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2024-2025学年前锋中学等学校第二次联考高一数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则复数在复平面上对应的点位于第象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2.已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
3.如图，三棱柱中，分别是的中点，平面将三棱柱分成体积为左为，右为两部分，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知是所在平面内的点，满足，则是的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心
6.在如图所示平面图形中，弧为四分之一圆弧，，，，，则此平面图形绕所在直线旋转一周所成几何体的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知将函数向右平移个长度单位，再将振幅缩小到原来的倍，得函数，又知函数与的图象连续相邻的三个交点为、、，若，则的值是( )
A. B. C. D.
8.如图，已知正方体，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，给出以下结论：
存在点，使平面；
三棱锥的体积为定值；
直线与直线所成的角为定值．
其中，正确结论的个数为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为复数，则下列说法正确的是( )
A. 若是纯虚数，则
B.
C. 若复数，则在复平面内对应的点在第一象限
D. 若，则
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则，
B. 的图象关于原点对称
C. 若，则
D. ，都有成立
11.已知四棱锥的底面为平行四边形，平面，，，分别为侧棱，上一点，且，若，则( )
A. 平面 B. 平面
C. 四棱锥的体积为 D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，共13分。
12.在中，内角、、所对的边分别、、，，则 ______，角的最大值为______．
13.以正四面体的四个顶点为球心，正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体叫勒洛四面体如图甲，勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动如图乙若正四面体的棱长为，则其对应的勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为______．
14.记表示不超过实数的最大整数，记的数为“好数”，如，等都是“好数”，不是“好数”，则以内正整数中共有“好数”______个
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在直三棱柱中，，且，是中点．
求证：平面；
求直线与面所成的角．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，若，且．
若，求；
求面积的最大值．
17.本小题分
如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，垂直于圆所在的平面，且，
Ⅰ若为线段的中点，求证；平面；
Ⅱ求三棱锥体积的最大值；
Ⅲ若，点在线段上，求的最小值．
18.本小题分
已知函数，其中，且的最大值为．
求的值；
求函数在区间上的最值；
将函数的图象向右平移个长度单位，得到函数的图象．若为定值，求的最小值．
19.本小题分
如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于、的点，是的中点．
证明：平面；
若三棱锥体积最大为，设，
求体积最大时的值及此时二面角的余弦值；
当在弧上运动时不与、重合，证明：点到平面的距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
则，在复平面上对应的点为，位于第一象限．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：向量，满足，
因为，所以，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：设三角形的面积为，三角形与三角形的面积为，三棱柱的高为，
则有，，设三棱柱的体积为，
又因为，，
所以，
由题意可知，
由可得，
所以，
所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：时，，
因为函数既有最小值也有最大值，所以或，
解得．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：，
，即，
，
同理可得，，
故是的垂心．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：旋转后的几何体为一个圆台挖去有一个半球．如图所示：
因为，所以，则为等腰直角三角形．
所以，．
所以几何体的表面积为．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：向右平移，再将振幅缩小，
得，
又因为，
即，
所以函数和的周期，
因为，，为连续三交点，不妨设在轴下方，为的中点，
由对称性知，是以为底边的等腰三角形，，
由，
整理得：，
所以，
设点、的纵坐标分别为，，则，即，
由，则，，
又，当且仅当，此时，
解得．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：设底面内切圆的圆心为，连接，，
由正方体的性质可知，，所以，，，四点共面，
又因为平面，所以平面，
所以当点是直线与四边形的内切圆的交点时，满足平面；故正确．
因为，而三棱锥的底面积为定值，高等于正方体的棱长，也是定值，
所以三棱锥的体积为定值；故正确．
直线与直线所成的角等于直线与直线所成的角，
由于点在底面的内切圆上，所以直线与直线所成的角为定值；故正确．
故选：．
9.【答案】
解：对于，设，且，
故，故A正确
对于，取，则，，
所以，故B错误；
对于，，，
，在复平面内对应的点在第一象限，故C正确
对于，，复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上，如图所示：
而是点到点的距离，由图可知，故D正确，
故选ACD．
10.【答案】
【解析】解：函数，
对于，若，则，
所以，或，
即，或，故A错误；
对于，又，
由于，所以不可能是奇函数，
则的图象不可能关于原点对称，故B错误；
对于，当时，，满足是正弦函数的增区间的子集，
所以函数在上单调递增，故C正确；
对于，因为，所以，
故，所以，
又，即，
所以，都有成立，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：如图，因为在平行四边形中，，所以四边形为矩形，
又，可得，
所以四边形为正方形，
由，可得，
所以，因为平面，平面，
所以平面，A正确；
因为平面，平面，
所以，所以，又，则，
因为，，平面，
所以平面，B正确；
因为平面，则，C错误；
易得，所以，
结合项可得平面，
又平面，则，
所以．
设点到平面的距离为，
又，
则，
解得，D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
所以，
所以，
，当且仅当时取等号，
由于，
所以，当且仅当时取等号．
故答案为：，．
13.【答案】
【解析】解：如图，
设正四面体的中心为，先求的长，
连接并延长交平面于，则平面，且为的中心，
则，
在中，，
连接，在中，，即，
解得，
如图，
在勒洛四面体中，设为内切球与勒洛四面体的一个切点，易知是该球的球心，，，三点共线，
显然，
所以内切球半径．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由题意可知：当时，则有：
若，则；
若，则；
若，则；
若，则；
综上所述：当时，的所有可能值为，，，．
又因为，
所以当，为整数，，，，，
因为，，所以的最大值为，
所以以内正整数中共有“好数”的个数为．
故答案为：．
15.【答案】答案见解析； ．
【解析】证明：连接交于点，连接，
在中，、分别是和的中点，
所以，
又因为平面，且平面，
所以平面
因为三棱柱是直三棱柱，
所以侧棱平面，
因为平面，
所以．
因为，且，
且是的中点，
所以，．
因为，
所以平面，
所以就是直线与面所成的角．
因为，
所以，
在中，
，
故，
即直线与面所成的角为．
16.【答案】；
．
【解析】若，则，
因为，可得，
在中，，，
所以，
又因为，
可得；
因为，
可得，
由正弦定理可得，
可得，
可得，
可得，
所以，当且仅当时等号成立．
即的面积的最大值为．
17.【答案】解：Ⅰ在中，因为，为的中点，
所以，
又垂直于圆所在的平面，
所以，
因为，
所以平面．
Ⅱ因为点在圆上，
所以当时，到的距离最大，且最大值为，
又，所以面积的最大值为，
又因为三棱锥的高，
故三棱锥体积的最大值为：．
Ⅲ在中，，，
所以，
同理，所以，
在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示，
当，，共线时，取得最小值，
又因为，，
所以垂直平分，即为中点．
从而．
亦即的最小值为：．
18.【答案】解：因为
．
其中，．
因为的最大值为，
所以，
所以．
因为，
所以．
由知 ，
因为，，
所以．
所以．
因为，
所以，
当即时，，
当即时，；
依题意
设．
所以
．
若，取，，
，，
则，即．
当时，不为定值．
当即 ，时，．
此时为定值．
因为，
所以的最小值为．
19.【答案】证明见解答；
；
证明见解答．
【解析】证明：因为是半圆弧上异于、的点，所以，
因为、分别是、的中点，所以，
所以，
因为是等腰直角三角形，所以，
因为平面平面，是交线，所以平面，
因为平面，所以，
又、平面，平面，
所以平面．
设的半径为，过点作交于点，如图，则，
因为，
故当最大时，体积最大，此时位于的中点处，所以，
，所以，
由知，平面，因为平面，所以，
因为，所以为二面角的平面角，
因为时，，，在中，，
所以，故二面角的平面角的余弦值为．
证明：过点作交于点，如图、图，则平面，
由知，当时，，
得，所以，
在中，，，
所以，
又因为，即，
所以．

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