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4.1 线段、射线、直线-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2025七上·温州期末）如图，在学校的劳动实践课程上，同学们体验插秧时发现：只要确定两个秧苗的位置，就能使同一行秩苗整齐的插在一条直线上，这样做的依据是（　　）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．同角的余角相等
【答案】C
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：只要确定两个秧苗的位置，就能使同一行秧苗在一条直线上，其道理用几何知识解释是两点确定一条直线。
故答案为：C．
【分析】根据题意同一行秧苗在一条直线上即可判断。
2．（2023七上·遵化期中）已知线段，，且A，B，C三点在同一直线上，则线段AC的长度为（　　）
A．1cm B．1cm或9cm C．2cm或8cm D．9cm
【答案】B
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：当点C在线段AB上时：AC=AB-BC=5-4=1；
当点C在线段AB的延长线上时：AC=AB+BC=5+4=9；
线段AC的长度为1cm或9cm ，
故答案为：B.
【分析】由于A、B、C三点的位置不明确，所以进行两种情况讨论：当点C在线段AB上时：AC=AB-BC；当点C在线段AB的延长线上时：AC=AB+BC，代入数据即可求解.
3．（2025七上·宁波期末）在下列现象中，可以用基本事实＂两点之间线段最短＂来解释的是（ ）
A．木板上弹墨线
B．砌墙拉参照线
C．弯曲河道改直
D．射击比赛瞄准
【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短
【解析】【解答】解：A、B、D用到的是两点确定一条直线，不符合题意；
C用到的是两点之间，线段最短，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据线段的性质解答即可.
4．（2025七上·光明期末）下列四个生产生活现象，可以用＂两点之间，线段最短＂来解释的是（　　）
A．把弯曲的河道改直，可以缩短航程
B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：A可以用两点之间，线段最短解释，符合题意；
B可以用两点确定一条直线，不符合题意；
C可以用两点确定一条直线，不符合题意；
D可以用两点确定一条直线，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据题意逐项进行判断即可求出答案.
5．（2024七上·兰州期末）如图，点、为线段上两点，，且，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查线段的和差的计算，根据题意，结合，求得的长，即可得到答案.
6．如图，已知线段a，b.
求作：线段AB，使得AB=a+2b.
小明给出了四个步骤：
①在射线AM上画线段AP=a.②线段AB=a+2b.③在射线 PM上画PQ=b，QB=b.④画射线AM.你认为正确的顺序是 （　　）
A．①②③④ B．④①③② C．④③①② D．④②①③
【答案】B
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：如图所示，
作图步骤：④画射线AM，①在射线AM上画线段AP=a ，③在射线PM上画PQ=b，QB=b ，②线段AB=a+2b
故答案为：B.
【分析】先作射线AM，再截取然后再截取z则线段AB的长为.
7．如图，线段AB 上有C，D 两点，CD 的长度为1 cm，AB 的长度为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段的长度之和不可能为(　　)
A．21 cm B．22 cm C．25 cm D．31 cm
【答案】A
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解： 以A，B，C，D为端点的所有线段的长度之和，
∴以A，B，C，D为端点的所有线段长度之和为3的倍数多1，
∴以A，B，C，D为端点的所有线段长度之和不可能为21cm．
故答案为：A .
【分析】由题意可得以A，B，C，D为端点的所有线段的长度之和为，即可得长度之和为3的倍数多1，即可得到答案.
8． 如图，数轴上有 A，B两点，点A 表示的数为-20，点 B 表示的数为 100。现有甲、乙两只蚂蚁分别从 A，B两点出发相向而行，蚂蚁甲的速度为每秒6个单位长度，蚂蚁乙的速度为每秒4个单位长度，两只蚂蚁在数轴上的点C处相遇。若交换两只蚂蚁出发时的位置，两只蚂蚁将在数轴上的点 D 处相遇，则CD的长为（　　）
A．20 B．24 C．32 D．80
【答案】B
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：根据题意可知：AB=120，
设两只蚂蚁相遇的时间为ts，
则6t+4t=120，
解得：t=12，
相遇时，甲的路程是6t=6×12=72，
当甲蚂蚁从A点出发时，此时C点对应的的数是-20+72=52，
当甲蚂蚁从B点出发时，此时D点对应的的数是100-72=28，
∴CD=52-28=24.
故答案为：B.
【分析】首先求出A、B两点间的距离，根据速度求出相遇时间，进而得到甲在两种情况下运动的距离，从而确定C、D对应的数，最后计算CD的长度。
二、填空题
9．（2024七上·贵阳月考）如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是　 　．
【答案】两点之间线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：他选择走第②条路，其中的道理是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【分析】利用“两点之间线段最短”可得答案．
10．（2025七上·防城港期末）如图，在一张零件图纸中，，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴由线段的和差，得：
．
故答案为：
【分析】本题主要考查线段的和差的运算，根据题意和线段的和差关系，结合，进行计算，即可得到答案.
11．如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有“三颗颜色相同的棋子在同一条直线上”的直线，这样的直线有　 　条。
【答案】3
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：如图
有“三颗颜色相同的棋子在同一直线上”的直线有直线a，直线b，直线c
共3条，
故答案为：B.
【分析】由题意在图形中画出符合条件的直线即可.
12． 如图，以O为端点的射线有　 　条，它们分别是　 　；图中线段有　 　条.
【答案】4；射线OD，OA，OB，OC；8
【知识点】直线、射线、线段；线段的计数问题；射线的计数问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
以O为端点的射线有4条，分别为射线OD，OA，OB，OC
线段有OA，OD，OB，OC，AB，AC，BC，AD共8条
故答案为：4；射线OD，OA，OB，OC；8
【分析】根据射线，线段的定义即可求出答案.
13．（2025七上·宁波期末）定义：若点 为直线 上的一点，且满足 ，则称点 是线段 的＂巧分点＂．现已知 ，点 是线段 的＂巧分点＂，则 　 　．
【答案】2或6
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：因为点C的位置不确定，所以分两种情况：
①当点C在线段AB上时，
∵AC=2BC，AB=6，
∴；
②当点C在线段AB的延长线上时，
∵AC=2BC，AB=6，
∴BC=AB=6；
故答案为：2或6.
【分析】根据题意，分两种情况讨论：①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，分别求出BC的长即可.
14．如图，点C，D分别为线段AB（端点A，B除外）上的两个不同的动点，点D 始终在点C 右侧，图中共有　 　条线段.若所有线段的和等于36 cm，且 则 　 　
【答案】6；
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：图中共有6条线段，分别是线段 AC，CD，BD，AD，CB，AB，
由已知得AC+CD+BD+AD+CB+AB=36，即3AB+CD=36，又因为AB=4CD，
所以12CD+CD=36，即13CD=36，所以
故答案为：6， .
【分析】在进行数线段的时候，先找到一个点不变，然后从左往右依次计数即可，这样可以防止多数或遗漏，第一空即可得出答案；因为有线段之和36cm的条件，因此可以将线段先列出加法公式，重合部分可以合并计算，即可得出第二空的答案。
三、作图题
15．（2025七上·慈溪期末）已知点 A，B，C，D（如图），请利用没有刻度的直尺和圆规按下列要求完成作图，并保留作图痕迹。
（1）画线段 BD，射线 BC；
（2）在射线BC上找一点E（不与B重合），使得CE=CB；
（3）在线段 BD上找到一点F，使点F到A、C两点距离之和最小，请在图中标出点 F。
【答案】（1）解：如图，线段BD、射线BC即为所求.
（2）解：如图，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交射线BC于点E，则点E即为所求.
（3）解：如图， 连接AC交BD于点F，则点F即为所求.
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】(1)根据线段、射线的定义画图即可.
(2)以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交射线BC于点E，则点E即为所求.
(3)结合线段的性质，连接AC交BD于点F，则点F即为所求.
16．（2025七上·江北期末）如图，已知点A和直线，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）作射线、线段．
（2）比较大小： ，依据： ．
（3）在射线上取一点D，使．
【答案】（1）解：所作射线、线段，如图所示：
（2），两点之间线段最短
（3）解：所取点D，如图所示：
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】（2）解：，依据是：两点之间线段最短．
故答案为：，两点之间线段最短．
【分析】（1）利用射线和线段的定义作图即可；
（2）利用两点之间线段最短解题即可；
（3）在射线BC上依次截取两条线段等于AB即可 ．
（1）解：所作射线、线段，如图所示：
（2）解：，依据是：两点之间线段最短．
故答案为：，两点之间线段最短．
（3）解：所取点D，如图所示：
四、解答题
17． 若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段。请仔细观察图形，解决下列问题：
（1）如图1，直线l上有3个点A，B，C，则可以确定　 　条线段。
（2）如图2，直线l上有4个点 A，B，C，D，则可以确定　 　条线段。
（3）若直线l上有n个点，一共可以确定多少条线段 请写出解题过程。
（4）G1679 次列车往返于杭州东与厦门之间，途中共设有 12个车站（包括杭州东站与厦门站），需要设计　 　种不同的车票。
【答案】（1）3
（2）6
（3）解：若直线l上有n个点，则线段总条数为(n-1)+…+3
（4）132
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：（1）线段为AB、AC、BC，共3条，
故答案为：3；
（2）线段为AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6条，
故答案为：6；
(4)考虑到相同城市之间的往返车票是不同的，所以当n=12时，n(n-1)=132(种)。
故答案为132。
【分析】（1）（2）根据线段的表示方法写出线段解答即可；
（3）根据（1）（2）得到线段的条数，然后列算式计算即可；
（4）根据（3）中公式，根据往返车票不同列式计算即可.
18． 已知数轴的原点为O，如图所示，点A 表示的数为2，点B 表示的数为
（1）数轴是什么图形
（2）数轴在原点O 左边的部分（包括原点）是什么图形，怎样表示
（3）数轴上不小于 ，且不大于2的部分是什么图形，怎样表示
【答案】（1）解：数轴是一条直线。
（2）解：数轴在原点O左边的部分(包括原点) 是一条射线，表示为射线OB。
（3）解：数轴上不小于 且不大于2的部分是一条线段，表示为线段AB或线段BA。
【知识点】直线、射线、线段；数轴的三要素及其画法
【解析】【分析】（1）利用数轴的定义“规定原点、正方向和单位长度的直线”解答即可；
（2）根据射线的定义“直线上一点和它一旁的部分”解答即可；
（3）根据线段的定义“直线上两点和它们间的部分”解答即可.
19．（2025七上·鄞州期末）如图 1 为某款家用可伸缩晾衣杆，晾衣杆由三部分组成，分别是长度固定的 和 两段以及可伸缩的 段， 最短可缩到比 短 ，最长可伸长到比 短 ， ．
（1）求该款晾衣杆可达到的最大长度和最短长度．
（2）如图 2，在 段伸缩的过程中，是否存在 “ ” 的情况？如果存在， 请求出此时 的长； 如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： ，，
∵最长为，最短为，
最大长度；
最短长度；
（2）解：，
，此时 ，符合题意．
当 伸缩到 时满足条件
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先得到，然后根据最长为，最短为，解题即可；
（2）根据得到，然后解题即可．
（1）解： ，
，
∵最长为，最短为，
最大长度；
最短长度；
（2）解：，
，此时 ，符合题意．
当 伸缩到 时满足条件．
20．（2024七上·新源期中）如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足．
（1）________，________，________．
（2）点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________．
（3）若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示）
（4）的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．
【答案】（1）；；
（2）8；
（3）；
（4）解：∵，，∴
，
∴的值不变，且
【知识点】有理数的加、减混合运算；绝对值的非负性；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离
【解析】解：（1）∵是最大的负整数，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；；；
解：（2）设点P表示的数为x，
由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，
∴，
∴，
∵表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，
∴当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，
又∵当点P与点B重合时，有最小值，
∴当时，有最小值，
∴当时，和能同时取得最小值，
∴当时，有最小值，最小值为，
故答案为：8；；
解：（3）由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
∴，，
故答案为：；.
【分析】
本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的非负性，有理数的分类：
（1）根据数轴上两点距离计算，绝对值的非负性，得到最多的负整数为，即，再由绝对值的非负性，得到，即可求解；
（2）设点P表示的数为x，由（1）可知点A、B、C表示的数为；；，得到的表达式，根据表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，得到当点P在点A和点C之间时有最小值，最小值为的长，再由当点P与点B重合时，有最小值，则当时，和能同时取得最小值，故当时，有最小值，最小值为；
（3）由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可；
（4）根据（3）所求，计算出的结果，即可得到答案．
（1）解：∵是最大的负整数，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；；；
（2）解：设点P表示的数为x，
由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，
∴，
∴，
∵表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，
∴当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，
又∵当点P与点B重合时，有最小值，
∴当时，有最小值，
∴当时，和能同时取得最小值，
∴当时，有最小值，最小值为，
故答案为：8；；
（3）解：由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
∴，，
故答案为：；；
（4）∵，，
∴
，
∴的值不变，且．
五、实践探究题
21．【问题提出】如何对物体的长度进行更精确的测量？青岛二十六中数学组为同学们提供了一种思路，使用专业工具“游标卡尺”对数据进行更精确的测量．
【工具介绍】①是主尺（最小刻度是毫米）；②是游标尺个等分刻度）．它是套在主尺上可移动的部件；③是测量爪．移动游标尺，把被测物体夹在两测量爪之间，两爪之间的距离等于被测物体的长度．
（1）【问题解决】①图甲中，当测量爪对齐时，游标尺上的0刻线与主尺上的0刻线对齐，游标尺的第10刻线与主尺上刻线对齐，其它刻线都与主尺上的刻线不对齐，则游标尺上每小格比主尺上每小格的长度少 　 　毫米．
②如果将1张厚度为0.1mm的纸夹在测量爪间，游标尺的第1刻线与主尺刻线对齐，读数为0.1mm；如果将2张这样的纸夹在测量爪间，游标尺的第2刻线与主尺刻线对齐，读数为0.2mm；依此类推，如果将10张这样的纸夹在测量爪间，游标尺与主尺刻线对齐的情况如图乙，读数为0.1mm．如图丙，如果将一个小钢球夹在测量爪间，则这个小钢球的直径为 　 　毫米．
（2）【结论归纳】用毫米刻度尺测量长度时，只能准确地读到毫米，而用本题中的游标卡尺测量时，就能准确地读到 　 　毫米，这个数值叫做游标卡尺的精确度．如果用表示待测物体的长度，用表示主尺的整毫米数，表示与主尺刻线对齐的游标尺上的刻线序数，表示游标卡尺的精确度，则待测物体的长度表达式可归纳为：　 　．
【答案】（1）0.1；3.5
（2）0.1；
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）解：①由图知：游标卡尺主尺的长度，与游标的10个格数的长度相等，
游标上每一格的长度为，
游标尺上每小格比主尺上每小格的长度少；故答案为：0.1；
②如图丙，游标的0刻度线超过主尺的，游标尺的第5刻线与主尺刻线对齐，读数为；
这个小钢球的直径为；故答案为：3.5；
（2）游标卡尺测量时能准确地读到0.1毫米，根据游标卡尺读数的方法可得：．
故答案为0.1；．
【分析】（1）①根据游标卡尺与主尺的长度求出每一格的长度，然后求出期差即可；
②主尺读数时看游标的0刻度线超过主尺哪一个示数，该示数为主尺读数，看游标的第几根刻度与主尺刻度对齐，乘以游标的分度值，即为游标读数；
（2）得出游标卡尺读数的方法，是主尺读数加上游标读数，据此解答即可.
22．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.2.线段、射线和直线（浙教版））问题提出：某校要举办足球赛，若有5 支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛
【构建模型】生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：
（1）如图①，我们可以在平面内画出5 个点（任意 3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队， 两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有　 　条线段，所以该校共要安排　 　场比赛；
（2）根据图②的规律，若学校有 n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排　 　场比赛；
（3）【类比迁移】从同一个顶点引出6条射线，共可以组成　 　个角；
（4）【实际应用】往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安3个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种
【答案】（1）10；10
（2）15
（3）15
（4）解：∵行车往返存在方向性，
∴不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，
将代入 中，得，
∴要准备车票的种数为20种．
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：（1）由图①可知，图中实际共有条线段，
∴该校一共要安排10场比赛．
故答案为：10，10；
（2）由图②可知，图中实际共有条线段，
∴该校一共要安排15场比赛．
故答案为：15；
（3）从同一个顶点引出6条射线，共可以组成个角，
故答案为：15．
【分析】（1）利用“数线段”的方法列出算式求解即可；
（2）参照（1）的计算方法，利用“数线段”的方法列出算式求解即可；
（3）参照（1）的计算方法，利用“数线段”的方法列出算式求解即可；
（4）将n=5代入计算即可.
1 / 14.1 线段、射线、直线-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2025七上·温州期末）如图，在学校的劳动实践课程上，同学们体验插秧时发现：只要确定两个秧苗的位置，就能使同一行秩苗整齐的插在一条直线上，这样做的依据是（　　）
A．两点之间线段最短 B．垂线段最短
C．两点确定一条直线 D．同角的余角相等
2．（2023七上·遵化期中）已知线段，，且A，B，C三点在同一直线上，则线段AC的长度为（　　）
A．1cm B．1cm或9cm C．2cm或8cm D．9cm
3．（2025七上·宁波期末）在下列现象中，可以用基本事实＂两点之间线段最短＂来解释的是（ ）
A．木板上弹墨线
B．砌墙拉参照线
C．弯曲河道改直
D．射击比赛瞄准
4．（2025七上·光明期末）下列四个生产生活现象，可以用＂两点之间，线段最短＂来解释的是（　　）
A．把弯曲的河道改直，可以缩短航程
B．用两个钉子就可以把木条固定在墙上
C．植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线
D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线
5．（2024七上·兰州期末）如图，点、为线段上两点，，且，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．如图，已知线段a，b.
求作：线段AB，使得AB=a+2b.
小明给出了四个步骤：
①在射线AM上画线段AP=a.②线段AB=a+2b.③在射线 PM上画PQ=b，QB=b.④画射线AM.你认为正确的顺序是 （　　）
A．①②③④ B．④①③② C．④③①② D．④②①③
7．如图，线段AB 上有C，D 两点，CD 的长度为1 cm，AB 的长度为整数，则以A，B，C，D为端点的所有线段的长度之和不可能为(　　)
A．21 cm B．22 cm C．25 cm D．31 cm
8． 如图，数轴上有 A，B两点，点A 表示的数为-20，点 B 表示的数为 100。现有甲、乙两只蚂蚁分别从 A，B两点出发相向而行，蚂蚁甲的速度为每秒6个单位长度，蚂蚁乙的速度为每秒4个单位长度，两只蚂蚁在数轴上的点C处相遇。若交换两只蚂蚁出发时的位置，两只蚂蚁将在数轴上的点 D 处相遇，则CD的长为（　　）
A．20 B．24 C．32 D．80
二、填空题
9．（2024七上·贵阳月考）如图，小明到小颖家有四条路，小明想尽快到小颖家，他选择走第②条路，其中的道理是　 　．
10．（2025七上·防城港期末）如图，在一张零件图纸中，，，，则的长为　 　．
11．如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有“三颗颜色相同的棋子在同一条直线上”的直线，这样的直线有　 　条。
12． 如图，以O为端点的射线有　 　条，它们分别是　 　；图中线段有　 　条.
13．（2025七上·宁波期末）定义：若点 为直线 上的一点，且满足 ，则称点 是线段 的＂巧分点＂．现已知 ，点 是线段 的＂巧分点＂，则 　 　．
14．如图，点C，D分别为线段AB（端点A，B除外）上的两个不同的动点，点D 始终在点C 右侧，图中共有　 　条线段.若所有线段的和等于36 cm，且 则 　 　
三、作图题
15．（2025七上·慈溪期末）已知点 A，B，C，D（如图），请利用没有刻度的直尺和圆规按下列要求完成作图，并保留作图痕迹。
（1）画线段 BD，射线 BC；
（2）在射线BC上找一点E（不与B重合），使得CE=CB；
（3）在线段 BD上找到一点F，使点F到A、C两点距离之和最小，请在图中标出点 F。
16．（2025七上·江北期末）如图，已知点A和直线，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
（1）作射线、线段．
（2）比较大小： ，依据： ．
（3）在射线上取一点D，使．
四、解答题
17． 若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段。请仔细观察图形，解决下列问题：
（1）如图1，直线l上有3个点A，B，C，则可以确定　 　条线段。
（2）如图2，直线l上有4个点 A，B，C，D，则可以确定　 　条线段。
（3）若直线l上有n个点，一共可以确定多少条线段 请写出解题过程。
（4）G1679 次列车往返于杭州东与厦门之间，途中共设有 12个车站（包括杭州东站与厦门站），需要设计　 　种不同的车票。
18． 已知数轴的原点为O，如图所示，点A 表示的数为2，点B 表示的数为
（1）数轴是什么图形
（2）数轴在原点O 左边的部分（包括原点）是什么图形，怎样表示
（3）数轴上不小于 ，且不大于2的部分是什么图形，怎样表示
19．（2025七上·鄞州期末）如图 1 为某款家用可伸缩晾衣杆，晾衣杆由三部分组成，分别是长度固定的 和 两段以及可伸缩的 段， 最短可缩到比 短 ，最长可伸长到比 短 ， ．
（1）求该款晾衣杆可达到的最大长度和最短长度．
（2）如图 2，在 段伸缩的过程中，是否存在 “ ” 的情况？如果存在， 请求出此时 的长； 如果不存在，请说明理由．
20．（2024七上·新源期中）如图，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足．
（1）________，________，________．
（2）点P为数轴上一动点，则的最小值为________，此时点P表示的数为________．
（3）若点A，B，C开始在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，则________，________．（用含t的代数式表示）
（4）的值是否随着t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．
五、实践探究题
21．【问题提出】如何对物体的长度进行更精确的测量？青岛二十六中数学组为同学们提供了一种思路，使用专业工具“游标卡尺”对数据进行更精确的测量．
【工具介绍】①是主尺（最小刻度是毫米）；②是游标尺个等分刻度）．它是套在主尺上可移动的部件；③是测量爪．移动游标尺，把被测物体夹在两测量爪之间，两爪之间的距离等于被测物体的长度．
（1）【问题解决】①图甲中，当测量爪对齐时，游标尺上的0刻线与主尺上的0刻线对齐，游标尺的第10刻线与主尺上刻线对齐，其它刻线都与主尺上的刻线不对齐，则游标尺上每小格比主尺上每小格的长度少 　 　毫米．
②如果将1张厚度为0.1mm的纸夹在测量爪间，游标尺的第1刻线与主尺刻线对齐，读数为0.1mm；如果将2张这样的纸夹在测量爪间，游标尺的第2刻线与主尺刻线对齐，读数为0.2mm；依此类推，如果将10张这样的纸夹在测量爪间，游标尺与主尺刻线对齐的情况如图乙，读数为0.1mm．如图丙，如果将一个小钢球夹在测量爪间，则这个小钢球的直径为 　 　毫米．
（2）【结论归纳】用毫米刻度尺测量长度时，只能准确地读到毫米，而用本题中的游标卡尺测量时，就能准确地读到 　 　毫米，这个数值叫做游标卡尺的精确度．如果用表示待测物体的长度，用表示主尺的整毫米数，表示与主尺刻线对齐的游标尺上的刻线序数，表示游标卡尺的精确度，则待测物体的长度表达式可归纳为：　 　．
22．（【导学精练】初中数学七年级上册专题6.2.线段、射线和直线（浙教版））问题提出：某校要举办足球赛，若有5 支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛
【构建模型】生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：
（1）如图①，我们可以在平面内画出5 个点（任意 3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队， 两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有　 　条线段，所以该校共要安排　 　场比赛；
（2）根据图②的规律，若学校有 n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排　 　场比赛；
（3）【类比迁移】从同一个顶点引出6条射线，共可以组成　 　个角；
（4）【实际应用】往返于枣庄和济南的同一辆高速列车，途经滕州东站、曲阜东站、泰安3个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备的车票为多少种
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：只要确定两个秧苗的位置，就能使同一行秧苗在一条直线上，其道理用几何知识解释是两点确定一条直线。
故答案为：C．
【分析】根据题意同一行秧苗在一条直线上即可判断。
2．【答案】B
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：当点C在线段AB上时：AC=AB-BC=5-4=1；
当点C在线段AB的延长线上时：AC=AB+BC=5+4=9；
线段AC的长度为1cm或9cm ，
故答案为：B.
【分析】由于A、B、C三点的位置不明确，所以进行两种情况讨论：当点C在线段AB上时：AC=AB-BC；当点C在线段AB的延长线上时：AC=AB+BC，代入数据即可求解.
3．【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短
【解析】【解答】解：A、B、D用到的是两点确定一条直线，不符合题意；
C用到的是两点之间，线段最短，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据线段的性质解答即可.
4．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：A可以用两点之间，线段最短解释，符合题意；
B可以用两点确定一条直线，不符合题意；
C可以用两点确定一条直线，不符合题意；
D可以用两点确定一条直线，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据题意逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查线段的和差的计算，根据题意，结合，求得的长，即可得到答案.
6．【答案】B
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：如图所示，
作图步骤：④画射线AM，①在射线AM上画线段AP=a ，③在射线PM上画PQ=b，QB=b ，②线段AB=a+2b
故答案为：B.
【分析】先作射线AM，再截取然后再截取z则线段AB的长为.
7．【答案】A
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解： 以A，B，C，D为端点的所有线段的长度之和，
∴以A，B，C，D为端点的所有线段长度之和为3的倍数多1，
∴以A，B，C，D为端点的所有线段长度之和不可能为21cm．
故答案为：A .
【分析】由题意可得以A，B，C，D为端点的所有线段的长度之和为，即可得长度之和为3的倍数多1，即可得到答案.
8．【答案】B
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：根据题意可知：AB=120，
设两只蚂蚁相遇的时间为ts，
则6t+4t=120，
解得：t=12，
相遇时，甲的路程是6t=6×12=72，
当甲蚂蚁从A点出发时，此时C点对应的的数是-20+72=52，
当甲蚂蚁从B点出发时，此时D点对应的的数是100-72=28，
∴CD=52-28=24.
故答案为：B.
【分析】首先求出A、B两点间的距离，根据速度求出相遇时间，进而得到甲在两种情况下运动的距离，从而确定C、D对应的数，最后计算CD的长度。
9．【答案】两点之间线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：他选择走第②条路，其中的道理是两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【分析】利用“两点之间线段最短”可得答案．
10．【答案】
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，，，
∴由线段的和差，得：
．
故答案为：
【分析】本题主要考查线段的和差的运算，根据题意和线段的和差关系，结合，进行计算，即可得到答案.
11．【答案】3
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：如图
有“三颗颜色相同的棋子在同一直线上”的直线有直线a，直线b，直线c
共3条，
故答案为：B.
【分析】由题意在图形中画出符合条件的直线即可.
12．【答案】4；射线OD，OA，OB，OC；8
【知识点】直线、射线、线段；线段的计数问题；射线的计数问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
以O为端点的射线有4条，分别为射线OD，OA，OB，OC
线段有OA，OD，OB，OC，AB，AC，BC，AD共8条
故答案为：4；射线OD，OA，OB，OC；8
【分析】根据射线，线段的定义即可求出答案.
13．【答案】2或6
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：因为点C的位置不确定，所以分两种情况：
①当点C在线段AB上时，
∵AC=2BC，AB=6，
∴；
②当点C在线段AB的延长线上时，
∵AC=2BC，AB=6，
∴BC=AB=6；
故答案为：2或6.
【分析】根据题意，分两种情况讨论：①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，分别求出BC的长即可.
14．【答案】6；
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：图中共有6条线段，分别是线段 AC，CD，BD，AD，CB，AB，
由已知得AC+CD+BD+AD+CB+AB=36，即3AB+CD=36，又因为AB=4CD，
所以12CD+CD=36，即13CD=36，所以
故答案为：6， .
【分析】在进行数线段的时候，先找到一个点不变，然后从左往右依次计数即可，这样可以防止多数或遗漏，第一空即可得出答案；因为有线段之和36cm的条件，因此可以将线段先列出加法公式，重合部分可以合并计算，即可得出第二空的答案。
15．【答案】（1）解：如图，线段BD、射线BC即为所求.
（2）解：如图，以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交射线BC于点E，则点E即为所求.
（3）解：如图， 连接AC交BD于点F，则点F即为所求.
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】(1)根据线段、射线的定义画图即可.
(2)以点C为圆心，BC的长为半径画弧，交射线BC于点E，则点E即为所求.
(3)结合线段的性质，连接AC交BD于点F，则点F即为所求.
16．【答案】（1）解：所作射线、线段，如图所示：
（2），两点之间线段最短
（3）解：所取点D，如图所示：
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】（2）解：，依据是：两点之间线段最短．
故答案为：，两点之间线段最短．
【分析】（1）利用射线和线段的定义作图即可；
（2）利用两点之间线段最短解题即可；
（3）在射线BC上依次截取两条线段等于AB即可 ．
（1）解：所作射线、线段，如图所示：
（2）解：，依据是：两点之间线段最短．
故答案为：，两点之间线段最短．
（3）解：所取点D，如图所示：
17．【答案】（1）3
（2）6
（3）解：若直线l上有n个点，则线段总条数为(n-1)+…+3
（4）132
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：（1）线段为AB、AC、BC，共3条，
故答案为：3；
（2）线段为AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6条，
故答案为：6；
(4)考虑到相同城市之间的往返车票是不同的，所以当n=12时，n(n-1)=132(种)。
故答案为132。
【分析】（1）（2）根据线段的表示方法写出线段解答即可；
（3）根据（1）（2）得到线段的条数，然后列算式计算即可；
（4）根据（3）中公式，根据往返车票不同列式计算即可.
18．【答案】（1）解：数轴是一条直线。
（2）解：数轴在原点O左边的部分(包括原点) 是一条射线，表示为射线OB。
（3）解：数轴上不小于 且不大于2的部分是一条线段，表示为线段AB或线段BA。
【知识点】直线、射线、线段；数轴的三要素及其画法
【解析】【分析】（1）利用数轴的定义“规定原点、正方向和单位长度的直线”解答即可；
（2）根据射线的定义“直线上一点和它一旁的部分”解答即可；
（3）根据线段的定义“直线上两点和它们间的部分”解答即可.
19．【答案】（1）解： ，，
∵最长为，最短为，
最大长度；
最短长度；
（2）解：，
，此时 ，符合题意．
当 伸缩到 时满足条件
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先得到，然后根据最长为，最短为，解题即可；
（2）根据得到，然后解题即可．
（1）解： ，
，
∵最长为，最短为，
最大长度；
最短长度；
（2）解：，
，此时 ，符合题意．
当 伸缩到 时满足条件．
20．【答案】（1）；；
（2）8；
（3）；
（4）解：∵，，∴
，
∴的值不变，且
【知识点】有理数的加、减混合运算；绝对值的非负性；线段的和、差、倍、分的简单计算；数轴上两点之间的距离
【解析】解：（1）∵是最大的负整数，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；；；
解：（2）设点P表示的数为x，
由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，
∴，
∴，
∵表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，
∴当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，
又∵当点P与点B重合时，有最小值，
∴当时，有最小值，
∴当时，和能同时取得最小值，
∴当时，有最小值，最小值为，
故答案为：8；；
解：（3）由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
∴，，
故答案为：；.
【分析】
本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的非负性，有理数的分类：
（1）根据数轴上两点距离计算，绝对值的非负性，得到最多的负整数为，即，再由绝对值的非负性，得到，即可求解；
（2）设点P表示的数为x，由（1）可知点A、B、C表示的数为；；，得到的表达式，根据表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，得到当点P在点A和点C之间时有最小值，最小值为的长，再由当点P与点B重合时，有最小值，则当时，和能同时取得最小值，故当时，有最小值，最小值为；
（3）由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可；
（4）根据（3）所求，计算出的结果，即可得到答案．
（1）解：∵是最大的负整数，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；；；
（2）解：设点P表示的数为x，
由（1）可知点A、B、C表示的数分别为；；，
∴，
∴，
∵表示的是点P到点A和点P到点C的距离之和，
∴当点P在点A和点C之间时（包括端点）有最小值，最小值为的长，即为，
又∵当点P与点B重合时，有最小值，
∴当时，有最小值，
∴当时，和能同时取得最小值，
∴当时，有最小值，最小值为，
故答案为：8；；
（3）解：由题意得，运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
∴，，
故答案为：；；
（4）∵，，
∴
，
∴的值不变，且．
21．【答案】（1）0.1；3.5
（2）0.1；
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】（1）解：①由图知：游标卡尺主尺的长度，与游标的10个格数的长度相等，
游标上每一格的长度为，
游标尺上每小格比主尺上每小格的长度少；故答案为：0.1；
②如图丙，游标的0刻度线超过主尺的，游标尺的第5刻线与主尺刻线对齐，读数为；
这个小钢球的直径为；故答案为：3.5；
（2）游标卡尺测量时能准确地读到0.1毫米，根据游标卡尺读数的方法可得：．
故答案为0.1；．
【分析】（1）①根据游标卡尺与主尺的长度求出每一格的长度，然后求出期差即可；
②主尺读数时看游标的0刻度线超过主尺哪一个示数，该示数为主尺读数，看游标的第几根刻度与主尺刻度对齐，乘以游标的分度值，即为游标读数；
（2）得出游标卡尺读数的方法，是主尺读数加上游标读数，据此解答即可.
22．【答案】（1）10；10
（2）15
（3）15
（4）解：∵行车往返存在方向性，
∴不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，
将代入 中，得，
∴要准备车票的种数为20种．
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：（1）由图①可知，图中实际共有条线段，
∴该校一共要安排10场比赛．
故答案为：10，10；
（2）由图②可知，图中实际共有条线段，
∴该校一共要安排15场比赛．
故答案为：15；
（3）从同一个顶点引出6条射线，共可以组成个角，
故答案为：15．
【分析】（1）利用“数线段”的方法列出算式求解即可；
（2）参照（1）的计算方法，利用“数线段”的方法列出算式求解即可；
（3）参照（1）的计算方法，利用“数线段”的方法列出算式求解即可；
（4）将n=5代入计算即可.
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