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(共29张PPT)
14.3 角的平分线
（第2课时）
人教版 数学 八年级 上册
小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是什么
导入新知
3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
1. 理解角平分线判定定理.
2. 掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
素养目标
S
这个点应该在角的平分线
O
探究新知
角平分线的判定的应用
素养考点
例 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
回
顾旧知
O
D
P
P到OA的距离PD
P到OB的距离PE.
P是角平分线上的点
几何语言描述：
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
A
C
B
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
叙述角平分线的性质定理.
不必再证全等
E
知识点 1
角平分线的判定
探究新知
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB ，
∴ PD= PE.
几何语言：
猜想:
探究新知
想一想
这个结论正确吗？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
. （全等三角形的对应角相等）
OP=OP，（公共边）
PD= PE，（已知 ）
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA，PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
探究新知
猜想证明
判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
探究新知
例 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ， D即为所求.
O
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
探究新知
角平分线的判定的应用
素养考点
如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3 cm，当PD＝____cm时，点P在∠AOB的平分线上．
3
3
如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则点P是 的平分线与 的平分线的交点．
∠ABC
∠BCD
巩固练习
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
三角形的内角平分线
知识点 2
探究新知
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明这个结论吗？
探究新知
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
探究新知
证明结论
点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
探究新知
想一想
如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
过点O作ON⊥BC , OE⊥AB,垂足分别为点N，点E .
由题意得， ON + OE + OM =12.
B
C
A
巩固练习
P
解：连接OC.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
巩固练习
如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC,AP，BD交于点O，过点O作OM⊥AC，若OM＝4.
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
距离
面积
周长
条件
探究新知
归纳总结
例 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角
平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
探究新知
利用三角形的内角平分线的性质求值
素养考点
探究新知
方法点拨
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
角的平分线的性质
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
探究新知
归纳总结
到三角形三边距离相等的点是(　　)
A．三边垂直平分线的交点
B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
如图，河南岸有一个工厂在公路西侧，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300 m，则工厂的位置在哪里？
解：作小河与公路夹角的角平分线BM，在BM上截取BP＝1.5 cm，则点P即为所求的工厂的位置
C
巩固练习
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
又∵∠BDE＝∠CDF， BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF(AAS) .
∴DE＝DF.
∴AD平分∠BAC.
如图，已知，BE＝CF，BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF，CE交于点D.求证：AD平分∠BAC.
链接中考
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
课堂检测
基础巩固题
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，
∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
课堂检测
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
E
证明：
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
D
课堂检测
能力提升题
如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
如图， 直线l1，l2，l3表示三条互相交叉的公路， 现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等， 可选择的地址有几处 画出它的位置.
拓广探索题
课堂检测
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
课堂检测
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习

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