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3.3 探索与表达规律-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2024七上·官渡期末）如图，观察方框中数字的规律，并根据你得到的规律，猜想字母e表示的数为（　　）
A．64 B．81 C．100 D．110
2．（2024·）将正整数按如图所示排列：
根据排列规律，则2024应在 (　　)
A．A位置 B．B位置 C．C位置 D．D位置
3．（2023七上·青秀月考）一列数，，，，，其中，，，，则（　　）
A． B． C．2020 D．
4．（2023七上·河西期中） 若n表示任意一个整数，以下能表示偶数的是（　　）
A．n B．2n C．3n D．2n+1
5．（2021七上·北辰期末）下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第（　　）个图形中面积为1的正方形的个数为2024个．
A．402 B．403 C．404 D．405
6．（2020七上·无棣期末）探究下列关于x的单项式：，，，，，…的规律，判断第2021个单项式是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023七上·青岛期中） a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是.已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则（　　）
A．3 B． C． D．
8．（2023七上·扬州期中）有一数值转换机，原理如图所示，若输入的x的值是1，则第一次输出的结果是6，第二次输出的结果是3，…，请你写出第2024次输出的结果是（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
二、填空题
9．（2020七上·乐亭期末）按一定规律排列的一列数依次为 ， ， ， ， ， ，…，按此规律排列下去，这列数中第8个数是　 　，第 个数是　 　（ 为正整数）．
10．（2024七上·西湖期中）正六边形 在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转次后，点B所对应的数为； 按此规律继续翻转下去，点第一次接触数轴所对应的数为　 　，数轴上数所对应的点是　 　．
11．（2021七上·平定期末）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2021个图形中共有　 　个五角星．
12．（2019七上·尚志期末）有一串式子：﹣x，2x2，﹣3x3，4x4，…，﹣19x19，20x20，…写出第 2013 个式子　 　，写出第 n 个　 　．
13．（2024七上·潍坊期末）如图，把棱长为a的正方体一个接一个地拼在一起，排成一组长方体，则用2025个小正方体拼成长方体表面积为　 　．
14．已知有理数a≠1，我们把 称为a的差倒数。例如：2的差倒数是 的差倒数是 如果 a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数……以此类推，那么 的值为　 　。
三、计算题
15．请观察下列各式的规律，解答以下问题．
，……，
（1）填空．
　 　.
　 　.
　 　.；
（2）计算
（3）计算.
16．计算：
（1）
（2）
（3）
四、解答题
17． 观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7，8，-9，……
（1）请写出这一列数中的第100个数和第2022个数．
（2）在前2022个数中，正数和负数分别有多少个？
（3）2023和-2023是否都在这一列数中？若在，请指出它们分别是第几个数；若不在，请说明理由．
18．（2024七上·城关期末）如果记当时，；当时，；当时，…，求代数式的值．
19．现将连续自然数1 至 2009 按如图1所示的方式排列成一个长方形队列，再用如图2所示的正方形（由16个小正方形组成）任意框出 16 个数.
（1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为 n，请用含n的代数式表示该框中的16个数，然后填入图2中相应的空格处，并求出这16个数的和.
（2）计算该长方形队列中，共可框出多少个这样不同的正方形框.
（3）要使一个正方形框出的16个数之和分别等于 832，2000，2018，是否有可能 若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数；若不可能，请说明理由.
20．（2024七上·昌平期中）某同学模仿二维码的方式为学校设计了一个身份识别图案系统：在的正方形网格中，黑色正方形表示数字，白色正方形表示数字．图是某个学生的身份识别图案．约定如下：把第行，第列表示的数字记为（其中），如图，第行第列的数字，对第行使用公式进行计算，所得结果表示所在年级，表示所在班级，表示学号的十位数字，表示学号的个位数字；第二行，说明这个学生在班．
（1）图代表的学生所在年级是__年级，他的学号是__；
（2）请仿照图，在图中画出八年级班学号是的同学的身份识别图案．
五、实践探究题
21．请根据下列素材完成相应的任务.
素材一：两千多年前我们的祖先就使用“算筹”表示数.算筹有纵式和横式两种排列方式，
0~9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式 ○ | ‖ |‖ ‖‖ ‖‖| ┬ ╥
横式 ￣ ═ ╧
排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式 纵式和横式依次交替出现.如
“”表示87，“”表示502.
素材二：随着社会的发展，人们对于计算的速度和准确性的要求越来越高，古代数学家对算筹的计算方法开始进行改革，在晚唐出现了真正的算盘.算盘以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位制中由低到高的位数，并且可以任意选定某档为个位，不拨出算珠表示0.
如下图，该算盘表示的数是600.
（1）任务一：
请你直接写出“”表示　 　.
（2）在虚线框中用算筹表示数字“124”.
（3）任务二：
若将个位往上拨3粒下珠，十位往上拨2粒下珠，百位往上拨1粒下珠，往下拨1粒上珠，则此时算盘表示的数是　 　.
（4）在虚线框中画出数字“432”在算盘上如何表示.
22．（2024七上·福田期中）【实际问题】
某商场在双十一期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
【问题建模】
从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？
【模型探究】
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3
2个整数之和 3 4 5
如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果．
（3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 种不同的结果．
【问题解决】
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有 种不同的优惠金额．
【问题拓展】
从3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，求n的值．（写出解答过程）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】观察方框中的数字和字母找出规律，计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设第n个A 位置的数为 An，第n个B 位置的数为 Bn，第n个C位置的数为 Cn，第n个D 位置的数为 Dn，
观察发现规律：
∵
∴2024应在C位置，
故答案为：C.
【分析】设第n个A 位置的数为 An，第n个B 位置的数为 Bn，第n个C位置的数为 Cn，第n个D 位置的数为 Dn，总结规律可知：进而即可求解.
3．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
这列数每三个循环，
由，且，
.
故答案为：B．
【分析】根据题意可得，，，，可得这列数每三个循环，由，且，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】n表示任意一个整数，
2n可表示为偶数，
故答案为：B.
【分析】根据偶数的特点：能被2整除，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第1个图形面积为1的小正方形有9个，
第2个图形面积为1的小正方形有9+5＝14个，
第3个图形面积为1的小正方形有9+5×2＝19个，
…
第n个图形面积为1的小正方形有9+5×（n﹣1）＝（5n+4）个，
根据题意得：5n+4＝2024，
解得：n＝404，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据前几项中的正方形的个数与序号的关系可得规律第n个图形面积为1的小正方形有9+5×（n﹣1）＝（5n+4）个。
6．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可知：第n个的单项式为：，
∴第2021个单项式，
故答案为：C．
【分析】分别找出系数和次数的规律可得第n个的单项式为：，再将n=2021代入计算即可。
7．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
，
∴该数列每4个数为一周期循环，
∵余3，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据题意计算出，，，，进而即可得到该数列每4个数为一周期循环，再结合题意即可求解。
8．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：把代入程序中得：
第1次的输出的结果为：；
第2次的输出的结果为：；
第3次的输出的结果为：；
第4次的输出的结果为：；
第5次的输出的结果为：；
第6次的输出的结果为：；
第7次的输出的结果为：，
…，
则该数列以6，3，8，4，2，1这6个数循环出现，
，
∴第2024次输出的结果为3．
故选：B．
【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据数值转换机中的规律，分别求得第1次，第2次，第3次，第4次，第5次，第6次，第7次的输出的结果，得到该数列以6，3，8，4，2，1这6个数循环出现，进而求得第2024次输出的结果，即可求解．
9．【答案】；
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据分析可知：
一列数依次为： ， ， ， ， ， ，…，
按此规律排列下去，则这列数中的第8个数是 ，
所以第n个数是： （n是正整数）．
故答案为： ； ．
【分析】观察已知一列数的变化发现：分子都是1，分母是序号数的平方加1，奇数项是正数，偶数项是负数，据此可以解答．
10．【答案】；
【知识点】探索数与式的规律；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：点对应的数为，
从点翻转到点需要经过线段、、、，
每条边的长度都是，且需要翻转次，
点第一次接触数轴对应的数是；
从图形中可以看出第一轮翻转过程中，
点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，
点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，
，
对应的是第轮翻转的第二次翻转，
对应的是点．
【分析】由题意可知正六边形每次一循环，由此可确定出这个数在数轴上所对应的点．
11．【答案】6064
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵第1个图形中五角星的个数为：4，
第2个图形中五角星的个数为：7=4+3，
第3个图形中五角星的个数为：10=4+3+3，
...，
∴第n个图形中五角星的个数为：4+3（n-1）=3n+1，
∴第2021个图形中五角星的个数为：3×2021+1=6064（个），
故答案为：6064
【分析】根据前几项中的图象与序号的关系可得规律第n个图形中五角星的个数为：4+3（n-1）=3n+1，再将n=2021代入计算即可。
12．【答案】﹣2013x2013；（﹣1）nnxn
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】这串代数式的系数的绝对值的排列顺序是所有正整数由小到大依次排列，逢双为正，遇单为负，字母x次数的排列顺序是所有正整数从小到大依次排列，
故第2013个式子为-2013x2013，第n个式子为（-1）nnxn，
故答案为-2013x2013；（-1）nnxn
【分析】归纳总结得到一般性规律，写出即可．
13．【答案】
【知识点】几何体的表面积；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：1个棱长为a的正方体表面积为，
2个棱长为a的正方体拼成长方体表面积为，
3个棱长为a的正方体拼成长方体表面积为，
4个棱长为a的正方体拼成长方体表面积为，
……
2025个棱长为a的正方体拼成长方体表面积为，
故答案为：．
【分析】本题考查几何体的表面积公式，以及规律探索问题，根据正方体摆放规律，结合正方体的表面积的计算方法，分别求得1个，2个，3个，4个棱长为a的正方体拼成长方体表面积，得出计算规律： 每增加一个正方体，长方体的表面积会增加一定的值 ，进而求得2025个棱长为a的正方体拼成长方体表面积，得到答案.
14．【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由 可知，
这一列数按 循环出现，
∵110÷3=36……2，
故答案为：.
【分析】根据题意得到： 进而总结规律为：这一列数按 循环出现，据此即可求解.
15．【答案】（1）；；
（2）解：
（3）解：
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：(1)；；.
故答案为：；；.
【分析】（1）利用两个相邻的正整数的积的倒数等于这两个正整数的倒数的差求解，即可得规律；
（2）利用（1）中的规律得到原式=，然后利用有理数的加减计算；
（3）观察原式，发现原式可以改写为，然后 与（2）相同解法.
16．【答案】（1）解：原式=
（2）解：
（3）解：
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加法法则
【解析】【分析】（1）把原式转化为，分别计算整数的和与分数的和，即可求解；
（2）原式转化为，然后裂项相减即可求解；
（3）原式转化为，然后裂项相减即可求解.
17．【答案】（1）由 题意可得，奇数为负，偶数为正，
∴第100个数是100；第2 022个数是2 022．
（2）在前2 022个数中，正数和负数均有1011个．
（3）-2 023在这一列数中，它是第2 023个数．
2023不在这一列数中，理由：
∵第奇数个数均为负数．
∴2 023不在这-列数中．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）找出这一列数的规律，据此即可得出答案；
（2）找出这一列数的符号变化规律，据此即可得出答案；
（3）根据第奇数个数均为负数，即可得出答案.
18．【答案】解：∵，∴，，
∴；
同理可得，，
∴；
同理可得，，
∴；
又∵，
∴以此类推，可知（n为正整数），
∴
．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意，分别求出和的计算结果，求得的结果，总结归纳得到，据此规律，进行计算求值，即可得到答案.
19．【答案】（1）解：设左上角第一个数为n，根据相邻数之间的关系可以得到下表：
n n+1 n+2 n+3
n+7 n+8 n+9 n+10
n+14 n+15| n+16| n+17
n+21 n+22 n+23 n+24
其中最小数为n，最大数为n+24，
这16个数的和为16n+192=16(n+12).
（2）解：设共有 n行，
∵每行有7个数，
∴7n-6=2003，n=287，
后3行不能构成正方形，故287-3=284行，每行4个，
共284×4=1136.
（3）解：设16(n+12)=832，解得 n=40，
故存在最小数40，最大数40+24=64，经检验，832不存在；
16(n+12)=2000，
n=113，
故存在，最小数为113，最大数为137；
16(n+12)=2018，
n=114.125，
故不存在.
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【分析】（1）因为n为框中最小数，所以n再第一列，第一行的位置，同一行中右边的数比左边的数大1，同一列中下面的数比上面的数大7，从而表中空格可填，再根据所填的数求和即可；
（2）设共有 n行，每行有7个数，而正方形框有4行4列，据此求解即可；
（3）由（1）可得正方形框中的16个数的和为16(n+12)，只需16(n+12)与 832，2000，2018 分别建立一元一次方程，看是否有正整数解即可.
20．【答案】（1）七；
（2）解：由题意得，八年级班学号是的同学∴，
∴，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
图案如图所示：
【知识点】探索数与式的规律；有理数乘法的实际应用
【解析】解：（1），
，
∴图代表的学生所在年级是七年级，他的学号是．
【分析】（1）根据题意，结合有理数的乘法运算法则，依次求出，，，进行解答，即可求解；
（2）根据题意，根据，，，，进行逆运算，画出图案，即可求解．
（1）解：，
，
∴图代表的学生所在年级是七年级，他的学号是．
故答案为：七；．
（2）解：由题意得，八年级班学号是的同学
∴，
∴，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
图案如图所示：
21．【答案】（1）66
（2）解：124表示为”| || ||||“
（3）623
（4）解：432即个位往上拨2粒下珠，十位往上拨3粒下珠，百位往上拨4粒下珠，如图，
.
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意可知：“”表示66，
故答案为：66.
（3）个位往上拨3粒下珠，十位往上拨2粒下珠，百位往上拨1粒下珠，往下拨1粒上珠，则此时算盘表示的数是：623，
故答案为：623.
【分析】任务一、（1）根据题意即可求解；
（2）根据题意中的表格数据即可求解；
任务二、（1）根据算盘表示数的法则即可求解；
（2）432即个位往上拨2粒下珠，十位往上拨3粒下珠，百位往上拨4粒下珠，据此画出图形即可.
22．【答案】解： 【模型探究】 （1）7
（2）
（3）
【问题解决】 476
【问题拓展】 从3，4，5，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，
则这5个整数之和的最小值为：，
最大值为，
则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种，
∴，
解得：．
【知识点】探索数与式的规律；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解： 【模型探究】
（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，
则这2个整数之和最小值为：，最大值为：，
则这2个整数之和共有种不同情况，
故答案为：7；
（2）从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，
则这3个整数之和最小值为：，最大值为：，
则这3个整数之和共有不同结果的种数为：种，
故答案为：；
（3）归纳总结：从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，
则这5个整数之和的最小值为：，
最大值为，
则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种，
故答案为：.
【问题解决】 从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，
则这5张奖券的和的最小值为：（元），
最大值为：（元），
则这5张奖券的和共有不同优惠金额的种数为：（种）.
【分析】 【模型探究】 （1）用2个数和的最大值减去2个数和的最小值再加1即可；
（2）用3个数和的最大值减去3个数和的最小值再加1即可；
（3）用5个数和的最大值减去5个数和的最小值再加1即可；
【问题解决】用5张奖券和的最大值减去5张奖券和的最小值再加1即可；
【问题拓展】 用5个数和的最大值减去5个数和的最小值再加1即可.
1 / 13.3 探索与表达规律-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2024七上·官渡期末）如图，观察方框中数字的规律，并根据你得到的规律，猜想字母e表示的数为（　　）
A．64 B．81 C．100 D．110
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得，，，
∴，
故答案为：B．
【分析】观察方框中的数字和字母找出规律，计算求解即可。
2．（2024·）将正整数按如图所示排列：
根据排列规律，则2024应在 (　　)
A．A位置 B．B位置 C．C位置 D．D位置
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设第n个A 位置的数为 An，第n个B 位置的数为 Bn，第n个C位置的数为 Cn，第n个D 位置的数为 Dn，
观察发现规律：
∵
∴2024应在C位置，
故答案为：C.
【分析】设第n个A 位置的数为 An，第n个B 位置的数为 Bn，第n个C位置的数为 Cn，第n个D 位置的数为 Dn，总结规律可知：进而即可求解.
3．（2023七上·青秀月考）一列数，，，，，其中，，，，则（　　）
A． B． C．2020 D．
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
这列数每三个循环，
由，且，
.
故答案为：B．
【分析】根据题意可得，，，，可得这列数每三个循环，由，且，即可求解.
4．（2023七上·河西期中） 若n表示任意一个整数，以下能表示偶数的是（　　）
A．n B．2n C．3n D．2n+1
【答案】B
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】n表示任意一个整数，
2n可表示为偶数，
故答案为：B.
【分析】根据偶数的特点：能被2整除，即可求解.
5．（2021七上·北辰期末）下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成的，其中，第1个图形中面积为1的正方形有9个，第2个图形中面积为1的正方形有14个，……，按此规律，则第（　　）个图形中面积为1的正方形的个数为2024个．
A．402 B．403 C．404 D．405
【答案】C
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：第1个图形面积为1的小正方形有9个，
第2个图形面积为1的小正方形有9+5＝14个，
第3个图形面积为1的小正方形有9+5×2＝19个，
…
第n个图形面积为1的小正方形有9+5×（n﹣1）＝（5n+4）个，
根据题意得：5n+4＝2024，
解得：n＝404，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据前几项中的正方形的个数与序号的关系可得规律第n个图形面积为1的小正方形有9+5×（n﹣1）＝（5n+4）个。
6．（2020七上·无棣期末）探究下列关于x的单项式：，，，，，…的规律，判断第2021个单项式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意可知：第n个的单项式为：，
∴第2021个单项式，
故答案为：C．
【分析】分别找出系数和次数的规律可得第n个的单项式为：，再将n=2021代入计算即可。
7．（2023七上·青岛期中） a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是.已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
，
，
，
∴该数列每4个数为一周期循环，
∵余3，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据题意计算出，，，，进而即可得到该数列每4个数为一周期循环，再结合题意即可求解。
8．（2023七上·扬州期中）有一数值转换机，原理如图所示，若输入的x的值是1，则第一次输出的结果是6，第二次输出的结果是3，…，请你写出第2024次输出的结果是（　　）
A．1 B．3 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：把代入程序中得：
第1次的输出的结果为：；
第2次的输出的结果为：；
第3次的输出的结果为：；
第4次的输出的结果为：；
第5次的输出的结果为：；
第6次的输出的结果为：；
第7次的输出的结果为：，
…，
则该数列以6，3，8，4，2，1这6个数循环出现，
，
∴第2024次输出的结果为3．
故选：B．
【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据数值转换机中的规律，分别求得第1次，第2次，第3次，第4次，第5次，第6次，第7次的输出的结果，得到该数列以6，3，8，4，2，1这6个数循环出现，进而求得第2024次输出的结果，即可求解．
二、填空题
9．（2020七上·乐亭期末）按一定规律排列的一列数依次为 ， ， ， ， ， ，…，按此规律排列下去，这列数中第8个数是　 　，第 个数是　 　（ 为正整数）．
【答案】；
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据分析可知：
一列数依次为： ， ， ， ， ， ，…，
按此规律排列下去，则这列数中的第8个数是 ，
所以第n个数是： （n是正整数）．
故答案为： ； ．
【分析】观察已知一列数的变化发现：分子都是1，分母是序号数的平方加1，奇数项是正数，偶数项是负数，据此可以解答．
10．（2024七上·西湖期中）正六边形 在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转次后，点B所对应的数为； 按此规律继续翻转下去，点第一次接触数轴所对应的数为　 　，数轴上数所对应的点是　 　．
【答案】；
【知识点】探索数与式的规律；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：点对应的数为，
从点翻转到点需要经过线段、、、，
每条边的长度都是，且需要翻转次，
点第一次接触数轴对应的数是；
从图形中可以看出第一轮翻转过程中，
点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，
点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，
，
对应的是第轮翻转的第二次翻转，
对应的是点．
【分析】由题意可知正六边形每次一循环，由此可确定出这个数在数轴上所对应的点．
11．（2021七上·平定期末）观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2021个图形中共有　 　个五角星．
【答案】6064
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：∵第1个图形中五角星的个数为：4，
第2个图形中五角星的个数为：7=4+3，
第3个图形中五角星的个数为：10=4+3+3，
...，
∴第n个图形中五角星的个数为：4+3（n-1）=3n+1，
∴第2021个图形中五角星的个数为：3×2021+1=6064（个），
故答案为：6064
【分析】根据前几项中的图象与序号的关系可得规律第n个图形中五角星的个数为：4+3（n-1）=3n+1，再将n=2021代入计算即可。
12．（2019七上·尚志期末）有一串式子：﹣x，2x2，﹣3x3，4x4，…，﹣19x19，20x20，…写出第 2013 个式子　 　，写出第 n 个　 　．
【答案】﹣2013x2013；（﹣1）nnxn
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】这串代数式的系数的绝对值的排列顺序是所有正整数由小到大依次排列，逢双为正，遇单为负，字母x次数的排列顺序是所有正整数从小到大依次排列，
故第2013个式子为-2013x2013，第n个式子为（-1）nnxn，
故答案为-2013x2013；（-1）nnxn
【分析】归纳总结得到一般性规律，写出即可．
13．（2024七上·潍坊期末）如图，把棱长为a的正方体一个接一个地拼在一起，排成一组长方体，则用2025个小正方体拼成长方体表面积为　 　．
【答案】
【知识点】几何体的表面积；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：1个棱长为a的正方体表面积为，
2个棱长为a的正方体拼成长方体表面积为，
3个棱长为a的正方体拼成长方体表面积为，
4个棱长为a的正方体拼成长方体表面积为，
……
2025个棱长为a的正方体拼成长方体表面积为，
故答案为：．
【分析】本题考查几何体的表面积公式，以及规律探索问题，根据正方体摆放规律，结合正方体的表面积的计算方法，分别求得1个，2个，3个，4个棱长为a的正方体拼成长方体表面积，得出计算规律： 每增加一个正方体，长方体的表面积会增加一定的值 ，进而求得2025个棱长为a的正方体拼成长方体表面积，得到答案.
14．已知有理数a≠1，我们把 称为a的差倒数。例如：2的差倒数是 的差倒数是 如果 a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数……以此类推，那么 的值为　 　。
【答案】
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由 可知，
这一列数按 循环出现，
∵110÷3=36……2，
故答案为：.
【分析】根据题意得到： 进而总结规律为：这一列数按 循环出现，据此即可求解.
三、计算题
15．请观察下列各式的规律，解答以下问题．
，……，
（1）填空．
　 　.
　 　.
　 　.；
（2）计算
（3）计算.
【答案】（1）；；
（2）解：
（3）解：
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加、减混合运算
【解析】【解答】解：(1)；；.
故答案为：；；.
【分析】（1）利用两个相邻的正整数的积的倒数等于这两个正整数的倒数的差求解，即可得规律；
（2）利用（1）中的规律得到原式=，然后利用有理数的加减计算；
（3）观察原式，发现原式可以改写为，然后 与（2）相同解法.
16．计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：原式=
（2）解：
（3）解：
【知识点】探索数与式的规律；有理数的加法法则
【解析】【分析】（1）把原式转化为，分别计算整数的和与分数的和，即可求解；
（2）原式转化为，然后裂项相减即可求解；
（3）原式转化为，然后裂项相减即可求解.
四、解答题
17． 观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7，8，-9，……
（1）请写出这一列数中的第100个数和第2022个数．
（2）在前2022个数中，正数和负数分别有多少个？
（3）2023和-2023是否都在这一列数中？若在，请指出它们分别是第几个数；若不在，请说明理由．
【答案】（1）由 题意可得，奇数为负，偶数为正，
∴第100个数是100；第2 022个数是2 022．
（2）在前2 022个数中，正数和负数均有1011个．
（3）-2 023在这一列数中，它是第2 023个数．
2023不在这一列数中，理由：
∵第奇数个数均为负数．
∴2 023不在这-列数中．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）找出这一列数的规律，据此即可得出答案；
（2）找出这一列数的符号变化规律，据此即可得出答案；
（3）根据第奇数个数均为负数，即可得出答案.
18．（2024七上·城关期末）如果记当时，；当时，；当时，…，求代数式的值．
【答案】解：∵，∴，，
∴；
同理可得，，
∴；
同理可得，，
∴；
又∵，
∴以此类推，可知（n为正整数），
∴
．
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意，分别求出和的计算结果，求得的结果，总结归纳得到，据此规律，进行计算求值，即可得到答案.
19．现将连续自然数1 至 2009 按如图1所示的方式排列成一个长方形队列，再用如图2所示的正方形（由16个小正方形组成）任意框出 16 个数.
（1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为 n，请用含n的代数式表示该框中的16个数，然后填入图2中相应的空格处，并求出这16个数的和.
（2）计算该长方形队列中，共可框出多少个这样不同的正方形框.
（3）要使一个正方形框出的16个数之和分别等于 832，2000，2018，是否有可能 若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数；若不可能，请说明理由.
【答案】（1）解：设左上角第一个数为n，根据相邻数之间的关系可以得到下表：
n n+1 n+2 n+3
n+7 n+8 n+9 n+10
n+14 n+15| n+16| n+17
n+21 n+22 n+23 n+24
其中最小数为n，最大数为n+24，
这16个数的和为16n+192=16(n+12).
（2）解：设共有 n行，
∵每行有7个数，
∴7n-6=2003，n=287，
后3行不能构成正方形，故287-3=284行，每行4个，
共284×4=1136.
（3）解：设16(n+12)=832，解得 n=40，
故存在最小数40，最大数40+24=64，经检验，832不存在；
16(n+12)=2000，
n=113，
故存在，最小数为113，最大数为137；
16(n+12)=2018，
n=114.125，
故不存在.
【知识点】用代数式表示图形变化规律
【解析】【分析】（1）因为n为框中最小数，所以n再第一列，第一行的位置，同一行中右边的数比左边的数大1，同一列中下面的数比上面的数大7，从而表中空格可填，再根据所填的数求和即可；
（2）设共有 n行，每行有7个数，而正方形框有4行4列，据此求解即可；
（3）由（1）可得正方形框中的16个数的和为16(n+12)，只需16(n+12)与 832，2000，2018 分别建立一元一次方程，看是否有正整数解即可.
20．（2024七上·昌平期中）某同学模仿二维码的方式为学校设计了一个身份识别图案系统：在的正方形网格中，黑色正方形表示数字，白色正方形表示数字．图是某个学生的身份识别图案．约定如下：把第行，第列表示的数字记为（其中），如图，第行第列的数字，对第行使用公式进行计算，所得结果表示所在年级，表示所在班级，表示学号的十位数字，表示学号的个位数字；第二行，说明这个学生在班．
（1）图代表的学生所在年级是__年级，他的学号是__；
（2）请仿照图，在图中画出八年级班学号是的同学的身份识别图案．
【答案】（1）七；
（2）解：由题意得，八年级班学号是的同学∴，
∴，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
图案如图所示：
【知识点】探索数与式的规律；有理数乘法的实际应用
【解析】解：（1），
，
∴图代表的学生所在年级是七年级，他的学号是．
【分析】（1）根据题意，结合有理数的乘法运算法则，依次求出，，，进行解答，即可求解；
（2）根据题意，根据，，，，进行逆运算，画出图案，即可求解．
（1）解：，
，
∴图代表的学生所在年级是七年级，他的学号是．
故答案为：七；．
（2）解：由题意得，八年级班学号是的同学
∴，
∴，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
图案如图所示：
五、实践探究题
21．请根据下列素材完成相应的任务.
素材一：两千多年前我们的祖先就使用“算筹”表示数.算筹有纵式和横式两种排列方式，
0~9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式 ○ | ‖ |‖ ‖‖ ‖‖| ┬ ╥
横式 ￣ ═ ╧
排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式 纵式和横式依次交替出现.如
“”表示87，“”表示502.
素材二：随着社会的发展，人们对于计算的速度和准确性的要求越来越高，古代数学家对算筹的计算方法开始进行改革，在晚唐出现了真正的算盘.算盘以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位制中由低到高的位数，并且可以任意选定某档为个位，不拨出算珠表示0.
如下图，该算盘表示的数是600.
（1）任务一：
请你直接写出“”表示　 　.
（2）在虚线框中用算筹表示数字“124”.
（3）任务二：
若将个位往上拨3粒下珠，十位往上拨2粒下珠，百位往上拨1粒下珠，往下拨1粒上珠，则此时算盘表示的数是　 　.
（4）在虚线框中画出数字“432”在算盘上如何表示.
【答案】（1）66
（2）解：124表示为”| || ||||“
（3）623
（4）解：432即个位往上拨2粒下珠，十位往上拨3粒下珠，百位往上拨4粒下珠，如图，
.
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意可知：“”表示66，
故答案为：66.
（3）个位往上拨3粒下珠，十位往上拨2粒下珠，百位往上拨1粒下珠，往下拨1粒上珠，则此时算盘表示的数是：623，
故答案为：623.
【分析】任务一、（1）根据题意即可求解；
（2）根据题意中的表格数据即可求解；
任务二、（1）根据算盘表示数的法则即可求解；
（2）432即个位往上拨2粒下珠，十位往上拨3粒下珠，百位往上拨4粒下珠，据此画出图形即可.
22．（2024七上·福田期中）【实际问题】
某商场在双十一期间为了鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
【问题建模】
从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有多少种不同的结果？
【模型探究】
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法．从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
所取的2个整数 1，2 1，3 2，3
2个整数之和 3 4 5
如表所示：所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 种不同的结果．
（2）从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果．
（3）归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，这5个整数之和共有 种不同的结果．
【问题解决】
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有 种不同的优惠金额．
【问题拓展】
从3，4，5，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，使得取出的这些整数之和共有121种不同的结果，求n的值．（写出解答过程）
【答案】解： 【模型探究】 （1）7
（2）
（3）
【问题解决】 476
【问题拓展】 从3，4，5，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，
则这5个整数之和的最小值为：，
最大值为，
则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种，
∴，
解得：．
【知识点】探索数与式的规律；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【解答】解： 【模型探究】
（1）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，
则这2个整数之和最小值为：，最大值为：，
则这2个整数之和共有种不同情况，
故答案为：7；
（2）从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，
则这3个整数之和最小值为：，最大值为：，
则这3个整数之和共有不同结果的种数为：种，
故答案为：；
（3）归纳总结：从1，2，3，……，n（n为整数，且）这n个整数中任取5个整数，
则这5个整数之和的最小值为：，
最大值为，
则这5个整数之和共有不同结果的种数为：种，
故答案为：.
【问题解决】 从100张面值分别为1元、2元、3元、……、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，
则这5张奖券的和的最小值为：（元），
最大值为：（元），
则这5张奖券的和共有不同优惠金额的种数为：（种）.
【分析】 【模型探究】 （1）用2个数和的最大值减去2个数和的最小值再加1即可；
（2）用3个数和的最大值减去3个数和的最小值再加1即可；
（3）用5个数和的最大值减去5个数和的最小值再加1即可；
【问题解决】用5张奖券和的最大值减去5张奖券和的最小值再加1即可；
【问题拓展】 用5个数和的最大值减去5个数和的最小值再加1即可.
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