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2024年浙江省宁波市镇海蛟川书院九年级中考第二次模拟数学模拟试题
1．（2024九下·镇海区模拟）已如的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的直径为，点到直线的距离为，
∴的半径为，
∵，
∴与的位置关系是相离；
故选A．
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，当点到直线的距离等于半径之相切；点到直线的距离小于半径之相交；点到直线的距离大于半径之相离；据此判断即可．
2．（2024九下·镇海区模拟）若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由，得或或，
假设m=2，n=3；或m=2，n=-3；或m=-3，n=-2
A，，以上三种情况都正确，故本选项正确，符合题意；
B、，假设，，则，故本选项不符合题意；
C、，假设，，则，故本选项不符合题意；
D、，假设，，则，故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据不等式的性质，逐项分析判断饥渴。
3．（2024九下·镇海区模拟）已知是方程的一个根，则（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意，得：，根据韦达定理得方程的另一个根为，
∴，
代入原式得
∴
；
故选B．
【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可．
4．（2024九下·镇海区模拟）已知，则（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：设，，
，
，
两边平方，得，
∴，
由，，
两边分别平方，得，，
两式相加，得，
∵，
，
，
，，
．
故答案为：．
【分析】先设，，两边平方，可得，，再求出，，然后计算，再求出．
5．（2024九下·镇海区模拟）已知，，若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】由题意得，
解得：
解得：
故选：C．
【分析】
先用消元法解二元一次方程组，求出x和y，再根据解不等式，可求出a的取值范围。
6．（2024九下·镇海区模拟）如图，在中，是上一点，连结，，若点是的重心，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，延长BF交E于G，
点F是△ABE的重心，
∴G是AE中点，GF：BG=1：3，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
故选：B．
【分析】延长BF交AE于G，由三角形重心的性质得到是中点，GF：BG=1：3，因此，又，于是得到．
7．（2024九下·镇海区模拟）对于整数，，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．已知，其中是负数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；化简含绝对值有理数；解系数含参的一元一次方程；分类讨论
【解析】【解答】解：∵是负数，为偶数，
∴，
∴，
当为偶数时，
则：，
∴，
解得：；
当为奇数时，
则：，
∴，
解得：（舍去）；
故选C．
【分析】先计算（aa），由于是负数，为偶数，根据根据定义新运算的法则按 计算结果是-4a.然后分类讨论-4a+a=-3a为偶数按 计算，当-3a为奇数按 计算，
，列出一元一次方程，进行求解即可，
8．（2024九下·镇海区模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线．若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：，，
抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，
，
，解得：，
故答案为：．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解．
9．（2024九下·镇海区模拟）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图所示，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，
∵ 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，
∴设，，
∵是的中点，
∴，
∵轴，，
∴；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：或（舍去）；
∵
，
∴
，
故答案为：C．
【分析】先设出，两点的坐标，则可表示出C点的坐标，把C点坐标代入可求得m与n的关系式，推出，再分别求出， 然后根据进行求解即可得到答案．
10．（2024九下·镇海区模拟）如图，内接于，，是的直径，连结，平分交于，若，则的半径为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】B
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：过点作垂直于点，交于点，交于点，连接，
∵，
∴为线段的中垂线，，
∵内接于，
∴三点共线，，
∴为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∠AGH=∠CAE+∠HCA
∠GAH=∠EAB+∠BAH，
即：，
∴，
∵是的直径，
∴，∴，
O是AD的中点，∴G是AE的中点
∴
设半径为，则：，
∴，
在中，，
∴，
解得：（舍去）或；
∴的半径为；
故选B．
【分析】过点作垂直于点，交于点，交于点，连接，易得为的直径，先证，得到。在△ADE中根据中位线性质求出OG=1，设圆的半径是r，在直角三角形中ACH中，AC=8，CH=2r ，AH=t-1，根据勾股定理列出二元一次方程求出r.
11．（2024九下·镇海区模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】先用十字相乘法分解后再用平方差公式分解．
12．（2024九下·镇海区模拟）已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a-b=-1……①
b-c=-1……②，
①+②得 a-c=-2，
∴
∵
∴
∴；
故答案为：．
【分析】根据，推出，求出，结合，即可得出结果．
13．（2024九下·镇海区模拟）多项式与多项式的乘积为，则　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：多项式与多项式的乘积为，
设多项式，
由题意得：
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】设多项式，把展开与 比较系数，利用同类项的系数相等得到a、b、c的值（含有字母m），然后代入2a+b+c中求值。
14．（2024九下·镇海区模拟）已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，且当和时函数值都为，则与的等量关系为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：抛物线与轴只有一个交点，
△，
即，
当和时函数值都为，
∴
，
把，代入得，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由“抛物线与轴只有一个交点“得出，即，其次，根据抛物线对称轴的定义知当和时函数值都为，得出，再把它代入二次函数中并结合求出m、n的数量关系．
15．（2024九下·镇海区模拟）如图，在中，，，以为直径作半圆，过点作半圆的切线，切点为，过点作交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，连接，如图，设，
，，
为的切线，
为的切线，
，，
，
，，
在与中，
，
(AA)，
，
∴，
，
∵，
∴，解得：，
∴，
，
∴，解得：，
，
，，，
四边形为矩形，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先证明为的切线，再利用切线的性质和切线长定理得到，然后证明，再利用相似三角形的性质得到，接着可用x表示出FA，从而可用x表示出FD，再利用勾股定理求得OF，然后利用面积法可求出DG，再用勾股定理计算出OG，最后利用垂径得到的长．
16．（2024九下·镇海区模拟）如图，在中，平分交于点，过作交于点，延长至点，使得，连结，若，，，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，过点作，过点作，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得，再利用平行线的性质，结合角平分线的意义，可得，再利用等角对等边得到，设，互余关系结合三角形的内角和定理，得出，再根据，可证得，从而可求，再求的长，然后利用解直角三角形求出的长，再利用三角形面积公式求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可．
17．（2024九下·镇海区模拟）如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得与重合，与重合，若，则　 　．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】连接，，设交于点，交于．设，
∵ 将沿翻折使得与重合，
∴，，，
，
，
，
，
，
点D为的中点，
，
，，
在与中，
，
，
，
∴，
∴，
，
，解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先根据折叠性质得出，，，再证明，然后利用相似三角形的性质得出，从中可求得，从而得，再等角对等边得出，从而可证得，最后利用线段差求出BF．
18．（2024九下·镇海区模拟）如图，在中，，，是上一点，，交于点，是直线上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转至线段，连结．当点，，共线时，　 　．
【答案】或
【知识点】旋转的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：①当点在线段上时：
过点作于点，过点作，，则：四边形为矩形，，设，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∴，
由旋转的性质可得：，
∴，
∵点，，共线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：或（舍去）；
∴，
∴；
②当点在线段上时，如图：
设，，
则：，，
∴，
同理可得：，，
∴；
综上所述，或；
故答案为：或．
【分析】 先证得四边形为矩形，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式，从而可用a表示出，再表示出，接着证明，列出比例式求出，从而可求出，于是可求出，当点在线段上，同样的方法可求出．
19．（2024九下·镇海区模拟）（1）计算：；
（2）有两道门，各配有2把钥匙，这4把钥匙分放在2个抽屉里，使每个抽屉里恰好有每一道门的1把钥匙，若从每个抽屉里任取1把钥匙，用画树状图或列表格的方法求出能打开两道门的概率．
【答案】【解答】解：（1）
．
（2）设第一道门的钥匙为，，第二道门的钥匙为，，其中一个抽屉里放，，另一个抽屉里放，，
列表如下：
　
， ，
， ，
共有4种等可能的结果，其中能打开两道门的结果有2种，
能打开两道门的概率为．
【知识点】分式的加减法；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）先化简括号内的式子，再将括号外的除法转化为乘法，再约分即可．
（2）根据题意列出表格，由表格可得出所有等可能的结果数以及能打开两道门的结果数，再利用概率公式可得出答案．
20．（2024九下·镇海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，，，是轴负半轴上一点，连结，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结交轴于点，若点横坐标为3．
（1）求直线的解析式；
（2）求点坐标；
（3）在轴和直线上分别找点，，使得、、、构成的四边形是平行四边形，直接写出点坐标．
【答案】（1）解：设直线的解析式为：
将，代入，得：，解得：，
直线的表达式为：；
（2）解：过点作轴于，如图1所示：
，，点是与轴的交点，且横坐标为3，
，，，
轴于，
，
，
∵ 将线段绕着点逆时针旋转得到线段，
∴，，
，
，，
，
又，
，
，
，
点的坐标为；
（3）或或
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（3）设直线的解析式为：，
∵，在直线AD上，
∴，解得：，
直线的解析式为：，
点在直线上，
设，
点在轴上，
设，
点、、、构成的四边形是平行四边形，
可分两种情况：
①当为平行四边形的一边时，又有两种情况：
（ⅰ）当点在的上方时，连接交轴于，如图2所示：
∵点、、、构成的四边形是平行四边形，
∴点是和的中点，
∵，，
∴，
∵，，
∴
，解得，，
点；
（ⅱ）当点在的下方时，连接，交于点，如图3所示：
∵、、、构成的四边形是平行四边形，
∴点是和的中点，
∵，，
∴点，
∵，，
∴，
，解得：，，
点；
②当为平行四边形的对角线时，连接交于，如图4所示：
根据平行四边形的性质得，点是和的中点，
对于，，则点，
对于，，则，
，
由，解得：，
将代入，得：，
点．
综上所述：点的坐标为或或
．
【分析】（1）先设直线的解析式为，再将A，B两点的坐标代入之中求出，即可；
（2）先证和全等，再根据全等三角形的性质得到，，再证明和全等，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再求出点的坐标；
（3）先求出直线的解析式为，可设点，再设点，根据点、、、构成的四边形是平行四边形，分两种情况：①当为平行四边形的一边时，又有两种情况：点在的上方、点在的下方，分别求得点P的坐标；②当为平行四边形的对角线时，列出方程求出的值得出的坐标．
21．（2024九下·镇海区模拟）如图，在中，是边上的高，以为直径的交于点F，交于点E，连结．
（1）求证：；
（2）若，的直径为5，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵以为直径的交于点F，
∴，
在Rt△BCF中∠BCF=90°-∠CBF
在Rt△ABD中∠BAD=90°-∠CBF
∴∠BCF=∠BAD
又∵∠BCF=∠BEF（等弧对等角
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴
∵，
∴
∴∠BAC=∠ACF
∴，
∵
∴
在中，，，
∴
∵，
∴，
∴
设AD=4x BD=3x
∵
即(
x=
∴，
∵是的直径，
∴
又∵
∴(AA)，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍）．
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求出，结合直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理得到∠BCF=∠BEF，即可得。
（2）连接，根据等腰直角三角形的判定与性质求出，根据勾股定理求出，，根据锐角三角函数及勾股定理求出，结合圆周角定理求出，证明（AA），根据相似三角形的对应边成比例求出BE．
22．（2024九下·镇海区模拟）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒．
（1）分别求出甲、乙坚果每盒的进价；
（2）若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值；
（3）因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值．
【答案】（1）解：设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，由题意，得：，解得：（舍去）或，
经检验：是原方程的根；
∴；
答：甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元；
（2）解：设购进甲坚果的数量为盒，则购进乙坚果的数量为盒，由题意，得：
解得：，
∴的最大整数解为：35，甲坚果每盒利润68-48=20（元），乙坚果每盒利润50-40=10（元）
设总利润为，则：
∴当时，有最大值：
故总利润的最大值为元．
（3）解：由题意“甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率” ，得：，解得：，
设 第二次购进的甲坚果数量为n，乙坚果的数量为3n.
∵第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，
∴
整理，得：
∵均为正整数，
∴或，
∴或．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，根据题意，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购进甲坚果的数量为盒，用含有m的式子表示乙坚果的盒数，根据“乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍”求出m的取值范围，根据题意列出总利润为的函数关系式，由于甲坚果每盒利润高于乙坚果每盒利润，当m取最大值时，总利润最大，即可总利润的最大值。
（3）根据“甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率” 求出a的取值范围，设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，根据题意总利润3600元，二元一次方程，由于a、n均为整数，求出二元一次方程的整数解即可．
23．（2024九下·镇海区模拟）如图1，四边形中，，，平分．
（1）求证：．
（2）如图2，平分交于点．
①若，，求的长；
②如图3，若是的中点，连结，，若，求的长．
【答案】（1）解：过点作于，于，
∵平分，
∴，
在与中，
，
，
，
，
，
在四边形AGCH中，，
∴四边形AGCH是矩形，
，
（2）解：①平分，，
∴，
，
，，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
作于，则，
设，则，
在中，∵，
∴
解得：或
∵在中，，
，
或．
∵，
∴，
当时，，不符合题意，
故；
②作于，则，
为的中点，
设，则，
在中，
解得（舍去）或，
，
【知识点】三角形的综合；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先证明，再证明四边形AGCH中有3个直角，从而得出结论；
（2）①先证明，根据等角对等边可得，再由勾股定理求出的长，再求的长即可；
②由，可证明，再证明，然后利用勾股定理求出的长，再利用线段和求出的长 ．
24．（2024九下·镇海区模拟）四边形内接于，是的直径，连结交于点，，垂足为．
（1）如图1，若交于点．
①求证：；
②若的直径为10，，，求的长．
（2）如图2，若交于点，连结，若，，，求的直径．
【答案】（1）解：①证明：是的直径，，
，
，
，
，
，
，
，
②如图，过点G作于点K，
∵在中，，
∴，解得：，
∴，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
∴，
；
（2）解：如图，设交于点Q，过点O作于点H，连接并延长交于点P，延长交于点G，连接，
，
，
，
是的直径，
，
，
∴，
∵CG//BD，
，
，
∴，
，
∵OH//BD，
，，
，，
∵OH//BD，
，
∴，
，
，
，
，
∴，
设的半径为r，
∴，
，解得：，
直径为．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）①先证得，再利用同角的余角相等得，然后结合圆周角定理可得结论成立；
②先利用正弦求得，用正切求得，再根据，可得，然后证明，利用全等三角形的性质可得，从而可求得，最后利用勾股定理求解即可；
（2）先证明，，再根据相似三角形的性质依次得出相应边关系，然后设的半径为r，可用r表示了DQ，最后利用勾股定理得到关于r的方程求解．
1 / 12024年浙江省宁波市镇海蛟川书院九年级中考第二次模拟数学模拟试题
1．（2024九下·镇海区模拟）已如的直径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
2．（2024九下·镇海区模拟）若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·镇海区模拟）已知是方程的一个根，则（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
4．（2024九下·镇海区模拟）已知，则（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2024九下·镇海区模拟）已知，，若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九下·镇海区模拟）如图，在中，是上一点，连结，，若点是的重心，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·镇海区模拟）对于整数，，定义一种新的运算“”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定．已知，其中是负数，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·镇海区模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线．若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·镇海区模拟）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，连接交图象于点，若是的中点，则的面积是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·镇海区模拟）如图，内接于，，是的直径，连结，平分交于，若，则的半径为（　　）
A． B． C． D．5
11．（2024九下·镇海区模拟）因式分解：　 　．
12．（2024九下·镇海区模拟）已知，，则　 　．
13．（2024九下·镇海区模拟）多项式与多项式的乘积为，则　 　．
14．（2024九下·镇海区模拟）已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，且当和时函数值都为，则与的等量关系为　 　．
15．（2024九下·镇海区模拟）如图，在中，，，以为直径作半圆，过点作半圆的切线，切点为，过点作交于点，则　 　．
16．（2024九下·镇海区模拟）如图，在中，平分交于点，过作交于点，延长至点，使得，连结，若，，，则　 　．
17．（2024九下·镇海区模拟）如图，在中，，，，是的中点，点，分别在边，上，，将，分别沿，翻折使得与重合，与重合，若，则　 　．
18．（2024九下·镇海区模拟）如图，在中，，，是上一点，，交于点，是直线上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转至线段，连结．当点，，共线时，　 　．
19．（2024九下·镇海区模拟）（1）计算：；
（2）有两道门，各配有2把钥匙，这4把钥匙分放在2个抽屉里，使每个抽屉里恰好有每一道门的1把钥匙，若从每个抽屉里任取1把钥匙，用画树状图或列表格的方法求出能打开两道门的概率．
20．（2024九下·镇海区模拟）如图，在平面直角坐标系中，，，是轴负半轴上一点，连结，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结交轴于点，若点横坐标为3．
（1）求直线的解析式；
（2）求点坐标；
（3）在轴和直线上分别找点，，使得、、、构成的四边形是平行四边形，直接写出点坐标．
21．（2024九下·镇海区模拟）如图，在中，是边上的高，以为直径的交于点F，交于点E，连结．
（1）求证：；
（2）若，的直径为5，，求的长．
22．（2024九下·镇海区模拟）某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商场用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒．
（1）分别求出甲、乙坚果每盒的进价；
（2）若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值；
（3）因甲坚果市场反应良好，超市第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量比为，为回馈消费者，超市计划将甲坚果每盒售价降低元（为正整数），但甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率，已知第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，求的值．
23．（2024九下·镇海区模拟）如图1，四边形中，，，平分．
（1）求证：．
（2）如图2，平分交于点．
①若，，求的长；
②如图3，若是的中点，连结，，若，求的长．
24．（2024九下·镇海区模拟）四边形内接于，是的直径，连结交于点，，垂足为．
（1）如图1，若交于点．
①求证：；
②若的直径为10，，，求的长．
（2）如图2，若交于点，连结，若，，，求的直径．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵的直径为，点到直线的距离为，
∴的半径为，
∵，
∴与的位置关系是相离；
故选A．
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，当点到直线的距离等于半径之相切；点到直线的距离小于半径之相交；点到直线的距离大于半径之相离；据此判断即可．
2．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由，得或或，
假设m=2，n=3；或m=2，n=-3；或m=-3，n=-2
A，，以上三种情况都正确，故本选项正确，符合题意；
B、，假设，，则，故本选项不符合题意；
C、，假设，，则，故本选项不符合题意；
D、，假设，，则，故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据不等式的性质，逐项分析判断饥渴。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意，得：，根据韦达定理得方程的另一个根为，
∴，
代入原式得
∴
；
故选B．
【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可．
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：设，，
，
，
两边平方，得，
∴，
由，，
两边分别平方，得，，
两式相加，得，
∵，
，
，
，，
．
故答案为：．
【分析】先设，，两边平方，可得，，再求出，，然后计算，再求出．
5．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】由题意得，
解得：
解得：
故选：C．
【分析】
先用消元法解二元一次方程组，求出x和y，再根据解不等式，可求出a的取值范围。
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，延长BF交E于G，
点F是△ABE的重心，
∴G是AE中点，GF：BG=1：3，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
故选：B．
【分析】延长BF交AE于G，由三角形重心的性质得到是中点，GF：BG=1：3，因此，又，于是得到．
7．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；化简含绝对值有理数；解系数含参的一元一次方程；分类讨论
【解析】【解答】解：∵是负数，为偶数，
∴，
∴，
当为偶数时，
则：，
∴，
解得：；
当为奇数时，
则：，
∴，
解得：（舍去）；
故选C．
【分析】先计算（aa），由于是负数，为偶数，根据根据定义新运算的法则按 计算结果是-4a.然后分类讨论-4a+a=-3a为偶数按 计算，当-3a为奇数按 计算，
，列出一元一次方程，进行求解即可，
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：，，
抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，
，
，解得：，
故答案为：．
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图所示，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，
∵ 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，
∴设，，
∵是的中点，
∴，
∵轴，，
∴；
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得：或（舍去）；
∵
，
∴
，
故答案为：C．
【分析】先设出，两点的坐标，则可表示出C点的坐标，把C点坐标代入可求得m与n的关系式，推出，再分别求出， 然后根据进行求解即可得到答案．
10．【答案】B
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：过点作垂直于点，交于点，交于点，连接，
∵，
∴为线段的中垂线，，
∵内接于，
∴三点共线，，
∴为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∠AGH=∠CAE+∠HCA
∠GAH=∠EAB+∠BAH，
即：，
∴，
∵是的直径，
∴，∴，
O是AD的中点，∴G是AE的中点
∴
设半径为，则：，
∴，
在中，，
∴，
解得：（舍去）或；
∴的半径为；
故选B．
【分析】过点作垂直于点，交于点，交于点，连接，易得为的直径，先证，得到。在△ADE中根据中位线性质求出OG=1，设圆的半径是r，在直角三角形中ACH中，AC=8，CH=2r ，AH=t-1，根据勾股定理列出二元一次方程求出r.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】先用十字相乘法分解后再用平方差公式分解．
12．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a-b=-1……①
b-c=-1……②，
①+②得 a-c=-2，
∴
∵
∴
∴；
故答案为：．
【分析】根据，推出，求出，结合，即可得出结果．
13．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：多项式与多项式的乘积为，
设多项式，
由题意得：
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】设多项式，把展开与 比较系数，利用同类项的系数相等得到a、b、c的值（含有字母m），然后代入2a+b+c中求值。
14．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：抛物线与轴只有一个交点，
△，
即，
当和时函数值都为，
∴
，
把，代入得，
，
，
，
故答案为：．
【分析】由“抛物线与轴只有一个交点“得出，即，其次，根据抛物线对称轴的定义知当和时函数值都为，得出，再把它代入二次函数中并结合求出m、n的数量关系．
15．【答案】
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，连接，如图，设，
，，
为的切线，
为的切线，
，，
，
，，
在与中，
，
(AA)，
，
∴，
，
∵，
∴，解得：，
∴，
，
∴，解得：，
，
，，，
四边形为矩形，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先证明为的切线，再利用切线的性质和切线长定理得到，然后证明，再利用相似三角形的性质得到，接着可用x表示出FA，从而可用x表示出FD，再利用勾股定理求得OF，然后利用面积法可求出DG，再用勾股定理计算出OG，最后利用垂径得到的长．
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，过点作，过点作，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质可得，再利用平行线的性质，结合角平分线的意义，可得，再利用等角对等边得到，设，互余关系结合三角形的内角和定理，得出，再根据，可证得，从而可求，再求的长，然后利用解直角三角形求出的长，再利用三角形面积公式求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理求解即可．
17．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】连接，，设交于点，交于．设，
∵ 将沿翻折使得与重合，
∴，，，
，
，
，
，
，
点D为的中点，
，
，，
在与中，
，
，
，
∴，
∴，
，
，解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先根据折叠性质得出，，，再证明，然后利用相似三角形的性质得出，从中可求得，从而得，再等角对等边得出，从而可证得，最后利用线段差求出BF．
18．【答案】或
【知识点】旋转的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：①当点在线段上时：
过点作于点，过点作，，则：四边形为矩形，，设，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
设，
∴，
由旋转的性质可得：，
∴，
∵点，，共线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：或（舍去）；
∴，
∴；
②当点在线段上时，如图：
设，，
则：，，
∴，
同理可得：，，
∴；
综上所述，或；
故答案为：或．
【分析】 先证得四边形为矩形，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式，从而可用a表示出，再表示出，接着证明，列出比例式求出，从而可求出，于是可求出，当点在线段上，同样的方法可求出．
19．【答案】【解答】解：（1）
．
（2）设第一道门的钥匙为，，第二道门的钥匙为，，其中一个抽屉里放，，另一个抽屉里放，，
列表如下：
　
， ，
， ，
共有4种等可能的结果，其中能打开两道门的结果有2种，
能打开两道门的概率为．
【知识点】分式的加减法；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）先化简括号内的式子，再将括号外的除法转化为乘法，再约分即可．
（2）根据题意列出表格，由表格可得出所有等可能的结果数以及能打开两道门的结果数，再利用概率公式可得出答案．
20．【答案】（1）解：设直线的解析式为：
将，代入，得：，解得：，
直线的表达式为：；
（2）解：过点作轴于，如图1所示：
，，点是与轴的交点，且横坐标为3，
，，，
轴于，
，
，
∵ 将线段绕着点逆时针旋转得到线段，
∴，，
，
，，
，
又，
，
，
，
点的坐标为；
（3）或或
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（3）设直线的解析式为：，
∵，在直线AD上，
∴，解得：，
直线的解析式为：，
点在直线上，
设，
点在轴上，
设，
点、、、构成的四边形是平行四边形，
可分两种情况：
①当为平行四边形的一边时，又有两种情况：
（ⅰ）当点在的上方时，连接交轴于，如图2所示：
∵点、、、构成的四边形是平行四边形，
∴点是和的中点，
∵，，
∴，
∵，，
∴
，解得，，
点；
（ⅱ）当点在的下方时，连接，交于点，如图3所示：
∵、、、构成的四边形是平行四边形，
∴点是和的中点，
∵，，
∴点，
∵，，
∴，
，解得：，，
点；
②当为平行四边形的对角线时，连接交于，如图4所示：
根据平行四边形的性质得，点是和的中点，
对于，，则点，
对于，，则，
，
由，解得：，
将代入，得：，
点．
综上所述：点的坐标为或或
．
【分析】（1）先设直线的解析式为，再将A，B两点的坐标代入之中求出，即可；
（2）先证和全等，再根据全等三角形的性质得到，，再证明和全等，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再求出点的坐标；
（3）先求出直线的解析式为，可设点，再设点，根据点、、、构成的四边形是平行四边形，分两种情况：①当为平行四边形的一边时，又有两种情况：点在的上方、点在的下方，分别求得点P的坐标；②当为平行四边形的对角线时，列出方程求出的值得出的坐标．
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵以为直径的交于点F，
∴，
在Rt△BCF中∠BCF=90°-∠CBF
在Rt△ABD中∠BAD=90°-∠CBF
∴∠BCF=∠BAD
又∵∠BCF=∠BEF（等弧对等角
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴
∵，
∴
∴∠BAC=∠ACF
∴，
∵
∴
在中，，，
∴
∵，
∴，
∴
设AD=4x BD=3x
∵
即(
x=
∴，
∵是的直径，
∴
又∵
∴(AA)，
∴，
∴，
∴，
∴（负值已舍）．
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求出，结合直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理得到∠BCF=∠BEF，即可得。
（2）连接，根据等腰直角三角形的判定与性质求出，根据勾股定理求出，，根据锐角三角函数及勾股定理求出，结合圆周角定理求出，证明（AA），根据相似三角形的对应边成比例求出BE．
22．【答案】（1）解：设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，由题意，得：，解得：（舍去）或，
经检验：是原方程的根；
∴；
答：甲、乙坚果每盒的进价分别为元和元；
（2）解：设购进甲坚果的数量为盒，则购进乙坚果的数量为盒，由题意，得：
解得：，
∴的最大整数解为：35，甲坚果每盒利润68-48=20（元），乙坚果每盒利润50-40=10（元）
设总利润为，则：
∴当时，有最大值：
故总利润的最大值为元．
（3）解：由题意“甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率” ，得：，解得：，
设 第二次购进的甲坚果数量为n，乙坚果的数量为3n.
∵第二次两种坚果全部售完后获得的总利润为3600元，
∴
整理，得：
∵均为正整数，
∴或，
∴或．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲坚果每盒的进价为元，则：乙坚果每盒的进价为元，根据题意，列出分式方程进行求解即可；
（2）设购进甲坚果的数量为盒，用含有m的式子表示乙坚果的盒数，根据“乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍”求出m的取值范围，根据题意列出总利润为的函数关系式，由于甲坚果每盒利润高于乙坚果每盒利润，当m取最大值时，总利润最大，即可总利润的最大值。
（3）根据“甲坚果每盒的利润率需高于乙坚果每盒的利润率” 求出a的取值范围，设第二次购进的甲坚果与乙坚果的数量分别为和，根据题意总利润3600元，二元一次方程，由于a、n均为整数，求出二元一次方程的整数解即可．
23．【答案】（1）解：过点作于，于，
∵平分，
∴，
在与中，
，
，
，
，
，
在四边形AGCH中，，
∴四边形AGCH是矩形，
，
（2）解：①平分，，
∴，
，
，，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
作于，则，
设，则，
在中，∵，
∴
解得：或
∵在中，，
，
或．
∵，
∴，
当时，，不符合题意，
故；
②作于，则，
为的中点，
设，则，
在中，
解得（舍去）或，
，
【知识点】三角形的综合；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先证明，再证明四边形AGCH中有3个直角，从而得出结论；
（2）①先证明，根据等角对等边可得，再由勾股定理求出的长，再求的长即可；
②由，可证明，再证明，然后利用勾股定理求出的长，再利用线段和求出的长 ．
24．【答案】（1）解：①证明：是的直径，，
，
，
，
，
，
，
，
②如图，过点G作于点K，
∵在中，，
∴，解得：，
∴，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
∴，
；
（2）解：如图，设交于点Q，过点O作于点H，连接并延长交于点P，延长交于点G，连接，
，
，
，
是的直径，
，
，
∴，
∵CG//BD，
，
，
∴，
，
∵OH//BD，
，，
，，
∵OH//BD，
，
∴，
，
，
，
，
∴，
设的半径为r，
∴，
，解得：，
直径为．
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）①先证得，再利用同角的余角相等得，然后结合圆周角定理可得结论成立；
②先利用正弦求得，用正切求得，再根据，可得，然后证明，利用全等三角形的性质可得，从而可求得，最后利用勾股定理求解即可；
（2）先证明，，再根据相似三角形的性质依次得出相应边关系，然后设的半径为r，可用r表示了DQ，最后利用勾股定理得到关于r的方程求解．
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