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(共29张PPT)
14.3 角的平分线
（第1课时）
人教版 数学 八年级 上册
A
B
D
C
E
下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？
导入新知
3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.
1. 学会角平分线的作法.
2. 探究并认知角平分线的性质.
素养目标
在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
探究新知
知识点 1
角平分线的画法
问题1：
问题2：
提炼图形
探究新知
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗
A
B
C
(E)
D
其依据是SSS，两全等三角形的
对应角相等.
探究新知
问题3：
【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？
A
B
O
请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.
提示
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
探究新知
做一做
A
B
M
N
C
O
已知: ∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
仔细观察步骤
作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢!
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）作射线OC.射线OC即为∠AOB的平分线.
半径小于 MN或等于 MN，可以吗？
探究新知
已知：平角∠AOB.
求作：平角∠AOB的角平分线.
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
A
B
O
C
探究新知
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB ，点D,E为垂足，测量PD,PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结果：__________
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
OC是∠AOB的平分线，P是射线OC上的任意一点.
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质
知识点 2
探究新知
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
探究新知
验证猜想
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
探究新知
归纳总结
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA， PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
探究新知
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = ，
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
缺少“垂直距离”这一条件
缺少“角平分线”这一条件
探究新知
如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是(　　)
A. OD>OE B．OD＝OE
C. ODB
巩固练习
例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
探究新知
角平分线的性质的应用
素养考点 1
如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.求证：PM＝PN.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2，
又∵OA＝OB，OD＝OD，
∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4，
又∵PM⊥DB，PN⊥DA，
∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边的距离相等)
巩固练习
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
提示：存在两条垂线段——直接 应用.
探究新知
利用角平分线的性质求线段的长度
素养考点 2
A
B
C
P
如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4， AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______.
D
4
提示：存在一条垂线段——构造应用.
巩固练习
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积
周长
条件
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
探究新知
归纳总结
（2024·江苏常州中考）如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（ ）
A．d1与d2一定相等
B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等
D．l1与l2一定不相等
A
链接中考
2.△ABC中， ∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是 .
A
B
C
D
3
E
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
课堂检测
基础巩固题
3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
SSS
ASA
AAS
角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
课堂检测
4.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是(　　)
A.PC＝PD B. OC＝OD
C. ∠CPO＝∠DPO D. OC＝PC
D
5. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
D
B
C
E
A
D
F
课堂检测
E
D
C
B
A
6
8
10
1. 在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
(1)哪条线段与DE相等？为什么？
(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED 的周长.
解：(1)DC=DE.
理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.
（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
∴BE＝BC=8.
∴ AE＝AB–BE=2.
∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.
能力提升题
C
D
课堂检测
2.如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F. 求证：CE＝CF.
证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
∴DE＝DF.
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，
∴CE＝CF.
课堂检测
如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵ AP平分∠BAD， PM⊥AD ， PE⊥AB，
∴ PM= PE.
同理， PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
拓广探索题
课堂检测
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
课堂小结
为证明线段相等提供了又一途径
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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