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热点命题：几何动态问题专项
2025年中考数学三轮复习
1．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问：
(1)出发多少时间时，点之间的距离等于？
(2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？
2．如图，中，，，动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．
(1)根据题意知：____________，____________；（用含t的代数式表示）
(2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？
3．如图，已知在中，，，，点P从点B开始沿边向点A以的速度移动，同时点Q从点A开始沿AC边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．设运动时间为．
(1)当________时与相似；
(2)当的面积等于时，求t的值．
4．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为．
(1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由；
(2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
5．如图所示，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从点开始向点以2厘米秒的速度移动，点沿边从点开始向点以1厘米秒的速度移动，如果、同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么：
(1)当运动秒时，用含的式子表示__________，__________，__________，__________．
(2)当为何值时，的面积为8？
(3)求四边形的面积，并写出一个与计算结果有关的结论．
6．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空：________，________（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
(4)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
7．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，．
(1)当______时，点在的垂直平分线上；
(2)当为何值时，的长度等于
(3)是否存在t的值，使得的面积等于 若存在，请求出此时的值：若不存在，请说明理由．
8．如图，在正方形中，E为的中点，正方形的边长是方程．的根．点P从点B出发，沿向点D运动，同时点Q从点E出发，沿向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点的速度是每秒1个单位长度．当点运动到点时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒的面积为S．
(1)通过取点、测量，得到了S与t的几组值，如下表：
t 0 1 2 3 4
s 0 m 8 n 8
请直接写出_______，________；
(2)请直接写出关于的函数解析式；
(3)的面积是的面积2倍时，求线段的长．
9．如图，在矩形中，，，点在线段上，点从点开始，沿边以的速度向点移动．点为线段的中点，点从点开始，沿以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果点、分别从点、同时出发，设运动时间为（秒），的面积为．
(1) ， （用含的代数式表示）；
(2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)当多边形的面积为时，求的值．
10．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，，动点P、Q分别从点A、C同时出发同时停止，点P以的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以的速度向D移动．
(1)P、Q两点从出发开始经过几秒，四边形的面积为；
(2)P、Q两点从出发开始经过几秒，点P和点Q的距离是．
11．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：
(1)经过多长时间，的面积等于？
(2)经过多长时间，的面积等于面积的？
12．如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一点从出发沿方向以的速度运动，两点同时出发，运动时间为（）．
(1)当为秒______时，的面积是平方厘米．
(2)的面积能否为面积的？若能，求出的值；若不能，说明理由．
13．如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒，．
(1)当为何值时，点在的垂直平分线上？
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)连接，是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．
14．如图所示，中，，，．
(1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，经过几秒，使的面积等于？
(2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，，同时出发，问几秒后，的面积为？
15．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到A即停止点；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、．设点P、Q运动的时间为．
(1)当______时，四边形是矩形；
(2)当______时，四边形是菱形；
(3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上．
参考答案
1．(1)出发时间时，点之间的距离等于
(2)面积的有最大值，此时时间是秒
【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出解析式是关键．
（1）设出发时间时，点之间的距离等于，根据勾股定理列方程并解方程即可；
（2）根据题意得到面积的函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设出发时间时，点之间的距离等于，
依题意有，
解得（不合题意舍去）．
答：出发时间时，点之间的距离等于；
（2）依题意有，
，
∴面积的有最大值，此时时间是秒．
2．(1)
(2)
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用．
（1）根据路程速度时间，即可求解；
（2）根据题意可得面积等于面积的，根据的面积等于三角形的面积的列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵动点从点出发以速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．
∴，，
则；
故答案为：．
（2）解：∵的面积等于四边形的面积的，
∴面积等于面积的，
∴，
即，
解得．
答：当时，的面积等于四边形的面积的．
3．(1)或
(2)或3
【分析】（1）利用勾股定理求出，根据题意表示出，分当时，当时，两种情况讨论即可；
（2）过点P作于点D，证明，求出， 再根据，得到，进而求解即可．
【详解】（1）解：在中，，
∵，
∴，
设运动时间为t秒，则，
当时，，
∴，
解得：；
当时，，
∴，
解得：
∴秒或秒后，与相似；
（2）解：如图，过点P作于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∴
解得或3．
【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题，涉及相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程．注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解．
4．(1)说法错误，见解析
(2)说法正确，见解析
【分析】（1）根据动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ，则，，，，根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动，根据题意，平分的周长，得到，构造方程，若方程有正数解且小于3秒即可判定说法正确，反之错误．
（2）根据题意，，，若平分的面积，得，解方程解答即可．
【详解】（1）解：可以平分的周长说法错误．理由如下：
∵，，，
∴；
∵动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ，
∴，，，，
根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动，
根据题意，平分的周长，
∴，
∴，
解得，
大于了3秒．
故平分的周长的说法是错误的．
（2）解：平分的面积说法正确．理由如下：
根据题意，得，，
若平分的面积，得，
解得（舍去）．
故当时，平分的面积．
【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的周长，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练解方程是解题的关键．
5．(1)厘米，厘米，厘米，厘米
(2)或
(3)平方厘米，结论见解析
【分析】（1）根据“路程速度时间”及线段之间的和差关系即可直接得出答案；
（2）由矩形的性质可得，由三角形的面积公式可得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可求出的值；
（3）由矩形的性质可得，由三角形的面积公式可得（平方厘米），（平方厘米），由于（平方厘米），根据可得（平方厘米），于是可得结论．
【详解】（1）解：根据“路程速度时间”，点的速度是1厘米秒，
（厘米），
厘米，
（厘米），
点的速度是2厘米秒，
（厘米），
厘米，
（厘米），
故答案为：厘米，厘米，厘米，厘米；
（2）解：四边形是矩形，
，
，
，，，
，
整理，得：，
，
或，
解得：，，
答：当或时，的面积为8；
（3）解：四边形是矩形，
，
（平方厘米），
（平方厘米），
又（平方厘米），
（平方厘米），
结论：在、运动过程中，四边形的面积始终保持不变，为平方厘米，且等于矩形面积的一半．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的应用（动态几何问题），因式分解法解一元二次方程，三角形的面积公式，列代数式，整式加减的应用，线段的和与差等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
6．(1)，
(2)或2
(3)存在，秒
(4)存在，
【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可；
（2）利用勾股定理得到方程，求解即可得到结果；
（3）根据长方形的面积减去的面积等于五边形的面积，列出方程，然后求解即可得到结果；
（4）根据（3）可知的面积为，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意：，
故答案为．
（2）解：由题意得：，
解得：，．
或2时，；
（3）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．
理由如下：长方形的面积是：，
五边形的面积，
，
即，
解得：（不合题意舍去），．
即当秒时，使得五边形的面积等于．
（4）解：由题意得，
，
当时，的面积最大．
【点睛】本题考查动态几何问题，矩形的性质，一元二次方程，二次函数最值等知识，利用参数构建方程解决问题是解题的关键．
7．(1)
(2)当时，；
(3)不存在，理由见解析
【分析】设运动的时间为秒，可得：，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可；
先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可；
先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可．
【详解】（1）解：当时，点在的垂直平分线上，
设运动的时间为秒，
则，，，
根据题意可得：，
解得：，
故答案为：．
（2）解：设运动的时间为秒，
则有，，
，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
解得（舍去），，
当时，的长度等于；
（3）解：不存在；
，，
，
，
整理得：，
，，，
，
该方程无解，
不存在的值，使得的面积等于．
【点睛】本题考查了动点问题、线段垂直平分线的性质、一元二次方程的应用、勾股定理及矩形的性质，解决本题的关键是根据动点运动的时间用含的代数式表示出线段的长度，根据线段垂直平分线的性质、勾股定理列一元二次方程并求解．
8．(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）先解方程，根据正方形的性质求出，根据t的值，画出示意图，即可解答；
（2）当时和分别计算函数解析式即可；
（3）当时，，当，时， 如图3，，分别计算面积即可．
【详解】（1）解：，
解得： ，
正方形的边长为4，
为的中点，
，
当时，如图，点在上，点在上，且，
则，即；
当时，如图，点在上，点在上，
∵，，
∴，
则
，即；
（2）解：当时，，
，
当时，
，
，
，
综上． ；
（3）解：当时， 如图2，
，
的面积
解得：或 (舍去)．
当 时，
当时， 如图3，，
的面积
解得：或 (舍去)．
当时，
综上所述：的面积是 的面积2倍时，线段长为或．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
9．(1)；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，函数的性质，解一元二次方程等知识点，
（1）根据路程＝速度×时间，列出代数式即可；
（2）根据三角形的面积公式列函数关系式即可；
（3）根据多边形面积，可以求出的面积，代入（2）的函数关系中求解t即可．
正确列出线段的代数式是本题解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，
，
故答案为：；；
（2）解：，
∵P到B所用时间为：，Q到C所用时间为：，
∴，
∴S与t的函数关系式为：；
（3）解：∵多边形的面积为，
∴的面积为：，
令，得
解得：，（舍去），
∴．
10．(1)5秒
(2)秒或秒
【分析】题主要考查动点问题，涉及解一元一次方程和勾股定理，代数式的表示，
（1）设P、Q两点从出发开始到x秒满足条件，则，，根据梯形的面积公式求解即可；
（2）设P，Q两点从出发经过t秒时满足条件，作，垂足为E，则，有，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形的面积为，
则，，
根据梯形的面积公式得，
解之得，
答： P、Q两点从出发开始到5秒时四边形的面积为；
（2）解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是，
作，垂足为E，则，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
解得．
答：从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是．
11．(1)经过时，的面积等于
(2)当经过或时，的面积等于面积的
【分析】本题主要考查了三角形的动点与一元二次方程的综合，掌握动点的运动规律，三角形的面积与一元二次方程的运用，
（1）的面积等于，设运动时间为t，则可用含t的式子表示，，根据数量关系，列方程即可求解；
（2）计算出面积的，在根据（1）中的方法即可求解．
【详解】（1）解：点P的速度是，点Q的速度是，Q分别从点A，当点Q运动到点C时，，，
∴点P从点A到点B的时间为秒，点Q从点B到点C的时间为秒，Q运动的时间为，
∴，，
∴，
即，
解方程得，，（舍去），
∴经过时，的面积等于；
（2）解：在中，，，，
∴，
设运动时间为a秒，根据题意得，
，
∴.
解得：或，
∴当经过或时，的面积等于面积的．
12．(1)；
(2)不能，理由见解析．
【分析】（）根据题意，列出方程即可求解；
（）根据题意，列出方程即可求解；
本题考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，，
∴，
当的面积是平方厘米时，，
即，
解得，
故答案为：；
（2）解：不能，理由如下：
由题意得，，
方程整理得，，
∵，
∴方程无解，
∴的面积不能为面积的．
13．(1)
(2)；
(3)当时，使得的面积等于．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可；
（2）先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；
（3）先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，，
∵，
∴，
∵在的垂直平分线上，
∴，
∴，
解得，
∴当时，点在的垂直平分线上；
（2）解：由题意得，，，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得（舍去），，
∴当时，的长度等于；
（3）解：由题意得，，
∵的面积等于，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴当时，使得的面积等于．
14．(1)经过秒或秒，使的面积等于
(2)经过秒或秒或秒后的面积为
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，数形结合，分类讨论以及找准等量关系是解题的关键．
（1）设经过秒，使的面积等于，则，，推出，再根据三角形面积公式列式求解即可；
（2）分三种情况根据三角形面积公式列出方程：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在延长线上；③点在射延长线上，点在延长线上．
【详解】（1）解：设经过秒，使的面积等于，
则，，
，
，
，即，
解得：或，
经过秒或秒，使的面积等于；
（2）解：①点在线段上，点在线段中，
设经过秒，的面积为，，
依题意得：，，
，，
，，
由题意得：，即，
，
解得：（舍去）或，
故符合题意；
②点在线段上，点在的延长线上，
设经过秒，的面积为，，
依题意得：，，
，，
，，
由题意得：，即，
，
解得：，符合题意；
③点在延长线上，点在的延长线上，
设经过秒，的面积为，，
依题意得：，，
，，
，，
由题意得：，即，
解得：或（舍去），
故符合题意；
综上所述，经过秒或秒或秒后的面积为．
15．(1)当时，四边形为矩形；
(2)当时，四边形为菱形；
(3)不存在某一时刻使得，理由见解析
(4)当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得的值；
（2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间；
（3）过作，交于，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案；
（4）根据折叠的性质得出，进而在中，，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：由已知可得，，，
在矩形中，， ，，
当时，四边形为矩形，
∴，
解得：，
故当时，四边形为矩形；
（2）解：，，
∴，
即，
∵，
四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形，
根据勾股定理得：，，
∴此时，
解得，
故当时，四边形为菱形；
（3）解：不存在；理由如下：
过作，交于，如图所示：
则，
∵，
四边形是矩形，
，，
，
矩形中，
∴为直角三角形，
，
，
，
即：
，
，
此方程无实数根，
不存在某一时刻使得；
（4）解：如图所示，
根据折叠可知：
，，
在矩形中，
，
，
，
，
∵，
∴在中，根据勾股定理得：
，
，
即：，
解得：，
答：当等于或时，翻折后点的对应点恰好落在边上．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．折叠的性质，解决此题注意结合方程的思想解题．

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