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四川省绵阳市东辰学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则此方程的根是（ ）
A． B． C． D．
4．下列表格的对应值判断方程 (,a,b,c为常数）的一个解x的取值范围是（ ）
x
A． B． C． D．
5．若实数满足，则关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．若关于x的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　）
A． B． C． D．
7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
8．某公司年报显示，该公司2023年的利润为6600万元，受市场波动影响，2023年利润增长率为2022年利润增长率的一半，若该公司2021年的利润为5000万元，则该公司2023年利润增长率为（ ）
A． B． C． D．
9．若关于x的方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两边长，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．8或10
10．关于x的方程的两个根，满足 且则m的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．9
11．如图，M是三条角平分线的交点，过M作，分别交于D，E两点，设，关于x的方程（）
A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根
12．已知x，y为实数，且满足，记的最大值为M，最小值为m，则（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
13．一元二次方程的解是 ．
14．若关于的一元二次方程的一个根为1，则另一个根为 ．
15．若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
16．设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|=6，那么实数m的取值是 ．
17．已知关于x的一元二次方程的两根分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则实数a的取值范围是 ．
18．若实数、、满足，，，则的取值范围是 ．
三、解答题
19．解方程
(1)
(2)
20．如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象在第一象限交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，D，且．已知A（m，1），AE＝4BD．
（1）填空：m= ；k= ；
（2）求B点的坐标和一次函数的解析式；
（3）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位，使它与反比例函数图象有唯一交点，求m的值．
21．某网店热销夏季运动衫，进价每件42元，销售大数据分析表明：当每件运动衫售价为54元时，平均每月售出800件；若销售单价每下降1元，其月销售量就增加100件；设销售单价下降x元，每月销售量为y件．
(1)y与x的函数关系式是_______．
(2)该网店决定降价薄利多销，在库存充足的情况下；若预计月获利恰好为9900元，求每件运动衫的售价．
22．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边．
阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2．
阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值
其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．
请同学们根据以上所学的知识解决下列问题．
(1)若，求的最小值________；若，求的最小值________．
(2)已知且，求的最小值是
(3)，且，不等式恒成立，求的范围
(4)已知且，求的最小值
23．如图，点D在的边上，以为直径作的外接圆，记为，．

(1)若的半径为11，，求的值；
(2)求证：是的切线；
(3)已知平分，交于点E，交于点F．若，，，求的值．
24．如图，抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求两点的坐标；
(2)点是直线上方抛物线上的一个动点，过点做轴的垂线，交线段于点，求当线段最长时点的坐标；
(3)点为抛物线上的一个动点，连接．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（1）如图，在中，D为上一点，．求证：；
（2）如图2，在菱形中，E，F分别为上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若
求：①的长；②的长；
（3）如图3，在菱形中，点E为的中点，在平面内存在点F，且满足，以为一边作（顶点F、A、P按逆时针排列），使得，且，请直接写出的最小值．
《四川省绵阳市东辰学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试卷》参考答案
1．A
2．A
3．C
4．C
5．B
6．A
7．D
8．B
9．B
10．C
11．A
12．C
13．，
14．-3
15．2026
16．9.
17．
18．
19．（1）解：
∴
∴
∴，
解得：，
（2）解：
∴
∴
∴或
解得：，
20．解：（1）由反比例函数k的几何意义知：，因为图象在第一、三象限，所以k=4，
∵点A（m，1）在上，∴m=4.
故答案为4， 4；
（2）∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，AE＝4BD，A（4，1），
∴AE＝4，BD＝1，
∴xB＝1，∴yB＝4，
∴B（1，4），
将A（4，1），B（1，4）代入y＝kx+b，得，解得，k＝﹣1，b＝5，
∴；
（3）设直线AB向下平移后的解析式为，
联立：，即，整理得：
∵一次函数与反比例函数图象有唯一交点，
∴△＝0，即，
解得：=9或1.
21．（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
解得：，，
∵网店决定降价薄利多销，
∴，
这时售价为元，
答：每件运动衫的售价为元．
22.（1）解：当时，，
∴，
当且仅当，即时，有最小值，最小值为4；
当时，，
∴，
当且仅当，即时，有最小值，最小值为6；
故答案为：4，6；
（2）解：∵且，
∴，，
∴，
当且仅当，即时，有最小值，最小值为；
（3）解：∵，且，则，，
∴，
当且仅当，即时，有最小值，最小值为，
∵恒成立，
∴的最小值，即；
（4）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当且仅当，即时，有最小值，最小值为4．
23．（1）解：∵是的直径，
∴．
∵的半径为11，
∴．
∵，
∴；
（2）证明：如图1，连接，则，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴．
则，
∴，即．
∵是的半径，
∴是的切线．
（3）解：设的半径为r，则，
∴，．
由（2）知，是直角三角形，，
∴，即，
解得，（负值舍去），
∴．
∵，
∴．
在中，，即，
解得，（负值舍去）．
∴．
如图，连接，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．

24．（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∴抛物线，
又∵抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），
∴当时，，
整理得：，
∴，
解得：，
∴
（2）解：设直线的解析式为：，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点，则点，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴，
∴当线段最长时点的坐标为．
（3）解：①∵，，
∴，
∵
，
∴，
∴，
过作交抛物线于点，如图：
∴点的纵坐标为，
则
解得：，，
∴点，
②由①得，作垂直平分线交轴于点，延长，交抛物线于点，如图：
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴
解得：，
∴，
∴点，
设解析式为且过，
∴，
解得：，
∴直线解析式为
∴联立，
解得：或，
∴，
综上可知：点的坐标为或．
25．解：（1）证明：∵，
∴
∴，
∴；
（2）①连接，
∵四边形是菱形
∴
∴
∵
∴
则
∵
∴，
得，
∴，
∵
∴，
∴
②由①同理得，，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵点E为的中点，四边形为菱形，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
在上取点M，使
∴，
∵
∴
∴
∴
∴当点三点共线时，最小，即最小，
连接，过点D作，交的延长线于N，
∵，
∴，
∴，
∴最小值为．

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