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甘肃省武威市嘉峪关市临夏州2025年中考真题数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（2025·武威）（　　）
A． B． C． D．3
【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】
解：-2+5=3
故答案为：D.
【分析】根据有理数的加法法则：异号两数相加取绝对值较大加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，即可解答.
2．（2025·武威）根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据451420000000用科学记数法可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】
解： 451420000000 =
故答案为：C.
【分析】 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，其中n比原位数少1，解答即可.
3．（2025·武威）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据整式的加减运算法则：字母及字母指数不变，系数相加，可判断A；由同底数幂除法法则：底数不变，指数相减，可判断B；根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可判断C；根据积的乘方法则，结果等于每一个因式的乘方，可判断D；逐一判断即可解答.
4．（2025·武威）如图1，三根木条a，b，c相交成，，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（　　）
A．30° B．40° C．60° D．80°
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：如图：
∵ 木条a与木条b平行，，
∴，
∵，
∴ 木条a旋转 的度数为：；
故答案为：A.
【分析根据平行线的性质，先求出木条a旋转后与c所成角的度数为， 再结合旋转前，利用角度的和差运算即可计算出旋转的角度.
5．（2025·武威）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】
解：一元二次方程3x2- 6x+m=0有两个实数根，
∴= (-6)2-4x3m≥0，
∴m≤3.
故答案为B.
【分析】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的判别式=b2-4ac有如下关系；当> 0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当<0时，方程无实数根；即可由题意建立不等式，求出m的值即可解答.
6．（2025·武威）如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】A
【知识点】多边形的概念与分类；多边形的内角和公式
【解析】【解答】
解：设原多边形的边数为n ，
则可得180(n-2)= 1620，
解得n=11，
按图示的剪法剪去一个内角后 ，
新多边形的边数比原多边形的边数多1，为12，
故答案为：A.
【分析】设原多边形的边数为n，根据内角和公式可解得n，按图示的剪法剪去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多I，解答即可.
7．（2025·武威）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若，则的度数为（　　）
A．20° B．35° C．55° D．70°
【答案】C
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】
解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC= 180° -∠ABC，
∵
∴∠ADC= 180°-70°= 1100
∵，
∴∠ADB=∠BDC=∠ADC=S5°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADC=110°，根据得到∠ADB=∠BDC，计算即可得到∠BDC的度数.
8．（2025·武威）习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．中华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格．如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（　　）
A．2022年，人均纸质书籍阅读量为5本
B．2023年，人均电子书籍阅读量为11本
C．2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍
D．2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升
【答案】C
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】
解：A、由统计图可知，2022 年人均纸质书籍阅读量为5本，故A正确，不符合题意；
B、2023年人均电子书籍阅读量为11本，故B正确，不符合题意；
C、 2024年，人均电子书籍阅读量为12.3是人均纸质书籍阅读量5.3的约2倍，故C错误，符合题意；
D、 观察统计图：2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升，故D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】观察条形统计图：2022 年人均纸质书籍阅读量为5本；2023年人均电子书籍阅读量为11本；2024年，人均电子书籍阅读量为12.3是人均纸质书籍阅读量5.3的约2倍；2016年至2024年，
人均电子书籍阅读量逐年上升；逐一判断即可解答.
9．（2025·武威）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（　　）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】
解：由 可得：
∵-1
∴当x=1肘，y取最大值，最大值为，即2.75米，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的最大高度的应用，把函数解析式化为，由-1可得当x=1肘，y取最大值，解答即可.
10．（2025·武威）如图1，在等腰直角三角形ABC中，，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　）
A．2 B．2.5 C． D．4
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；通过函数图象获取信息；三角形-动点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】
解：根据题意动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动过程中，
△APD的面积先增大，再减小，
当点P运动到点C时，△APD的面积最大，
根据函数图象可得此时OAPD的面积为4 ，
如图，
∵点D为边AB的中点，等腰直角三角形ABC，
∴
可得AC=4，
当点P运动到CB的中点时，如图，
∵点D为边AB的中点，
∴DP==2.
故答案为：A.
【分析】根据运动轨迹可得△APD的面积先增大，再减小；当点P运动到点C时，APD的面积最大，此时APD的面积为4，即可求得AC，再利用三角形面积公式即可解答；当点P运动到点C时，APD的面积最大，再利用三角形中位线定理即可解答.
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2025·武威）因式分解： =　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： = 。
故答案为： 。
【分析】此三项式中，有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积2倍的差，故可以用完全平方差公式直接分解。
12．（2025·武威）方程 的解是x=　 　．
【答案】﹣1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：两边同时乘以（x﹣1），得2x=x﹣1，解得x=﹣1．
经检验：x=﹣1是原方程的解．
故答案为：﹣1．
【分析】两边同时乘以分母（x﹣1），可把方程化为整式方程．
13．（2025·武威）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么　 　（请写出一个符合条件的k值）．
【答案】1
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】
解：∵点，在反比例函数的图象上，
∴
∵
∴k
即1
故答案为：1.
【分析】根据点，在反比例函数的图象上得到即可由得到k；因而写出的答案只需要满足k的都可以，答案并不唯一，解答即可.
14．（2025·武威）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点处，与AD相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则　 　．
【答案】12
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】
解：∵△CDE为等边三角形，
∴DE=DC=EC，∠D=∠CED=60°，
根据折叠的性质，∠BCA=∠B’CA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD// BC，AB=CD=6cm， .
∴∠EAC=∠BCA ，
∴∠ EAC=∠ECA，
∵∠CED=∠EAC+∠.ECA，
∴ ∠EAC=30°，
∴ ∠ACD=90° ，
∴AD=2CD=12cm，
故答案为：12.
【分析】首先根据等边三角形的性质可得DE=DC=EC，∠D=∠CED=60°，根据折叠的性质，∠BCA=∠B' CA，再利用平行四边形的性质、三角形外角性质证明∠DAC=30°，可得∠ACD=90°，即可利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得AD的长，解答即可.
15．（2025·武威）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为　 　cm．
【答案】195
【知识点】图形的相似；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似比
【解析】【解答】
解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3：1，大风筝和小∴风筝相似，相似比为3：1，
∴大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长=3：1，
∴大风筝两条对角线的长分别为30cmx3=90cm和35cmx3=105cm，
∴大风筝两条对角线长的和为195cm，
故答案为：195.
【分析】由题干得到大风筝和小风筝相似，相似比为3：1，即可利用相似三角形的性质得到大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长=3：1，计算即可解答.
16．（2025·武威）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有　 　个正方形．
【答案】31
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】
解：由图可知：第一个图形有1个正方形，第2个图形有1+21=3个正方形，
第3个图形有1+21+22=7个正方形，
……
第5个图形中共有1+21+22+23+24=31个正方，
故答案为：31.
【分析】根据图形规律发现第一个图形有1个正方形，第2个图形有1+21=3个正方形，第3个图形有
1+21+22=7个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数，即可解答.
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·武威）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；开平方（求平方根）
【解析】【分析】根据开平方运算得，根据二次根式的乘法运算，再计算加减即可解答 ．
18．（2025·武威）解不等式组：
【答案】解：解不等式组：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得，
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】解不等式①，解不等式，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，解答即可．
19．（2025·武威）化简：．
【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；分式的乘法；分式的除法；同分母分式的加、减法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】根据分式的运算先分解，在进行分式得除法运算得到=，最后进行减法运算，即可解答．
20．（2025·武威）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；
②在射线DM上截取；
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径作．
则就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】解：
如图即为月洞门的设计图．
【知识点】圆的相关概念；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据尺规作图先以A，B为端点大于的长度为半径画弧，作出线段AB的垂直平分线MN ； 在射线DM上截取 ，同理作线段AC的垂直平分线， 再以点O为圆心，OC的长为半径作 ；依次作图即可解答
21．（2025·武威）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定．转动转盘、等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色．若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘．
（1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为 ▲ ；
（2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率．
【答案】（1）
（2）列表：
红 白 蓝
红 （红，红） （红，白） （红，蓝）
白 （白，红） （白，白） （白，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝）
共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种，
．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】
解： ∵任意转动转盘一次共有3种结果，指向红色区域的由一种结果，
∴P=，
故答案为：.
【分析】（1） 任意转动转盘一次共有3种结果，指向红色区域的由一种结果，再根据概率公式P=计算即可解答；
(2)先列出表格得到共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种，再根据概率公式P=计算即可解答.
22．（2025·武威）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得．，，其中（测角仪的高度），，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，，，，）
【答案】解：设AG长为xm，由题意得，
在中，．
在中，．
，
∴
解得x=6.6
∴AG=6.6
∴AB=AG+BG=8.3cm
【知识点】解一元一次方程；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；线段的和、差、倍、分的简单计算；已知正切值求边长
【解析】【分析】设AG= xm，分别解RtAEG，RtACG，求出CG，EG的长，再根据线段的和差关系列出方程求出x的值，再利用AB= AG + BG，进行求解即可解答.
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（2025·武威）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
队员 平均数 中位数 众数 方差
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值： ▲ ， ▲ ；
（2） ▲ 队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）．
【答案】（1）8.5，8；
（2）乙
（3）解：小瑜说的不对，理由如下：
两人成绩的平均数相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员参赛.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】
解：(1)乙中数据排序后，第5个和第6个数据分别为： 8 和9，
∴
甲中数据出现次数最多的是8，故n=8；
故答案为： 8.5，8；
(2)由表格可知：甲的方差大于乙的方差，
∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定；
故答案为：乙.
【分析】
(1)将乙中数据排序后，第5个和第6个数据的平均数即为中位数，甲中数据出现次数最多的为众数，求出m，n的值即可解答；
(2)根据方差越小越稳定，即可判断稳定性即可解答；
(3)根据方差作决策即可解答.
24．（2025·武威）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当的面积为3时，求m的值．
【答案】（1）解：由题意得：点B(-1，a) 在一次函数y=x+4的图象上，
∴a=-1+4=3，
∴B(-1，3)；
∵B(-1，3)在反比例函数 的图象上，
∴k=-1x3=-3，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：对于一次函数y=x+4，令y=0， 则x=-4；
∴A(-4.0)，
∴一次函数y=x+4的图象向下平移m(m> 0)个单位长度后的解析式为： y=x+4-m，
对于一次函数y=x+4-m，令y=0，则x=m-4，
∴C(m-4，0)，
∴，
解得： m=2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)由题意得：点B(-1，a)在一次函数y=x+4的图象上，代入函数解析式即可求出B(-1，3)，计算解答即可；
(2)对于一次函数y=x+4，令y=0求出A(-4，0)；一次函数y=x+4的图象向下平移m(m>0)个单位长度后的解析式为： y=x+4-m，进而求出求出C(m- 4，0)，再根据面积公式，计算即可求解；
25．（2025·武威）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，，直径BE与弦AC相交于点F、点D是EB延长线上的一点．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若四边形ABCO是平行四边形，．求CD的长．
【答案】（1）证明：如图1，连接AE，可得，
，
．
，
．
BE是⊙O的直径，
，即．
，
，即．
OC为⊙O的半径，
CD是⊙O的切线．
（2）解：如图2，四边形ABCO是平行四边形，．
又，
，
．
，
是菱形
．
为等边三角形，．
在中：．．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】
(I)连接AE ，圆周角定理得到E=AOB ，即可得出∠BCD=∠E ，根据等边对等角，得出∠OAE =∠BCD，由直径所对圆周角的性质得到∠BAE =90°，进而得到∠BAO+∠EAO=90°，等量代换，得到∠BCO+∠BCD=90°，即OC⊥DC，即可得证CD是⊙O的切线；
(2)平行四边形的性质得到OF =OB，根据OF +OE=EF=3，OB=OE，得到OB+OB=3， 求出OB的长，结合可证明是菱形，从而得到BOC为等边三角形，进而得到BOC = 60°，解RtODC，求出CD的长，即可解答.
26．（2025·武威）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在CD的延长线上．
（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：．理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，
．
，点E与点A重合，
，
，
．
（2）解：．理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，
．
是直角三角形，
，
，
，
即．
∵EP=EF，EF=EG
∴EP=EG
∴
∴AE=DG
（3）解：BF =DG，理由如下：
由(2)可知：
∴AE= DG，AP= DE，
作FH⊥AB于点H，则：∠FHB= ∠FHA=∠PAE= 90°，
∴AE//FH
∴
∴PA=AH，
∵PE=EF，
∴ AE为PHF的中位线，
∴HF =2AE，
∵AP=DE，PA= AH，
∴DE= AH，
又∵AD=AB，
∴AE= BH ，
在RtBHF中，由勾股定理，得： BF=，
∵AE=DG，
∴BF =DG.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
(1)根据正方形的性质利用HL可证明ADG≌ABF，再利用全等三角形的性质，即可得出结论；
(2)根据正方形的性质利用同角的余角相等得到，即可利用AAS证明PAE≌EDG，证明即可得出结论：
(3)作FH⊥AB，得到AE//FH，利用平行线分线段成比例得到；即可得出AP= AH，结合已知条件得到AE为PHF的中位线，从而得到FH=2AE，根据AP=DE，得到AH=DE，进而得到AE=BH，再利用勾股定理得到BF=AE，再根据AE = DG，即可得出结论.
27．（2025·武威）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为OA的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，求的面积；
（3）点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转得到OF．
①当时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值．
【答案】（1）解：∵抛物线过
∴
∴
∴抛物线的表达式为：
（2）解：如图1
∵抛物线与X轴交于点A，A在正半轴，
∴，
∵，
∴OA=OB，
∵M为OA的中点，
∴，
∵OA=OB，，
∴，
∴MA=MC，
∵MD为OA的垂线，
∴D的横坐标为2，
∴MD=，
∴CD=MD-MC=；
∴
（3）解： ① F在否在抛物线上，理由如下：如图
连接BF，作FQ⊥OB于点Q，
由(2)可知： 0A=OB=4，∠OAB=∠OBA=45°，
由旋转的性质可知：
OE=OF，∠EOF =∠BOA= 90°，
∴∠AOE=∠BOF，
又∵OA = OB，OE=OF ，
∴△AOE≌△BOF ，
∴∠OBF=∠OAE=45°，BF=AE=
∵FQ⊥OB，
∴△FQB为等腰直角三角形，
∴OQ=OB - BQ=3，
∴F(-1，-3)，
对于当x=-1时，y=-3
∴点F在抛物线上；
②连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，MF，作MH⊥BG于点H，如图，
∵∠OPA=90°， M为OA的中点，
∴ PM=OA=2，
∵PFMF-PM，
∴当M，P，F三点共线时，PF最小，
同①可得，∠OBF =∠OAE =45°，
∴点F在射线BG上运动，
当MF⊥BG时，即F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH-PM，
∵∠OBG=45°，
∴OBG为等腰直角三角形，
∴OG=OB=4，∠BGO=45° ，
∴ MG= OG+OM=6，MHG为等腰直角三角形，
∴MH=MG=3，
∴PF最小为MH-PM=3-2.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两点之间线段最短；旋转的性质；二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 (1)根据待定系数法把代入解析式，即可解答；
(2)求出点A的坐标，进而得到点M的坐标，根据等腰三角形的性质可得到MC的长度，由MD为OA的垂线求出点D的坐标，根据BCD的面积公式进行求解，即可解答；
(3)①根据要求作图即可，连接BF，作FQ⊥OB于点Q，由旋转的性质利用SAS证明AOE≌BOF，得到∠OBF=∠OAE=45°，BF= AE=，进而得到△FQB为等腰直角三角形，求出F点坐标，将F点的横坐标代入抛物线的解析式，即可判断点F在否在抛物线上，解答即可；
②连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，PF，MF，作MH⊥BG于点H，斜边上的中线得到MP=2，根据PF≥MF-PM，得到当M，P，F三点共线时，PF最小，同①可知，∠OBF=∠OAE=45°，得到点F在射线BG上运动，进而得到当MF⊥BG时，即F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH - PM；易得OBG为等腰直角三角形，求出OG的长，进而求出MG的长，易得MHG为等腰直角三角形，求出MH的长，根据PF最小为MH - PM，计算即可解答.
1 / 1甘肃省武威市嘉峪关市临夏州2025年中考真题数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1．（2025·武威）（　　）
A． B． C． D．3
2．（2025·武威）根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据451420000000用科学记数法可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·武威）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·武威）如图1，三根木条a，b，c相交成，，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转（　　）
A．30° B．40° C．60° D．80°
5．（2025·武威）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·武威）如图，一个多边形纸片的内角和为，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为（　　）
A．12 B．11 C．10 D．9
7．（2025·武威）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若，则的度数为（　　）
A．20° B．35° C．55° D．70°
8．（2025·武威）习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．中华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格．如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（　　）
A．2022年，人均纸质书籍阅读量为5本
B．2023年，人均电子书籍阅读量为11本
C．2024年，人均电子书籍阅读量是人均纸质书籍阅读量的3倍
D．2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升
9．（2025·武威）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（　　）
A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m
10．（2025·武威）如图1，在等腰直角三角形ABC中，，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　）
A．2 B．2.5 C． D．4
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．（2025·武威）因式分解： =　 　.
12．（2025·武威）方程 的解是x=　 　．
13．（2025·武威）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么　 　（请写出一个符合条件的k值）．
14．（2025·武威）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点处，与AD相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则　 　．
15．（2025·武威）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为30cm和35cm，那么大风筝两条对角线长的和为　 　cm．
16．（2025·武威）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有　 　个正方形．
三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025·武威）计算：．
18．（2025·武威）解不等式组：
19．（2025·武威）化简：．
20．（2025·武威）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；
②在射线DM上截取；
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径作．
则就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
21．（2025·武威）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成3个扇形，分别涂有“红、白、蓝”三种颜色，转盘指针固定．转动转盘、等转盘停止转动后，观察指针所落区域的颜色．若指针落在区域分界线上，则重新转动转盘．
（1）任意转动转盘一次，指针落在红色区域的概率为 ▲ ；
（2）任意转动转盘两次（第一次转动转盘，等转盘停止转动后，再第二次转动转盘），用画树状图或列表的方法求指针所落区域颜色不同的概率．
22．（2025·武威）如图1，位于嘉峪关的长城第一墩，又称天下第一墩，是明代万里长城最西端的一座墩台，始建于明嘉靖十八年（1539年）．该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上，扼守丝绸之路咽喉要道，与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系．随着岁月的变迁和自然的风化，长城第一墩的高度在慢慢降低．为了解长城第一墩的现存高度，某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动．如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图，点A为最高点，点B，F，D是地面同一直线上的三个点（点D，F都在保护栅栏外），在D，F处分别用测角仪测得．，，其中（测角仪的高度），，求长城第一墩的高度AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，，，，）
四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（2025·武威）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下：
信息一：甲、乙队员的射击成绩
甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8
乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8
信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量
队员 平均数 中位数 众数 方差
甲 8.3 8 n 2.01
乙 8.3 m 9 1.61
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m，n的值： ▲ ， ▲ ；
（2） ▲ 队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以．你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可）．
24．（2025·武威）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当的面积为3时，求m的值．
25．（2025·武威）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，，直径BE与弦AC相交于点F、点D是EB延长线上的一点．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若四边形ABCO是平行四边形，．求CD的长．
26．（2025·武威）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在CD的延长线上．
（1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由．
27．（2025·武威）如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为OA的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AB，过点M作OA的垂线，交AB于点C，交抛物线于点D，连接BD，求的面积；
（3）点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转得到OF．
①当时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由；
②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接PF，当点E运动时，求PF的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】
解：-2+5=3
故答案为：D.
【分析】根据有理数的加法法则：异号两数相加取绝对值较大加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，即可解答.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】
解： 451420000000 =
故答案为：C.
【分析】 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，其中n比原位数少1，解答即可.
3．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】
解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、 ，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据整式的加减运算法则：字母及字母指数不变，系数相加，可判断A；由同底数幂除法法则：底数不变，指数相减，可判断B；根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可判断C；根据积的乘方法则，结果等于每一个因式的乘方，可判断D；逐一判断即可解答.
4．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】
解：如图：
∵ 木条a与木条b平行，，
∴，
∵，
∴ 木条a旋转 的度数为：；
故答案为：A.
【分析根据平行线的性质，先求出木条a旋转后与c所成角的度数为， 再结合旋转前，利用角度的和差运算即可计算出旋转的角度.
5．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】
解：一元二次方程3x2- 6x+m=0有两个实数根，
∴= (-6)2-4x3m≥0，
∴m≤3.
故答案为B.
【分析】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的判别式=b2-4ac有如下关系；当> 0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当<0时，方程无实数根；即可由题意建立不等式，求出m的值即可解答.
6．【答案】A
【知识点】多边形的概念与分类；多边形的内角和公式
【解析】【解答】
解：设原多边形的边数为n ，
则可得180(n-2)= 1620，
解得n=11，
按图示的剪法剪去一个内角后 ，
新多边形的边数比原多边形的边数多1，为12，
故答案为：A.
【分析】设原多边形的边数为n，根据内角和公式可解得n，按图示的剪法剪去一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多I，解答即可.
7．【答案】C
【知识点】角的运算；圆周角定理；圆内接四边形的性质；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】
解：由圆内接四边形的性质可知：∠ADC= 180° -∠ABC，
∵
∴∠ADC= 180°-70°= 1100
∵，
∴∠ADB=∠BDC=∠ADC=S5°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADC=110°，根据得到∠ADB=∠BDC，计算即可得到∠BDC的度数.
8．【答案】C
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】
解：A、由统计图可知，2022 年人均纸质书籍阅读量为5本，故A正确，不符合题意；
B、2023年人均电子书籍阅读量为11本，故B正确，不符合题意；
C、 2024年，人均电子书籍阅读量为12.3是人均纸质书籍阅读量5.3的约2倍，故C错误，符合题意；
D、 观察统计图：2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升，故D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】观察条形统计图：2022 年人均纸质书籍阅读量为5本；2023年人均电子书籍阅读量为11本；2024年，人均电子书籍阅读量为12.3是人均纸质书籍阅读量5.3的约2倍；2016年至2024年，
人均电子书籍阅读量逐年上升；逐一判断即可解答.
9．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】
解：由 可得：
∵-1
∴当x=1肘，y取最大值，最大值为，即2.75米，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的最大高度的应用，把函数解析式化为，由-1可得当x=1肘，y取最大值，解答即可.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；通过函数图象获取信息；三角形-动点问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】
解：根据题意动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动过程中，
△APD的面积先增大，再减小，
当点P运动到点C时，△APD的面积最大，
根据函数图象可得此时OAPD的面积为4 ，
如图，
∵点D为边AB的中点，等腰直角三角形ABC，
∴
可得AC=4，
当点P运动到CB的中点时，如图，
∵点D为边AB的中点，
∴DP==2.
故答案为：A.
【分析】根据运动轨迹可得△APD的面积先增大，再减小；当点P运动到点C时，APD的面积最大，此时APD的面积为4，即可求得AC，再利用三角形面积公式即可解答；当点P运动到点C时，APD的面积最大，再利用三角形中位线定理即可解答.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： = 。
故答案为： 。
【分析】此三项式中，有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积2倍的差，故可以用完全平方差公式直接分解。
12．【答案】﹣1
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：两边同时乘以（x﹣1），得2x=x﹣1，解得x=﹣1．
经检验：x=﹣1是原方程的解．
故答案为：﹣1．
【分析】两边同时乘以分母（x﹣1），可把方程化为整式方程．
13．【答案】1
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】
解：∵点，在反比例函数的图象上，
∴
∵
∴k
即1
故答案为：1.
【分析】根据点，在反比例函数的图象上得到即可由得到k；因而写出的答案只需要满足k的都可以，答案并不唯一，解答即可.
14．【答案】12
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】
解：∵△CDE为等边三角形，
∴DE=DC=EC，∠D=∠CED=60°，
根据折叠的性质，∠BCA=∠B’CA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD// BC，AB=CD=6cm， .
∴∠EAC=∠BCA ，
∴∠ EAC=∠ECA，
∵∠CED=∠EAC+∠.ECA，
∴ ∠EAC=30°，
∴ ∠ACD=90° ，
∴AD=2CD=12cm，
故答案为：12.
【分析】首先根据等边三角形的性质可得DE=DC=EC，∠D=∠CED=60°，根据折叠的性质，∠BCA=∠B' CA，再利用平行四边形的性质、三角形外角性质证明∠DAC=30°，可得∠ACD=90°，即可利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得AD的长，解答即可.
15．【答案】195
【知识点】图形的相似；线段的和、差、倍、分的简单计算；相似比
【解析】【解答】
解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为3：1，大风筝和小∴风筝相似，相似比为3：1，
∴大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长=3：1，
∴大风筝两条对角线的长分别为30cmx3=90cm和35cmx3=105cm，
∴大风筝两条对角线长的和为195cm，
故答案为：195.
【分析】由题干得到大风筝和小风筝相似，相似比为3：1，即可利用相似三角形的性质得到大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长=3：1，计算即可解答.
16．【答案】31
【知识点】探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】
解：由图可知：第一个图形有1个正方形，第2个图形有1+21=3个正方形，
第3个图形有1+21+22=7个正方形，
……
第5个图形中共有1+21+22+23+24=31个正方，
故答案为：31.
【分析】根据图形规律发现第一个图形有1个正方形，第2个图形有1+21=3个正方形，第3个图形有
1+21+22=7个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数，即可解答.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；开平方（求平方根）
【解析】【分析】根据开平方运算得，根据二次根式的乘法运算，再计算加减即可解答 ．
18．【答案】解：解不等式组：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得，
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】解不等式①，解不等式，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，解答即可．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；分式的乘法；分式的除法；同分母分式的加、减法；因式分解-平方差公式
【解析】【分析】根据分式的运算先分解，在进行分式得除法运算得到=，最后进行减法运算，即可解答．
20．【答案】解：
如图即为月洞门的设计图．
【知识点】圆的相关概念；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据尺规作图先以A，B为端点大于的长度为半径画弧，作出线段AB的垂直平分线MN ； 在射线DM上截取 ，同理作线段AC的垂直平分线， 再以点O为圆心，OC的长为半径作 ；依次作图即可解答
21．【答案】（1）
（2）列表：
红 白 蓝
红 （红，红） （红，白） （红，蓝）
白 （白，红） （白，白） （白，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝）
共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种，
．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】
解： ∵任意转动转盘一次共有3种结果，指向红色区域的由一种结果，
∴P=，
故答案为：.
【分析】（1） 任意转动转盘一次共有3种结果，指向红色区域的由一种结果，再根据概率公式P=计算即可解答；
(2)先列出表格得到共有9种等可能结果，颜色不同的结果有6种，再根据概率公式P=计算即可解答.
22．【答案】解：设AG长为xm，由题意得，
在中，．
在中，．
，
∴
解得x=6.6
∴AG=6.6
∴AB=AG+BG=8.3cm
【知识点】解一元一次方程；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；线段的和、差、倍、分的简单计算；已知正切值求边长
【解析】【分析】设AG= xm，分别解RtAEG，RtACG，求出CG，EG的长，再根据线段的和差关系列出方程求出x的值，再利用AB= AG + BG，进行求解即可解答.
23．【答案】（1）8.5，8；
（2）乙
（3）解：小瑜说的不对，理由如下：
两人成绩的平均数相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员参赛.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】
解：(1)乙中数据排序后，第5个和第6个数据分别为： 8 和9，
∴
甲中数据出现次数最多的是8，故n=8；
故答案为： 8.5，8；
(2)由表格可知：甲的方差大于乙的方差，
∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定；
故答案为：乙.
【分析】
(1)将乙中数据排序后，第5个和第6个数据的平均数即为中位数，甲中数据出现次数最多的为众数，求出m，n的值即可解答；
(2)根据方差越小越稳定，即可判断稳定性即可解答；
(3)根据方差作决策即可解答.
24．【答案】（1）解：由题意得：点B(-1，a) 在一次函数y=x+4的图象上，
∴a=-1+4=3，
∴B(-1，3)；
∵B(-1，3)在反比例函数 的图象上，
∴k=-1x3=-3，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：对于一次函数y=x+4，令y=0， 则x=-4；
∴A(-4.0)，
∴一次函数y=x+4的图象向下平移m(m> 0)个单位长度后的解析式为： y=x+4-m，
对于一次函数y=x+4-m，令y=0，则x=m-4，
∴C(m-4，0)，
∴，
解得： m=2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)由题意得：点B(-1，a)在一次函数y=x+4的图象上，代入函数解析式即可求出B(-1，3)，计算解答即可；
(2)对于一次函数y=x+4，令y=0求出A(-4，0)；一次函数y=x+4的图象向下平移m(m>0)个单位长度后的解析式为： y=x+4-m，进而求出求出C(m- 4，0)，再根据面积公式，计算即可求解；
25．【答案】（1）证明：如图1，连接AE，可得，
，
．
，
．
BE是⊙O的直径，
，即．
，
，即．
OC为⊙O的半径，
CD是⊙O的切线．
（2）解：如图2，四边形ABCO是平行四边形，．
又，
，
．
，
是菱形
．
为等边三角形，．
在中：．．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；菱形的判定；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】
(I)连接AE ，圆周角定理得到E=AOB ，即可得出∠BCD=∠E ，根据等边对等角，得出∠OAE =∠BCD，由直径所对圆周角的性质得到∠BAE =90°，进而得到∠BAO+∠EAO=90°，等量代换，得到∠BCO+∠BCD=90°，即OC⊥DC，即可得证CD是⊙O的切线；
(2)平行四边形的性质得到OF =OB，根据OF +OE=EF=3，OB=OE，得到OB+OB=3， 求出OB的长，结合可证明是菱形，从而得到BOC为等边三角形，进而得到BOC = 60°，解RtODC，求出CD的长，即可解答.
26．【答案】（1）解：．理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，
．
，点E与点A重合，
，
，
．
（2）解：．理由如下：
四边形ABCD是正方形，
，
．
是直角三角形，
，
，
，
即．
∵EP=EF，EF=EG
∴EP=EG
∴
∴AE=DG
（3）解：BF =DG，理由如下：
由(2)可知：
∴AE= DG，AP= DE，
作FH⊥AB于点H，则：∠FHB= ∠FHA=∠PAE= 90°，
∴AE//FH
∴
∴PA=AH，
∵PE=EF，
∴ AE为PHF的中位线，
∴HF =2AE，
∵AP=DE，PA= AH，
∴DE= AH，
又∵AD=AB，
∴AE= BH ，
在RtBHF中，由勾股定理，得： BF=，
∵AE=DG，
∴BF =DG.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
(1)根据正方形的性质利用HL可证明ADG≌ABF，再利用全等三角形的性质，即可得出结论；
(2)根据正方形的性质利用同角的余角相等得到，即可利用AAS证明PAE≌EDG，证明即可得出结论：
(3)作FH⊥AB，得到AE//FH，利用平行线分线段成比例得到；即可得出AP= AH，结合已知条件得到AE为PHF的中位线，从而得到FH=2AE，根据AP=DE，得到AH=DE，进而得到AE=BH，再利用勾股定理得到BF=AE，再根据AE = DG，即可得出结论.
27．【答案】（1）解：∵抛物线过
∴
∴
∴抛物线的表达式为：
（2）解：如图1
∵抛物线与X轴交于点A，A在正半轴，
∴，
∵，
∴OA=OB，
∵M为OA的中点，
∴，
∵OA=OB，，
∴，
∴MA=MC，
∵MD为OA的垂线，
∴D的横坐标为2，
∴MD=，
∴CD=MD-MC=；
∴
（3）解： ① F在否在抛物线上，理由如下：如图
连接BF，作FQ⊥OB于点Q，
由(2)可知： 0A=OB=4，∠OAB=∠OBA=45°，
由旋转的性质可知：
OE=OF，∠EOF =∠BOA= 90°，
∴∠AOE=∠BOF，
又∵OA = OB，OE=OF ，
∴△AOE≌△BOF ，
∴∠OBF=∠OAE=45°，BF=AE=
∵FQ⊥OB，
∴△FQB为等腰直角三角形，
∴OQ=OB - BQ=3，
∴F(-1，-3)，
对于当x=-1时，y=-3
∴点F在抛物线上；
②连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，MF，作MH⊥BG于点H，如图，
∵∠OPA=90°， M为OA的中点，
∴ PM=OA=2，
∵PFMF-PM，
∴当M，P，F三点共线时，PF最小，
同①可得，∠OBF =∠OAE =45°，
∴点F在射线BG上运动，
当MF⊥BG时，即F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH-PM，
∵∠OBG=45°，
∴OBG为等腰直角三角形，
∴OG=OB=4，∠BGO=45° ，
∴ MG= OG+OM=6，MHG为等腰直角三角形，
∴MH=MG=3，
∴PF最小为MH-PM=3-2.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两点之间线段最短；旋转的性质；二次函数-动态几何问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】 (1)根据待定系数法把代入解析式，即可解答；
(2)求出点A的坐标，进而得到点M的坐标，根据等腰三角形的性质可得到MC的长度，由MD为OA的垂线求出点D的坐标，根据BCD的面积公式进行求解，即可解答；
(3)①根据要求作图即可，连接BF，作FQ⊥OB于点Q，由旋转的性质利用SAS证明AOE≌BOF，得到∠OBF=∠OAE=45°，BF= AE=，进而得到△FQB为等腰直角三角形，求出F点坐标，将F点的横坐标代入抛物线的解析式，即可判断点F在否在抛物线上，解答即可；
②连接BF并延长，交x轴于点G，连接PM，PF，MF，作MH⊥BG于点H，斜边上的中线得到MP=2，根据PF≥MF-PM，得到当M，P，F三点共线时，PF最小，同①可知，∠OBF=∠OAE=45°，得到点F在射线BG上运动，进而得到当MF⊥BG时，即F与点H重合时，MF最小，此时PF最小为MH - PM；易得OBG为等腰直角三角形，求出OG的长，进而求出MG的长，易得MHG为等腰直角三角形，求出MH的长，根据PF最小为MH - PM，计算即可解答.
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