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(共37张PPT)
14.2 三角形全等的判定
（第4课时）
人教版 数学 八年级 上册
导入新知
小明去公园玩,在公园看到了如下两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,小明说只要测量出左边滑梯AB的长度就可以知道右边滑梯有多高了,小明的说法正确吗
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量.
(1)　你能帮他想个办法吗？
根据SAS可测量其余两边与这两边的夹角.
根据ASA,AAS可测量对应一边和一锐角.
导入新知
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等。于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”.
你相信这个结论吗？
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗 　
让我们来探究一下吧！
斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等.
导入新知
2. 能运用三角形全等的判定方法判断两个直角三角形全等.
1. 探究直角三角形全等的判定方法.
素养目标
SSS
SAS
ASA
AAS
旧知回顾 我们学过的判定三角形全等的方法.
探究新知
知识点
三角形全等的判定——“HL”定理
如图，在Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_____，_____，斜边是______.
C
B
A
AC
BC
AB
思考
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？
探究新知
想一想
A
B
C
B′
C′
1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
探究新知
问题
A′
如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF 吗？
我们知道，证明三角形全等
不存在SSA定理.
A
B
C
D
E
F
探究新知
想一想
如果这两个三角形都是直
角三角形，即∠B=∠E=90°，
且AC=DF，BC=EF，现在能
判定△ABC≌△DEF吗？
A
B
C
D
E
F
探究新知
想一想
任意画出一个Rt△ABC ，使∠C=90°.再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 ° ， B′C′=BC ， A ′B ′=AB ，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
探究新知
画图思路
（1）先画∠M C′ N=90°.
A
B
C
M
C′
N
探究新知
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC.
M
C′
A
B
C
N
B′
M
C′
探究新知
画图思路
（3）以点B′为圆心，AB为半径作弧，交射线C′N于A′.
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
探究新知
画图思路
（4）连接A′B′.
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
探究新知
画图思路
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
探究新知
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等； （ ）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等； （ ）
（3）一个锐角和斜边对应相等； （ ）
（4）两直角边对应相等； （ ）
（5）一条直角边和斜边对应相等. （ ）
HL
AAS或ASA
SAS
AAS
AAS
判一判
探究新知
例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD.
求证：BC﹦AD.
证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D 都是直角.
AB=BA,
AC=BD .
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD.
A
B
D
C
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.
探究新知
利用“HL”定理判定直角三角形全等
素养考点 1
如图，∠ACB =∠ADB=90 ° ，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
A
B
D
C
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
探究新知
变式 题 1
如图，AC,BD相交于点P ， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C,D ， AD=BC.求证：AC=BD.
HL
AC=BD
Rt△ABD≌Rt△BAC
探究新知
变 式 题 2
如图：AB⊥AD，CD⊥BC ， AB=CD ，判断AD和BC的位置关系.
HL
∠ADB=∠CBD
Rt△ABD≌Rt△CDB
AD∥BC
探究新知
变 式 题 3
如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.求证：Rt△ABE≌Rt△CBF.
证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∠ABE＝∠CBF＝90°，
∵AB＝CB，AE＝CF ,
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
巩固练习
例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF. 即BC＝BE.
探究新知
探究新知
方法点拨
证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足，
AE＝DF，AB＝DC，求证：AC＝DB.
证明：AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°.
在Rt△ABE和Rt△DCF中， AE=DF , AB＝DC,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
∴∠ABC＝∠DCB.
在△ABC和△DCB中， AB＝DC,∠ABC＝∠DCB, BC ＝CB,
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC＝DB .
巩固练习
例3 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF .
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B=∠DEF.(全等三角形对应角相等)
∵ ∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
探究新知
利用直角三角形全等解决实际问题
素养考点 2
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由.
所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).
所以BD=CD.
解：BD=CD.
因为∠ADB=∠ADC=90°,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
AB=AC,
AD=AD,
巩固练习
1.如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC,DB相交于点O．
求证：OB=OC．
证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）.
∴∠OBC=∠OCB，
∴BO=CO．
链接中考
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED=∠CFD=90°.
∵D为AC的中点，∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF.
∴∠A=∠C.∴BA=BC.
∵AB=AC，∴AB=BC=AC.
∴△ABC是等边三角形．
2.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
链接中考
D
1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
课堂检测
基础巩固题
2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点
E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，
则 CH的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）.
全等
HL
课堂检测
A
4. 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
BC=CB .
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
课堂检测
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC, AE=CF.求证：BF=DE.
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CD,
AF=CE.
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
A
F
C
E
D
B
∴BF=DE.
能力提升题
课堂检测
如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
拓广探索题
课堂检测
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10cm，
∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
课堂检测
解：(1)当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
∴AP＝BC＝5cm；
“斜边、直角边”
内容
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等.
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只需找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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