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(共30张PPT)
14.2 三角形全等的判定
（第2课时）
人教版 数学 八年级 上册
学完“三角形全等判定”后,小明把一块三角形纸片分为如图四块,分别给了编号为1，2，3，4的四名同学,要求他们画出与原三角形全等的三角形,则编号为几的同学能完成任务 你的根据是什么
导入新知
1. 探索并正确理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”.
素养目标
2. 会用三角形全等的判定方法“ASA”
和“AAS”证明两个三角形全等及应用.
如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
A
B
C
A
B
C
图一
图二
“两角及夹边”
“两角和其中一角的对边”
它们能判定两个三角形全等吗？
探究新知
三角形全等的判定（“角边角”定理）
知识点 1
先任意画出一个△ABC，再画一个△A ′ B ′ C ′ ， 使A ′ B ′ =AB， ∠A ′ =∠A， ∠B ′ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A ′ B ′ C ′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
C
B
探究新知
A
C
B
A′
B′
C′
从中你能发现什么规律？
探究新知
想一想
“角边角”判定方法
文字语言：
两角和它们夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）.
几何语言：
∠A=∠A′ ，（已知）
AB=A′ B′ ，（已知）
∠B=∠B′ ，（已知）
在△ABC和△A′ B′ C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
探究新知
例1 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB，（已知）
BC＝CB，（公共边）
∠ACB＝∠DBC，（已知）
证明：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
B
C
A
D
判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．
探究新知
利用“角边角”定理证明三角形全等
素养考点
如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF.
∵BE＝CF，
∴BC＝EF.
∵∠ACB＝∠F，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
巩固练习
例2 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C,求证：AD=AE.
A
B
C
D
E
分析：证明△ACD≌△ABE，就可以得出AD=AE.
证明：在△ACD和△ABE中，
∠A=∠A，（公共角 ）
AC=AB，（已知）
∠C=∠B ，（已知 ）
∴ △ACD≌△ABE（ASA）.
∴AD=AE.
探究新知
如图，如果AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等吗？为什么？
证明:在△ABE与△ACD中
∠B=∠C, （已知）
∠A= ∠A, （公共角）
AE=AD, （已知）
∴ △ABE ≌△ACD（AAS）.
∴ BE=CD .（全等三角形对应边相等）
A
E
D
C
B
BE =CD
巩固练习
若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗
60°
45°
用“角角边”判定三角形全等
知识点 2
探究新知
60°
45°
思考：
这里的条件与探究1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为探究1中的条件吗？
75°
探究新知
∠A=∠A′，（已知）
∠B=∠B′ ，（已知）
AC=A′C ′，（已知）
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
探究新知
归纳总结
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS”）.
例1 在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝ ∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF．
证明：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°.
∴△ABC≌△DEF（ASA ）.
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F.
∴ ∠C＝180°－∠A－∠B.
同理 ∠F＝180°－∠D－∠E.
又 ∠A＝∠D，∠B＝ ∠E,
∴ ∠C＝∠F.
在△ABC和△DEF中，
探究新知
利用“角角边”定理证明三角形全等
素养考点
例2 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E. 求证：(1)△BDA≌△AEC；
证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵AB⊥AC，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°，
∠ABD＝∠CAE,
AB＝AC,
∴△BDA≌△AEC(AAS).
探究新知
例3 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E. 求证：(2)DE＝BD＋CE.
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
证明：∵△BDA≌△AEC,
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
探究新知
如图，已知：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE＝CF.
证明：∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD. ∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
在△BED与△CFD中
∠BED=∠CFD,
∠1=∠2,
BD=CD,
∴△BED≌△CFD(AAS)．∴BE＝CF.
巩固练习
解析：∵AB=AC，∠A为公共角，
如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，
1.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（　　）
A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD
D
链接中考
2.如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD．
证明：如图，∵∠1=∠2，
∴∠ACB=∠ACD．
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）.
∴CB=CD．
链接中考
1. 下列各图中a,b,c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（　　）
A．甲和乙 B．乙和丙
C．甲和丙 D．只有丙
B
课堂检测
基础巩固题
2. 在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（　 ）
A．一定不全等　 B．一定全等　 　
C．不一定全等　　 D．以上都不对
B
课堂检测
3. 如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.
A
B
C
D
课堂检测
4.如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是___________.　
AC=BC
课堂检测
1.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,
求证：AB=AD.
A
C
D
B
1
2
证明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠ B=∠D=90 °.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2 （已知），
∠ B=∠D（已证），
AC=AC （公共边），
∴ △ABC≌△ADC (AAS)，
∴AB=AD.
能力提升题
课堂检测
2. 如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗 如果可以,带哪块去合适 你能说明其中理由吗
3
2
1
答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等.
课堂检测
已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD，A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝ A′D′ ，并用一句话说出你的发现.
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
拓广探索题
课堂检测
解：因为△ABC ≌△A′B′C′ ，
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，
所以∠ADB=∠A'D'B'.在△ABD和△A'B'D'中，∠ADB=∠A'D'B'（已证），∠ABD=∠A'B'D'（已证），AB=AB（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
全等三角形对应边上的高也相等.
课堂检测
角边角
角角边
内容
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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