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“综合与实践”压轴题专题训练-2025年 九年级数学中考复习
1．【问题原型】
如图①，，点C为上一点，且，D是边上的动点，，且，连接，求的最大值．
【问题探究】
如图②，小明过点C做，过点E作，可得，连结、，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，又因为，最终确定点E的轨迹进而解决问题．
以下是小明确认为定值的部分过程：
证明：由【问题探究】的作法可知，．
证明过程缺失
．
请你补全缺失的证明过程
【问题解决】
请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出【问题原型】中的点E的轨迹，并直接写出最大值______（保留作图痕迹）
【问题拓展】
如图，，C为上一点，，D是边上的动点，，且，直接写出的最大值______．
2．取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图：
(1)【课本再现】
第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；
第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，如图①，连接，判断的形状并证明．
(2)【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求与的数量关系是 （用数学式子表示）；
(3)【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长．
3．【知识回顾】：本册第二章教材中，我们曾探究过函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．
发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是_____．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为_____．方程的解是_____，不等式的解是_____．
【拓展延伸】
（3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点．结合图象，直接写出当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围_____．
4．从特殊到一般是我们发现规律的一种常用思想方法． 现在我们来研究一类十位数字相同、个位数字之和为的两位数乘两位数．
(1)首先来研究特殊情况：两个十位数字都是1、并且个位数字之和是10的两位数乘法，观察下列等式：
…
①仿照上述等式，写出 ；
②探究规律
根据以上的观察、计算，你能发现两个十位数字都是的两位数，并且个位数字之和是的两位数乘法有什么规律，用等式进行表示．并说明这个等式成立；
(2)拓展：
现在来看一般情况：如果十位数字是相同的任意整数，个位数字之和是的两位数乘两位数，上述的规律是否成立？请说明理由；
(3)推广应用： ．
5．综合与探究
问题情境：
如图，在正方形中，，，分别是，，边上的点，连接，．若，判断与之间的数量关系．老师在课堂上给出如下分析：将沿方向平移到，连接．根据平移的性质，可判断四边形是平行四边形，再证明，得到，继而得到．
尝试初探：
（1）老师提出该问题的变式问题：将正方形改为菱形，，如图，，，分别是，，边上的点，连接与交于点．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由．
通过探究发现，可以利用平移这一手段，将有些条件集中在一起来解决问题．
迁移应用：
（2）如图3，在中，点，分别在，边上，且，，交于点，．判断与的大小关系，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图4，在正方形中，点，分别在，边上，过点作于点，交边于点，连接，．若，，请直接写出的最小值．
6．综合与实践
某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了深入研究，并提出了以下问题：
【问题初探】
（1）如图1，在正方形中，点分别在边上，且，则线段与之间的关系是______．
（2）如图2，在矩形中，，点是上的动点，连接，过点作于点，交于．问题：当为中点时，求的长度．
【类比探究】
（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作交的延长线于点，交的延长线于点．
问题：若，且，求的长度．
【拓展延伸】
（4）如图4，在中，，点是上一动点，将沿翻折，使点落在点处，连接．问题：
①当时，求的长度；
②当最小时，的面积为______．
7．综合与实践
【数学思考】（1）如图1，已知和都是等边三角形，点D在上，连接．请探究，和之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】（2）如图2，在四边形中，，垂足为点E，，，，（k为常数），求的长（用含k的式子表示）；
【拓展运用】（3）如图3，等边三角形中，，点E在上， ．点D是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长．
8．“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！
【特例感知】
(1)如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点，分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移．
①当纸片平移至点与的中点重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是________；
②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为________；
【类比探究】
(2)如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含的式子表示）；
【拓展延伸】
(3)如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值．

9．如图所示，在中，，点为射线上一动点，作，过点作，交于点，连接（点A、在的两侧）．
【问题发现】
（1）如图所示，若时，、的数量关系为_____，直线、的夹角等于 ；
【类比探究】
（2）如图所示，若，求线段、的数量关系， 及直线、 的夹角；
【拓展延伸】
（3）若，，且是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长．
10．【阅读】：
通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数与的两点间的距离．这个结论还可以推广为：点在数轴上分别表示数，那么之间的距离可表示为．
【探索】：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_______．
（2）若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为．
【动手折一折】：
小博同学在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
（3）折叠纸面，使表示的点和表示的点重合，
①表示的点和_______表示的点重合；
②已知（在的左侧）两点之间的距离为，且两点经折叠后重合，则点表示的数是，点表示的数是_______．
【拓展延伸】：
（4）动点同时从对应的点出发沿数轴向右运动，点，点的速度分别为个单位长度和个单位长度，是否存在某一时刻，使得原点这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出此时点所代表的数；若不存在，请说明理由．
11．综合与探究
问题情境
如图1，在矩形中，，延长至点．使得．点是边上一点，且，连接，．
操作发现
（1）若，则的长为________，的长为________．
拓展探索
（2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若，分别与，相交于点，．
①请判断和的数量关系，并说明理由．
②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上．请探索并直接写出图3中所有与图1中相等的线段．
12．综合与探究
【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．
【基本模型】（1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：；
【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，，，若，则______（用含的式子表示）
13．综合与实践
问题情境：数学课上，同学们利用两个全等的直角三角形的纸片进行图形变换的操作探究．如图，，，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中点E与点A重合，边与边重合．

初步思考：（1）小丽在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将沿着射线的方向平移，边与边交于点H，边与直线交于点G．如图2，当点H为边的中点时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
问题探究：（2）请在图2的基础上进行如下操作：连接，．求证：垂直平分；
拓展延伸：（3）小颖在图1的基础上进行如下操作：，保持不动，将沿着射线的方向平移，如图2，在平移的过程中，当点F平移到的边所在的直线上时，请直接写出平移的距离．
14．【问题提出】
如图，四边形和均为菱形，且，连接和．
【探究猜想】
（1）如图（1），当时，
①线段和之间的数量关系为_______；
②直线和直线相交所成的较小角的度数为_______；
【深入思考】
（2）如图（2），当，且点在线段上时，过点作于点，探究线段之间的数量关系，并求的度数；
【拓展延伸】
（3）当，且点在线段的延长线上时，过点作于点，请你补全图形，并直接写出线段之间的数量关系及的度数．
参考答案
1．问题探究：见解析；问题解决：；问题拓展：
【分析】本题是三角形的综合题，考查了平行线的性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，正确运用类比的方法解决问题是解本题的关键．
问题探究：如图1，根据三角形的面积公式和平行线间的距离相等即可解答；
问题解决：以为直径作圆，点E的轨迹是，当O，G，E三点共线时，有最大值，根据勾股定理即可解答；
问题拓展：同理作辅助线，即可解答．
【详解】解：问题探究：如图1，过点C作，过点E作，连接，，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
长为定值；
问题解决：，
∴点E在上运动；
如图2，作的垂直平分线交于点G，以G为圆心，为直径作圆，点E的运动轨迹就是，
当过点G时的值最大，
，
，
由勾股定理得：，
，
即的最大值是；
故答案为：；
问题拓展：如图3，过点C作，过点E作，连接，，过点C作于点M，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
长为定值；
如图4，，
∴点E在上运动，
过点G作于点N，过点F作于点K，
∴四边形、是矩形，
∴，，
当过点G时的值最大，
，
∴由勾股定理得：，
，
即的最大值为，
故答案为：．
2．(1)等边三角形，证明见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）由折叠的性质得，，从而得到是等边三角形即可求解；
（2）根据正方形的性质得出，，根据折叠得出，垂直平分，，根据余角的性质证明，证明，得出，即可证明；
（3）分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，分别画出图形，利用勾股定理解方程即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为，
∴垂直平分，
∴，
∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵四边形为正方形，
∴，，
根据折叠可知：，垂直平分，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴；
（3）解：当点Q在点F的下方时，如图所示：
∵正方形中，，
∴，
∴，
由（2）知，
∴，
设，由折叠知，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
即；
当点Q在点F的上方时，如图，
则，
∴，
∴，
设，
则，，
在中，，
∴，
解得，即；
综上可知，的长为或．
【点睛】本题考查正方形折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等，是解题的关键．
3．（1） ；（2）；；；（3）
【分析】本题考查一次函数和一元一次方程，一次函数与不等式，熟练掌握图象法求方程的解，求不等式的解集，是解题的关键．
（1）图象法求不等式的解集即可；
（2）数形结合，确定两条直线的交点坐标，进而求出方程的解，不等式的解集即可；
（3）先求出两点的坐标，再根据图象法求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）由图象可知，的解集是；
故答案为：；
（2）由图象可知，两条直线的交点坐标为，
∴方程的解是；
不等式的解是；
故答案为：；；；
（3）对于，当时，，
∴点的横坐标为4，
令，解得：，
∴点的横坐标为2，
由图象可知：当时，两个函数的函数值呈现，
当两个函数的函数值呈现时，自变量的取值范围为．
故答案为：．
4．(1)①；②，证明见解析
(2)成立，，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了整式的规律探索，整式的乘法运算，有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关知识．
（1）①根据题中的规律求解即可；②设两个十位为、各位分别为和的两位数为和，两位数乘法的规律为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立；
（2）若两位数的十位均为，个位分别为和，则两位数的乘积为，将等号两边的式子展开比较即可证明等式成立；
（3）根据所得的规律求解即可．
【详解】（1）解：①，
故答案为：；
②设两个十位为、各位分别为和的两位数为和，
则两位数乘法的规律为，
证明：展开等号左边：
，
展开等号右边：
，
等号左边等于等号右边，规律成立；
（2）若两位数的十位均为，个位分别为和，
则两位数的乘积为，
展开等号左边：
，
展开等号右边：
，
等号左边等于等号右边，规律成立；
（3）当时，代入得：
，
故答案为：．
5．（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）的最小值为4
【分析】（1）将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接，
则．设与交于点．证明为等边三角形．得．，进而证明．得．从而即可得解；
．
（2）将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接，．
由平移的性质，得．则四边形为平行四边形，．从而为等边三角形．．从而分①若点，，共线，②若点，，不共线，讨论求解即可；
（3）线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则．由问题情境可得，则．，证是等腰直角三角形．进而得从而即可得解．
【详解】解：（1）．
理由：如解图，将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接，
则．设与交于点．
．
．
∵四边形为菱形，
．
，
为等边三角形．
．，
．
．
∵，
．
．
．
（）．
理由：如解图，将线段沿方向平移得到线段，点，分别与点，对应，连接，．
由平移的性质，得．
∴四边形为平行四边形，．
．
为等边三角形．
．
分以下两种情况讨论：
①若点，，共线，则，即．
∵四边形为平行四边形，
．
．
∴点，，不共线．
∴该情况不存在．
②若点，，不共线，则，即．
综上所述，与的大小关系为．
（）的最小值为．
如图，线段沿方向平移得到线段，则，，连接交于点，则，即．当，，三点共线时（即点在点的位置时），取得最小值．过点作的垂线，分别交，的延长线于点，，则．
由问题情境可得，
∴．
，
．
由勾股定理，得
∵，，
是等腰直角三角形．
．
的最小值为．
【点睛】本题考查了勾股定理，平移的性质，等边三角形的判定及性质，两点之间，线段最短，正方形的判定及性质，菱形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
6．（1），；（2）；（3）；（4）①；②
【分析】（1）证明，即可得出结论．
（2）根据四边形为矩形，，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，当为中点时，，在中，勾股定理求出，即可求解．
（3）如图，过点作的垂线，交于点．由题意知四边形为矩形，证明，得出，在中，勾股定理求出，即可求解．
（4）①如图，连接交于，作于．在中，勾股定理求出，当时，得出，根据等面积法求出，根据轴对称可得，证明是直角三角形，，垂直平分线段，根据等面积法求出，即可求出，在 中，勾股定理求出即可．
②根据轴对称可得，得出点E在以点A为圆心，6为半径的圆上运动，如图，根据图象可得，即可得当点三点共线，即点E在边上时，最小，此时，如图，过点E作交于点，在中，得出，在中，即可得，求出，设，表示出，在中，根据，求出，再根据求解即可．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，
，
在和中
，
，
，，
∵，
，
∴的夹角为，
即，
综上所述：线段与之间的关系是且．
故答案为：且．
（2）解：∵四边形为矩形，，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
当为中点时，，
在中，，
，
∴．
（3）解：∵四边形为矩形，
，
如图，过点作的垂线，交于点．
由题意知四边形为矩形，
，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
，
在中，
∵，，
，
，
．
（4）①如图，连接交于，作于．
在中，
∵，，
，
当时，，
，
，
，
根据轴对称可得，
∴点在的垂直平分线上．
，
∴点在的垂直平分线上，是直角三角形，，
∴垂直平分线段，
∵，
∴，
∴，
在 中，．
②根据轴对称可得，
∴点E在以点A为圆心，6为半径的圆上运动，如图，
根据图象可得，
∴当点三点共线，即点E在边上时，最小，
此时，
如图，过点E作交于点，
∵在中，，
∴在中，，
解得：，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的性质和判定，全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称图形的性质、解直角三角形、圆相关知识点等，牢记全等三角形的判定定理及性质、相似三角形的判定定理及性质、勾股定理及轴对称图形的性质是解题的关键．
7．（1）．理由见解析；（2）；（3）的长为或
【分析】本题主要考查三角形综合题，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
（1）根据条件易证，再进行线段转化易得答案；
（2）由，，推出，将绕点A逆时针旋转得到，连接．则，只要证明，可得，由此即可解决问题．
（3）由为直角三角形可知，需要分类讨论确定哪个角是直角三角形，再根据点D的位置关系去讨论即可，因为点D是动点，所以按照前面两问带给我们的思路，去构造类似的全等三角形，进而讨论求解即可．
【详解】解：（1）．理由如下，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）连接，
∵，
∴，
将绕点A逆时针旋转得到，连接．则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）过E作，则为等边三角形．
①当点D在H左侧时，如图1，
∵，
∴，
∴，
此时不可能为直角三角形．
②当点D在H右侧，且在线段上时，如图2，
同理可得∴，
∴，
此时只有有可能为，
当时，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
③当点D在H右侧，且延长线上时，如图3，此时只有，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
综上：的长为或．
8．(1)①；②或
(2)
(3)144平方厘米
【分析】（1）①先利用平移的性质证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质分别求出和的长，再利用矩形的面积公式计算和的面积，即可求解；②设厘米，则厘米，表示出四边形的面积，再结合题意列出方程，解出的值即可解答；
（2）利用平移的性质得到，推出，再利用相似三角形的性质得出，即可求解；
（3）过点作于点，利用勾股定理求出厘米，结合点，是，的中点，得出厘米，厘米，厘米，利用旋转的性质得到厘米，厘米，分析可知当最大时，面积最大，结合图形利用线段的性质求出的最大值，即可求出面积的最大值．
【详解】（1）解：①为矩形，
厘米，，，
点，分别为边，的中点，
厘米，厘米，
，
，，
四边形是矩形，
又厘米，
矩形是正方形，
，，厘米，
由平移的性质得，，，
，
，
又，
四边形是矩形，
点与的中点重合，
厘米，
，，
和都是等腰直角三角形，厘米，厘米，
平方厘米，
平方厘米，
的面积与原矩形纸片的面积之比是．
故答案为：．
②由①中的结论得，四边形是矩形，和都是等腰直角三角形，
设厘米，则厘米，
厘米，厘米，
，
的面积与原矩形纸片的面积之比是，平方厘米，
，
解得：，，
平移距离为或．
故答案为：或．
（2）解：纸片为菱形，，
，和为等边三角形，
纸片沿方向向上平移，
，
，
两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为，
，
，
．
（3）解：如图，过点作于点，
，厘米，厘米，
厘米，
点，是，的中点，
厘米，厘米，厘米，
由旋转的性质得，厘米，厘米，
，
当上的高线最大时，则面积最大，
，
当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大，
作出示意图如下：
，
此时、、三点共线，
即厘米，
平方厘米，
即面积的最大值为144平方厘米．
【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质与判定、平移的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质与判定、旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生．
9．（1），；（2），；（3）的长为或
【分析】（1）证，由全等三角形的性质得，，即可解决问题；
（2）证，由相似三角形的性质得，再证，得，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当时，②当时，由直角三角形的性质及相似三角形的性质分别求出的长即可．
【详解】解：（1），，
是等腰直角三角形，
，，
同理：，，
，
，
即，
，
，，
；
（2），，理由如下：
，，
，
又，
，
，
，
又，
，
即，
，
，，
∴，
在中，，
，
；
（3），，
，，
分两种情况：
如图，当时，

同（2）可知，，
，
；
如图，当时，

则，
，，
，
，
，
，
，
，
同（2）可知，，
，
即，
解得：；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，锐角三角函数以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
10．（1）；（2）；（3）①②，；（4）点对应的数为或
【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
（1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可；
（2）根据绝对值的几何意义可知时，，求出符合条件的整数即可；
（3）①利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可；
②设点表示的数是，则点表示的数是，根据中点坐标公式求出，即可求解；
（4）先表示出点对应的数为，点对应的数为，再分点为，这两个点的中点；点为，这两个点的中点；点为，这两个点的中点时，三种情况讨论，列式计算即可求解．
【详解】解：（1）表示和两点之间的距离是，
故答案为：；
（2）使所表示的点到表示和的点的距离之和为，
，
，
是整数，
的值为，，，，，，，，
；
故答案为：；
（3）①表示的点和表示的点重合，
折叠的点表示的数是，
设则表示的点和表示的点重合，
，
解得，
表示的点和表示的点重合；
故答案为：；
②设点表示的数是，则点表示的数是，
，
解得，
，
点表示的数，点表示的数是，
故答案为：，；
（）由题意知，运动时间为秒，
则点对应的数为，点对应的数为，
当点为，这两个点的中点时，，
，解得；
此时，点对应的数为；
当点为，这两个点的中点时，，
，解得（舍去）；
当点为，这两个点的中点时，，
，解得；
此时，点对应的数为；
综上，点对应的数为或．
11．（1）；；（2）①，理由见解析；②、
【分析】（1）由矩形的性质可得，结合题意得出垂直平分，由垂直平分线的性质可得，证明为等腰直角三角形，得出，求出，即可得解；
（2）①连接，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，从而得出，推出，，证明，即可得解；
②由（1）可得：，解直角三角形得出，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，证明，得出，由①可得：，即可得解．
【详解】解：（1）∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
故答案为，；
（2）①，理由如下：
∵四边形为矩形，
∴，
连接，如图：
，
由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，
∴；
②由（1）可得：，
∵四边形为矩形，
∴，，
连接，如图：
，
∵，，
∴，
∴，
由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，，
∴为等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由①可得：，
∴图3中所有与图1中相等的线段为、．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
12．（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解；
（3）延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，；
和是等腰三角形，，，，
∴，
即，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：，
理由：如图3，延长至，使，连接，
，
是等边三角形，
，，
，
∴，即，
在和中，
，
，
，
．
13．（1），理由见解析（2）详见解析（3）或
【分析】（1）利用中点的含义与含的直角三角形的性质可得结论；
（2）如图，连接，证明，再利用线段的垂直平分线的判定即可得到答案；
（3）①当点F落在边所在直线上时，如图，②当点F落在边所在直线上时，如图，再进一步利用全等三角形的性质，结合勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）．理由：在中，，，，
点H为边的中点，
，
．
（2）证明：如图，连接，
由平移可知：，
，
，
，
在与中：
，
，
，
点G在的垂直平分线上，
，
点D在的垂直平分线上，
垂直平分．
（3）或．理由如下：
①当点F落在边所在直线上时，如图，
由平移可知：，
，，
∴，而，，
，
，
在中，，，，
∴，
，
，
在中，，，
，
；
②当点F落在边所在直线上时，如图，
过点E向边所在直线作垂线，交边所在直线于点H，
由平移可知：，
，
，
，
在中，，，
同理：，
．
综上，平移距离为或．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
14．（1）①；②；（2）；的度数为（3）；
【分析】（1）①先证明，然后根据证明可得；
②由得，然后利用三角形内角和可得结论；
（2）证明四边形和均为正方形得，，证明，可得，同（1）可证，得出，，进而可求出结论；
（3）同（2）的过程整理即可．
【详解】解：（1）①∵四边形和均为菱形，且，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
②如图，
∵，
∴，
∵，
∴，较小角的度数为．
故答案为：；
（2）∵，
∴四边形和均为正方形，
∴，．
∵，
∴
∴．
∵．
同（1）可证，
∴，，
∴，，
∴；
（3）如图，连接，
∵，
∴四边形和均为正方形，
∴，．
∵，
∴
∴．
∵．
同（1）可证，
∴，，
∴，，
【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的性质是解答本题的关键．

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