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10.4三元一次方程组的解法
（第1课时）
数学人教版（2024）七年级下册
　　1．代入法解二元一次方程组的一般步骤：
　　（1）变形：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来；
　　（2）代入：把变形后的方程代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
　　（3）求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
　　（4）回代：把求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值；
　　（5）写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起，就得到方程组的解．
　　2．加减法解二元一次方程组的一般步骤：
　　（1）变形：使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数；
　　（2）加减：将两个二元一次方程用相加或相减的方式消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
　　（3）求值：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
　　（4）回代：把求得的未知数的值代入方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值；
　　（5）写解：将两个未知数的值用“{”联立在一起，就得到方程组的解．
思考
　　在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2 ．按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？
　　分析：这个问题中含有____个相等关系．
　　胜的场数＋平的场数＋负的场数＝22
　　胜场的得分＋平场的得分＋负场的得分＝47分
　　分析：这个问题中含有____个相等关系．
思考
　　胜的场数＝负的场数×4＋2
3
　　在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2 ．按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？
　　解：设这个球队胜、平、负的场数分别为x ，y ，z ，根据题意，可以得到下面三个方程：
　　x＋y＋z＝22，
　　3x＋y＝47，
　　x＝4z＋2．
　　这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
新知
　　这个方程组含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
思考
　　怎样解三元一次方程组 ？
　　提示：二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解．那么，能不能按照同样的思路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次方程组呢？
①
③
②
　
　　解这个二元一次方程组，可以求出 y 和 z，进而可以求出 x.
　　分析：要想解三元一次方程组
　　仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②并化简，得到两个只含 y，z 的方程y＋5z＝20 和 y＋12z＝41，它们组成方程组：
　　解这个二元一次方程组，可以求出 x 和 z，进而可以求出 y.
　　你还能用其他方法解这个三元一次方程组吗？
　　仿照前面学过的加减法，②－①先消去 y，再将得到的只含 x，z 的方程 2x－z＝25 与③联立：
　　分析：要想解三元一次方程组
三元一次方程组
　　解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．
归纳
消元
消元
一元一次方程
二元一次方程组
　　A． B．
　
　　C． 　 D．
　　例1　下列方程组中，不是三元一次方程组的是（　　）．
B
　　例2　解三元一次方程组
①
③
②
变形
代入
消去 x
关于 y，z 的二元一次方程组
　　方程①中每个未知数的系数的绝对值都不是 1，将其变形，用代入法解比较繁琐
　　例2　解三元一次方程组
①
③
②
消去 y
关于 x，z 的二元一次方程组
④
只含 x，z
　　解：②×3＋③，得 11x＋10z＝35． ④
　　①与④组成方程组
　　解这个方程组，得
　　把 x＝5，z＝－2 代入②，得 2×5＋3y－2＝9，
　　所以 y＝ ．
　　因此，这个三元一次方程组的解为
　　当三元一次方程组中某个方程缺少一个未知数时，可由另两个方程消去与前述方程中所缺未知数相同的未知数，从而组成二元一次方程组求解．
归纳
　　例3　在等式 y＝ax2＋bx＋c 中，当 x＝－1 时，y＝0；当 x＝2 时，y＝3；当 x＝5 时，y＝60．求 a，b，c 的值．
　　分析：把 a，b，c 看作三个未知数，分别把已知的 x，y 值代入原等式，就可以得到一个三元一次方程组．
　　解：根据题意，得三元一次方程组
①
③
②
　　②－①，得 a＋b＝1； ④
　　③－①，得 4a＋b＝10． ⑤
　　
　　解这个方程组，得
　　④与⑤组成二元一次方程组
　　因此 a，b，c 的值分别为 3，－2，－5．
　　把 a=3，b=－2 代入①，得 c＝－5．
三元一次方程组
解法
概念

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