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2.3 有理数的乘除运算-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2024七上·保山月考） 的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七上·海珠期中）已知a+b＜0，ab＜0，|a|＞|b|，则（　　）．
A．a＞0，b＜0， B．a＜0，b＞0
C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0
3．（2024七上·德惠期中）要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（　　）
A．+ B．- C．× D．÷
4．（2021七上·鄞州期末）下列说法正确的是
A．非零两数的和一定大于任何一个加数
B．非零两数的差一定小于被减数
C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数
D．小于1的两数之商一定小于被除数
5．四个有理数相乘，积的符号是负号，则这四个有理数中，正数有(　　)
A．1个或3个 B．1个或2个 C．2个或4个 D．3个或4个
6．（2022七上·衢江期中）算式运用了（　　）
A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．分配律
7．（2021七上·海门期中）已知有理数 ， 满足 ，则 的值为（　　）
A． B． C． 或0 D． 或0
8．（2019七上·十堰期中）已知：a、b为有理数，下列说法：①若 a、b互为相反数，则 ；②若 则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 是正数.其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2018七上·孝南月考）－ 的相反数是　 　；倒数是　 　；绝对值是　 　 .
10．（2021七上·孝南月考）计算：=　 　
11．（2024七上·德阳期末）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，那么＝　 　．
12．（2021七上·横县期中）若，互为相反数，，互为倒数，则　 　．
13．（2018七上·沙依巴克期末）已知 ，则 　 　.
14．⑴计算时，观察算式的特点，采用“凑整法”，运用乘法的运算律可得：
原式= 　 　×
= 　 　×
=　 　.
⑵计算 时，观察算式的特点，运用分配律可得：
原式=(-36)×　 　-(-36)×　 　+(-36)×　 　-(-36)×　 　
=　 　
=　 　.
三、计算题
15． 计算：
（1）（-15）×（-4）；
（2）
（3）
（4）（-8）÷（-1.25）。
16． 计算：
（1）3×（-1.7）×2；
（2）
（3）
（4）
四、解答题
17．
（1）完成下列填空：
4×2=　 　．
(-4)×2=　 　+　 　=　 　(用数轴表示)．
5×2=　 　．
(-5)×2=　 　+　 　=　 　.
6×2=　 　
(-6)×2=　 　+　 　=　 　.
（2）观察上面左右两列算式中相乘两数及计算结果的符号，你有什么发现？
18．（2025七上·衡阳期末）小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了到达小彬家，继续向东跑了到达小红家，然后又向西跑了到达学校，最后又向东跑回到自己家 ．
（1）以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点表示出小红家，用点表示出学校的位置；
（2）求小彬家与学校之间的距离；
（3）如果小明跑步的速度是，那么小明跑步一共用了多长时间？
19．（2022七上·江城期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2.求的值.
20．规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算后得（a+2）×2-b，即a※b=（a+2）×2-b，例如：3※5=（3+2）×2-5=10-5=5.根据上面规定，解答下列问题：
（1）求7※（-3）的值.
（2）7※（-3）与（-3）※7的值相等吗
五、实践探究题
21．（2023七上·肇庆月考）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：
聪聪：原式＝；
明明：原式＝＝，
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法更简便？
（2）睿睿认为还有一种更好的方法，请你仔细思考，把它写出来．
（3）用你认为最合适的方法计算：．
22．阅读下列素材：
如何设计“非对称加密算法”
素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密.
素材 2 3×1 001=3003；13×1 001=13 013；213×1 001=213 213……
素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对1000 以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记(公钥，私钥)为(a，b)(其中a，b均为两位正整数)，则 例：当明文为123(a，b)取(13，77)时，加密解密的过程如下：
结合上述素材，完成以下问题：
【模型理解】
（1）设是一个三位数， 是一个六位数，则 请说明理由.
（2）设是一个三位数， 是一个四位数，则 被1 000 除的余数为 请说明理由.
（3）【初步应用】
若公钥a为69，设计匹配的私钥b.
（4）【解决问题】
请再设计一对匹配的钥匙：(　 　，　 　).
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，
∴ 的倒数是．
故答案为：C．
【分析】根据“乘积为1的两个数互为倒数”，用 计算即可得到 的倒数．
2．【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵ab＜0，
∴a，b异号．
∵a+b＜0且|a|＞|b|，
∴a＜0，b＞0．
故答案为：B．
【分析】
本题考查了有理数的乘法法则、加法法则和绝对值的性质，熟知有理数的乘法法则和绝对值的性质是解题关键．根据ab＜0可知：a，b异号；再由a+b＜0|和a|＞|b|可知：负数的绝对值较大可知：a＜0，b＞0，由此可得出答案．
3．【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由，，，
∵
∴要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为：+
故选：A.
【分析】本题考查了有理数的运算性质，根据有理数加减乘除，以及有理数大小比较的性质，进行计算，即可得到答案.
4．【答案】C
【知识点】有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】解： 两个负数的和小于任何一个加数，
选项 不符合题意；
当减数是小于或等于0的数时，差是大于或等于被减数的，
选项 不符合题意；
大于1的两数之积一定大于任何一个因数，
选项 符合题意；
当除数是真分数，被除数是正数时，商大于被除数，
选项 不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据有理数的加法法则可判断A；根据有理数的减法法则可判断B；根据有理数的乘法法则可判断C；根据有理数的除法法则可判断D.
5．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数有1个或3个，正数有3个或1个.
故答案为：A.
【分析】根据多个数字相乘积为负数，得到负因式个数为奇数个，即可确定正数的个数.
6．【答案】D
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：算式运用了乘法分配律，
故答案为：D．
【分析】 乘法分配律用字母表示：，据此判断答案．
7．【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵ ，
∴当 ， 时，原式 ；
当 ， 时，原式 ；
当 ， 时，原式 ；
当 ， 时，原式 .
故答案为：C.
【分析】分a>0、b<0；a>0、b>0；a<0、b<0；a<0、b>0，结合绝对值的性质进行计算.
8．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：若 a、b互为相反数，当a≠0时，则 ， 所以①错误；
根据有理数的法则：同号得正，异号得负.因为 所以 所以 ，所以②正确；
因为
所以 解得 所以③错误；
当a，b都为正数时，且a＞b，则a+b＞0，a-b＞0，
∴（a+b）（a-b）＞0；
当a，b都为负数时，且a＜b，则a+b＜0，a-b＜0，
∴（a+b）（a-b）＞0；
当a＞0，b＜0时，且|a|＞|b|，则a+b＞0，a-b＞0，
∴（a+b）（a-b）＞0；
当a＜0，b＞0时，且|a|＞|b|，则a+b＜0，a-b＜0，
∴（a+b）（a-b）＞0；
故④正确
故答案为：B
【分析】根据互为相反数的两数之和为0，可得到a+b=0，若a≠0，则，可对①作出判断；根据a+b＜0，ab＞0，可得到a，b均为负数，可对②作出判断；利用绝对值的远一点，可对③作出判断；由|a|＞|b|，分情况讨论，即可确定出（a+b）（a-b）的符号，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的个数。
9．【答案】；；
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【解答】﹣ 的相反数是 ，倒数是﹣ ，绝对值是 .
故答案为： ，﹣ .
【分析】①根据相反数的定义“只有符号不同的；两个数互为相反数”可求解；
②根据倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”可求解；
③根据绝对值的性质可求解。
10．【答案】－12
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】先根据除以一个数等于乘以这个数的相反数，把除法化为乘法，再进行有理数的乘法运算，即可解答.
11．【答案】7
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解： ∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，
∴a+b=0，cd=1，
∴
=，
=，
=7，
故答案为：7.
【分析】 根据互为相反数和互为倒数的定义确定a+b=0，cd=1，代入求解即可.
12．【答案】-4
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数
【解析】【解答】，互为相反数，故；
，互为倒数，故；
则
故答案为：-4．
【分析】根据互为相反数的两个数和为0可得a+b=0，由乘积为1的两个数互为倒数可得cd=1，代入所求代数式计算即可求解.
13．【答案】-6
【知识点】有理数的乘法法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵|a+2|+|b﹣3|=0，∴a=﹣2，b=3，∴ab=﹣6．
故答案为：﹣6．
【分析】根据几个非负数的和为0，则每一个数都是0，得出a，b的值，进而得出答案．
14．【答案】；；-(100)；1；；；；-36+16-40+21；17
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：（1）
=-100；
故答案为：；；-(100)；
（2）
=-36+16-40+21
=17.
故答案为：1；；；.
【分析】（1）运用乘法运算律，分别计算与，然后将结果相乘会使的计算简便；
（2）运用分配律，将第二个括号内的每个数分别与-36相乘，再将结果相加使的计算简便.
15．【答案】（1）解：（-15）×（-4）=15×4=60.
（2）解：
.
（3）解：
.
（4）解： （-8）÷（-1.25）
=8÷1.25
=6.4.
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【分析】（1）根据乘法法则，两个负数相乘得正，绝对值相乘，即最终只需要计算15×4即可；
（2）与异号，相乘为负. 将两数绝对值相乘后添加负号即可；
（3）与异号，相乘为负. 将两数绝对值相乘后添加负号即可；
（3）与同号，相除为正. 直接将两数取绝对值后相除即可.
16．【答案】（1）解： 3×（-1.7）×2
=6×（-1.7）
=-10.2.
（2）解：
.
（3）解：
.
（4）解：
.
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【分析】（1）可先计算3×2，其结果为6，再与-1.7相乘. 由于6与-1.7异号，相乘为负，因此将该两数的绝对值相乘后添加负号即可；
（2）3个负数与1个正数相乘，根据“异号相乘为负，同号相乘为正”的乘法法则，最终结果为负. 因此将4个数的绝对值相乘后添加负号即可；
（3）先将除法转换成乘法，得到2个正数与1个负数相乘，根据“异号相乘为负，同号相乘为正”的乘法法则，最终结果为负. 因此转化成乘法后，将3个数的绝对值相乘后添加负号即可；
（4）先将除法转换成乘法，得到2个正数与2个负数相乘，根据“异号相乘为负，同号相乘为正”的乘法法则，最终结果为正. 因此转化成乘法后，将4个数的绝对值相乘即可.
17．【答案】（1）8；-4；-4；-8；10；-5；-5；-10；12；-6；-6；-12
（2）解：观察上面上面的等式发现：两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：（1）4×2=8；
（-4）×2=（-4）+（-4）=-8；
如图：
5×2=10；
（-5）×2=（-5）+（-5）=-10；
6×2=12；
（-6）×2=（-6）+（-6）=-12.
【分析】（1）根据有理数的乘法法则和两数相加的法则可求解；
（2）根据计算结果可求解.
18．【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：小彬家与学校的距离是．
故小彬家与学校之间的距离是．
（3）解：小明一共跑了，
小明跑步一共用的时间是 ．
答：小明跑步一共用了．
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；有理数除法的实际应用
【解析】【分析】（1）根据数轴上的点所表示的数的特点：原点表示数字0，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小黑点作好标注，并在小黑点的上方写出该点所表示的字母即可；
（2）结合数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值，进行计算即可；
（3）根据有理数加法法则求出小明所跑的总路程，然后根据时间等于路程除以速度，列式计算即可.
（1）解：如图所示．
（2）解：小彬家与学校的距离是．
故小彬家与学校之间的距离是．
（3）解：小明一共跑了，
小明跑步一共用的时间是 ．
答：小明跑步一共用了．
19．【答案】解：∵a、b互为相反数，
∴a+b=0；
∵c、d互为倒数，
∴cd=1；
∵m的绝对值为2，
∴m=±2，
当m=2时，
=2+1+0=3；
当m=-2时，
=-2+1+0=-1
故答案为3或-1.
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【分析】 由a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，可得a+b=0，cd=1，m=±2， 然后分别代入计算即可.
20．【答案】（1）解：7※(-3)=(7+2)×2-(-3)=21.
（2）解：∵(-3)※7=[(-3)+2]×2-7=-9，
由(1)知7※(-3)=21，
∴7※(-3)与(-3)※7的值不相等.
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【分析】(1)先理解新运算规则，再根据有理数的四则运算法则求解即可；
（2）根据新运算规则求得 （-3）※7的值 ，与（1）的值进行比较，即可求解.
21．【答案】（1）解：观察两个同学的方法，明明的计算量要小一点，
∴明明的解法更简便
（2）解：
（3）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘法法则
【解析】【分析】（1）根据已知题干直接判断即可；
（2）睿睿将分成，再利用乘法分配律计算即可；
（3）按照（2）方法，将分成，再利用乘法分配律计算即可.
22．【答案】（1）解：左边=×1001=(100x+10y+z)×1 001=100100x+10010y+1001z，
右边： 10 000y+1 000z+100x+10y+z=100 100x+10 010y+1 001z，
∵左边 = 右边，
∴ 等式成立， 即
（2）解： ，其中 能被 整除，
被1000 除的余数为 .
（3）解：∵69×29=2001，
∴b=29
（4）11；91
【知识点】有理数的乘法法则；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（4），
对于匹配的钥匙，则有，
，
匹配的钥匙．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】（1）根据结合题意计算即可求解；
（2）先根据题意计算，进而根据被1000除的余数为即可求解；
（3）根据，对于匹配的钥匙，则，再根据当，时可得出的值；
（4）根据，对于匹配的钥匙，则，再根据即可求解。
1 / 12.3 有理数的乘除运算-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2024七上·保山月考） 的倒数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，
∴ 的倒数是．
故答案为：C．
【分析】根据“乘积为1的两个数互为倒数”，用 计算即可得到 的倒数．
2．（2025七上·海珠期中）已知a+b＜0，ab＜0，|a|＞|b|，则（　　）．
A．a＞0，b＜0， B．a＜0，b＞0
C．a＞0，b＞0 D．a＜0，b＜0
【答案】B
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：∵ab＜0，
∴a，b异号．
∵a+b＜0且|a|＞|b|，
∴a＜0，b＞0．
故答案为：B．
【分析】
本题考查了有理数的乘法法则、加法法则和绝对值的性质，熟知有理数的乘法法则和绝对值的性质是解题关键．根据ab＜0可知：a，b异号；再由a+b＜0|和a|＞|b|可知：负数的绝对值较大可知：a＜0，b＞0，由此可得出答案．
3．（2024七上·德惠期中）要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（　　）
A．+ B．- C．× D．÷
【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由，，，
∵
∴要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为：+
故选：A.
【分析】本题考查了有理数的运算性质，根据有理数加减乘除，以及有理数大小比较的性质，进行计算，即可得到答案.
4．（2021七上·鄞州期末）下列说法正确的是
A．非零两数的和一定大于任何一个加数
B．非零两数的差一定小于被减数
C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数
D．小于1的两数之商一定小于被除数
【答案】C
【知识点】有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】解： 两个负数的和小于任何一个加数，
选项 不符合题意；
当减数是小于或等于0的数时，差是大于或等于被减数的，
选项 不符合题意；
大于1的两数之积一定大于任何一个因数，
选项 符合题意；
当除数是真分数，被除数是正数时，商大于被除数，
选项 不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据有理数的加法法则可判断A；根据有理数的减法法则可判断B；根据有理数的乘法法则可判断C；根据有理数的除法法则可判断D.
5．四个有理数相乘，积的符号是负号，则这四个有理数中，正数有(　　)
A．1个或3个 B．1个或2个 C．2个或4个 D．3个或4个
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数有1个或3个，正数有3个或1个.
故答案为：A.
【分析】根据多个数字相乘积为负数，得到负因式个数为奇数个，即可确定正数的个数.
6．（2022七上·衢江期中）算式运用了（　　）
A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．加法交换律 D．分配律
【答案】D
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：算式运用了乘法分配律，
故答案为：D．
【分析】 乘法分配律用字母表示：，据此判断答案．
7．（2021七上·海门期中）已知有理数 ， 满足 ，则 的值为（　　）
A． B． C． 或0 D． 或0
【答案】C
【知识点】有理数的乘法法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵ ，
∴当 ， 时，原式 ；
当 ， 时，原式 ；
当 ， 时，原式 ；
当 ， 时，原式 .
故答案为：C.
【分析】分a>0、b<0；a>0、b>0；a<0、b<0；a<0、b>0，结合绝对值的性质进行计算.
8．（2019七上·十堰期中）已知：a、b为有理数，下列说法：①若 a、b互为相反数，则 ；②若 则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 是正数.其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：若 a、b互为相反数，当a≠0时，则 ， 所以①错误；
根据有理数的法则：同号得正，异号得负.因为 所以 所以 ，所以②正确；
因为
所以 解得 所以③错误；
当a，b都为正数时，且a＞b，则a+b＞0，a-b＞0，
∴（a+b）（a-b）＞0；
当a，b都为负数时，且a＜b，则a+b＜0，a-b＜0，
∴（a+b）（a-b）＞0；
当a＞0，b＜0时，且|a|＞|b|，则a+b＞0，a-b＞0，
∴（a+b）（a-b）＞0；
当a＜0，b＞0时，且|a|＞|b|，则a+b＜0，a-b＜0，
∴（a+b）（a-b）＞0；
故④正确
故答案为：B
【分析】根据互为相反数的两数之和为0，可得到a+b=0，若a≠0，则，可对①作出判断；根据a+b＜0，ab＞0，可得到a，b均为负数，可对②作出判断；利用绝对值的远一点，可对③作出判断；由|a|＞|b|，分情况讨论，即可确定出（a+b）（a-b）的符号，可对④作出判断，综上所述可得到正确结论的个数。
二、填空题
9．（2018七上·孝南月考）－ 的相反数是　 　；倒数是　 　；绝对值是　 　 .
【答案】；；
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【解答】﹣ 的相反数是 ，倒数是﹣ ，绝对值是 .
故答案为： ，﹣ .
【分析】①根据相反数的定义“只有符号不同的；两个数互为相反数”可求解；
②根据倒数的定义“乘积为1的两个数互为倒数”可求解；
③根据绝对值的性质可求解。
10．（2021七上·孝南月考）计算：=　 　
【答案】－12
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】先根据除以一个数等于乘以这个数的相反数，把除法化为乘法，再进行有理数的乘法运算，即可解答.
11．（2024七上·德阳期末）如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，那么＝　 　．
【答案】7
【知识点】有理数的倒数；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解： ∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，
∴a+b=0，cd=1，
∴
=，
=，
=7，
故答案为：7.
【分析】 根据互为相反数和互为倒数的定义确定a+b=0，cd=1，代入求解即可.
12．（2021七上·横县期中）若，互为相反数，，互为倒数，则　 　．
【答案】-4
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数
【解析】【解答】，互为相反数，故；
，互为倒数，故；
则
故答案为：-4．
【分析】根据互为相反数的两个数和为0可得a+b=0，由乘积为1的两个数互为倒数可得cd=1，代入所求代数式计算即可求解.
13．（2018七上·沙依巴克期末）已知 ，则 　 　.
【答案】-6
【知识点】有理数的乘法法则；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵|a+2|+|b﹣3|=0，∴a=﹣2，b=3，∴ab=﹣6．
故答案为：﹣6．
【分析】根据几个非负数的和为0，则每一个数都是0，得出a，b的值，进而得出答案．
14．⑴计算时，观察算式的特点，采用“凑整法”，运用乘法的运算律可得：
原式= 　 　×
= 　 　×
=　 　.
⑵计算 时，观察算式的特点，运用分配律可得：
原式=(-36)×　 　-(-36)×　 　+(-36)×　 　-(-36)×　 　
=　 　
=　 　.
【答案】；；-(100)；1；；；；-36+16-40+21；17
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解：（1）
=-100；
故答案为：；；-(100)；
（2）
=-36+16-40+21
=17.
故答案为：1；；；.
【分析】（1）运用乘法运算律，分别计算与，然后将结果相乘会使的计算简便；
（2）运用分配律，将第二个括号内的每个数分别与-36相乘，再将结果相加使的计算简便.
三、计算题
15． 计算：
（1）（-15）×（-4）；
（2）
（3）
（4）（-8）÷（-1.25）。
【答案】（1）解：（-15）×（-4）=15×4=60.
（2）解：
.
（3）解：
.
（4）解： （-8）÷（-1.25）
=8÷1.25
=6.4.
【知识点】有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【分析】（1）根据乘法法则，两个负数相乘得正，绝对值相乘，即最终只需要计算15×4即可；
（2）与异号，相乘为负. 将两数绝对值相乘后添加负号即可；
（3）与异号，相乘为负. 将两数绝对值相乘后添加负号即可；
（3）与同号，相除为正. 直接将两数取绝对值后相除即可.
16． 计算：
（1）3×（-1.7）×2；
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解： 3×（-1.7）×2
=6×（-1.7）
=-10.2.
（2）解：
.
（3）解：
.
（4）解：
.
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【分析】（1）可先计算3×2，其结果为6，再与-1.7相乘. 由于6与-1.7异号，相乘为负，因此将该两数的绝对值相乘后添加负号即可；
（2）3个负数与1个正数相乘，根据“异号相乘为负，同号相乘为正”的乘法法则，最终结果为负. 因此将4个数的绝对值相乘后添加负号即可；
（3）先将除法转换成乘法，得到2个正数与1个负数相乘，根据“异号相乘为负，同号相乘为正”的乘法法则，最终结果为负. 因此转化成乘法后，将3个数的绝对值相乘后添加负号即可；
（4）先将除法转换成乘法，得到2个正数与2个负数相乘，根据“异号相乘为负，同号相乘为正”的乘法法则，最终结果为正. 因此转化成乘法后，将4个数的绝对值相乘即可.
四、解答题
17．
（1）完成下列填空：
4×2=　 　．
(-4)×2=　 　+　 　=　 　(用数轴表示)．
5×2=　 　．
(-5)×2=　 　+　 　=　 　.
6×2=　 　
(-6)×2=　 　+　 　=　 　.
（2）观察上面左右两列算式中相乘两数及计算结果的符号，你有什么发现？
【答案】（1）8；-4；-4；-8；10；-5；-5；-10；12；-6；-6；-12
（2）解：观察上面上面的等式发现：两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘.
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：（1）4×2=8；
（-4）×2=（-4）+（-4）=-8；
如图：
5×2=10；
（-5）×2=（-5）+（-5）=-10；
6×2=12；
（-6）×2=（-6）+（-6）=-12.
【分析】（1）根据有理数的乘法法则和两数相加的法则可求解；
（2）根据计算结果可求解.
18．（2025七上·衡阳期末）小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了到达小彬家，继续向东跑了到达小红家，然后又向西跑了到达学校，最后又向东跑回到自己家 ．
（1）以小明家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示，在图中的数轴上，分别用点A表示出小彬家，用点表示出小红家，用点表示出学校的位置；
（2）求小彬家与学校之间的距离；
（3）如果小明跑步的速度是，那么小明跑步一共用了多长时间？
【答案】（1）解：如图所示．
（2）解：小彬家与学校的距离是．
故小彬家与学校之间的距离是．
（3）解：小明一共跑了，
小明跑步一共用的时间是 ．
答：小明跑步一共用了．
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；有理数除法的实际应用
【解析】【分析】（1）根据数轴上的点所表示的数的特点：原点表示数字0，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小黑点作好标注，并在小黑点的上方写出该点所表示的字母即可；
（2）结合数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示数差的绝对值，进行计算即可；
（3）根据有理数加法法则求出小明所跑的总路程，然后根据时间等于路程除以速度，列式计算即可.
（1）解：如图所示．
（2）解：小彬家与学校的距离是．
故小彬家与学校之间的距离是．
（3）解：小明一共跑了，
小明跑步一共用的时间是 ．
答：小明跑步一共用了．
19．（2022七上·江城期末）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2.求的值.
【答案】解：∵a、b互为相反数，
∴a+b=0；
∵c、d互为倒数，
∴cd=1；
∵m的绝对值为2，
∴m=±2，
当m=2时，
=2+1+0=3；
当m=-2时，
=-2+1+0=-1
故答案为3或-1.
【知识点】相反数及有理数的相反数；绝对值及有理数的绝对值；有理数的倒数
【解析】【分析】 由a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，可得a+b=0，cd=1，m=±2， 然后分别代入计算即可.
20．规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算后得（a+2）×2-b，即a※b=（a+2）×2-b，例如：3※5=（3+2）×2-5=10-5=5.根据上面规定，解答下列问题：
（1）求7※（-3）的值.
（2）7※（-3）与（-3）※7的值相等吗
【答案】（1）解：7※(-3)=(7+2)×2-(-3)=21.
（2）解：∵(-3)※7=[(-3)+2]×2-7=-9，
由(1)知7※(-3)=21，
∴7※(-3)与(-3)※7的值不相等.
【知识点】有理数的乘除混合运算
【解析】【分析】(1)先理解新运算规则，再根据有理数的四则运算法则求解即可；
（2）根据新运算规则求得 （-3）※7的值 ，与（1）的值进行比较，即可求解.
五、实践探究题
21．（2023七上·肇庆月考）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算，看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下：
聪聪：原式＝；
明明：原式＝＝，
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法更简便？
（2）睿睿认为还有一种更好的方法，请你仔细思考，把它写出来．
（3）用你认为最合适的方法计算：．
【答案】（1）解：观察两个同学的方法，明明的计算量要小一点，
∴明明的解法更简便
（2）解：
（3）解：
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的乘法法则
【解析】【分析】（1）根据已知题干直接判断即可；
（2）睿睿将分成，再利用乘法分配律计算即可；
（3）按照（2）方法，将分成，再利用乘法分配律计算即可.
22．阅读下列素材：
如何设计“非对称加密算法”
素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密.
素材 2 3×1 001=3003；13×1 001=13 013；213×1 001=213 213……
素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对1000 以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记(公钥，私钥)为(a，b)(其中a，b均为两位正整数)，则 例：当明文为123(a，b)取(13，77)时，加密解密的过程如下：
结合上述素材，完成以下问题：
【模型理解】
（1）设是一个三位数， 是一个六位数，则 请说明理由.
（2）设是一个三位数， 是一个四位数，则 被1 000 除的余数为 请说明理由.
（3）【初步应用】
若公钥a为69，设计匹配的私钥b.
（4）【解决问题】
请再设计一对匹配的钥匙：(　 　，　 　).
【答案】（1）解：左边=×1001=(100x+10y+z)×1 001=100100x+10010y+1001z，
右边： 10 000y+1 000z+100x+10y+z=100 100x+10 010y+1 001z，
∵左边 = 右边，
∴ 等式成立， 即
（2）解： ，其中 能被 整除，
被1000 除的余数为 .
（3）解：∵69×29=2001，
∴b=29
（4）11；91
【知识点】有理数的乘法法则；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（4），
对于匹配的钥匙，则有，
，
匹配的钥匙．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】（1）根据结合题意计算即可求解；
（2）先根据题意计算，进而根据被1000除的余数为即可求解；
（3）根据，对于匹配的钥匙，则，再根据当，时可得出的值；
（4）根据，对于匹配的钥匙，则，再根据即可求解。
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