2025七下·瑞安期中） 为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 A 0.50
超过17吨但不超过30吨的部分 B 0.50
超过30吨的部分 3.00 0.50
(说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费)
已知小王家 2024 年 7 月用水 15 吨，交水费 30 元；8 月份用水 26 吨，交水费 61 元.
（1） 求 a，b 的值.
（2） 如果小王家 9 月份上交水费 108 元，则小王家这个月用水多少吨？
（3） 小王家 10 月份忘记去交水费，当他 11 月去交水费时发现两个月一共用水 52 吨（其中 10 月份用水超过 30 吨），一共交水费 132.59 元（其中包含 10 月份的滞纳金，即 10 月份水费的 2%），求小王家 11 月份用水多少吨.（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
【答案】（1）解：由题意，得，
解得；
（2）解：由题意可知，（元），（元），（元），
设小王家这个月用水 x 吨，
由题意，得，
解得.
答：小王家这个月用水 40 吨；
（3）解：设 11 月份用水 m 吨，则 10 月份用水吨.
①当 ，
可得 ，
解得；
②当 ，
可得 ，
解得 ( 舍去 )，
即小王家 11 月份用水 13 吨.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】(1)根据“小王家2024年7月用水15吨， 交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设小王家这个月用水x吨，根据小王家9月份上交水费108元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
(3)设小王家11月份用水y吨，则小王家10月份用水 吨， 分 及 两种情况考虑，根据小王家一共交水费132.59元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.
24．（2025七下·瑞安期中）如图，直线AB∥CD，直线MN⊥AB分别交AB，CD于点M，N，直角三角板EMF如图放置，∠FEM=30°，直线NG∥EF。
（1）求∠GND的度数。
（2）将三角板EMF绕点M以每秒2°的速度顺时针旋转，得到三角板E'MF'，旋转的时间为t（0①当三角板E'MF'的一边与直线NG平行时，求t的值；
②三角板EMF绕点M旋转的同时，直线NG绕点N以每秒3°的速度逆时针旋转到NG'，若NG'⊥E'M，求t的值。
【答案】（1）解：
，
（2）解：①如图1，∵0∴只有 MF'∥NG 一种情形，
则∠FMF'=∠MNG=60°，
∴2t=60，∴t=30。
②如图2，此时∠MPN=90°。
∵∠BMP+∠DNP=∠MPN，
∴2t+30+3t=90，
∴t=12。
如图3，此时∠MPN=90°.
∵∠EMP+∠CNG'=90°，
∴180-2t+150-3t=90，
∴t=48。
综上，若 NG'⊥E'M ，则t的值为12或48。
【知识点】平行线的性质；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【分析】(1)由三角板可知 再根据平行的性质即可得解；
(2)①根据题意可知只有 一种情形， 所以 进而得解；
②在旋转过程中会出现两次垂直，分别是 在MN左侧和右侧，分别画出图形，建立方程求解即可.
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