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2024年浙江省金华市东阳市中考二模数学试题
1．（2024九下·东阳模拟）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若零上记作，则零下记作．
故选：D．
【分析】、在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2．（2024九下·东阳模拟）以“跑进电影·穿越历史”为主题的2023横店马拉松赛事总规模达25000人，数25000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：C．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数且比位数少1，据此判断即可．
3．（2024九下·东阳模拟）化简（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
故选：B
【分析】 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 根据法则得出结果即可。
4．（2024九下·东阳模拟）小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，共60秒，
∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为，
故答案为：A.
【分析】先求出所有等可能的情况数，再求出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可。
5．（2024九下·东阳模拟）若点在第二象限，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴，，
∴在第四象限，
故选：D．
【分析】本题考查了平面直角坐标系－点的坐标特征：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第二象限（+，-），根据第二象限的点的坐标特征得出，，进而判断所在的象限即可．
6．（2024九下·东阳模拟）如图，是斜靠在墙上的长梯，与地面夹角为，当梯顶下滑到时，梯脚滑到，此时与地面的夹角为，若，，则
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：，
在中，，
设，则，
，
，，
，，
由题意得： ，
在中，，
，
解得：，
，，，
，
故选：B．
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用．在下滑的过程中梯子的总长度不变，根据题意，在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理可得，再利用线段的和差关系可得，，然后根据题意可得：，从而在中，利用勾股定理列出关于的方程，继而求出，，再根据代入计算即可。
7．（2024九下·东阳模拟）如图，已知，添加下列条件，不能判定的是　　
A． B．平分 C．为的中点 D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，，
而，
当添加时，，则，所以，所以A选项不符合题意；
当添加平分时，，两边不夹角，不能判断，所以B项符合题意；
当添加为的中点时，，，则，所以，所以C选项不符合题意；
当添加时，所以，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法是：SSS；ASA；AAS；SAS及HL.
先由得到，加上为公共边，则根据全等三角形的判定方法可分别对各选项进行判断．
8．（2024九下·东阳模拟）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可得该几何体是圆锥，且圆锥的底面直径是4，高是
母线长为∶，
∴圆锥的底面周长为：，
∵圆锥的侧面图扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为，半径为6，
∴，
∴解得：．
故选：D．
【分析】
本题考查了由三视图还原几何体，以及扇形的弧长公式。由三视图可得该几何体是圆锥，展开图是扇形，且圆锥的底面直径是4，母线长为，母线长是几何展开图扇形的半径，圆锥的侧面图扇形的弧长等于圆锥的底面周长，根据扇形的弧长公式计算出n即可．
9．（2024九下·东阳模拟）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示：
直线一定过点，，
如果k=2，反比例函数图象经过（1，2）；（2，1）；(3，)阴影部分（不包括边界）只有一个整数点，故选项A错误。
如果k=3，反比例函数图象经过（1，3）；（2，1.5）；(3，1)阴影部分（不包括边界）只有三个整数点，故选项B错误。
如果k=4，反比例函数图象经过（1，4）；（2，2）；(3，)；(4，1)阴影部分（不包括边界）有五个整数点，故选项C正确。
如果k=5，反比例函数图象经过（1，5）；（2，2.5）；(3，)（4，），（5，1）阴影部分（不包括边界）只有七个整数点，故选项C错误
故选：C．
【分析】直线一定过点，，根据题意一次函数反比例函数与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），设反比例函数K值分别是2，3，4，5，当x=1、2、3、4求出相应的y值，分析各种情况阴影部分（不包括边界）的整数点，即可找到符合题意的K值。
10．（2024九下·东阳模拟）如图，把4个形状大小均相同的矩形摆放成正方形，连接并延长交于点，连接．若，则的值是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图：设DH=a，DG=AB=4a，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
设BE=AD=b
，
，
，
，
∴b=2a，
，，，，
，
，
，
故选：D．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形、正方形的性质，设DH=a，DG=AB=4a，BE=AD=b。先证明，推出BK=DH，再证明，推出，得到，求出b=2a，由勾股定理求出EH和IC，即可得到.
11．（2024九下·东阳模拟）多项式去括号的结果是　 　．
【答案】
【知识点】去括号法则及应用
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】去括号法则：
（1）括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都不改变.
（2）括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都要改变成与原来相反的符号．
12．（2024九下·东阳模拟）分解因式：＝　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题考查了分解因式。先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
13．（2024九下·东阳模拟）若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为　 　．
【答案】4
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】∵ 一组数据3，4，x，6，7的众数是3，
∴x=3，
∴这组数据从小到大排列为：3，3，4，6，7，
∴这组数据的中位数为：4，
故答案为：4.
【分析】先利用众数的定义求出x的值，再将数据从小到大排列，再利用中位数的定义分析求解即可.
14．（2024九下·东阳模拟）如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得. 则边上的高长度为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵三角形的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积，
∴==6，
∵AC＝==，
∴AC边上的高h===，
故答案为：．
【分析】先根据大正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算出三角形ABC的面积，再根据勾股定理求得AC的长，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高．
15．（2024九下·东阳模拟）已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
-2＜0，抛物线开口向下，对称轴
∴
∴
故答案为：．
【分析】先把抛物线化成一般形式，找出对称轴，根据二次函数的性质判断x的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系确定 的取值范围。
16．（2024九下·东阳模拟）如图，在扇形中，点为圆心，点在上，过点作于点，交弦于点，且，连接．
（1）设，则　 　．（用的代数式表示）
（2）已知的长为，若为等腰三角形，则扇形的半径长为　 　．
【答案】；或．
【知识点】三角形的外角性质；垂径定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）连接，交于，则，
在和中，
，
，
，，
∵∠OCD+∠AOC=90°
∴∠OAB+∠AOC=90°
，
∵OA=OB，
∴∠AOB=∠COB
，
故答案为：；
（2）由（1）可知，设，则，
，
当，
，
，
，
∠BEO=∠BAO+∠AOE=4x
在三角形BOE中
∠ABO+∠BOE+∠BEO=180°
，
，
，
，
．
当时，
∠BOE=∠BEO=3X，
∵∠BAO+∠AOE=∠BEO
∴∠BAO=2X=∠ABO
在三角形BOE中
∠ABO+∠BOE+∠BEO=180°
∴2x+3x+3x=180°
x=22.5°
.
故答案为：或．
【分析】
本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂径定理。作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
（1）连接，交于，则OA=OB=OC，先证明，得到，，，等腰三角形三线合一得到求得，则；
（2）由（1）可知，设，则，，分两种情况；
①BE=OE，分别求出∠BOE=3X，∠ABO=3x，∠BEO=4X，根据三角形内角和等于180°求出∠AOB=72°，再根据弧长=，求出半径R.
②BE=OB，分别求出∠BOE=3X，∠ABO=2x，∠BEO=3X，根据三角形内角和等于180°求出∠AOB=90°，再根据弧长=，求出半径R.
17．（2024九下·东阳模拟）计算：．
【答案】解：
.
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据特殊角的三角形函数值和实数的混合运算进行计算即可.
18．（2024九下·东阳模拟）解不等式组：．
【答案】解：，由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集是：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小。大大小小没有解，大小小大取中间 ”求出其公共解集即可．
19．（2024九下·东阳模拟）为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，图②所示的统计图，已知“查资料”的人数是48人．解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，求表示“玩游戏”的扇形圆心角度数，并补全条形统计图．
（2）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2h以上(不含2h)的人数．
【答案】（1）解：“玩游戏”的扇形圆心角度数：
随机抽取的学生数为：（人，
用手机时间在3小时以上的人数为：（人，
补全条形统计图如下：
（2）解：（人，
答：估计每周使用手机时间在2小时以上的人数是1470人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体．（1）由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以即可得到“玩游戏”的扇形圆心角度数。然后求出总人数，再求出3小时以上的人数，补全条形统计图即可；
（2）由每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）所占的比乘以2100即可得到结果．
20．（2024九下·东阳模拟）如图，点E是矩形的边上一点，且．
（1）尺规作图：作的平分线，交的延长线于点F(保留作图痕迹，不写作法)．
（2）连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）如图所示，线段AF就是所求作的角平分线；
（2）解：
四边形是菱形．理由如下：
四边形是矩形，
，
平分
，（等角对等边）
，
，
四边形是平行四边形，（对边平行且相等的四边形为平行四边形）
，
四边形是菱形．（邻边相等的平行四边形为菱形）
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以A为圆心以任意长度为半径画弧交AE、AD于M、N；分别以M、N为圆心以大于MN为半径画弧，两弧相交于P，连接AP并延长相交于BC的延长线于F.据此完成作图。
（2）根据矩形的性质得出，结合角平分线的定义先证明AEFD是平行四边形，结合平行四边形的邻边相等即可证明AEFD是菱形。
21．（2024九下·东阳模拟）已知二次函数，是常数，．
（1）当二次函数的图象过点时，求该抛物线的对称轴．
（2）若，点，在该二次函数图象上，求证：．
【答案】（1）解：由题意，二次函数的图象过点，
．
．
抛物线的对称轴是直线
（2）证明：由题意，点，在该二次函数图象上，
∴3a+b＞0 ①．
又
-a-b＞0 ②，
①+②得，
．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）依据题意，由二次函数的图象过点，从而，进而可得，再根据对称轴即可求出该抛物线的对称轴。
（2）依据题意，由点，在该二次函数图象上，从而可得，又，从而，进而可得，得证a＞0.
22．（2024九下·东阳模拟）小聪家购买了一辆新能源汽车，该汽车的基本配置为：电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为．图①为汽车仪表盘的一部分，有关充电小常识如表②所示．
表②
新能源汽车小常识： 1.新能源汽车充电有个简单的公式： 充电量() =充电功率() ×充电时间 2.电动汽车电池剩余20%电量时，提示充电状态，此时电量灯显示为黄色 已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题)
已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题)
汽车行驶过程
已行驶里程y(千米) 0 200 300 350
显示电量 100 60 40 30
（1）在直角坐标系中，通过描点判断y与x之间的函数关系，并求出该函数表达式．
（2）请问该汽车在满电状态行驶多少公里时，电量灯开始变成黄色？
（3）已知小聪爸爸驾驶该新能源汽车在满电量的状态下出发，前往600千米处的目的地，行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时长后继续行驶，到达目的地时仪表盘显示电量为，求该汽车在服务区充电的时长．
【答案】（1）解：在坐标系中描点作图如下：判断该函数为一次函数，设函数解析式为，
将点，代入解析式得：
，解得，
一次函数解析式为：．
（2）解：当时，
答：该汽车在满电状态行驶400公里时，电量灯开始变成黄色．
（3）解：由题意可得行驶里程表显示：，解得，
每千米的耗电量（100-52）÷240=0.2
600千米的耗电量600×0.2=120
充电电量为：120+10-100=30，
根据题意，电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为，即小时充电
的电量需要充电时间为：分钟，即充电时间为分钟．
答：到达目的地时仪表盘显示电量为，该汽车在服务区充电分钟．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据表格数据，描点画出函数图象并利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）将代入（1）中解析式求出值即可；
（3）根据题意先求出每行驶1千米需要的电量，再求出行驶600千米需要的电量。由于仪表盘显示剩余10%的电量，可求出需要充电的电量是30%。再根据“ 电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为． ”可知快充充满需要的时间是即可充满100%据此即可求出充30%电量需要的时间。
23．（2024九下·东阳模拟）根据以下操作，完成任务．
如何折出正多边形？
操 作 1 如图①，先对折正方形，得到的垂直平分线，再摊开、铺平，把点D，C折到的垂直平分线上．折叠后的点D，点C重合，记为点O．得到．
操 作 2 将操作1中折出的剪下，如图②，将对折，记折痕为，再摊开、铺平，把点A，B折到上．折叠后的点A，点B重合，记为点G……
问题解决
任 务 1 判断的形状，并说明理由
任 务 2 某数学学科小组在操作2的基础上继续折叠，提供了以下三种方案： 方案①：将纸片沿向上折叠，使得点H落在点P处． 方案②：将对折，使得角两边与重合，折痕交于点P． 方案③：将纸片向左上方折叠，使得点E与点H重合，折叠后的点F落在点P处． 以上方案中折出的四边形为正方形的是 ．(填写序号)
任 务3 求操作1中的正方形与操作2中所折出的正方形的面积之比．
【答案】解：
任务1：根据折叠的方法可知：OH垂直平分AB，AD=AO=BO=BC. ∵ABCD是正方形，∴AB=AD=BC
∴AB=AO=BO， 所以是等边三角形，
任务2：
方案中折出的四边形为正方形的是①②③；
任务3：过点E作，垂足为M.如图：
∵，，∠AEM=30°
设AM=x，AE=2x，EM=MH=x
AH=AE+MH=x+，
AB=2AH=2(1+)x
正方形ABCD的面积=
正方形EHPF的面积==6X
∴正方形与正方形的面积之比为：
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
任务2：连接，因为是等边三角形，所在直线是AB的垂直平分线，
∵∠A=∠B，AH=BH，
∴△AEH≌△BFH
EH=FH，、是关于的对称，
∴，，即是的垂直平分线，，
方案①，将纸片沿向上折叠，使得点落在点处，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴菱形是正方形；
方案②，将∠对折，使得角两边与重合，折痕交于点．
∵∠A=60°，∠EHA=∠EHP=45° ∠GOE=30°
∴∠AEH=180°-60°-45°=75°
又折叠可知∠GEH=75°
∴∠OEG=180°-75°-75°=30°
∠OEP=∠OEG=15°
∠HPE=∠GOE+∠OEP=45°
∴EP=EH=HF，∠PEH=180°-∠EHG-∠EPG=180°-45°-45°=90°
EP∥HF，EP=EH=HF
∴四边形是是正方形；
方案③：将纸片向左上方折叠，使得点E与点H重合，折叠后的点F落在点P处．如图：∠EHF=90°
由折叠方法可知：，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是正方形；
综上所述：方案中折出的四边形为正方形的是①②③；
故答案为：①②③。
【分析】
本题考查了正方形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
任务1：根据ABCD是正方形和折叠的性质得出AB=AO=BO，故是等边三角形；
任务2：连接，可证是的垂直平分线，
方案①，由折叠的方法和对称性质可得：先证EHFP是菱形 且∠EHF=90°继而证得EHFP是正方形；
方案②，证明EP∥HF，EP=EH=HF得到EHFP是正方形；
方案③，先证四边形是平行四边形，由于邻边相等且互相垂直，故EHFP是正方形
故按以上方案折叠方法折出四边形是正方形有①②③；
任务3：由折叠性质知，，∠AEM=30°，设AM=x，用含有x的式子表示出AE、EM、MH、EH、AB，而正方形ABCD的面积，正方形EHFP的面积，继而可以求出两个正方形的面积之比。
24．（2024九下·东阳模拟）如图，内接于，点在直径的延长线上，且，连结，．
（1）求证：是的切线．
（2）若的半径为，．
①当时，求．
②求证：．
【答案】（1）证明：连接、，
∵是直径，
∴，
设∠OAB=∠OBA=∠ACD=x
∵∠BAC=∠BAO+∠FAO=∠2∠ ACD=2x
即x+∠FAO=2x
∴∠FAO=x
AE∥BC
∴∠ACB=∠CAE
∠ACB+∠ACD=∠CAE+∠FAO
∴∠BCD=∠OAE=90°
即：，
∵是半径，.
∴是的切线．
（2）解：①∵，，∴．AO=AE=R
∴
∴
∵，
∴
∴在中，
∴
∵，
∴．
②由（1）得AE是圆的切线
∴∠ABE=∠EAD=∠ACD，
∠E=∠ E
∴，即
∵在中，
在中，，
∵AE∥BC
∴，即
∵，
∴，即：
∴，即，
∴，
∴
∴
【知识点】切线的判定；解直角三角形；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论；转化思想
【解析】【解析】考查了圆与三角形综合，涉及了切线性质和判断、圆周角定理，相似三角形的判定与性质、解三角形等知识点，（1）连接、，根据题意和已知条件先证∠OAF=∠ACD，再证∠ACB+∠ACD=∠CAE+∠FAO=90°即，∵是半径，∴是的切线．
（2）①因为AE∥BC，所以∠E=∠DBC=45°，∠OAE=∠BCD=90°，解直角三角形求出DE=
CD=，得到，结合已知条件 ，求出n=2-.
②证得，因为∠ABD=∠ACD，求得，又因为AE∥BC，，解直角三角形得到，结合已知条件继而得到，，，把DE，BE代入得证。
1 / 12024年浙江省金华市东阳市中考二模数学试题
1．（2024九下·东阳模拟）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上记作，则零下记作（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九下·东阳模拟）以“跑进电影·穿越历史”为主题的2023横店马拉松赛事总规模达25000人，数25000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·东阳模拟）化简（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·东阳模拟）小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·东阳模拟）若点在第二象限，则点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024九下·东阳模拟）如图，是斜靠在墙上的长梯，与地面夹角为，当梯顶下滑到时，梯脚滑到，此时与地面的夹角为，若，，则
A．2 B． C． D．
7．（2024九下·东阳模拟）如图，已知，添加下列条件，不能判定的是　　
A． B．平分 C．为的中点 D．
8．（2024九下·东阳模拟）如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体侧面展开图的圆心角的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·东阳模拟）如图，直线及反比例函数的图象与两坐标轴之间的阴影部分（不包括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），则的取值可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2024九下·东阳模拟）如图，把4个形状大小均相同的矩形摆放成正方形，连接并延长交于点，连接．若，则的值是　　
A． B． C． D．
11．（2024九下·东阳模拟）多项式去括号的结果是　 　．
12．（2024九下·东阳模拟）分解因式：＝　 　．
13．（2024九下·东阳模拟）若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为　 　．
14．（2024九下·东阳模拟）如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得. 则边上的高长度为　 　.
15．（2024九下·东阳模拟）已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为　 　．
16．（2024九下·东阳模拟）如图，在扇形中，点为圆心，点在上，过点作于点，交弦于点，且，连接．
（1）设，则　 　．（用的代数式表示）
（2）已知的长为，若为等腰三角形，则扇形的半径长为　 　．
17．（2024九下·东阳模拟）计算：．
18．（2024九下·东阳模拟）解不等式组：．
19．（2024九下·东阳模拟）为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机的目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，图②所示的统计图，已知“查资料”的人数是48人．解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，求表示“玩游戏”的扇形圆心角度数，并补全条形统计图．
（2）该校共有学生2100人，估计每周使用手机时间在2h以上(不含2h)的人数．
20．（2024九下·东阳模拟）如图，点E是矩形的边上一点，且．
（1）尺规作图：作的平分线，交的延长线于点F(保留作图痕迹，不写作法)．
（2）连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
21．（2024九下·东阳模拟）已知二次函数，是常数，．
（1）当二次函数的图象过点时，求该抛物线的对称轴．
（2）若，点，在该二次函数图象上，求证：．
22．（2024九下·东阳模拟）小聪家购买了一辆新能源汽车，该汽车的基本配置为：电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为．图①为汽车仪表盘的一部分，有关充电小常识如表②所示．
表②
新能源汽车小常识： 1.新能源汽车充电有个简单的公式： 充电量() =充电功率() ×充电时间 2.电动汽车电池剩余20%电量时，提示充电状态，此时电量灯显示为黄色 已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题)
已知该新能源汽车在满电量状态下行驶过程中仪表盘行驶里程y(千米)与显示电量的部分数据如下表：(不考虑续航缩水问题)
汽车行驶过程
已行驶里程y(千米) 0 200 300 350
显示电量 100 60 40 30
（1）在直角坐标系中，通过描点判断y与x之间的函数关系，并求出该函数表达式．
（2）请问该汽车在满电状态行驶多少公里时，电量灯开始变成黄色？
（3）已知小聪爸爸驾驶该新能源汽车在满电量的状态下出发，前往600千米处的目的地，行驶240千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时长后继续行驶，到达目的地时仪表盘显示电量为，求该汽车在服务区充电的时长．
23．（2024九下·东阳模拟）根据以下操作，完成任务．
如何折出正多边形？
操 作 1 如图①，先对折正方形，得到的垂直平分线，再摊开、铺平，把点D，C折到的垂直平分线上．折叠后的点D，点C重合，记为点O．得到．
操 作 2 将操作1中折出的剪下，如图②，将对折，记折痕为，再摊开、铺平，把点A，B折到上．折叠后的点A，点B重合，记为点G……
问题解决
任 务 1 判断的形状，并说明理由
任 务 2 某数学学科小组在操作2的基础上继续折叠，提供了以下三种方案： 方案①：将纸片沿向上折叠，使得点H落在点P处． 方案②：将对折，使得角两边与重合，折痕交于点P． 方案③：将纸片向左上方折叠，使得点E与点H重合，折叠后的点F落在点P处． 以上方案中折出的四边形为正方形的是 ．(填写序号)
任 务3 求操作1中的正方形与操作2中所折出的正方形的面积之比．
24．（2024九下·东阳模拟）如图，内接于，点在直径的延长线上，且，连结，．
（1）求证：是的切线．
（2）若的半径为，．
①当时，求．
②求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若零上记作，则零下记作．
故选：D．
【分析】、在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故选：C．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数且比位数少1，据此判断即可．
3．【答案】B
【知识点】积的乘方运算
【解析】【解答】解：
故选：B
【分析】 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 根据法则得出结果即可。
4．【答案】A
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，共60秒，
∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为，
故答案为：A.
【分析】先求出所有等可能的情况数，再求出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可。
5．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴，，
∴在第四象限，
故选：D．
【分析】本题考查了平面直角坐标系－点的坐标特征：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第二象限（+，-），根据第二象限的点的坐标特征得出，，进而判断所在的象限即可．
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：，
在中，，
设，则，
，
，，
，，
由题意得： ，
在中，，
，
解得：，
，，，
，
故选：B．
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用．在下滑的过程中梯子的总长度不变，根据题意，在中，根据锐角三角函数的定义可设，则，从而利用勾股定理可得，再利用线段的和差关系可得，，然后根据题意可得：，从而在中，利用勾股定理列出关于的方程，继而求出，，再根据代入计算即可。
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，，
而，
当添加时，，则，所以，所以A选项不符合题意；
当添加平分时，，两边不夹角，不能判断，所以B项符合题意；
当添加为的中点时，，，则，所以，所以C选项不符合题意；
当添加时，所以，所以D选项不符合题意．
故选：B．
【分析】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法是：SSS；ASA；AAS；SAS及HL.
先由得到，加上为公共边，则根据全等三角形的判定方法可分别对各选项进行判断．
8．【答案】D
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可得该几何体是圆锥，且圆锥的底面直径是4，高是
母线长为∶，
∴圆锥的底面周长为：，
∵圆锥的侧面图扇形的弧长等于圆锥的底面周长，
∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为，半径为6，
∴，
∴解得：．
故选：D．
【分析】
本题考查了由三视图还原几何体，以及扇形的弧长公式。由三视图可得该几何体是圆锥，展开图是扇形，且圆锥的底面直径是4，母线长为，母线长是几何展开图扇形的半径，圆锥的侧面图扇形的弧长等于圆锥的底面周长，根据扇形的弧长公式计算出n即可．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图所示：
直线一定过点，，
如果k=2，反比例函数图象经过（1，2）；（2，1）；(3，)阴影部分（不包括边界）只有一个整数点，故选项A错误。
如果k=3，反比例函数图象经过（1，3）；（2，1.5）；(3，1)阴影部分（不包括边界）只有三个整数点，故选项B错误。
如果k=4，反比例函数图象经过（1，4）；（2，2）；(3，)；(4，1)阴影部分（不包括边界）有五个整数点，故选项C正确。
如果k=5，反比例函数图象经过（1，5）；（2，2.5）；(3，)（4，），（5，1）阴影部分（不包括边界）只有七个整数点，故选项C错误
故选：C．
【分析】直线一定过点，，根据题意一次函数反比例函数与两坐标轴之间的阴影部分（不位括边界）有5个整点（横、纵坐标都为整数），设反比例函数K值分别是2，3，4，5，当x=1、2、3、4求出相应的y值，分析各种情况阴影部分（不包括边界）的整数点，即可找到符合题意的K值。
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图：设DH=a，DG=AB=4a，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
设BE=AD=b
，
，
，
，
∴b=2a，
，，，，
，
，
，
故选：D．
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形、正方形的性质，设DH=a，DG=AB=4a，BE=AD=b。先证明，推出BK=DH，再证明，推出，得到，求出b=2a，由勾股定理求出EH和IC，即可得到.
11．【答案】
【知识点】去括号法则及应用
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】去括号法则：
（1）括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都不改变.
（2）括号前是“”，把括号和它前面的“”去掉后，原括号里各项的符号都要改变成与原来相反的符号．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】本题考查了分解因式。先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
13．【答案】4
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】∵ 一组数据3，4，x，6，7的众数是3，
∴x=3，
∴这组数据从小到大排列为：3，3，4，6，7，
∴这组数据的中位数为：4，
故答案为：4.
【分析】先利用众数的定义求出x的值，再将数据从小到大排列，再利用中位数的定义分析求解即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵三角形的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积，
∴==6，
∵AC＝==，
∴AC边上的高h===，
故答案为：．
【分析】先根据大正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算出三角形ABC的面积，再根据勾股定理求得AC的长，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高．
15．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
-2＜0，抛物线开口向下，对称轴
∴
∴
故答案为：．
【分析】先把抛物线化成一般形式，找出对称轴，根据二次函数的性质判断x的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系确定 的取值范围。
16．【答案】；或．
【知识点】三角形的外角性质；垂径定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（1）连接，交于，则，
在和中，
，
，
，，
∵∠OCD+∠AOC=90°
∴∠OAB+∠AOC=90°
，
∵OA=OB，
∴∠AOB=∠COB
，
故答案为：；
（2）由（1）可知，设，则，
，
当，
，
，
，
∠BEO=∠BAO+∠AOE=4x
在三角形BOE中
∠ABO+∠BOE+∠BEO=180°
，
，
，
，
．
当时，
∠BOE=∠BEO=3X，
∵∠BAO+∠AOE=∠BEO
∴∠BAO=2X=∠ABO
在三角形BOE中
∠ABO+∠BOE+∠BEO=180°
∴2x+3x+3x=180°
x=22.5°
.
故答案为：或．
【分析】
本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂径定理。作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
（1）连接，交于，则OA=OB=OC，先证明，得到，，，等腰三角形三线合一得到求得，则；
（2）由（1）可知，设，则，，分两种情况；
①BE=OE，分别求出∠BOE=3X，∠ABO=3x，∠BEO=4X，根据三角形内角和等于180°求出∠AOB=72°，再根据弧长=，求出半径R.
②BE=OB，分别求出∠BOE=3X，∠ABO=2x，∠BEO=3X，根据三角形内角和等于180°求出∠AOB=90°，再根据弧长=，求出半径R.
17．【答案】解：
.
【知识点】求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据特殊角的三角形函数值和实数的混合运算进行计算即可.
18．【答案】解：，由①得，，
由②得，，
∴原不等式组的解集是：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小。大大小小没有解，大小小大取中间 ”求出其公共解集即可．
19．【答案】（1）解：“玩游戏”的扇形圆心角度数：
随机抽取的学生数为：（人，
用手机时间在3小时以上的人数为：（人，
补全条形统计图如下：
（2）解：（人，
答：估计每周使用手机时间在2小时以上的人数是1470人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体．（1）由扇形统计图其他的百分比求出“玩游戏”的百分比，乘以即可得到“玩游戏”的扇形圆心角度数。然后求出总人数，再求出3小时以上的人数，补全条形统计图即可；
（2）由每周使用手机时间在2小时以上（不含2小时）所占的比乘以2100即可得到结果．
20．【答案】（1）如图所示，线段AF就是所求作的角平分线；
（2）解：
四边形是菱形．理由如下：
四边形是矩形，
，
平分
，（等角对等边）
，
，
四边形是平行四边形，（对边平行且相等的四边形为平行四边形）
，
四边形是菱形．（邻边相等的平行四边形为菱形）
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以A为圆心以任意长度为半径画弧交AE、AD于M、N；分别以M、N为圆心以大于MN为半径画弧，两弧相交于P，连接AP并延长相交于BC的延长线于F.据此完成作图。
（2）根据矩形的性质得出，结合角平分线的定义先证明AEFD是平行四边形，结合平行四边形的邻边相等即可证明AEFD是菱形。
21．【答案】（1）解：由题意，二次函数的图象过点，
．
．
抛物线的对称轴是直线
（2）证明：由题意，点，在该二次函数图象上，
∴3a+b＞0 ①．
又
-a-b＞0 ②，
①+②得，
．
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）依据题意，由二次函数的图象过点，从而，进而可得，再根据对称轴即可求出该抛物线的对称轴。
（2）依据题意，由点，在该二次函数图象上，从而可得，又，从而，进而可得，得证a＞0.
22．【答案】（1）解：在坐标系中描点作图如下：判断该函数为一次函数，设函数解析式为，
将点，代入解析式得：
，解得，
一次函数解析式为：．
（2）解：当时，
答：该汽车在满电状态行驶400公里时，电量灯开始变成黄色．
（3）解：由题意可得行驶里程表显示：，解得，
每千米的耗电量（100-52）÷240=0.2
600千米的耗电量600×0.2=120
充电电量为：120+10-100=30，
根据题意，电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为，即小时充电
的电量需要充电时间为：分钟，即充电时间为分钟．
答：到达目的地时仪表盘显示电量为，该汽车在服务区充电分钟．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据表格数据，描点画出函数图象并利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）将代入（1）中解析式求出值即可；
（3）根据题意先求出每行驶1千米需要的电量，再求出行驶600千米需要的电量。由于仪表盘显示剩余10%的电量，可求出需要充电的电量是30%。再根据“ 电池容量为，支持快速充电功能，快速充电功率为． ”可知快充充满需要的时间是即可充满100%据此即可求出充30%电量需要的时间。
23．【答案】解：
任务1：根据折叠的方法可知：OH垂直平分AB，AD=AO=BO=BC. ∵ABCD是正方形，∴AB=AD=BC
∴AB=AO=BO， 所以是等边三角形，
任务2：
方案中折出的四边形为正方形的是①②③；
任务3：过点E作，垂足为M.如图：
∵，，∠AEM=30°
设AM=x，AE=2x，EM=MH=x
AH=AE+MH=x+，
AB=2AH=2(1+)x
正方形ABCD的面积=
正方形EHPF的面积==6X
∴正方形与正方形的面积之比为：
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】
任务2：连接，因为是等边三角形，所在直线是AB的垂直平分线，
∵∠A=∠B，AH=BH，
∴△AEH≌△BFH
EH=FH，、是关于的对称，
∴，，即是的垂直平分线，，
方案①，将纸片沿向上折叠，使得点落在点处，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴菱形是正方形；
方案②，将∠对折，使得角两边与重合，折痕交于点．
∵∠A=60°，∠EHA=∠EHP=45° ∠GOE=30°
∴∠AEH=180°-60°-45°=75°
又折叠可知∠GEH=75°
∴∠OEG=180°-75°-75°=30°
∠OEP=∠OEG=15°
∠HPE=∠GOE+∠OEP=45°
∴EP=EH=HF，∠PEH=180°-∠EHG-∠EPG=180°-45°-45°=90°
EP∥HF，EP=EH=HF
∴四边形是是正方形；
方案③：将纸片向左上方折叠，使得点E与点H重合，折叠后的点F落在点P处．如图：∠EHF=90°
由折叠方法可知：，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形是正方形；
综上所述：方案中折出的四边形为正方形的是①②③；
故答案为：①②③。
【分析】
本题考查了正方形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
任务1：根据ABCD是正方形和折叠的性质得出AB=AO=BO，故是等边三角形；
任务2：连接，可证是的垂直平分线，
方案①，由折叠的方法和对称性质可得：先证EHFP是菱形 且∠EHF=90°继而证得EHFP是正方形；
方案②，证明EP∥HF，EP=EH=HF得到EHFP是正方形；
方案③，先证四边形是平行四边形，由于邻边相等且互相垂直，故EHFP是正方形
故按以上方案折叠方法折出四边形是正方形有①②③；
任务3：由折叠性质知，，∠AEM=30°，设AM=x，用含有x的式子表示出AE、EM、MH、EH、AB，而正方形ABCD的面积，正方形EHFP的面积，继而可以求出两个正方形的面积之比。
24．【答案】（1）证明：连接、，
∵是直径，
∴，
设∠OAB=∠OBA=∠ACD=x
∵∠BAC=∠BAO+∠FAO=∠2∠ ACD=2x
即x+∠FAO=2x
∴∠FAO=x
AE∥BC
∴∠ACB=∠CAE
∠ACB+∠ACD=∠CAE+∠FAO
∴∠BCD=∠OAE=90°
即：，
∵是半径，.
∴是的切线．
（2）解：①∵，，∴．AO=AE=R
∴
∴
∵，
∴
∴在中，
∴
∵，
∴．
②由（1）得AE是圆的切线
∴∠ABE=∠EAD=∠ACD，
∠E=∠ E
∴，即
∵在中，
在中，，
∵AE∥BC
∴，即
∵，
∴，即：
∴，即，
∴，
∴
∴
【知识点】切线的判定；解直角三角形；圆与三角形的综合；圆周角定理的推论；转化思想
【解析】【解析】考查了圆与三角形综合，涉及了切线性质和判断、圆周角定理，相似三角形的判定与性质、解三角形等知识点，（1）连接、，根据题意和已知条件先证∠OAF=∠ACD，再证∠ACB+∠ACD=∠CAE+∠FAO=90°即，∵是半径，∴是的切线．
（2）①因为AE∥BC，所以∠E=∠DBC=45°，∠OAE=∠BCD=90°，解直角三角形求出DE=
CD=，得到，结合已知条件 ，求出n=2-.
②证得，因为∠ABD=∠ACD，求得，又因为AE∥BC，，解直角三角形得到，结合已知条件继而得到，，，把DE，BE代入得证。
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