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11.2一元一次不等式（第1课时）
数学人教版（2024）七年级下册
　　1．一元一次方程的定义是什么？它的特点是什么？
　　只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是 1，这样的方程叫作一元一次方程．
　　特点：
　　（1）含有未知数的式子都是整式；
　　（2）只含有一个未知数；
　　（3）未知数的次数都是 1．
　　2．解一元一次方程：
　　（1）5x＋15＝4x－1； （2）2(x＋5)＝3(x－5)．
　　解：（1）移项，得 5x－4x＝－1－15．
　　合并同类项，得 x＝－16．
　　（2）去括号，得 2x＋10＝3x－15．
　　移项，得 2x－3x＝－15－10．
　　合并同类项，得 －x＝－25．
　　系数化为1，得 x＝25．
　　观察下面的不等式：
x－7＞26，3x＜2x＋1， x＞50，－4x＞3.
　　它们有哪些共同特征？
问题
　　（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是 1；（3）含有未知数的式子都是整式．
　　思考：类比一元一次方程的定义，你能给出一元一次不等式的定义吗？
新知
　　含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是 1 的不等式，叫作一元一次不等式．
　　特点：
　　（1）不等号的两边都是整式；
　　（2）只含一个未知数；
　　（3）含未知数的项的次数是1．
练习
　　判断下列不等式是否是一元一次不等式，并说明理由．
　　（1）x2＋1＞2；（2） ＋2＞0；（3）x＞y；（4）　　≤1．
　　解：（1）中未知数的最高次数是 2，故不是一元一次不等式；
　　（2）中不等号的左边不是整式，故不是一元一次不等式；
　　（3）中有两个未知数，故不是一元一次不等式；
　　（4）中不等号的两边都是整式，且只有一个未知数，未知数的次数是 1，故是一元一次不等式．
问题
　　利用不等式的性质解不等式 x－7＞26．
　　解：根据不等式的性质 1，不等式两边加 7，不等号的方向不变，得
x－7＋7＞26＋7，
x＞33．
　　所以这个不等式的解集是 x＞33．
x＞26＋7
移项
　　解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不等号的方向不变．
思考
　　解一元一次方程的依据和一般步骤是什么？
　　解一元一次方程的依据是等式的性质．
　　解一元一次方程的一般步骤是：
　　去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．
　　一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程相类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集．
　　解下列不等式，并在数轴上表示解集：
　　（1）3(x－1)＜x－2； （2） ＋2≥ ．
问题
x＞m （x≥m）
或 x＜m （x≤m）
依据：不等式的性质
　　解：（1）去括号，得 3x－3＜x－2．
　　（1）3(x－1)＜x－2；
　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
0
　　移项，得 3x－x＜－2＋3．
　　合并同类项，得 2x＜1．
　　系数化为 1，得 x＜ ．
　　 （2） ＋2≥ ．
　　解：（2）去分母，得 3(x－5)＋24≥2(5x＋1)．
　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
　　去括号，得 3x－15＋24≥10x＋2．
　　移项，得 3x－10x≥2＋15－24．
　　系数化为 1，得 x≤1．
　　合并同类项，得 －7x≥－7．
0
1
思考
　　对比第（1）题和第（2）题的解题过程，系数化为 1 时应注意些什么？
　　要看未知数系数的符号，若未知数的系数是正数，则不等号的方向不变；若未知数系数是负数，则不等号的方向要改变．
问题
　　解一元一次不等式的一般步骤是什么？
　　去分母：不等式两边乘各分母的最小公倍数；
　　去括号：把所有因式去括号展开；
　　移项：把含未知数的项移到不等号左边，常数项移到不等号右边；
　　合并同类项：化为 ax＞b（ ax≥b）或 ax＜b （ ax≤b ）的形式（其中 a≠0）；
　　系数化为 1：不等式两边都除以 a，得到不等式的解集．
问题
　　每一步变形的依据是什么？
　　去分母
　　去括号
　　移项
　　合并同类项
　　系数化为 1
去括号法则
不等式的性质 1
合并同类项法则
不等式的性质 2 或 3
不等式的性质 2 或 3
思考
　　解一元一次不等式和解一元一次方程有哪些相同和不同之处？
　　相同之处：
　　步骤相同：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1．
　　基本思想相同：都是运用化归思想，将一元一次方程或一元一
次不等式变形为最简形式．
思考
　　解一元一次不等式和解一元一次方程有哪些相同和不同之处？
　　不同之处：
　　解法依据不同：解一元一次不等式的主要依据是不等式的性质，解一元一次方程的主要依据是等式的性质．
　最简形式不同：一元一次不等式的最简形式是 x＞m （x≥m）
或 x＜m （x≤m），一元一次方程的最简形式是 x＝m．
　　例　已知 3m－2x3＋2m＞1 是关于 x 的一元一次不等式．
　　（1）求 m 的值；
　　（2）求出不等式的解集，并把解集表示在数轴上．
　　解：（1）因为 3m－2x3＋2m＞1 是关于 x 的一元一次不等式，
　　所以 3＋2m＝1，
　　解得 m＝－1．
　　例　已知 3m－2x3＋2m＞1 是关于 x 的一元一次不等式．
　　（1）求 m 的值；
　　（2）求出不等式的解集，并把解集表示在数轴上．
　　解：（2）由（1）可知，题目中的不等式是 －3－2x＞1．
　　移项，得 －2x＞1＋3．合并同类项，得 －2x＞4．
　　系数化为 1，得 x＜－2．
　　这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
0
－2
　　利用一元一次不等式的概念解题时，要时刻紧扣一元一次不等式的三个特征：
　　（1）含有未知数的式子都是整式；
　　（2）只含有一个未知数；
　　（3）未知数的次数是 1．
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的概念
一元一次不等式的解法

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