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14.2 三角形全等的判定
（第1课时）
人教版 数学 八年级 上册
为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据，能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？
导入新知
3. 了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．
1. 探索三角形全等条件，明确探索方向和过程.
2. 会用“SAS”判定定理证明两个三角形全等并能应用其解决实际问题．
素养目标
1. 什么叫全等三角形？
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2. 全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
探究新知
知识点 1
三角形全等的判定——“边角边”定理
温故知新
A
B
C
D
E
F
3.已知△ABC ≌△DEF，找出其中相等的边与角.
①AB=DE
③ CA=FD
② BC=EF
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E
⑥ ∠C= ∠F
探究新知
温故知新
即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．
【思考】如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△DEF 吗
探究新知
只给一个条件
①只给一条边时；
②只给一个角时；
3cm
3cm
45
45
结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
①两边；
③两角.
②一边一角；
如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？
探究新知
①如果三角形的两边分别为3cm，4cm 时，
4cm
4cm
3cm
3cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
探究新知
②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:
4cm
4cm
30
30
结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.
探究新知
45
30
45
30
③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
探究新知
根据三角形的内角和为180°，则第三角一定确定，所以当三个内角对应相等时，两个三角形不一定全等.
两个条件
①两角；
②两边；
③一边一角.
结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等.
一个条件
①一角；
②一边；
探究新知
归纳总结
①两边一角；
②两角一边；
③三边；
④三角.
如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？
探究新知
已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
B
C
A
B
C
“两边及夹角”
“两边和其中一边的对角”
它们能判定两个三角形全等吗？
探究新知
任意画出一个△ ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A （即使两边和它们的夹角对应相等）. 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
B
C
两边及其夹角能否判定两个三角形全等
探究新知
做一做
A
B
C
A′
B′
C′
思考:
① △A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？如何验证？
②这两个三角形全等是满足哪三个条件？
探究新知
在△ABC 和△ DEF中，
∴　△ABC ≌△ DEF（SAS）．
文字语言：
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
（简写成“边角边”或“SAS ”）．
“边角边”判定方法
几何语言：
AB = DE，
∠A =∠D，
AC =AF ，
A
B
C
D
E
F
必须是两边“夹角”
探究新知
例1 如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么 △ ABD 和△ CBD 全等吗？
分析:
△ ABD ≌△ CBD.
边:角:边:
AB=CB， (已知)
∠ABD= ∠CBD， (已知)
A
B
C
D
(SAS)
BD=BD， (公共边)
证明：
在△ABD 和△ CBD中，
AB=CB， (已知)
∠ABD= ∠CBD， (已知)
∴ △ ABD≌△CBD ( SAS).
BD=BD， (公共边)
利用“边角边”定理证明三角形全等
探究新知
素养考点 1
已知:如图, AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求证:∠A=∠D.
证明:∵ ∠1＝∠2，(已知)
∴∠1+∠DBC＝ ∠2+ ∠DBC，(等式的性质)
即∠ABC＝∠DBE.
在△ABC和△DBE中,
AB＝DB，(已知)
∠ABC＝∠DBE，(已证)
CB＝EB，(已知)
∴△ABC≌△DBE（SAS）.
∴ ∠A=∠D.(全等三角形的对应角相等)
1
A
2
C
B
D
E
巩固练习
例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么
A
C
·
E
D
B
证明：在△ABC 和△DEC 中，
∴△ABC ≌△DEC（SAS）.
∴AB =DE .（全等三角形的对应边相等）
AC = DC，（已知）
∠ACB =∠DCE ，（对顶角相等）CB=EC，（已知）
探究新知
利用全等三角形测距离
素养考点 2
如图，两车从南北方向的路段AB的A端出发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地.此时C，D到B的距离相等吗？为什么？
提示：相等.
根据边角边定理，
△BAD≌△BAC，
∴BD = BC.
巩固练习
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
B
A
C
D
△ABC和△ABD满足AB=AB ,AC=AD,
∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.
SSA能否判定两个三角形全等？
探究新知
想一想
有 两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
结论
例3 下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是(　　)
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.
C
易错点拨：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．只有两边及夹角对应相等时，才能判定三角形全等．
素养考点 3
三角形全等条件的识别
探究新知
如图，AB＝CD，AB∥CD，E，F是BD上两点且BE＝DF，则图中全等的三角形有 (　 )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
C
C
巩固练习
1. （2024·云南中考）如图，在△ABC和△AED中，AB=AE，∠BAE=∠CAD，AC=AD．求证：△ABC≌△AED．
证明：∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE，即∠BAC=∠EAD，
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED（SAS）．
，
链接中考
2.如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当AB=5时，求CD的长．
（1）证明：在△AEB和△DEC中，
，
∴△AEB≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵△AEB≌△DEC，
∴AB=CD，
∵AB=5，
∴CD=5．
链接中考
1.在下列图中找出全等三角形进行连线.
Ⅰ

30
8 cm
9 cm
Ⅵ

30
8 cm
8 cm
Ⅳ
Ⅳ
8 cm
5 cm
Ⅱ
30

8 cm
5 cm
Ⅴ
30
8 cm

5 cm
Ⅷ
8 cm
5 cm

30
8 cm
9 cm
Ⅶ
Ⅲ

30
8 cm
8 cm
Ⅲ
课堂检测
基础巩固题
2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是 ( )
A.∠A＝∠D B.∠E＝∠C
C.∠A=∠C D.∠ABD＝∠EBC
D
课堂检测
证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
AD=AB
∠BAC=∠DAC
AC=AC
(已知），
(公共边），
(已证），
3.如图，已知AC平分∠BAD, AB=AD．
求证：△ABC≌△ADC．
课堂检测
已知：如图，AB=AC, BD=CD，E为AD上一点.
求证： BE=CE.
证明：
∴ ∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
∴ BE=CE.
在△ABE和△ACE中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AE=AE
(已知），
(公共边），
(已证），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴△ABE≌△ACE（SAS）.
课堂检测
能力提升题
A
B
C
D
E
如图，已知CA=CB , AD=BD, M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.
在△ABD与△CBD中
证明:
CA=CB， (已知）
AD=BD ， （已知）
CD=CD ，（公共边）
∴△ACD≌△BCD（SSS）
连接CD，如图所示；
∴∠A=∠B
又∵M，N分别是CA，CB的中点，
∴ AM=BN
拓广探索题
课堂检测
在△AMD与△BND中
AM=BN ，(已证）
∠A=∠B ，（已证）
AD=BD ，（已知）
∴△AMD≌△BND.（SAS）
∴DM=DN.
边角边
内容
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”)
应用
为证明线段和角相等提供了证法
注意
1.已知两边，必须找“夹角”
2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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