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1.1 生活中的立体图形-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2023七上·银州月考）将图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七上·三台期末）下列几何体中，从上面观察得到的平面图形是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七上·衡山期末）在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．两点确定一条直线
4．（2024七上·滦南期中）与实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是 （　　）
A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．棱锥、圆锥、棱柱、长方体
C．棱柱、球、正方体、棱柱 D．圆柱、球、正方体、长方体
5．（2024七上·湛江期末）下列几何体中，属于柱体的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（　　）
A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同
B．甲乙的侧面积相同，体积也相同
C．甲乙的侧面积不相同，体积相同
D．甲乙的侧面积相同，体积不同
7．（2019七上·新兴期中）如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是(　　）
A．圆 B．长方形 C．椭圆 D．平行四边形
8．（2024七上·深圳月考）已知一个直棱柱共有10个顶点，它的底面边长都是4cm，侧棱长都是5cm，则它的侧面积（　　）．
A．120 B．100 C．80 D．20
二、填空题
9．（2024七上·市北区期末）如图，该几何体是一个直棱柱，它的名称是　 　，它有　 　个顶点，　 　条棱．
10．如图是8个立体图形．其中，是柱体的有　 　，是锥体的有　 　，有曲面的有　 　．（填序号）
11．（2023七上·雁塔月考）直升机的螺旋桨高速旋转起来形成一个“圆面”，用数学知识解释为　 　．
12．下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这说明　 　；圆规在纸上划过会留下一个封闭的圆，这说明　 　；在桌面上飞快的旋转一枚硬币就会看到一个球，这说明　 　．
13．如图，正方形的每条边上和立方体的每条棱上分别放置相同数量的小球，请回答下列问题：
（1）如图①，设正方形每条边上的小球数量为x，则正方形边上的所有小球数量为　 　。(用含x的代数式表示)
（2）如图②，若正方体的每条棱上均放置n个小球，则正方体棱上的所有小球数量为　 　。(用含n的代数式表示)
三、解答题
14． 说出下列图形的名称.
15．说一说生活中哪些物体的形状分别类似于棱柱、圆柱、圆锥与球。
16． 由27个小立方体堆成的1个大立方体如下图，现将它的表面涂成黄色。问：
（1）有3个面涂成黄色的小立方体有几个
（2）有1个面涂成黄色的小立方体有几个
（3）有2个面涂成黄色的小立方体有几个
四、实践探究题
17．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）【观察总结】五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表：
多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（）
三棱锥 4 4 6
长方体 8 6 12
五棱柱 10 7 15
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是　 　（用所给的字母表达）；
（2）【简单应用】①能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由．
②一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是 ▲ ．
（3）【实践探究】学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品．
①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是　 　；
②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多　 　个．
18．（2024七上·重庆市月考）综合与实践：
【提出问题】
有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示：
【探究结论】
（1）请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表：
长（） 宽（） 高（） 表面积（）
图1 16 6
图2 6 2
图3 16 2
完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．（填“图1”、“图2”、 “图3”）．
【解决问题】
（2）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为_____．
五、综合题
19．（2020七上·淇县月考）用彩带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒如图，打结处正好是底面圆心，打结用去彩带18cm.
（1）扎这个盒子至少用去彩带多少厘米？
（2）这个蛋糕盒子的体积是多少立方厘米？
（3）蛋糕的直径比盒子直径少3cm，高比盒子矮5cm，张琳打开盒子，沿着蛋糕底面的直径垂直切开，平均分成两部分，这时蛋糕的表面积增加多少平方厘米？
20．一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周．（温馨提示：①结果用π表示；②你可能用到其中的一个公式，V圆柱=πr2h，V球体=πR3，V圆锥=πr2h）．
（1）如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周形成的几何体是两个圆锥形成的几何体．
（2）如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？
（3）如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：题中的图是一个直角梯形，上底短，下底长，绕对称轴旋转后上底形成的圆小于下底形成的圆，因此得到的立体图形应该是一个圆台．
故选：D．
【分析】根据直角梯上底短，下底长，可以得出，沿着直线l旋转一周后，上底形成的圆小于下底形成的圆，即可判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：A：圆柱体从上面观察得到的平面图形是圆，选项A错误；
B：球从上面观察得到的平面图形是圆，选项B错误；
C：三棱柱从上面观察得到的平面图形是三角形，选项C正确；
D：六棱柱从上面观察得到的平面图形是六边形，选项D错误．
故选：C．
【分析】本题考查了从不同方向观察几何体，解决本题的关键是掌握不同几何体的特征，根据几何体的特征得到它们从上面观察到的平面图形， 通过对比每个选项从上面看的形状与三角形对比，学生可以加深对几何体形状和观察角度之间关系的认识.
3．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】根据题意可得：把雨看成了线，这说明了点动成线，
故答案为：A.
【分析】利用点动成线特征及生活常识分析求解即可.
4．【答案】D
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体．
故选：D．
【分析】本题考查了立体图形的识别，根据常见实物与几何体的关系，进行解答，即可求解．
5．【答案】B
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：由柱体的定义可得：图中的第和第个图形是柱体，共两个，
故选：B．
【分析】本题考查的柱体的定义，柱体是一个多面体，它有两个面互相平行且全等，其余每个相邻两个面的交线也互相平行 ，据此定义，逐个判断，即可得到答案.
6．【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；几何体的表面积
【解析】【解答】解：甲图圆柱的侧面积为，体积为；
乙图圆柱的侧面积为：，体积为；
，，故甲乙的侧面积相同，体积不同；
故答案为：D．
【分析】根据长方形旋转一周得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的侧面积和体积，即可得到结果.
7．【答案】B
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：水平面与圆柱的底面垂直，所以水面的形状是矩形。
故答案为：B.
【分析】水面的形状就是与圆柱底面垂直的截面的形状，即为长方形。
8．【答案】B
【知识点】棱柱及其特点
【解析】【解答】解：∵该直棱柱有10个顶点，
∴它是一个五棱柱.
∴底面周长=5×4=20cm.
∵侧棱长为5cm，
∴侧面积=20×5=100cm2.
故答案为：B.
【分析】已知棱柱有10个顶点，底面边长为4cm，侧棱长为5cm. 首先，需要根据顶点的数量确定棱柱的类型，进而利用相应的几何公式计算侧面积.
9．【答案】四棱柱；8；12
【知识点】棱柱及其特点
【解析】【解答】解：该几何体是一个直棱柱，它的名称是四棱柱，它有8个顶点12条棱．
故答案为：四棱柱，8，12．
【分析】由图象可判断为直棱柱，对于直棱柱，顶点数为底面顶点数的两倍，棱数为底面边数的三倍，面数为底面面数加侧面面数，结合四棱柱的特征，即可得出答案．
10．【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：柱体有①②⑤⑦⑧，锥体有④⑥，有曲面的有③④⑧，
故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧．
【分析】根据柱体和锥体的定义、围城图形的面的类型解答即可.
11．【答案】线动成面
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：直升机的螺旋桨高速旋转起来形成一个“圆面”，用数学知识解释为线动成面，
故答案为：线动成面．
【分析】利用“点动成线，线动成面，面动成体”分析求解即可.
12．【答案】线动成面；点动成线；面动成体
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这说明线动成面；圆规在纸上划过会留下一个封闭的圆，这说明点动成线；在桌面上飞快的旋转一枚硬币就会看到一个球，这说明面动成体．
故答案为：线动成面，点动成线，面动成体．
【分析】根据点动成线，面动成体解答即可.
13．【答案】（1）4x-4
（2）12n-16
【知识点】棱柱及其特点
【解析】【解答】解：(1)当每条边上的小球数量为x时，
正方形边上的所有小球数量为4(x-2)+4=4x-4；
故答案为：4x-4.
(2)当每条棱上的小球数量为n时，
正方体棱上的所有小球数量为12(n-2)+8=12n-16.
故答案为：12n-16.
【分析】（1）对于正方形，每条边上有x个小球，但每个顶点上的小球会被重复计算一次，即可得出结论；
（2）对于正方体，每条棱上有几个小球，每个顶点上的小球会被重复计算3次，即可得出结论.
14．【答案】解：如图所示：
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【分析】所有面都是平面的立体图形为棱柱或棱锥：侧面是长方形的棱柱，底面有几条边就是几棱柱；侧面是三角形的为棱锥，底面有几条边就是几棱锥；
侧面有曲面的为圆柱或圆锥：有两个全等的底面的为圆柱，有一个顶点的为圆锥；
没有平面的立体图形为球；
据此判断并解答即可.
15．【答案】解：由题意得棱柱：书本、盒子、笔筒；
圆柱：罐头、电池、纸巾卷；
圆锥：冰淇淋蛋筒、圣诞树顶饰、交通锥；
球：篮球、足球等。
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【分析】根据棱柱、圆柱、圆锥、球的特点结合题意列举出生活中的物品即可求解。
16．【答案】（1）解：有3个面涂成黄色的小立方体在8个顶点上，有8个.
（2）解：有1个面涂成黄色的小立方体在每个面的正中间，有6个.
（3）解：有2个面涂成黄色的小立方体在12条棱上，有12个.
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【分析】(1)根据正方体的特征可知三面黄的小正方体在8个顶点上；
(2)根据正方体的特征可知一面黄色的小正方体在6个面上；
(3)根据正方体的特征可知两面黄色的正方体在12条棱上.
17．【答案】（1）
（2）解：①不能；∵，
∴不能组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体；；②12
（3）14；8
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：（1）∵，，…，
∴顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是，
故答案为：；
（2）②一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是（个），
故答案为：12；
（3）①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则它的棱数为（条），它的面数为，
故答案为：14；
②设正五边形块，则正三边形块，棱数，而顶点数，由题意得
，解得，所以正五边形为12块，正三边形为20块．．
故答案为：8．
【分析】(1)观察 (1)中顶点数、面数、棱数可得答案；
(2)根据点数、面数、棱数之间的关系即可判断；
(3)根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；
(4)①根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；②设正五边形x块，则正三边形 块，则由上面的规律数可以看出，棱数 而顶点数 列出方程即可.
18．【答案】（1）填充表格如下，
长() 宽() 高() 表面积()
图1 16 6 4 368
图2 32 6 2 539
图3 16 12 2 496
图1；
（2）共有6种不同的方式搭成的大长方体的表面积最小为
【知识点】几何体的表面积
【解析】【解答】解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积．
图2中，长为32，表面积．
图3中，宽为12，表面积．
∴图1的表面积最小．
长() 宽() 高() 表面积()
图1 16 6 4 368
图2 32 6 2 539
图3 16 12 2 496
（2）解：共有6种搭法，可分为两类：
第一类有三种情况，如图，
表面积分别为：；
；
第二类有三种情况，如图，
表面积分别为：；
；
∴共有6种不同的方式搭成的大长方体的表面积最小为；
【分析】（1）长方体的表面积=2（长×宽+长×高+宽×高），分别计算出图1、图2、图3的表面积，再比较即可；
（2）先画出不同的搭法，再利用长方体的表面积计算公式，求出各种搭法的表面积，再比较即可.
19．【答案】（1）解：2（30×2＋20×2）＋18＝218（cm），
答：扎这个盒子至少用去彩带218cm；
（2）解：由圆柱的体积公式，得
，
答：这个蛋糕盒子的体积是 ；
（3）解：蛋糕的直径是30﹣3＝27cm，蛋糕的高是20﹣5＝15cm，
截面的面积是
答：蛋糕的表面积增加810平方厘米.
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【分析】（1）根据图形中的相关数据，列式可求出扎这个盒子至少用去彩带的长度；
（2）利用圆柱体的体积公式进行计算，可求出结果；
（3）分别找出蛋糕的直径和蛋糕的高，然后求出截面的面积.
20．【答案】（1）【解答】解：两个圆锥形成的几何体，
故答案为：两个圆锥形成的几何体．
（2）【解答】解：V圆锥=πr2h=π×82×6=128π，
（3）【解答】解：①如图=，解得：r=，
所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为V圆锥=πr2h=π×（）2×10=76.8π
②绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为V圆锥=πr2h=π×62×8=96π，
故绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大．
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【分析】（1）作斜边上的高分成两个直角三角形旋转即可；（2）确定圆锥的高与半径即可求出体积；（3）分别求出两种图形的体积，再比较即可．
1 / 11.1 生活中的立体图形-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2023七上·银州月考）将图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：题中的图是一个直角梯形，上底短，下底长，绕对称轴旋转后上底形成的圆小于下底形成的圆，因此得到的立体图形应该是一个圆台．
故选：D．
【分析】根据直角梯上底短，下底长，可以得出，沿着直线l旋转一周后，上底形成的圆小于下底形成的圆，即可判断得出答案.
2．（2025七上·三台期末）下列几何体中，从上面观察得到的平面图形是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：A：圆柱体从上面观察得到的平面图形是圆，选项A错误；
B：球从上面观察得到的平面图形是圆，选项B错误；
C：三棱柱从上面观察得到的平面图形是三角形，选项C正确；
D：六棱柱从上面观察得到的平面图形是六边形，选项D错误．
故选：C．
【分析】本题考查了从不同方向观察几何体，解决本题的关键是掌握不同几何体的特征，根据几何体的特征得到它们从上面观察到的平面图形， 通过对比每个选项从上面看的形状与三角形对比，学生可以加深对几何体形状和观察角度之间关系的认识.
3．（2024七上·衡山期末）在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（　　）
A．点动成线 B．线动成面
C．面动成体 D．两点确定一条直线
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】根据题意可得：把雨看成了线，这说明了点动成线，
故答案为：A.
【分析】利用点动成线特征及生活常识分析求解即可.
4．（2024七上·滦南期中）与实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是 （　　）
A．圆柱、圆锥、正方体、长方体 B．棱锥、圆锥、棱柱、长方体
C．棱柱、球、正方体、棱柱 D．圆柱、球、正方体、长方体
【答案】D
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：与图中实物图相类似的立体图形按从左至右的顺序依次是：圆柱、球、正方体、长方体．
故选：D．
【分析】本题考查了立体图形的识别，根据常见实物与几何体的关系，进行解答，即可求解．
5．（2024七上·湛江期末）下列几何体中，属于柱体的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：由柱体的定义可得：图中的第和第个图形是柱体，共两个，
故选：B．
【分析】本题考查的柱体的定义，柱体是一个多面体，它有两个面互相平行且全等，其余每个相邻两个面的交线也互相平行 ，据此定义，逐个判断，即可得到答案.
6．如图，已知长方形的长为a、宽为b（其中），将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则这两个圆柱的侧面积和体积的关系为（　　）
A．甲乙的侧面积不相同，体积也不相同
B．甲乙的侧面积相同，体积也相同
C．甲乙的侧面积不相同，体积相同
D．甲乙的侧面积相同，体积不同
【答案】D
【知识点】点、线、面、体及之间的联系；几何体的表面积
【解析】【解答】解：甲图圆柱的侧面积为，体积为；
乙图圆柱的侧面积为：，体积为；
，，故甲乙的侧面积相同，体积不同；
故答案为：D．
【分析】根据长方形旋转一周得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的侧面积和体积，即可得到结果.
7．（2019七上·新兴期中）如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是(　　）
A．圆 B．长方形 C．椭圆 D．平行四边形
【答案】B
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：水平面与圆柱的底面垂直，所以水面的形状是矩形。
故答案为：B.
【分析】水面的形状就是与圆柱底面垂直的截面的形状，即为长方形。
8．（2024七上·深圳月考）已知一个直棱柱共有10个顶点，它的底面边长都是4cm，侧棱长都是5cm，则它的侧面积（　　）．
A．120 B．100 C．80 D．20
【答案】B
【知识点】棱柱及其特点
【解析】【解答】解：∵该直棱柱有10个顶点，
∴它是一个五棱柱.
∴底面周长=5×4=20cm.
∵侧棱长为5cm，
∴侧面积=20×5=100cm2.
故答案为：B.
【分析】已知棱柱有10个顶点，底面边长为4cm，侧棱长为5cm. 首先，需要根据顶点的数量确定棱柱的类型，进而利用相应的几何公式计算侧面积.
二、填空题
9．（2024七上·市北区期末）如图，该几何体是一个直棱柱，它的名称是　 　，它有　 　个顶点，　 　条棱．
【答案】四棱柱；8；12
【知识点】棱柱及其特点
【解析】【解答】解：该几何体是一个直棱柱，它的名称是四棱柱，它有8个顶点12条棱．
故答案为：四棱柱，8，12．
【分析】由图象可判断为直棱柱，对于直棱柱，顶点数为底面顶点数的两倍，棱数为底面边数的三倍，面数为底面面数加侧面面数，结合四棱柱的特征，即可得出答案．
10．如图是8个立体图形．其中，是柱体的有　 　，是锥体的有　 　，有曲面的有　 　．（填序号）
【答案】①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：柱体有①②⑤⑦⑧，锥体有④⑥，有曲面的有③④⑧，
故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③④⑧．
【分析】根据柱体和锥体的定义、围城图形的面的类型解答即可.
11．（2023七上·雁塔月考）直升机的螺旋桨高速旋转起来形成一个“圆面”，用数学知识解释为　 　．
【答案】线动成面
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：直升机的螺旋桨高速旋转起来形成一个“圆面”，用数学知识解释为线动成面，
故答案为：线动成面．
【分析】利用“点动成线，线动成面，面动成体”分析求解即可.
12．下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这说明　 　；圆规在纸上划过会留下一个封闭的圆，这说明　 　；在桌面上飞快的旋转一枚硬币就会看到一个球，这说明　 　．
【答案】线动成面；点动成线；面动成体
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这说明线动成面；圆规在纸上划过会留下一个封闭的圆，这说明点动成线；在桌面上飞快的旋转一枚硬币就会看到一个球，这说明面动成体．
故答案为：线动成面，点动成线，面动成体．
【分析】根据点动成线，面动成体解答即可.
13．如图，正方形的每条边上和立方体的每条棱上分别放置相同数量的小球，请回答下列问题：
（1）如图①，设正方形每条边上的小球数量为x，则正方形边上的所有小球数量为　 　。(用含x的代数式表示)
（2）如图②，若正方体的每条棱上均放置n个小球，则正方体棱上的所有小球数量为　 　。(用含n的代数式表示)
【答案】（1）4x-4
（2）12n-16
【知识点】棱柱及其特点
【解析】【解答】解：(1)当每条边上的小球数量为x时，
正方形边上的所有小球数量为4(x-2)+4=4x-4；
故答案为：4x-4.
(2)当每条棱上的小球数量为n时，
正方体棱上的所有小球数量为12(n-2)+8=12n-16.
故答案为：12n-16.
【分析】（1）对于正方形，每条边上有x个小球，但每个顶点上的小球会被重复计算一次，即可得出结论；
（2）对于正方体，每条棱上有几个小球，每个顶点上的小球会被重复计算3次，即可得出结论.
三、解答题
14． 说出下列图形的名称.
【答案】解：如图所示：
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【分析】所有面都是平面的立体图形为棱柱或棱锥：侧面是长方形的棱柱，底面有几条边就是几棱柱；侧面是三角形的为棱锥，底面有几条边就是几棱锥；
侧面有曲面的为圆柱或圆锥：有两个全等的底面的为圆柱，有一个顶点的为圆锥；
没有平面的立体图形为球；
据此判断并解答即可.
15．说一说生活中哪些物体的形状分别类似于棱柱、圆柱、圆锥与球。
【答案】解：由题意得棱柱：书本、盒子、笔筒；
圆柱：罐头、电池、纸巾卷；
圆锥：冰淇淋蛋筒、圣诞树顶饰、交通锥；
球：篮球、足球等。
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【分析】根据棱柱、圆柱、圆锥、球的特点结合题意列举出生活中的物品即可求解。
16． 由27个小立方体堆成的1个大立方体如下图，现将它的表面涂成黄色。问：
（1）有3个面涂成黄色的小立方体有几个
（2）有1个面涂成黄色的小立方体有几个
（3）有2个面涂成黄色的小立方体有几个
【答案】（1）解：有3个面涂成黄色的小立方体在8个顶点上，有8个.
（2）解：有1个面涂成黄色的小立方体在每个面的正中间，有6个.
（3）解：有2个面涂成黄色的小立方体在12条棱上，有12个.
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【分析】(1)根据正方体的特征可知三面黄的小正方体在8个顶点上；
(2)根据正方体的特征可知一面黄色的小正方体在6个面上；
(3)根据正方体的特征可知两面黄色的正方体在12条棱上.
四、实践探究题
17．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）【观察总结】五种简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）如下表：
多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（）
三棱锥 4 4 6
长方体 8 6 12
五棱柱 10 7 15
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
猜想顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是　 　（用所给的字母表达）；
（2）【简单应用】①能否组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体？请说明理由．
②一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是 ▲ ．
（3）【实践探究】学校校园文化节，七年级数学实践小组同学制作了各种各样的多面体作品．
①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则这个多面体的面数是　 　；
②一个多面体作品如图所示，每个面的形状是正三角形或正五边形，每条棱都是正三角形和正五边形的公共边，则该多面体作品正三角形比正五边形的面数多　 　个．
【答案】（1）
（2）解：①不能；∵，
∴不能组成一个有条棱、个面、个顶点的多面体；；②12
（3）14；8
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【解答】解：（1）∵，，…，
∴顶点数、面数、棱数（E）之间存在的关系式是，
故答案为：；
（2）②一个正二十面体有条棱，则它的顶点数是（个），
故答案为：12；
（3）①一个多面体作品，只有个顶点，并且过每个顶点都有条棱，则它的棱数为（条），它的面数为，
故答案为：14；
②设正五边形块，则正三边形块，棱数，而顶点数，由题意得
，解得，所以正五边形为12块，正三边形为20块．．
故答案为：8．
【分析】(1)观察 (1)中顶点数、面数、棱数可得答案；
(2)根据点数、面数、棱数之间的关系即可判断；
(3)根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；
(4)①根据点数、面数、棱数之间的关系求解即可；②设正五边形x块，则正三边形 块，则由上面的规律数可以看出，棱数 而顶点数 列出方程即可.
18．（2024七上·重庆市月考）综合与实践：
【提出问题】
有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示：
【探究结论】
（1）请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表：
长（） 宽（） 高（） 表面积（）
图1 16 6
图2 6 2
图3 16 2
完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．（填“图1”、“图2”、 “图3”）．
【解决问题】
（2）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为_____．
【答案】（1）填充表格如下，
长() 宽() 高() 表面积()
图1 16 6 4 368
图2 32 6 2 539
图3 16 12 2 496
图1；
（2）共有6种不同的方式搭成的大长方体的表面积最小为
【知识点】几何体的表面积
【解析】【解答】解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积．
图2中，长为32，表面积．
图3中，宽为12，表面积．
∴图1的表面积最小．
长() 宽() 高() 表面积()
图1 16 6 4 368
图2 32 6 2 539
图3 16 12 2 496
（2）解：共有6种搭法，可分为两类：
第一类有三种情况，如图，
表面积分别为：；
；
第二类有三种情况，如图，
表面积分别为：；
；
∴共有6种不同的方式搭成的大长方体的表面积最小为；
【分析】（1）长方体的表面积=2（长×宽+长×高+宽×高），分别计算出图1、图2、图3的表面积，再比较即可；
（2）先画出不同的搭法，再利用长方体的表面积计算公式，求出各种搭法的表面积，再比较即可.
五、综合题
19．（2020七上·淇县月考）用彩带捆扎一个圆柱形的蛋糕盒如图，打结处正好是底面圆心，打结用去彩带18cm.
（1）扎这个盒子至少用去彩带多少厘米？
（2）这个蛋糕盒子的体积是多少立方厘米？
（3）蛋糕的直径比盒子直径少3cm，高比盒子矮5cm，张琳打开盒子，沿着蛋糕底面的直径垂直切开，平均分成两部分，这时蛋糕的表面积增加多少平方厘米？
【答案】（1）解：2（30×2＋20×2）＋18＝218（cm），
答：扎这个盒子至少用去彩带218cm；
（2）解：由圆柱的体积公式，得
，
答：这个蛋糕盒子的体积是 ；
（3）解：蛋糕的直径是30﹣3＝27cm，蛋糕的高是20﹣5＝15cm，
截面的面积是
答：蛋糕的表面积增加810平方厘米.
【知识点】立体图形的初步认识
【解析】【分析】（1）根据图形中的相关数据，列式可求出扎这个盒子至少用去彩带的长度；
（2）利用圆柱体的体积公式进行计算，可求出结果；
（3）分别找出蛋糕的直径和蛋糕的高，然后求出截面的面积.
20．一个直角三角尺的两条直角边长是6和8，它的斜边长是10，将这个三角尺绕着它的一边所在的直线旋转一周．（温馨提示：①结果用π表示；②你可能用到其中的一个公式，V圆柱=πr2h，V球体=πR3，V圆锥=πr2h）．
（1）如果绕着它的斜边所在的直线旋转一周形成的几何体是两个圆锥形成的几何体．
（2）如果绕着它的直角边6所在的直线旋转一周形成的几何体的体积是多少？
（3）如果绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积与绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积哪个大？
【答案】（1）【解答】解：两个圆锥形成的几何体，
故答案为：两个圆锥形成的几何体．
（2）【解答】解：V圆锥=πr2h=π×82×6=128π，
（3）【解答】解：①如图=，解得：r=，
所以绕着斜边10所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为V圆锥=πr2h=π×（）2×10=76.8π
②绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积为V圆锥=πr2h=π×62×8=96π，
故绕着直角边8所在的直线旋转一周形成的几何体的体积大．
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【分析】（1）作斜边上的高分成两个直角三角形旋转即可；（2）确定圆锥的高与半径即可求出体积；（3）分别求出两种图形的体积，再比较即可．
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