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2024-2025学年北师大版数学八年级下册综合练习
学校:___________姓名:___________班级:___________
一、单选题（本大题共10小题）
1．“水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水!以下通过平移节水标志得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如果，那么下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．等腰三角形的顶角为80°，则其底角的度数是（　　）
A．100° B．80° C．50° D．40°
5．下列多项式不能用公式法因式分解的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A． B．AB＝AD C． D．
7．如图，在△ABC中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（ ）
A．25 B．22 C．19 D．18
8．如图，把2024-2025学年人教版数学八年级下册综合练习以点B为中心顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D、E，且点D恰好在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．因式分解： ．
12．一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个正多边形的边数是 ．
13．已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围是
14．如图，O是原点，，将绕O逆时针旋转得，则点C的坐标为 ．
15．若关于 的分式方程 无解，则 ______．
16．在今年的植树造林活动期间，某苗圃园第一天卖出一批雪松收款11000元；第二天又卖出一批雪松收款23000元，所卖数量是第一天的2倍，售价比第一天每棵多了5元．若设第一天每棵雪松的售价为元，可列方程为 ．
17．如图，已知、是2024-2025学年人教版数学八年级下册综合练习的两边的垂直平分线，它们交于点，、分别交于、，若，则的度数为 ．
18．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 ．
三、解答题
19．解不等式组：
20．先化简，再求值 ，其中 ．
21．解方程：
(1)＝ .(2)－＝1.
22．如图，△ABC的顶点坐标为，，．

(1)画出△ABC向右平移个单位后的；
(2)将△ABC绕原点旋转，画出旋转后的；
(3)的面积为________．
23．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠ABC的平分线交AD于点E，与CD的延长线交于点F，BC＝FC．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求平行四边形ABCD面积．
24．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的横杆上的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图（1），表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（如图（2），，，，在同一平面内），过点作于点，测得，.
图（1） 图（2）
（1） 试说明：.
（2） 求的长.
25．水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．
(1)放入1个大球、1个小球时，水面高度会达到________毫米；放入________个大球时，水面高度会达到230毫米．
(2)仅放入6个大球后，开始放入小球．
①求放入多少个小球时，水面高度会超出原高度48毫米；
②限定水面高不超过280毫米，最多能放入几个小球？
26．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解.
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
.
解法二：原式
.
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
（2）请用分组分解法将因式分解.
27．根据以下素材，探索完成任务1和任务2：
主题：奶茶销售方案制定问题
年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．
素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料
芝士杯 茉莉清茶杯
茉莉清茶杯 杨梅肉
杨梅肉 多肉
多肉
素材2 9月2月当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：4，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯．
素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．
问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润
任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？
任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？
参考答案
1．【答案】C
【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，据此判断即可．
【详解】解：只通过平移能与上面的图形重合．
故选C．
2．【答案】B
【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000164=1.64×10-6，
故选B．
3．【答案】D
【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、如果，那么，故本选项正确，不符合题意；
B、如果，那么，故本选项正确，不符合题意；
C、如果，那么，故本选项正确，不符合题意；
D、如果，那么，故本选项错误，符合题意；
故选D
4．【答案】C
【分析】根据等腰三角形两底角相等即可得解．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角为80°，
∴它的底角度数为（180°-80°）=50°．
故选C．
5．【答案】C
【分析】A、B选项考虑利用完全平方公式分解，C、D选项考虑利用平方差公式分解．
【详解】解：A、，故选项A不符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、不是平方差的形式，不能运用公式法因式分解，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意；
故选C．
6．【答案】D
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、由，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、由，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵，
，
∴不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
D．∵，
，
，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
故选D．
7．【答案】C
【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵，，
∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
＝AB＋AC
＝19．
故选C
8．【答案】B
【分析】根据旋转的性质、等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质逐项判定即可．
【详解】解：A．由旋转可知，而不一定成立，故该选项错误，不符合题意；
B．∵把以点B为中心顺时针旋转得到，
∴，
∴是等边三角形，，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即B选项正确，符合题意；
C．∵，
∴，故该选项错误，不符合题意；
D．由不能证明平分，即不能证明，故该选项错误，不符合题意．
故选B．
9．【答案】B
【分析】确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象得到，当时，直线都在直线的上方，即可求解．
【详解】解：设A点坐标为，
把代入，
得，解得，
则A点坐标为，
所以当时，，
∵函数的图象经过点，
∴时，，
∴不等式的解集为．
故选B．
10．【答案】C
【分析】设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作小时完成，可得出方程．
【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，
依题意得，
故选C．
11．【答案】
【分析】先提取公因式进行分解因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：．
12．【答案】8
【分析】根据多边形的内角和可以表示成，外角和是固定的，从而可根据一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍列方程求解．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
根据题意可知：，
解得∶
13．【答案】
【分析】根据题意得到，解不等式即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的不等式的解集为，
∴，
解得.
14．【答案】
【分析】过点C作于点D，结合条件是等腰直角三角形建构起一线三直角全等模型，利用模型的二级结论解决问题．
【详解】解：过点C作轴于点D，过点A作轴于点B，
根据绕O逆时针旋转得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点C在第二象限，
∴．
15．【答案】
【分析】根据题意，解分式方程，得到 ，由题意得到原方程无解，故 是原方程的增根，由 ，得到 ，由此得到答案．
【详解】解：原方程去分母：方程两边同时乘以 ，得：
，
，
，
，
原方程无解，
是原方程的增根，
由 ， ，
，
，
故答案为： ．
16．【答案】
【分析】设第一天每棵雪松售价x元，则第二天每棵雪松售价元，由题意：某苗圃园第一天卖出一批雪松收款11000元；第二天又卖出一批雪松收款23000元，所卖数量是第一天的2倍，列出分式方程即可．
【详解】解：设第一天每棵雪松售价x元，则第二天每棵雪松售价元，
由题意得：.
17．【答案】/95度
【详解】∵、是的两边的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
18．【答案】5
【详解】解：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD，
交CD的延长线于点E；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，
∵点M为AD的中点，∠BCD=30°，
∴DM=MA=2，∠MDE=∠BCD=30°，
∴ME=DM=1，DE=，
∴CE=CD+DE=4，由勾股定理得：
CM2=ME2+CE2，
∴CM=7；由翻折变换的性质得：MA′=MA=2，
显然，当折线MA′C与线段MC重合时，
线段A′C的长度最短，此时A′C=7-2=5，
19．【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
20．【答案】见详解
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把 的值代入计算，得到答案．
【详解】解：原式
，
当 时，原式 ．
21．【答案】见详解
【详解】(1)去分母得x＋1＝2x，解得x＝1.检验：当x＝1时，x(x＋1)≠0，∴x＝1是原分式方程的解．
(2)去分母得x2－4x＋4－16＝x2－4，解得x＝－2.检验：当x＝－2时，x2－4＝0，∴x＝－2是增根，∴原分式方程无解．
【易错警示】解分式方程时，对于解出的结果一定不要忘记检验，判断解的正确性和增根情况．
22．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平移的性质找到向右平移3个单位的对应点，顺次连接，得到；
（2）根据中心对称的性质，找到关于原点对称的点，顺次连接，得到；
（3）连接，根据网格的特点以及三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如图所示，即为所求；

（3）如图所示，连接，

则，到的距离为，
∴的面积为
23．【答案】(1)见解析；
(2)32.
【分析】（1）由角平分线的性质可得∠ABF＝∠FBC，由等腰三角形的性质可得∠ABF＝∠F＝∠FBC，可证AB∥CD，即可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可求AE＝AB＝5，可得DE＝3，由勾股定理可求CE的长，即可求解．
【详解】（1）证明：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵BC＝CF，
∴∠FBC＝∠F，
∴∠ABF＝∠F
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝8，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABF＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝5，
∴DE＝3，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
在Rt△CDE中，，
∴，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC×CE＝32．
故平行四边形ABCD面积为32．
24．【答案】（1） 【解】，，， ， ，.又，，.
（2） ，，.
25．【答案】见解析
【解析】
(1)210＋4＋3＝217(毫米)．
(230－210)÷4＝5(个)．
故答案为217，5.
(2)①设放入x个小球时，水面高度会超出原高度48毫米．
由题意得6×4＋3x＝48，解得x＝8.
答：放入8个小球时，水面高度会超出原高度48毫米．
②设放入y个小球．
由题意得210＋6×4＋3y≤280，解得y≤.
∵y为整数，∴y最大取15.
答：限定水面高不超过280毫米，最多能放入15个小球．
26．【答案】【解】（1）原式.
（2）原式.
27．【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元；
任务2：制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯
【分析】任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，可得得：，解方程并检验，从而可求得每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元；
任务2：设制做“芝士杨梅”杯，“满杯杨梅”杯，两种奶茶获利为元；根据制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”，可得，而芝士消耗量不少于，有，，而，即可求出答案．
【详解】解：任务设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
（元），
答：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元；
任务设制做“芝士杨梅” 杯，“满杯杨梅” 杯，两种奶茶获利为元；
制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”，
，
，
芝士消耗量不少于，
，
解得，
根据题意得：，
，
随的增大而减小，
当时，取最大值，最大值为（元），
此时，
（元），
制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯．
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