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4.2 角-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2025七上·长春期末）如图，三角尺的顶点O在直线上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查了平角的有关计算，根据平角的概念，结合，即可求得．
2．（2024七上·丰润期末）如图，平分，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查了角的和差关系，以及角平分线的定义，由平分，得到，再结合，即可求解.
3．（2024七上·余姚期末）如图，货轮 在航行的过程中发现灯塔在它的北偏东的方向上，海岛在它南偏东方向上．则下列结论：
①；
②图中的补角有两个，分别是和；
③图中有4对互余的角；
④货轮在海岛的北偏西的方向上．
其中正确结论的个数有 （　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由方位角意义可知：，因此①正确；
∵海岛在它南偏东方向上
∴，
∴，
∵，
∴，因此②正确；
∵，，
∴
∴，，，
∴图中互余的角有：和，和，和，和，因此③正确；
∵海岛B在轮船O南偏东方向，即，
∴，
∴货轮O在海岛B的西偏北的方向上．因此④正确；
综上所述，正确的个数有4个，
故答案为：D．
【分析】利用方位角、互余得定义，根据图形逐一判断解题．
4．（2025七上·防城港期末）如图，钟表的时针与分针所构成的角度为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】钟面角
【解析】【解答】解：4点整时，时针与分针相距4份，每份，
钟表的时针与分针所构成的角度为．
故选：B．
【分析】本题考查了钟面角与角度制的关系，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，列出算式，进行作答，即可得到答案．
5．（2024七上·长春期末）已知，以点为端点作射线，使，那么等于（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①如图1，当在内部，
，，
；
②如图2，当在外部，
，，
；
综上所述，为或．
故选：C.
【分析】本题考查了角的和差运算，由于没有指出与的位置关系，可分在内部和当在外部，两种情况讨论，结合和，列出算式，即可得到答案.
6．（2023七上·西塘期末）如图所示的四条射线中，表示北偏东的是（　　）
A．射线 B．射线 C．射线 D．射线
【答案】A
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由图可知，表示北偏东的是射线；
故答案为：A．
【分析】根据方位角的定义，即可解答.
7．（2021七上·大同期末）已知，自的顶点引射线，若，那么的度数是（　　）
A．48° B．45° C．48°或75° D．45°或75°
【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，
①在外
②在内
为或
故答案为：D．
【分析】分在外和在内两种情况分类讨论。
8．（2023七上·清苑期末）如图，已知，是内任意一条射线，分别平分，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵分别平分，，
∴∠COD=2∠COB=2∠BOD，∠BOE=2∠BOD=2∠DOE
∴，故①正确；
∴∠COE=∠COD＋∠DOE=2∠BOD＋∠BOD==3∠BOD，故②正确；
∵，而∠COD不一定等于∠AOC
∴∠BOE不一定等于∠AOC，故③不一定正确；
∵
∴∠AOC＋∠COB=90°
∴，故④正确．
综上：正确的有①②④．
故选：A．
【分析】本题考查的是角的和与差，角平分线的定义和各角的关系与运算，根据题意，结合图形，利用角平分线的定，以及各角的关系，逐一运算，即可得到答案.
二、填空题
9．（2025七上·长春期末）从上午到当天上午，时钟的分针转过的角度为　 　°．
【答案】
【知识点】钟面角
【解析】【解答】解：从上午到当天上午，
时钟一共走了分钟，
，
时钟的分针一分钟走，
．
故答案为：．
【分析】本题考查了时钟分钟转过的角度问题，先求得时钟的分针一分钟走，结合时钟一共走了分钟，然后乘以，进行计算求解，即可得到答案．
10．（2024七上·慈利期末）计算：　 　°．
【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角度的四则混合运算
【解析】【解答】解：由，
故答案为：．
【分析】本题考查了度分秒的换算，根据度分秒间的进制，进行计算，即可解答．
11．（2024七上·长春期末）如图，某海域有三个小岛，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是　 　．
【答案】80°
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：∵OA是表示北偏东62°方向的一条射线，OB是表示南偏东38°方向的一条射线，
∴∠AOB=180°-62°-38°=80°，
故答案是：80°．
【分析】本题考查了方位角定义，以及角的计算，其中方位角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角，结合图形，利用平角的定义，列出算式，即可求得∠AOB的度数，得到答案.
12．（ 【周周清】浙教版数学七年级上册第六章6.5~6.8检测卷）已知∠AOB=60°，OC平分∠AOB，OD平分∠BOC，则∠DOC的度数为　 　.
【答案】15°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】
解：∵ ∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴，
∵ OD平分∠BOC，
∴.
故答案为：15°.
【分析】利用角平分线的定义（将已知角对半开）即可求出∠DOC的度数.
三、计算题
13． 计算：
（1）89°35 +20°25 （结果用度、分、秒表示）；
（2）123°24 -60°36 （结果用度表示）。
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
=
【知识点】角度的四则混合运算
【解析】【分析】（1）根据1度等于60分，1分等于60秒，据此即可完成角度计算.
（2）根据1度等于60分，1分等于60秒，据此即可完成角度计算.
14．计算：
（1）25°32'57"+37°56'48"。
（2）156°-107°42'。
（3）27°16'34"×6。
（4）31°26'2"÷7。
【答案】（1）解：原式=62°88'105"
=63°29'45"
（2）解：原式=155°60'-107°42'
=48°18'
（3）解：原式=27°×6+16'×6+34"×6
=162°+96'+204"
=163°39'24"
（4）解：原式=28°÷7+203'÷7+182"÷7
=4°+29'+26"
=4°29'26"
【知识点】角度的四则混合运算
【解析】【分析】（1）角度的加法运算，度与度相加，分与分相加，秒与秒相加，满60进1；
（2）角度的减法运算，度与度相减，分与分相减，秒与秒相减，不够减时，借1当60；
（3）在进行角度乘法时，度、分、秒分别乘以乘数，如果分或秒超过60，则需要向上一级单位进位；
（4）在进行角度除法时，度、分、秒分别除以除数，如果分或秒不够除，则需要从上一级单位借位.
四、作图题
15．（2025七上·长春期末）如图，．按照下列要求用直尺、量角器继续画图并解决问题：
画出射线，，，其中平分，平分．
（1）完成图形．
（2）若，则∠BOC的大小为______．
（3）若，（其中，），用含，的式子表示出的大小为______．
【答案】（1）解：当在内部时，如图，
当在内部时，如图，
（2）20或180
（3）或
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：20或180；
解：（3）∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：或．
【分析】（1）根据题意，分在内部和在内部，两种情况讨论，结合平分，平分，补全图形，即可得到答案；
（2）由平分， 求得的度数，分在内部和在内部，两种情况讨论，结合和， 求出的度数，再由平分， 结合，即可得到答案；
（3）由平分， 求得的度数，分在内部和在内部，两种情况讨论，分别求得 和， 再由平分， 结合，即可得到答案.
（1）解：当在内部时，如图，
当在内部时，如图，
（2）解：∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：20或180；
（3）解：∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：或．
16．（2024七上·南山期中）用尺规完成下列作图保留作图痕迹，不必写作法
（1）如图，作图：已知线段，作一条线段，使它等于
（2）如图，已知，且，作，使；
（3）如图，以点为顶点、射线为一边，作，使．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，，即为所求．
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-角的和差
【解析】【分析】（1）先作出线段AB，再以点B为端点作出线段BC，即可得到线段a+b；
（2）先作出，再以的一边为边作出，即可得到；
（3）利用作已知角的方法及步骤分析求解即可.
五、解答题
17．（2025七上·温州期末）如图，点在直线上，射线在直线的同一侧，与互余，平分．
（1）求的度数．
（2）求的度数．
【答案】（1）解：∵与互余，即，
∵平分，
∴。
（2）解：

【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据与互余，以及平角的定义得出，再由角平分线的定义即可求解；
（2）本题先将∠BOE变形为，可得，利用交换律交换位置后计算即可。
（1）解：∵与互余，即
∵平分，
∴；
（2）解：
18．（2024七上·长春期末）如图，将两个直角三角形的直角顶点叠放在一起，其中．
（1）若，则　 　；
若，则　 　．
（2）写出与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）145°；40°
（2）解：，理由，由题意得：，
∵，
∴．
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴.
【分析】
本题考查了三角板的角度计算，熟练掌握角度计算是解题的关键．
（）由题意得，结合，求得的度数，再由，求得的度数，再由，即可求得的度数，得到答案；
（）由，结合，求得，即可得到与的大小关系， 得到答案.
（1）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
（2）解：，理由，
由题意得：，
∵，
∴．
19．（2023七上·五华期末）已知直线经过点O，，是的平分线．
（1）如图1，若，求；
（2）如图1，若，求；（用含的式子表示）
（3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变，（2）中的结论___________（填“成立”或“不成立”）；
（4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其它条件不变，求（2）中的结论是否还成立？试说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴.
（3）成立
（4）解：（2）中的结论不成立，，
理由如下：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：（2）中结论仍然成立，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：成立.
【分析】（1）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（2）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（3）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（4）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可．
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（3）解：（2）中结论仍然成立，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：成立；
（4）解：（2）中的结论不成立，，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
20．（2023七上·武威期末）已知为一条射线，平分平分
（1）如图1，在内部，且，求的度数；
（2）如图1，若，其余条件不变，求的度数；
（3）如图2，在外部，平分平分，你能求的度数吗？若能，请求出的度数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：能求出的度数，理由如下：
∵平分，
∴，
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据，求得，由平分，平分，求出，，结合，即可求得的度数，得到答案；
（2）根据，求得，由平分，平分，求出，，结合，即可求得的度数，得到答案；
（3）设，得到，所以，由平分，求出，结合，即可求解．
（1）∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴；
（3）能求出的度数，
理由如下：
∵平分，
∴，
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
六、实践探究题
21．（2024七上·镇海区期末）学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题．
信息1 如下图所示为小明设计的个性手表，时针，分针只在右半表盘来回转动（顺时针转至6的位置再逆时针旋转至12，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示）
信息2 学校作息时间表 第一节 8：00~8：40 第五节 13：00~13：40
第二节 8：50~9：30 第六节 13：50~14：35
大课间 9：30~10：00 第七节 14：45~15：25
第三节 10：00~10：40 第八节 15：35~16：15
第四节 10：50~11：35 体活课 16：25~16：55
（1）如图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为______度．
（2）已知某天上午第一节为数学课．
①请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为______．
②若在这节数学课中，小明发现某一时刻，时针与分针刚好垂直，则这个时刻左边电子表盘上显示的时间是什么时候？
（3）若右半表面有一光线，始终保持平分．若在某一时刻射线刚好指向刻度2的位置，此时的位置记为，经过一个小时，射线的位置记为．若，请直接写出当在处时，电子表盘所显示的时间．
【答案】（1）105
（2）解：①画图见详解；；
②设时针与分针垂直时， 显示的时间是 8 时分．
则，
解得，
依题意电子表盘面不足一分钟的部分不显示，
所以电子表盘显示的时间是 8 时 04分；
（3）解： 时分.
【知识点】角的运算；角平分线的概念；钟面角
【解析】【解答】解：（1）表盘上一大格的角度是，
如图1中为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时间是，
时针和分针中间有三个半大格，所成的夹角为 ；
故答案为：105；
（2）①在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置如图：
该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为
（3）由题意可分四种情况：
①如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角；
设显示的时间是 12时分．则
解得：
∴电子表盘显示的时间是 时分；
②如图所示，如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角；则重合，
∴，不合题意，舍去；
③如图所示，如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角，则重合，
∴，不合题意，舍去；
④如图所示，如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角；则重合，
∴，不合题意，舍去；
综上可得，电子表盘显示的时间是 时分.
【分析】（1）根据时针和分针中间有三个半大格，计算即可求解；
（2）①根据题意画出图形，根据钟表读出时间即可求解；
②设时针与分针垂直时， 显示的时间是 8 时分，根据角度的和差进行计算即可求解；
（3）根据题意分四种情况，分别画出图形，只有当分针超过分钟时，符合题意，进而根据指向，与点构成度，建立关于a的方程，解方程即可求解．
22．（2024七上·河北邢台经济开发期末）直角三角板的一个顶点在路线上，．
（1）如图1，三角板在直线上方．
①若，则______°；
②若平分，则______°
（2）如图2，三角板在直线下方，．求的度数；
（3）类比探究：如图3，在数轴上，点为原点，点表示的数是，，线段在数轴上移动，且（点在点的左侧），当时，求出点表示的数．
【答案】（1）①50；②60
（2）解：由图2可知，，
，，
，
，
；
（3）解：点A表示的数是，，
点B表示的数为10，
①当线段在线段上时，如图，
由图可知，，
，，
，
，
，
点C表示的数为4；
②当线段在线段右侧时，如图，
由图可知，，
，，
，
，
，
点表示的数为16；
③当线段在线段左侧时，此种情况不成立．
综上，点表示的数为4或16．
【知识点】角的运算；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）①∵，，
∴；
故答案为：；
②∵平分，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）①由和，根据平角的定义，进行计算，即可求解；
②由平分，结合，求出的度数，再根据平角的定义，列出算式，即可求解；
（2）根据，结合，得到，求解即可；
（3）分线段在线段上，线段在线段右侧与线段在线段左侧，三种情况进行讨论
，结合，分别求得BD的成，即可得到答案.
1 / 14.2 角-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2025七上·长春期末）如图，三角尺的顶点O在直线上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七上·丰润期末）如图，平分，则等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七上·余姚期末）如图，货轮 在航行的过程中发现灯塔在它的北偏东的方向上，海岛在它南偏东方向上．则下列结论：
①；
②图中的补角有两个，分别是和；
③图中有4对互余的角；
④货轮在海岛的北偏西的方向上．
其中正确结论的个数有 （　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025七上·防城港期末）如图，钟表的时针与分针所构成的角度为（　　）．
A． B． C． D．
5．（2024七上·长春期末）已知，以点为端点作射线，使，那么等于（　　）
A． B． C．或 D．或
6．（2023七上·西塘期末）如图所示的四条射线中，表示北偏东的是（　　）
A．射线 B．射线 C．射线 D．射线
7．（2021七上·大同期末）已知，自的顶点引射线，若，那么的度数是（　　）
A．48° B．45° C．48°或75° D．45°或75°
8．（2023七上·清苑期末）如图，已知，是内任意一条射线，分别平分，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
二、填空题
9．（2025七上·长春期末）从上午到当天上午，时钟的分针转过的角度为　 　°．
10．（2024七上·慈利期末）计算：　 　°．
11．（2024七上·长春期末）如图，某海域有三个小岛，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是　 　．
12．（ 【周周清】浙教版数学七年级上册第六章6.5~6.8检测卷）已知∠AOB=60°，OC平分∠AOB，OD平分∠BOC，则∠DOC的度数为　 　.
三、计算题
13． 计算：
（1）89°35 +20°25 （结果用度、分、秒表示）；
（2）123°24 -60°36 （结果用度表示）。
14．计算：
（1）25°32'57"+37°56'48"。
（2）156°-107°42'。
（3）27°16'34"×6。
（4）31°26'2"÷7。
四、作图题
15．（2025七上·长春期末）如图，．按照下列要求用直尺、量角器继续画图并解决问题：
画出射线，，，其中平分，平分．
（1）完成图形．
（2）若，则∠BOC的大小为______．
（3）若，（其中，），用含，的式子表示出的大小为______．
16．（2024七上·南山期中）用尺规完成下列作图保留作图痕迹，不必写作法
（1）如图，作图：已知线段，作一条线段，使它等于
（2）如图，已知，且，作，使；
（3）如图，以点为顶点、射线为一边，作，使．
五、解答题
17．（2025七上·温州期末）如图，点在直线上，射线在直线的同一侧，与互余，平分．
（1）求的度数．
（2）求的度数．
18．（2024七上·长春期末）如图，将两个直角三角形的直角顶点叠放在一起，其中．
（1）若，则　 　；
若，则　 　．
（2）写出与的大小关系，并说明理由．
19．（2023七上·五华期末）已知直线经过点O，，是的平分线．
（1）如图1，若，求；
（2）如图1，若，求；（用含的式子表示）
（3）将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变，（2）中的结论___________（填“成立”或“不成立”）；
（4）将图1中的绕顶点O逆时针旋转到图3的位置，其它条件不变，求（2）中的结论是否还成立？试说明理由．
20．（2023七上·武威期末）已知为一条射线，平分平分
（1）如图1，在内部，且，求的度数；
（2）如图1，若，其余条件不变，求的度数；
（3）如图2，在外部，平分平分，你能求的度数吗？若能，请求出的度数；若不能，请说明理由．
六、实践探究题
21．（2024七上·镇海区期末）学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题．
信息1 如下图所示为小明设计的个性手表，时针，分针只在右半表盘来回转动（顺时针转至6的位置再逆时针旋转至12，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示）
信息2 学校作息时间表 第一节 8：00~8：40 第五节 13：00~13：40
第二节 8：50~9：30 第六节 13：50~14：35
大课间 9：30~10：00 第七节 14：45~15：25
第三节 10：00~10：40 第八节 15：35~16：15
第四节 10：50~11：35 体活课 16：25~16：55
（1）如图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为______度．
（2）已知某天上午第一节为数学课．
①请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为______．
②若在这节数学课中，小明发现某一时刻，时针与分针刚好垂直，则这个时刻左边电子表盘上显示的时间是什么时候？
（3）若右半表面有一光线，始终保持平分．若在某一时刻射线刚好指向刻度2的位置，此时的位置记为，经过一个小时，射线的位置记为．若，请直接写出当在处时，电子表盘所显示的时间．
22．（2024七上·河北邢台经济开发期末）直角三角板的一个顶点在路线上，．
（1）如图1，三角板在直线上方．
①若，则______°；
②若平分，则______°
（2）如图2，三角板在直线下方，．求的度数；
（3）类比探究：如图3，在数轴上，点为原点，点表示的数是，，线段在数轴上移动，且（点在点的左侧），当时，求出点表示的数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查了平角的有关计算，根据平角的概念，结合，即可求得．
2．【答案】A
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：平分，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查了角的和差关系，以及角平分线的定义，由平分，得到，再结合，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由方位角意义可知：，因此①正确；
∵海岛在它南偏东方向上
∴，
∴，
∵，
∴，因此②正确；
∵，，
∴
∴，，，
∴图中互余的角有：和，和，和，和，因此③正确；
∵海岛B在轮船O南偏东方向，即，
∴，
∴货轮O在海岛B的西偏北的方向上．因此④正确；
综上所述，正确的个数有4个，
故答案为：D．
【分析】利用方位角、互余得定义，根据图形逐一判断解题．
4．【答案】B
【知识点】钟面角
【解析】【解答】解：4点整时，时针与分针相距4份，每份，
钟表的时针与分针所构成的角度为．
故选：B．
【分析】本题考查了钟面角与角度制的关系，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，列出算式，进行作答，即可得到答案．
5．【答案】C
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：①如图1，当在内部，
，，
；
②如图2，当在外部，
，，
；
综上所述，为或．
故选：C.
【分析】本题考查了角的和差运算，由于没有指出与的位置关系，可分在内部和当在外部，两种情况讨论，结合和，列出算式，即可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：由图可知，表示北偏东的是射线；
故答案为：A．
【分析】根据方位角的定义，即可解答.
7．【答案】D
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：，
①在外
②在内
为或
故答案为：D．
【分析】分在外和在内两种情况分类讨论。
8．【答案】A
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵分别平分，，
∴∠COD=2∠COB=2∠BOD，∠BOE=2∠BOD=2∠DOE
∴，故①正确；
∴∠COE=∠COD＋∠DOE=2∠BOD＋∠BOD==3∠BOD，故②正确；
∵，而∠COD不一定等于∠AOC
∴∠BOE不一定等于∠AOC，故③不一定正确；
∵
∴∠AOC＋∠COB=90°
∴，故④正确．
综上：正确的有①②④．
故选：A．
【分析】本题考查的是角的和与差，角平分线的定义和各角的关系与运算，根据题意，结合图形，利用角平分线的定，以及各角的关系，逐一运算，即可得到答案.
9．【答案】
【知识点】钟面角
【解析】【解答】解：从上午到当天上午，
时钟一共走了分钟，
，
时钟的分针一分钟走，
．
故答案为：．
【分析】本题考查了时钟分钟转过的角度问题，先求得时钟的分针一分钟走，结合时钟一共走了分钟，然后乘以，进行计算求解，即可得到答案．
10．【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角度的四则混合运算
【解析】【解答】解：由，
故答案为：．
【分析】本题考查了度分秒的换算，根据度分秒间的进制，进行计算，即可解答．
11．【答案】80°
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：∵OA是表示北偏东62°方向的一条射线，OB是表示南偏东38°方向的一条射线，
∴∠AOB=180°-62°-38°=80°，
故答案是：80°．
【分析】本题考查了方位角定义，以及角的计算，其中方位角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角，结合图形，利用平角的定义，列出算式，即可求得∠AOB的度数，得到答案.
12．【答案】15°
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】
解：∵ ∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴，
∵ OD平分∠BOC，
∴.
故答案为：15°.
【分析】利用角平分线的定义（将已知角对半开）即可求出∠DOC的度数.
13．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
=
【知识点】角度的四则混合运算
【解析】【分析】（1）根据1度等于60分，1分等于60秒，据此即可完成角度计算.
（2）根据1度等于60分，1分等于60秒，据此即可完成角度计算.
14．【答案】（1）解：原式=62°88'105"
=63°29'45"
（2）解：原式=155°60'-107°42'
=48°18'
（3）解：原式=27°×6+16'×6+34"×6
=162°+96'+204"
=163°39'24"
（4）解：原式=28°÷7+203'÷7+182"÷7
=4°+29'+26"
=4°29'26"
【知识点】角度的四则混合运算
【解析】【分析】（1）角度的加法运算，度与度相加，分与分相加，秒与秒相加，满60进1；
（2）角度的减法运算，度与度相减，分与分相减，秒与秒相减，不够减时，借1当60；
（3）在进行角度乘法时，度、分、秒分别乘以乘数，如果分或秒超过60，则需要向上一级单位进位；
（4）在进行角度除法时，度、分、秒分别除以除数，如果分或秒不够除，则需要从上一级单位借位.
15．【答案】（1）解：当在内部时，如图，
当在内部时，如图，
（2）20或180
（3）或
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：20或180；
解：（3）∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：或．
【分析】（1）根据题意，分在内部和在内部，两种情况讨论，结合平分，平分，补全图形，即可得到答案；
（2）由平分， 求得的度数，分在内部和在内部，两种情况讨论，结合和， 求出的度数，再由平分， 结合，即可得到答案；
（3）由平分， 求得的度数，分在内部和在内部，两种情况讨论，分别求得 和， 再由平分， 结合，即可得到答案.
（1）解：当在内部时，如图，
当在内部时，如图，
（2）解：∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：20或180；
（3）解：∵，平分，
∴，
当在内部时，，
∵平分，
∴；
当在内部时，，
∵平分，
∴；
综上，的大小为或，
故答案为：或．
16．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，，即为所求．
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-角的和差
【解析】【分析】（1）先作出线段AB，再以点B为端点作出线段BC，即可得到线段a+b；
（2）先作出，再以的一边为边作出，即可得到；
（3）利用作已知角的方法及步骤分析求解即可.
17．【答案】（1）解：∵与互余，即，
∵平分，
∴。
（2）解：

【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据与互余，以及平角的定义得出，再由角平分线的定义即可求解；
（2）本题先将∠BOE变形为，可得，利用交换律交换位置后计算即可。
（1）解：∵与互余，即
∵平分，
∴；
（2）解：
18．【答案】（1）145°；40°
（2）解：，理由，由题意得：，
∵，
∴．
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴.
【分析】
本题考查了三角板的角度计算，熟练掌握角度计算是解题的关键．
（）由题意得，结合，求得的度数，再由，求得的度数，再由，即可求得的度数，得到答案；
（）由，结合，求得，即可得到与的大小关系， 得到答案.
（1）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
（2）解：，理由，
由题意得：，
∵，
∴．
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴.
（3）成立
（4）解：（2）中的结论不成立，，
理由如下：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：（2）中结论仍然成立，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：成立.
【分析】（1）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（2）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（3）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（4）先利用角的运算求出∠BOC的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可．
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
（3）解：（2）中结论仍然成立，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：成立；
（4）解：（2）中的结论不成立，，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
20．【答案】（1）解：∵，∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：能求出的度数，理由如下：
∵平分，
∴，
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据，求得，由平分，平分，求出，，结合，即可求得的度数，得到答案；
（2）根据，求得，由平分，平分，求出，，结合，即可求得的度数，得到答案；
（3）设，得到，所以，由平分，求出，结合，即可求解．
（1）∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴；
（3）能求出的度数，
理由如下：
∵平分，
∴，
设，则，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
21．【答案】（1）105
（2）解：①画图见详解；；
②设时针与分针垂直时， 显示的时间是 8 时分．
则，
解得，
依题意电子表盘面不足一分钟的部分不显示，
所以电子表盘显示的时间是 8 时 04分；
（3）解： 时分.
【知识点】角的运算；角平分线的概念；钟面角
【解析】【解答】解：（1）表盘上一大格的角度是，
如图1中为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时间是，
时针和分针中间有三个半大格，所成的夹角为 ；
故答案为：105；
（2）①在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置如图：
该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为
（3）由题意可分四种情况：
①如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角；
设显示的时间是 12时分．则
解得：
∴电子表盘显示的时间是 时分；
②如图所示，如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角；则重合，
∴，不合题意，舍去；
③如图所示，如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角，则重合，
∴，不合题意，舍去；
④如图所示，如图所示，在与之间，设表示1小时后的时针和分钟所成的夹角；则重合，
∴，不合题意，舍去；
综上可得，电子表盘显示的时间是 时分.
【分析】（1）根据时针和分针中间有三个半大格，计算即可求解；
（2）①根据题意画出图形，根据钟表读出时间即可求解；
②设时针与分针垂直时， 显示的时间是 8 时分，根据角度的和差进行计算即可求解；
（3）根据题意分四种情况，分别画出图形，只有当分针超过分钟时，符合题意，进而根据指向，与点构成度，建立关于a的方程，解方程即可求解．
22．【答案】（1）①50；②60
（2）解：由图2可知，，
，，
，
，
；
（3）解：点A表示的数是，，
点B表示的数为10，
①当线段在线段上时，如图，
由图可知，，
，，
，
，
，
点C表示的数为4；
②当线段在线段右侧时，如图，
由图可知，，
，，
，
，
，
点表示的数为16；
③当线段在线段左侧时，此种情况不成立．
综上，点表示的数为4或16．
【知识点】角的运算；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）①∵，，
∴；
故答案为：；
②∵平分，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）①由和，根据平角的定义，进行计算，即可求解；
②由平分，结合，求出的度数，再根据平角的定义，列出算式，即可求解；
（2）根据，结合，得到，求解即可；
（3）分线段在线段上，线段在线段右侧与线段在线段左侧，三种情况进行讨论
，结合，分别求得BD的成，即可得到答案.
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