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2025年九年级数学中考二轮复习二次函数综合压轴题题型分类解答题专题训练
1．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上第三象限内的一个动点，连结、，若，求点P的坐标；
(3)如图3，若点P是二次函数图象上位于下方的一个动点，连接交于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．
2．已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点为第四象限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的情况下，将抛物线向右平移个单位长度，得到抛物线为抛物线对称轴上一点，为抛物线上一点，若以为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标．
3．已知二次函数的图象与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，对称轴为直线，交x轴于点D，P为抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当时，求点P的坐标；
(3)若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
4．综合与探究
如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且．点为直线上方抛物线上的点，连接，交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求点的坐标；
(3)如图2，点是点关于轴的对称点，连接，点是上两个动点，且，连接，记的最小值为，则的值是___________；设的面积为，若，则的取值范围是___________．
5．如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，P为抛物线上一点，连接交x轴于点D，若，求点P的坐标；
(3)如图3，D，E是抛物线对称轴上的两个动点，且，点D在点E的上方，求四边形周长的最小值．
6．已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)___________，___________．
(2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，连接交于点D，求的最大值．
(3)点N是抛物线上一动点，M是直线上一动点，当是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，直接写出N的坐标．
7．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于两点，交轴于点，
(1)如图1，求抛物线的解析式：
(2)如图，为第一象限内抛物线上一点，的面积为，点的横坐标为，求与的函数关系式：
(3)如图3，在（2）的条件下，抛物线顶点为，点在的延长线上，连接，过点作垂直于轴于点交于点，若，，求的值．
8．已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连结，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点，若满足为直角三角形，求点的坐标；
(3)如图2，点为线段上一动点（不与端点重合），连结并延长交抛物线于点，连结并延长交抛物线于点，设面积为，面积为，求的值．
9．如图，已知抛物线的图象与轴交于点和，与轴交于点，点是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，过点作交抛物线于点．
（ⅰ）连接，，求的面积；
（ⅱ）将抛物线的顶点沿直线移动得到一个新抛物线，若新抛物线的顶点与点，点能构成等腰三角形，试求出平移后的抛物线的表达式．
10．如图已知抛物线交轴于点（点在左侧），顶点为，交轴于点，且线交轴于点，线段在第一象限，其中点．
(1)求的值，并写出点的坐标；
(2)本小题需任选一题进行解答．
①若直线平分的面积，求的值；
②连接，过点作轴于点，求的值；
(3)若直线与抛物线交于两点，点为线段上方抛物线上任一点（不与两点重合），求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
(4)在（3）的条件下，将抛物线沿直线方向向上平移个单位，使抛物线刚好经过线段的中点，直接写出的值．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是，，连接，．
(1)求直线的表达式；
(2)将沿所在直线折叠，得到，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；
(3)若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接交于点Q，连接，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点P的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，已知抛物线经过点，两点，直线与抛物线交于，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若是以为腰的等腰三角形，求点的坐标；
(3)过点作轴的平行线，分别交直线，于，两点．若，求的值．
14．在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．

(1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标；
(3)如图3，若抛物线的顶点在正方形内部，且与正方形恰有两个交点，求的取值范围．
15．在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，，与轴交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点是直线上方该抛物线上的一动点，连接，，点是直线上一动点，当最大时，求的最小值；
(3)在（2）问取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过线段的中点．若点为新抛物线上的一动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；
（2）过点作轴，交的延长线于点，待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，根据二次函数的对称性求出，根据题意求出，列出方程式，解方程求出的值，即可求出点的坐标；
（3）作于，交于，根据，，表示出的长，根据相似三角形判定和性质即可求出的值，结合二次函数的最值即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点、，
∴
解得
∴；
（2）解：如图，过点作轴，交的延长线于点，
设直线的解析式为，
将，代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则点，
∵二次函数的图象与轴交于点、，
∴对称轴为，
∴，
即，
则，，
∵，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：如图：
作于，交于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数的对称性，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
2．(1)
(2)，
(3)或或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出B、C坐标，进而求出直线的表达式为，再求出对称轴，进而求出点D的坐标，则根据求出，设点的坐标为，则点的坐标为，再由，，列出关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求出平移后的抛物线解析式，进而得到平移后的对称轴，再分①当为的对角线时，②当为的边，且为对角线时，③当为的边，且为对角线时，三种情况分别平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入中，得
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，，
解得，
点的坐标为，
当时，，
点的坐标为．
设直线的表达式为，
将代入，得，
解得，
直线的表达式为，
抛物线表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
在中，当时，，
点的坐标为，
如图，过点作轴交于点．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，，
，
，
当时，取最大值，
当时，，
四边形面积的最大值为，此时点的坐标为；
（3）解：抛物线的表达式为，
抛物线的表达式为，
抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为3，
设，
由（2）得，，
分以下三种情况讨论：
①当为的对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，
；
②当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得，
，
；
③当为的边，且为对角线时，
∵平行四边形对角线中点坐标相同，
，
解得
，
．
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
3．(1)
(2)点P的坐标为或；
(3)点Q的横坐标是或4或或．
【分析】（1）先根据对称轴公式，可得，再将点B的坐标代入抛物线的解析式中可得，即可解答；
（2）分两种情况：①点P在的下方时，先利用待定系数法可得的解析式，联立抛物线和直线的解析式，解方程可得点P的坐标；②点P在的上方时，证明，可得，即可解答；
（3）设点P的坐标为，分三种情况：①如图3，过点P作轴于F，则，②如图4，过点P作轴于G，则，③如图5，，即可解答．
【详解】（1）解：∵二次函数，对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
将点代入中得：，
∴，
∴这个二次函数的表达式为：；
（2）解：分两种情况：
①点P在的下方时，如图1，
当时，，
∴，，
设的解析式为：，
∴，
∴，
∴的解析式为：，
∴，
解得：（舍），，
∴点P的坐标为；
②点P在的上方时，如图2，设直线交x轴于E，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
同理，的解析式为：，
∴，
∴，即，
∴，，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或；
（3）解：设点P的坐标为，
分三种情况：
①如图3，过点P作轴于F，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
∴点P的横坐标为，
∵，，
∴由平移得点Q的横坐标为；
②如图4，过点P作轴于G，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴或1，
∴点P的横坐标为1，
∵，，
∴由平移得点Q的横坐标为4；
③如图5，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍），，，
∵，，
∴点Q的横坐标是或；
综上，点Q的横坐标是或4或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，利用待定系数法求函数的解析式，三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
4．(1)抛物线的解析式为：
(2)点的坐标为
(3)；
【分析】本题考查待定系数法求解析式，相似三角形的判定及性质，轴对称的性质，三角形三边关系的应用，二次函数的图象及性质，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）令，则，得到，根据，得到，把点，代入抛物线，求解即可；
（2）过点B作x轴的垂线，交的延长线于点E，易得，得到，求得，得到，采用待定系数法求得直线的解析式为，解方程组即可得到点P的坐标；
（3）作点O关于的对称点，过点作，且，连接，，，得到四边形是平行四边形，从而，即的值为的长．根据勾股定理求得，连接，交于点H，根据轴对称的性质与的面积求出，，进而在中，根据勾股定理即可求出的长．采用待定系数法求出直线解析式为，设点，过点P作轴于点G，交于点Q，则，，由，得到，代入即可求解．
【详解】（1）解：对于抛物线，令，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线过点，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式．
（2）解：过点B作x轴的垂线，交的延长线于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设过点的直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
解方程组得，，
∴．
（3）解：作点O关于的对称点，过点作，且，连接，，，
∵点O与点关于对称，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴的最小值为的长，即的值为的长．
∵点是点关于x轴的对称点，
∴，
∴在中，，
连接，交于点H，
∵点O与点关于对称，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，，
∴m的值是．
设过点，的直线解析式为，
∴，解得，
∴直线解析式为，
设点，
过点P作轴于点G，交于点Q，
则，
∴，
∴
，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：，
5．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，轴对称最短路线问题、锐角三角函数定义，通过确定点F点来求最小值，是本题的难点．
（1）根据题意求得B的坐标，然后根据待定系数法求得解析式；
（2）求得，根据求出，，设，由得，得出，解得，（舍去），可得点；
（3）在y轴上取点F，使，连接，交直线于点E，所以的最小值为，则四边形的周长最小值为．
【详解】（1）解：对于，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把，代入得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，解得，（舍去），
∴
∴；
（3）解：在y轴上取点F，使，连接，交直线于点E，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∴四边形的周长最小值为：，
∵，，，，
∴，，
∴四边形的周长最小值为：．
6．(1)，
(2)
(3)或或
【分析】（1）把点，代入抛物线，即可求解；
（2）对于抛物线为，令，得到，运用待定系数法求出直线的解析式为．过点P作轴于点Q，交于点E，设（），则，，由，得到，根据二次函数的性质即可求解；
（3）设，连接，分两种情况分别求解：①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰；②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴，解得．
故答案为：，
（2）解：∵，，
∴抛物线为，
令，则，
∴，
∴．
设过点，的直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
过点P作轴于点Q，交于点E，
设（），则，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴．
∴当时，有最大值，为．
（3）解：∵点N在抛物线上，
∴设．
连接，
①将线段绕着点N逆时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰，
过点N作x轴的垂线，垂足为点F，过点M作于点G，
∵，，
∴，，
∵轴，，
∴，
∴，
∵是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵点M在直线上，
∴
解得，
∴．
②将线段绕着点N顺时针旋转，得到以点N为直角顶点的等腰，
过点N作x轴的平行线，分别过点A，点M作该平行线的垂线，垂足分别为点Q，点H，
∵，，
∴，，
同①同理可得，
∴，，
∴，
∵点M在直线上，
∴，
解得，
∴或．
综上所述，点N的坐标为或或．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求抛物线与轴交点、坐标，得长度，由确定点坐标，代入抛物线表达式求
（2）设直线解析式，用待定系数法求出，过作辅助线，把面积拆分为两个小三角形面积和，结合点坐标（横坐标）表示出相关线段长度，推导面积表达式．
（3）通过作辅助线构造全等三角形，利用三角函数、线段比例关系，结合已知条件列方程求出，代入（2）中函数关系式得 ．
【详解】（1）解：当时，
解得：
∴点坐标为点坐标为
∴点坐标为
把代入得
拋物线的解析式为
（2）解：设直线的解析式为过点
，
直线的解析式为
过点作轴于点，交于点，过点作于点
（3）解：连接，过点作交延长线于点，延长至点，使得，
连接，
∴顶点坐标为 ．
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴， ．
∵，，
∴，
∴ ．
∵、，，
∴，，
∴ ．
在和中：
∴
由，
得
，
设
在中由勾股定理得．
，
即
解得
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数解析式求解、三角形面积计算、全等三角形构造与性质、三角函数应用，熟练掌握二次函数与坐标轴交点求法、函数图象辅助线构造、几何图形性质及代数与几何综合推导是解题的关键．
8．(1)
(2)点为或．
(3)9
【分析】（1）已知抛物线与轴两个交点坐标，将其代入抛物线一般式，通过解方程组求出系数和，进而确定抛物线解析式.
（2）先得出抛物线顶点坐标及直线上点的纵坐标，因为为直角三角形，直角不确定，所以分、、三种情况．每种情况都通过角之间的等量关系证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例列方程求解点坐标．
（3）设出点坐标，分别求出直线、解析式，然后与抛物线方程联立，求出点、坐标．通过用含的式子表示和的面积、，最后求的值．
【详解】（1）解：将，分别代入，
得
解得
抛物线的解析式为
（2）解：
顶点
设
为直角三角形
①当时，作轴
，
又
②当时，作，直线与轴交于点．
，
又
方程无解
此时不存在
③当时，
，
又
满足条件的点为或．
（3）解：设，直线的解析式为
将代入，得
直线的解析式为
联立方程，得
即
整理得，
解得，
当时，
点的坐标为
设直线的解析式为
将代入，
得
直线的解析式为
联立方程，得
即
整理得，
解得，，
当时，
点的坐标为
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，包括用待定系数法求抛物线解析式；相似三角形的判定与性质；直线解析式的求解及直线与抛物线交点坐标的求法；三角形面积的计算．解题关键在于：第（1）问准确代入求解系数；第（2）问全面分类讨论直角情况，利用角的关系找相似三角形；第（3）问正确求出直线解析式并与抛物线联立求交点，再用合适方法表示三角形面积并化简求值．
9．(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）或或
【分析】（1）将点和代入，解方程组即可；
（2）（ⅰ）确定，，确定直线的解析式为，直线的解析式为，联立，得，，，再计算即可；
（ⅱ）分两种情况：①当点在的垂直平分线上时，②如图，以点为圆心，为半径作圆，交直线于点，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的图象与轴交于点和，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）（ⅰ）∵抛物线的图象与轴交于点，点是抛物线的顶点，
当时，，
∴，，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
设直线的解析式为，过点，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴的面积为；
（ⅱ）①当点在的垂直平分线上时，则，
∴为等腰三角形，
此时点的纵坐标为，且在直线：上，设，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
②如图，以点为圆心，为半径作圆，交直线于点，
则，
∴为等腰三角形，
∵，且点在直线：上，设，
∴，
解得：或，
∴点的坐标为或，
此时抛物线的表达式为或；
综上所述，平移后的抛物线的表达式为或或．
【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数图象的平移，二次函数与一次函数的交点，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，两点间的距离等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
10．(1)；
(2)①；②
(3)面积最大值为，此时点
(4)或．
【分析】题目主要考查二次函数综合问题，包括面积问题，平移，相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，构造相似三角形是解题关键．
（1）根据待定系数法代入确定函数解析式，然后求与坐标轴的交点即可；
（2）①连接，根据题意得出，设直线交轴于点，设，代入，得出，再由题意得出方程求解即可；②将解析式化为顶点式得出，确定，再由勾股定理及余弦函数求解即可；
（3）利用待定系数法确定直线的解析式为，联立两个函数确定点，点，过点作轴交于点，根据三角形面积，设，得出相应函数关系式即可求解；
（4）设平移后点对应的点为，连接，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交于点，利用相似三角形的判定和性质及平移的性质求解即可
【详解】（1）解：抛物线交轴于点，
，
令，
，
；
（2）①如解图①，连接，
，，
，
如解图①，设直线交轴于点，
设，代入得，
，
，
直线平分的面积，
，
，
（舍去），
；
②如解图②，
由（1）可知，抛物线的解析式为，
，
，
，
在Rt中，，
；
（3）直线与抛物线交于两点，
将点代入直线中，
得，
直线的解析式为，
联立
解得或
点，点，
如解图③．过点作轴交于点，
，
设，
，
，
当时，最大，最大值为，
面积的最大值为，此时；
（4）或.
如解图④，设平移后点对应的点为，连接，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交于点，
由题意得
，
，
设，则，
，
平移后的抛物线解析式为，
线段的中点坐标为，
当经过点时，
解得，
，．
11．(1)
(2)点D不在抛物线的对称轴上，见解析
(3)当时，的最大值为，此时点P坐标为
【分析】（1）利用待定系数法可求得函数的表达式；
（2）抛物线的表达式为，点B坐标为．可证明．继而可证，则将沿所在直线折叠，点D一定落在直线上，延长至D，使，过点D作轴交y轴于点E，可证，可得D坐标．则可判断D点是否在抛物线对称轴上；
（3）分别过A、P作x轴的垂线，利用解析式，用同一个字母m表示出P，N的坐标，进而用m表示出的值，根据二次函数的性质可以确定出的最大值，进而可确定出此时的P点坐标．
【详解】（1）∵抛物线过点，，
，解得：
∴抛物线的表达式为
设直线的表达式为，则
解得：
∴直线的表达式为.
（2）点D不在抛物线的对称轴上，理由是：
∵抛物线的表达式为.
∴点B坐标为.
∵，，
∴.
又∵，
∴.
∴.
∴，
∴.
∴将沿所在直线折叠，点D一定落在直线上，
延长至D，使，过点D作轴交y轴于点E，如图1.
又∵，
∴.
∴，则点D横坐标为，
∵抛物线的对称轴为直线.
故点D不在抛物线的对称轴上.
（3）设过点B、C的直线表达式为，
∵，，
解得：
∴过点B、C的直线解析式为
如图2，过点A作x轴的垂线交的延长线于点M，点M坐标为，
过点P作x轴的垂线交于点N，垂足为H，如图2.
设点P坐标为，则点N坐标为，
∴，
∵，
∴.
∴.
若分别以、为底计算和的面积（同高不等底），
则与的面积比为，即.
∴
∵，
∴当时，的最大值为，此时点P坐标为.
【点睛】本题以二次函数为背景考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，二次函数中常见辅助线的作法，利用点的坐标表示线段的长度，确定函数最值，关键在于作出垂线段利于用点的坐标表示线段的长度．
12．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）先根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先根据二次函数的性质求得顶点为，设，然后分、和三种情况，分别画出图形并运用矩形的对角线相等且相互平分列方程组求解即可．
【详解】（1）解：∵B、C分别是直线与x轴，y轴的交点，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
∵B、C在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴顶点，
设，
①如图：当时，
则，解得：，
∴；
②如图：当时，
则，解得：，
∴．
所以或．
13．(1)
(2)或或
(3)2或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，分和两种情况，分别根据等腰三角形性质和两点坐标距离公式列方程求解即可；
（3）先根据题意画出图形，设抛物线与直线的交点坐标为，，联立抛物线和直线解析式，根据根与系数关系得到，，利用待定系数法分别求得直线、的表达式为得到， ，过E作轴于Q，过D作轴于N，证明得到，整理可得到，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：设，
根据题意，是以为腰的等腰三角形，有两种情况：
当时，点B和点P关于y轴对称，

∵，
∴；
当时，则，
∴，
整理，得，
解得，，
当时，，则，
当时，，则，
综上，满足题意的点B的坐标为或或；
（3）解；如图所示，

设抛物线与直线的交点坐标为，，
由得，
∴，；
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
令，由得，
∴，
同理，可得直线的表达式为，则，
过E作轴于Q，过D作轴于N，
则，，，，
若，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
整理，得，
即，
将，代入，得，
即，则或，
解得，，
综上，存在常数m，使得，m的值为2或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、等腰三角形的性质、一元二次方程根与系数关系、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、坐标与图形等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造相似三角形，并利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键．
14．(1)，；
(2)；
(3)或
【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的表达式，再令，求出值，即可得到点的坐标；
（2）设直线的表达式为，将点，代入解析式，利用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，根据平移的性质，得到点，将点P代入，求出的值，即可得到点的坐标；
（3）根据正方形和点C的坐标，得出，，，将代入，求得，进而得到顶点坐标，当抛物线顶点在正方形内部时，列出不等式组求解，即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线过点，
，解得：，
抛物线表达式为，
当时，，
解得：（舍去），，
；
（2）解：设直线的表达式为，
直线过点，，
，解得：，
直线的表达式为：，
点在抛物线上，
设点，
，，且由平移得到，
点向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点，
点在直线上，
将代入，
，
整理得：，
解得：，（舍去），
当时，
点坐标为；
（3）解：四边形是正方形，，
，，
，
点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2，
将代入，得：，
，
顶点坐标为，
如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，
，解得：．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，函数图像上点的坐标特征，抛物线与直线交点问题，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
15．(1)
(2)最小值为：
(3)或．
【分析】（1）把点，代入即可求解；
（2）求解直线为，，如图，过作，设直线为，当直线与抛物线有1个交点时，的面积最大，可得有两个相等的实数根，可得，，证明，作关于的对称点，连接，则三点共线，且，，可得，即，进一步求解即可；
（3）如图，延长与轴的交点为，求解直线为，可得，，在直线上，抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位，连接，可得，可得，作交新抛物线于，交轴于，则，即满足，证明，设，此时在抛物线上，即，作关于直线的对称点，连接交于，连接交新抛物线于，，，此时满足条件，设，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点，，与轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）解：∵，，
∴设直线为，
∴，
解得：，
∴直线为，
∵，
当时，，
∴，
如图，过作，
设直线为，
当直线与抛物线有1个交点时，的面积最大，
∴方程，即有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
∴直线为，，
解得：，，
∴，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
作关于的对称点，连接，则三点共线，且，，
∴，即，
当三点共线时，
，此时最小，
最小值为：．
（3）解：如图，延长与轴的交点为，，，
同理可得：直线为，
∴，，
∵为的中点，
∴，，，
∴在直线上，抛物线向右平移1个单位，向下平移1个单位，
连接，
∴，，平移后的抛物线为：，
∴，
作交新抛物线于，交轴于，则，即满足，
∵，
∴，设，
∴，
∴，解得：，
∴，
此时在抛物线上，即，
作关于直线的对称点，连接交于，连接交新抛物线于，
∴，，此时满足条件，
设，
∴，
∴，而，
∴，，
∴，
∵，
∴，
同理可得：为，
∴，
解得：或，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查的二次函数的综合应用，涉及求解解析式，二次函数的图象与面积，一元二次方程根的判别式的应用，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式的应用，锐角三角函数的应用，本题难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键．

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