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【期末专项押题卷】解答题核心考点-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一．解答题（共30小题）
1．（2025 江苏校级模拟）记△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A﹣B）＝sinB+sinC．
（1）求A；
（2）若点D是BC边上一点，且AB⊥AD，CD＝2BD，求tan∠ADB的值．
2．（2025 通许县校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2b，且sinA＝cosB．
（1）求；
（2）若c＝6，求△ABC的面积．
3．（2025 吉首市模拟）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝6（b﹣c）＝6，sinC．
（1）求△ABC的面积；
（2）证明：A＝2C．
4．（2025 江西模拟）设△ABC的面积为S，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC中点，已知．
（1）求a；
（2）若，求S的范围．
5．（2025 卓尼县校级模拟）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为．
（1）求cosA的值；
（2）求的值．
6．（2025 聊城模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB+btanBcosA＝2bsinC．
（1）求B；
（2）若a＝3，AC边上的高为，求△ABC的周长．
7．（2025 聊城二模）△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，且a2＝bc．
（1）证明：△ABC为等边三角形；
（2）如图，若△ABC边长为3，点E，F分别在边BC，BA上，将△BEF沿着线段EF对折，顶点B恰好落在边AC上的D点，当AD＝2DC时，求重叠部分DEF的面积．
8．（2025 和平区三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA+cosA＝2，sinB：sinC＝3：5，a．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求b的值与△ABC的面积；
（Ⅲ）求sin（C﹣2A）的值．
9．（2025春 重庆校级月考）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，过△ABC内一点M的直线l与直线AB交于D，记与夹角为θ．
（1）已知，
（i）若H为△ABC的垂心，．求的值；
（ii）M为△ABC的重心，b＝c＝1，θ＝30°，求；
（2）请用向量方法探究θ与△ABC的边和角之间的等量关系ccosθ＝acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）是否成立？
10．（2025春 富阳区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝2，，且AC⊥BC．M、N为线段AB上的两个动点（N在M的右侧），且∠MCN＝30°．
（1）若AM＝1时，求△MNC的周长；
（2）若△MNC的面积是△CMA的面积的倍，求∠ACM的大小；
（3）当∠ACM为何值时，△MNC的面积最小，最小面积是多少？
11．（2025春 浦东新区期末）已知复数z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m﹣14）i，m∈R．
（1）当z是虚数时，求m的值；
（2）当z对应的点在第四象限时，求m的取值范围．
12．（2025春 广东校级月考）已知复数z1＝2﹣i，z2＝a+4i（a∈R），且z1z2是实数．
（1）求；
（2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
13．（2025春 浦东新区校级期末）已知复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i，其中m∈R．
（Ⅰ）若z是实数，求实数m的值；
（Ⅱ）若z是纯虚数，求实数m的值；
（Ⅲ）若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
14．（2025春 清远期中）已知复数z在复平面上对应点在第四象限，且，z2的虚部为﹣2．
（1）求复数z；
（2）设复数z、、z2在复平面上对应点分别为A、B、C，求的值．
15．（2025 五华区校级模拟）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，2AB＝CD＝2，PD＝AD＝3，E为棱PD上靠近点P的三等分点．
（1）证明：直线PB∥平面AEC；
（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
16．（2025 山西模拟）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD，AC＝AD＝BC＝BD，BC＝2AB，点E，F，G分别在棱BC，AC，AD上运动，且AB∥平面EFG，CD∥平面EFG，M，N分别是线段CD和AB的中点．
（1）证明：直线MN⊥平面EFG；
（2）当三角形EFG面积的最大值为时，求三棱锥A﹣BCD的体积．
17．（2025 河南模拟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC∥AD，CD⊥AC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，AD＝AA1，M为AA1的中点．
（1）证明：AC1⊥平面MCD；
（2）求平面MB1C与平面ABCD的夹角的余弦值．
18．（2025 保山校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BB1＝2，BC＝2．D，E分别是棱AC、CC1的中点，点F在线段A1E上．
（Ⅰ）若，求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）若三棱锥F﹣ABD的体积为，求直线BF与平面AA1C1C所成角的正切值．
19．（2025 儋州校级模拟）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝2A1C1＝4，BC＝2⊥平面ABC，AB⊥BC，D为AB的中点．
（1）证明：A1B1⊥DC1．
（2）过A1，D，C1的平面把三棱台ABC﹣A1B1C1分成两部分，体积分别是V1和V2（V1＜V2），求的值．
（3）求平面CC1D和平面ABB1A1所成锐二面角的正切值．
20．（2025 贵阳校级模拟）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面ABCD，AA1＝A1D，底面ABCD为菱形，，G，E，F分别为AB1，BC，CD的中点．
（1）证明：GE∥平面AD1F；
（2）若AB＝2，tan∠A1AD＝2，求三棱锥D1﹣AFD的表面积．
21．（2025 武汉模拟）如图，直角梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，BC＝8，AD＝9，，点E为线段BC不在端点上的一点，过E作AB的平行线交AD于F，将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直，得到六面体ABCDEF．
（1）若CF⊥BD，求BE的长；
（2）求异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值．
22．（2025 浦东新区校级模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；
（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．
23．（2025 山西模拟）某校举办了“生活常识”知识竞赛，随机抽取了400名学生的成绩（分数均在[40，100]内），将所得数据分成六组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求m的值，并求出分数在区间[70，90）内的学生人数；
（2）估计这400名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．
24．（2025春 静安区期末）第从某学校随机抽取100名学生作为样本进行学生体重分布情况调查．得到频数分布表（体重单位：kg）（假设在每一区间内，体重数据均匀分布，用区间中点值估计区间内含有的数据）
分组 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90]
频数 5 25 40 20 10
（1）估计样本的中位数；
（2）从样本区间[60，70）和[70，80）中按分层抽样抽取6名学生，再从这6人中随机抽取3人，求其中2人体重在[60，70），1人体重在[70，80）的概率．
25．（2025 景德镇模拟）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如表．
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
频数 10 11 22 30 20 7
记这100块稻田亩产量的平均值的估计值为，标准差的估计值为s．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（1）求，s2；
（2）判断该新型水稻能否推广种植（在这100块稻田中，若超过90块稻田的亩产量在，）内，则认为该新型水稻能推广种植）．
26．（2025春 虹口区期末）某校为了解学生的身高情况，从高一、高二、高三三个年级中采用分层抽样的方法抽取了100名学生进行调查，其中高一、高二、高三的学生人数之比为4：3：3．
（1）求从高一、高二、高三各年级抽取的学生人数；
（2）从抽取的100名学生中随机选取2人协助工作人员调查，求这2人来自不同年级的概率（用最简分数表示）；
（3）经过调查，抽取的高二学生身高的平均数为171（cm），方差为60，其中被抽中的小李身高是188（cm），试求除去小李后其余被抽中的高二学生身高的平均数与方差（结果精确到0.1）．
27．（2025 郴州模拟）已知某班一共有n个学生，男生比女生多9人，采用分层抽样的方法从中抽取5名学生志愿者参加植树节活动，若抽取的样本中男生有3人，女生有2人．
（1）该班一共有多少人？
（2）从抽取的5名学生志愿者中再随机抽取2名同学承担浇灌任务．设M为事件“抽取的2名同学均为男生”，求事件M发生的概率．
28．（2025春 静安区期末）质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为1、2、3、4、5、6．
（1）抛掷一次骰子，求点数是偶数的概率；
（2）抛掷两次骰子，设事件A为第一次的点数为4，事件B为两次点数和为6，事件C为两次点数和为7．分别判断事件A和B是否独立？事件A和C是否独立？
29．（2025 大武口区校级四模）现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的．
（1）求甲在比赛中获胜的概率；
（2）求比赛需打两局的概率；
（3）已知甲在第一局比赛中获胜，求甲在比赛中获胜的概率．
30．（2025春 中牟县期末）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为中1，2，3，白球编号为4，5．
（1）现从盒子里随机取出2个小球，记事件A＝“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件B＝“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为n”，当n＝5时，分别求事件A，B的概率；
（2）某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签．
游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜；
游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜；
游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为n时获胜．
小明同学决定先玩游戏一，当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？
【期末专项押题卷】解答题核心考点-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．（2025 江苏校级模拟）记△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A﹣B）＝sinB+sinC．
（1）求A；
（2）若点D是BC边上一点，且AB⊥AD，CD＝2BD，求tan∠ADB的值．
【解答】解：（1）在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
因为sin（A﹣B）＝sinB+sinC，所以sinAcosB﹣cosAsinB＝sinB+sinAcosB+cosAsinB，
整理得sinB（1+2cosA）＝0，结合sinB≠0，可得1+2cosA＝0，
所以cosA，结合A∈（0，π），可得A；
（2）因为AB⊥AD，由（1）得∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD，
设∠ADB＝α，则∠C＝α﹣∠DAC＝α．
在△ADC中，由正弦定理得，
在Rt△ABD中，cosα，可得，结合CD＝2BD，得，
所以，即sinα＝3cosα，可得tanα，即tan∠ADB的值为．
2．（2025 通许县校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2b，且sinA＝cosB．
（1）求；
（2）若c＝6，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2b，且sinA＝cosB，
由a＝2b及正弦定理可得sinA＝2sinB，
又sinA＝cosB，∴2sinB＝cosB，∴，
又B∈（0，π），∴，，
∴；
（2）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，
可得，解得或，
当时，△ABC的面积为，
当时，△ABC的面积为，
综上可知，△ABC的面积为或12．
3．（2025 吉首市模拟）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝6（b﹣c）＝6，sinC．
（1）求△ABC的面积；
（2）证明：A＝2C．
【解答】（1）解：a＝6（b﹣c）＝6，sinC，
即a＝6，b﹣c＝1，可得b＝c+1，
可得B＞C，所以cosC，
由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC，
即c2＝36+（c+1）2﹣2×6×（c+1），
整理可得7c＝28，即c＝4，b＝5，
所以S△ABCabsinC6×5；
（2）证明：由（1）及正弦定理可得，
即，
即sinAsinC，
而2sinCcosC＝2，
又因为A，C∈（0，π），
可证得A＝2C．
4．（2025 江西模拟）设△ABC的面积为S，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC中点，已知．
（1）求a；
（2）若，求S的范围．
【解答】解：（1）因为D为BC中点，
所以，
所以（c2+b2+2bccosA），
即AD2（c2+b2+2bccosA），
又，
所以，
即4bccosA＝b2+c2+2bccosA﹣4，即b2+c2﹣4＝2bccosA，
又由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，
所以a2＝4，
则a＝2；
（2）因为，
显然，所以，
即，
再由和差化积公式可得（sinB+sinC）＝sincos，
在△ABC中，sin（B+C）＝sinA，
所以，
即，
由正弦定理可得，
因为a＝2，不妨令B（﹣1，0），C（1，0），建立平面直角坐标系，
由，所以点A在以B、C为焦点的椭圆（除顶点外）上，
令椭圆方程为，则，，
所以椭圆方程为，当A在椭圆短轴顶点时，此时tan∠BAC无意义，
所以0＜|yA|＜1，则．
5．（2025 卓尼县校级模拟）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为．
（1）求cosA的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）因为a2﹣c2＝bc，a2＝b2+c2﹣2bccosA，b＞0，
所以c＝b﹣2ccosA，
由正弦定理得sinC＝sinB﹣2sinCcosA，
在△ABC中，sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
可得sinC＝sinAcosC﹣sinCcosA＝sin（A﹣C），
因为△ABC为锐角三角形，可得C＝A﹣C，即A＝2C，
又因为cosC，
所以cosA＝cos2C＝2cos2C﹣1＝2×（）2﹣1；
（2）由（1）及正弦定理得2．
6．（2025 聊城模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB+btanBcosA＝2bsinC．
（1）求B；
（2）若a＝3，AC边上的高为，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）由正弦定理及asinB+btanBcosA＝2bsinC，可得，
因为sinB＞0，所以，即sinAcosB+sinBcosA＝2sinCcosB，
则sin（A+B）＝sin（π﹣C）＝sinC＝2sinCcosB，
因为B，C∈（0，π），所以sinC＞0，则，所以；
（2）因为a＝3及AC边上的高为，
所以，则①，
在△ABC中，利用余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，即b2＝9+c2﹣3c②，
由①②得c＝2，故△ABC的周长为．
7．（2025 聊城二模）△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，且a2＝bc．
（1）证明：△ABC为等边三角形；
（2）如图，若△ABC边长为3，点E，F分别在边BC，BA上，将△BEF沿着线段EF对折，顶点B恰好落在边AC上的D点，当AD＝2DC时，求重叠部分DEF的面积．
【解答】解：（1）证明：因为，
所以，
展开得：，①
由a2＝bc及正弦定理可得：sinBsinC＝sin2A，②
①﹣②得：sin2A＝cosBcosC﹣sinBsinC＝cos（B+C）＝﹣cosA，
因为sin2A+cos2A＝1，所以4cos2A+4cosA﹣3＝0，解得或（舍去），
又因为0＜A＜π，所以；
将代入，得cos（B﹣C）＝1，
因为B，C∈（0，），所以B＝C，则B＝C，所以，
所有△ABC是等边三角形；
（2）由AD＝2DC及AC＝3，得DC＝1，设BE＝ED＝x，则CE＝3﹣x，
在△CED中，由余弦定理可得：，
即，解得，即DE，
设BF＝DF＝y，则AF＝3﹣y，
在△AFD中，由余弦定理可得：DF2＝AF2+AD2﹣2AF ADcosDAF，
即，解得y，即，
又因为，
所以．
8．（2025 和平区三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA+cosA＝2，sinB：sinC＝3：5，a．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求b的值与△ABC的面积；
（Ⅲ）求sin（C﹣2A）的值．
【解答】解：因为sinA+cosA＝2，所以2sin（A）＝2，即sin（A）＝1，
因为A∈（0，π），所以A，所以A；
（2）因为sinB：sinC＝3：5，所以由正弦定理得b：c＝3：5，设b＝3k，c＝5k（k＞0），
因为，A，所以由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA，得19＝（3k）2+（5k）2﹣2 3k 5k cos，
化简得：19k2＝19，所以k＝1，所以b＝3×1＝3，
所以，
（3）由余弦定理：，
，
因为A，所以，；
所以sin（C﹣2A）＝sinCcos2A﹣cosCsin2A．
9．（2025春 重庆校级月考）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，过△ABC内一点M的直线l与直线AB交于D，记与夹角为θ．
（1）已知，
（i）若H为△ABC的垂心，．求的值；
（ii）M为△ABC的重心，b＝c＝1，θ＝30°，求；
（2）请用向量方法探究θ与△ABC的边和角之间的等量关系ccosθ＝acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）是否成立？
【解答】（1）（i）由，
结合正弦定理角化边可得：，
所以，
由B为三角形内角，所以，
又H为△ABC的垂心，所以，
所以，
所以；
（ii）因为b＝c＝1，由（i）可知，
由M为△ABC的重心，得，
则，
在△ADM中，由正弦定理，得，
由b＝c＝1，得AM平分∠BAC，又θ＝30°，
所以
；
（2）直线l与△ABC的边AC相交于点E，如图，
由，得，即，
又，
，
，
因此，
所以ccosθ＝acos（B﹣θ）+bcos（A+θ）．
10．（2025春 富阳区校级月考）如图，在△ABC中，AC＝2，，且AC⊥BC．M、N为线段AB上的两个动点（N在M的右侧），且∠MCN＝30°．
（1）若AM＝1时，求△MNC的周长；
（2）若△MNC的面积是△CMA的面积的倍，求∠ACM的大小；
（3）当∠ACM为何值时，△MNC的面积最小，最小面积是多少？
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，，
因为0°＜B＜90°，所以B＝30°，A＝60°，
所以AB＝2AC＝4，
在△ACM中，由余弦定理得，CM2＝AC2+AM2﹣2AC AM cosA，
所以，
所以AC2＝AM2+CM2，即CM⊥AM，
在Rt△CMN中，MN＝CMtan∠MCN1，
所以CN＝2MN＝2，
故△MNC的周长为．
（2）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），
因为△MNC的面积是△CMA的面积的倍，
所以，即①，
在△CAN中，∠ANC＝180°﹣（60°+30°+θ）＝90°﹣θ，
由正弦定理知，，
所以，即②，
由①②得，2sinθ，
所以，即sin2θ＝1，
因为0°＜2θ＜120°，所以2θ＝90°，即θ＝45°，
故∠ACM＝45°．
（3）由（2）知，
在△ACM中，由正弦定理知，，
所以，即，
所以
，
当且仅当2θ+60°＝90°，即θ＝15°时，△MNC的面积取得最小值．
11．（2025春 浦东新区期末）已知复数z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m﹣14）i，m∈R．
（1）当z是虚数时，求m的值；
（2）当z对应的点在第四象限时，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m﹣14）i，
且z是虚数时，可得m2﹣5m﹣14≠0，解得m≠﹣2且m≠7；
（2）由z对应的点在第四象限，得，解得﹣2＜m＜3或5＜m＜7．
∴m的取值范围是（﹣2，3）∪（5，7）．
12．（2025春 广东校级月考）已知复数z1＝2﹣i，z2＝a+4i（a∈R），且z1z2是实数．
（1）求；
（2）在复平面内，复数对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）已知z1＝2﹣i，z2＝a+4i（a∈R），
则z1z2＝（2﹣i）（a+4i）＝（2a+4）+（8﹣a）i，
由z1z2是实数，得8﹣a＝0，解得a＝8．
∴z2＝8+4i，则；
（2）由（1）知z2＝8+4i，
∴8+4i+（m2﹣12m+16）i＝8+（m2﹣12m+20）i，
∵复数对应的点在第四象限，
∴m2﹣12m+20＝（m﹣2）（m﹣10）＜0，
解得2＜m＜10，
故实数m的取值范围为（2，10）．
13．（2025春 浦东新区校级期末）已知复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i，其中m∈R．
（Ⅰ）若z是实数，求实数m的值；
（Ⅱ）若z是纯虚数，求实数m的值；
（Ⅲ）若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
【解答】解：复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i，其中m∈R．
（Ⅰ）若z是实数，则m2﹣3m＝0，解得m＝0或m＝3；
（Ⅱ）若z是纯虚数，则，解得m＝2；
（Ⅲ）若z在复平面内对应的点在第四象限，则，解得0＜m＜2，
故实数m的取值范围为（0，2）．
14．（2025春 清远期中）已知复数z在复平面上对应点在第四象限，且，z2的虚部为﹣2．
（1）求复数z；
（2）设复数z、、z2在复平面上对应点分别为A、B、C，求的值．
【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），
则z2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，
，z2的虚部为﹣2．
则，解得或，
复数z在复平面上对应点在第四象限，
则z＝1﹣i；
（2）z＝1﹣i，，z2＝﹣2i，
复数z、、z2在复平面上对应点分别为A、B、C，
则A（1，﹣1），B（1，1），C（0，﹣2），
，，
故2．
15．（2025 五华区校级模拟）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，2AB＝CD＝2，PD＝AD＝3，E为棱PD上靠近点P的三等分点．
（1）证明：直线PB∥平面AEC；
（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：连接BD，设BD∩AC＝F，连接EF，
因为2AB＝CD＝2，所以，
又因为E为棱PD上靠近点P的三等分点，即，
可得EF∥PB，且EF 平面AEC，PB 平面AEC，
所以PB∥平面AEC；
（2）解：因为PD⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，2AB＝CD＝2，PD＝AD＝3，
以D为坐标原点，以DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，3），E（0，0，2），B（3，1，0），
可得（0，﹣2，2），（﹣3，1，0），（0，﹣2，3），
设平面PBC的法向量为（x，y，z），
则，即，
令y＝3，则（1，3，2），
所以 1×0+3×（﹣2）+2×2＝﹣2，||，||2，
所以cos，，
设直线CE与平面PBC所成角为θ，
则sinθ＝|cos，|，
所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值为．
16．（2025 山西模拟）如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD，AC＝AD＝BC＝BD，BC＝2AB，点E，F，G分别在棱BC，AC，AD上运动，且AB∥平面EFG，CD∥平面EFG，M，N分别是线段CD和AB的中点．
（1）证明：直线MN⊥平面EFG；
（2）当三角形EFG面积的最大值为时，求三棱锥A﹣BCD的体积．
【解答】解：（1）证明：因为AB∥平面EFG，AB 平面ABC，
又平面ABC∩平面EFG＝EF，
所以AB∥EF，同理CD∥FG，
连接AM，BM，
因为AC＝AD＝BC＝BD，所以△ACD≌△BCD，
又M，N分别是线段CD和AB的中点，
所以AM＝BM，所以MN⊥AB，所以MN⊥EF，
又AM⊥CD，BM⊥CD，AM∩BM＝M，
所以CD⊥平面AMB，
所以CD⊥MN，所以FG⊥MN，EF∩FG＝F，
所以MN⊥平面EFG；
（2）由（1）及已知可得，因为，，
所以，又因为AB＝CD，所以EF+FG＝AB，
又因为CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB，
所以CD⊥EF，所以FG⊥EF，
所以，当且仅当EF＝FG时等号成立，
所以AB＝2，又BC＝2AB，则AC＝AD＝BC＝BD＝4，
因为CD⊥平面AMB，所以，
因为，所以，
所以．
17．（2025 河南模拟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC∥AD，CD⊥AC，AB⊥BC，AB＝BC＝1，AD＝AA1，M为AA1的中点．
（1）证明：AC1⊥平面MCD；
（2）求平面MB1C与平面ABCD的夹角的余弦值．
【解答】（1）证明：由题可知CC1⊥CD，又CD⊥AC，AC∩CC1＝C，且CC1，AC 平面ACC1，
故CD⊥平面ACC1，
又AC1 平面ACC1，故CD⊥AC1，
由题可知，AD＝AA1＝2，则AM＝1，
因为，所以△MAC∽△ACC1，
所以∠C1AC＝∠CMA，
又，所以，即AC1⊥MC，
又MC∩CD＝C，MC，CD 平面MCD，
故AC1⊥平面MCD；
（2）解：以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则M（0，0，1），C（1，1，0），B1（1，0，2），所以，．
设平面MB1C的一个法向量为，
则，即，
取x＝﹣1，则，
易知平面ABCD的一个法向量为，
可得 0×（﹣1）+0×2+1×1＝1，||＝1，||，
所以cos，，
设平面MB1C与平面ABCD的夹角为θ，
则cosθ＝|cos，|．
即平面MB1C与平面ABCD的夹角的余弦值为．
18．（2025 保山校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BB1＝2，BC＝2．D，E分别是棱AC、CC1的中点，点F在线段A1E上．
（Ⅰ）若，求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）若三棱锥F﹣ABD的体积为，求直线BF与平面AA1C1C所成角的正切值．
【解答】解：（I）证明：如图，连接C1F，
∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥CC1，∴∠AA1F＝∠C1EF．
又AA1＝2C1E，A1F＝2FE，
∴△AA1F∽△C1EF，
∴∠AFA1＝∠C1FE，即A，F，C1三点共线，
∵点D，E分别是棱AC、CC1的中点，
∴DE是的中位线，
∴AF∥DE，又DE 平面BDE，AF 平面BDE，
∴AF∥平面BDE．
（Ⅱ）过点B作BH⊥AC，垂足为点H，连接FH，FB，
∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又BH 平面ABC，
∴AA1⊥BH，又BH⊥AC，AA1∩AC＝A，
∴BH⊥平面AA1C1C，
∴FH是斜线FB在平面AA1C1C上的射影，
∴∠BFH就是直线BF与平面AA1C1C所成角．
设点F到平面ABC的距离为h，
则，得．
∴F为A1E的中点，即．
在中，，AH＝ABcos60°＝1，HD＝AD﹣AH＝1．
∴，∴，
∴直线BF与平面AA1C1C所成角的正切值为．
19．（2025 儋州校级模拟）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC＝2A1C1＝4，BC＝2⊥平面ABC，AB⊥BC，D为AB的中点．
（1）证明：A1B1⊥DC1．
（2）过A1，D，C1的平面把三棱台ABC﹣A1B1C1分成两部分，体积分别是V1和V2（V1＜V2），求的值．
（3）求平面CC1D和平面ABB1A1所成锐二面角的正切值．
【解答】解：（1）证明：如图1，连接AC1，得，连接BC1，
因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥BC，
又BC⊥AB，所以BC⊥平面ABB1AA1，
所以在直角梯形BCC1B1中，，，，
所以，即△ABC1是以AB为底边的等腰三角形，
D是AB的中点，所以AB⊥DC1，又AB∥A1B1，
所以A1B1⊥DC1；
（2）如图2，取BC的中点E，连接DE，C1E，可得A1C1∥DE，
所以过A1，C1，D的平面把棱台分成斜棱柱DBE﹣A1B1C1和几何体ADECC1A1，
由题意得，
，
因为，
所以V1＝4，，
故；
（3）如图3，取A1B1的中点F，连接C1F，DF，则DF是平面DCC1和平面ABB1A1所成二面角的棱，
由于BC⊥平面ABB1A1，过B作FD延长线的垂线，垂足为G，连接CG，
易证得∠BGC 为所求的角，
延长AA1和BB1交于点O，过A作FD的垂线，垂足为H，如图4，易得AO＝8，，
，所以，
即平面CC1D和平面ABB1A1所成锐二面角的正切值为．
20．（2025 贵阳校级模拟）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面ABCD，AA1＝A1D，底面ABCD为菱形，，G，E，F分别为AB1，BC，CD的中点．
（1）证明：GE∥平面AD1F；
（2）若AB＝2，tan∠A1AD＝2，求三棱锥D1﹣AFD的表面积．
【解答】解：（1）证明：如图，连接B1D1，BD，设A1D∩AD1＝H，连接HG，HF，EF，
因为几何体ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，
所以四边形ADD1A1是平行四边形，四边形BDD1B1是平行四边形，
所以H是AD1的中点，BD∥B1D1，BD＝B1D1，
因为G，E，F分别为AB1，BC，CD的中点，
所以GH∥B1D1，，EF∥BD，，
所以GH∥EF，GH＝EF，
所以四边形GHFE是平行四边形，所以FH∥GE，
因为FH 平面AD1F，GE 平面AD1F，
所以GE∥平面AD1F；
（2）设O是AD的中点，连接A1O，过D1作D1P∥A1O，D1P交AD的延长线于点P，连接PF，易知A1D1∥OP，
所以四边形A1D1PO为平行四边形，所以DP＝1，D1P＝A1O，
因为AA1＝A1D，所以A1O⊥AD，
因为平面AA1D1D⊥平面ABCD，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，
所以A1O⊥平面ABCD，所以D1P⊥平面ABCD，所以D1P⊥PD，D1P⊥PF，
又，
所以A1O＝2，所以D1P＝2，
所以，
易知DP＝DF＝1，，所以△PDF是边长为1的正三角形，即PF＝1，
在Rt△D1PF中，，
在Rt△D1PA中，，
在Rt△D1PD中，，
在△ADF中，，
，
，
在△D1AF中，，
所以，
所以，
所以三棱锥D1﹣AFD的表面积为．
21．（2025 武汉模拟）如图，直角梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，BC＝8，AD＝9，，点E为线段BC不在端点上的一点，过E作AB的平行线交AD于F，将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直，得到六面体ABCDEF．
（1）若CF⊥BD，求BE的长；
（2）求异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值．
【解答】解：（1）连接DE，平面ABEF⊥平面ECDF，交线为EF，
由BE⊥EF，得BE⊥平面ECDF，
∵CF 平面ECDF，∴BE⊥CF，
∵CF⊥BD，BE∩BD＝B，∴CF⊥平面BDE，
又DE 平面BDE，∴CF⊥DE，
此时△FEC与△DFE相似，∴DF EC＝EF2，
设BE＝t（0＜t＜8），
由（9﹣t）（8﹣t）＝12，解得t＝5，∴BE＝5．
（2）过C作EF的平行线交DF于点G，连接AG，
由CG∥EF∥BA，且CG＝EF＝BA，
得四边形CGAB是平行四边形，∴BC∥AG，
∴∠DAG是异面直线BC与AD所成角，
设BE＝t（0＜t＜8），
tan∠DAG＝tan（∠DAF﹣∠GAF）
，
当且仅当t，即t＝6时取等号，
∴锐角∠DAG正切值的最大值为，此时余弦值有最小值，
∴异面直线BC与AD所成角余弦值的最小值为．
22．（2025 浦东新区校级模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；
（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．
【解答】证明：（1）连接AC，CD1，
∵底面ABCD为正方形，Q是BD中点，
∴Q是AC中点，又P是AD1中点，∴PQ∥CD1，
∵CD1 平面D1DCC1，PQ 平面D1DCC1，
∴PQ∥平面D1DCC1．
解：（2）取A1D1中点F，连接FP，FE，FC，
设正方体棱长为a．
∴FP，∴，∴．
故四边形FPDE是平行四边形，∴FE∥DP
∴∠FEC或其补角中的锐角或直角为异面直线CE和DP所成角．
在．
∴异面直线CE和DP所成角的余弦值为．
23．（2025 山西模拟）某校举办了“生活常识”知识竞赛，随机抽取了400名学生的成绩（分数均在[40，100]内），将所得数据分成六组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求m的值，并求出分数在区间[70，90）内的学生人数；
（2）估计这400名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．
【解答】解：（1）根据概率和为1可得：（0.005+0.01+0.02+0.03+m+0.01）×10＝1，
解得m＝0.025，
分数在区间[70，90）内的学生人数为400×（0.03+0.025）×10＝220（人）；
（2）频率分布直方图可知，
400名学生成绩的平均数为（45×0.005+55×0.01+65×0.02+75×0.03+85×0.025+95×0.01）×10＝74．
24．（2025春 静安区期末）第从某学校随机抽取100名学生作为样本进行学生体重分布情况调查．得到频数分布表（体重单位：kg）（假设在每一区间内，体重数据均匀分布，用区间中点值估计区间内含有的数据）
分组 [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90]
频数 5 25 40 20 10
（1）估计样本的中位数；
（2）从样本区间[60，70）和[70，80）中按分层抽样抽取6名学生，再从这6人中随机抽取3人，求其中2人体重在[60，70），1人体重在[70，80）的概率．
【解答】解：（1）因为前几组的频率依次为0.05，0.25，0.4，
所以估计样本的中位数为65；
（2）因为[60，70）和[70，80）的频率之比为4：2，
所以在[60，70）中抽取4人，在[70，80）中抽取2人，
所以再从这6人中随机抽取3人，
则其中2人体重在[60，70），1人体重在[70，80）的概率为．
25．（2025 景德镇模拟）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如表．
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
频数 10 11 22 30 20 7
记这100块稻田亩产量的平均值的估计值为，标准差的估计值为s．（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（1）求，s2；
（2）判断该新型水稻能否推广种植（在这100块稻田中，若超过90块稻田的亩产量在，）内，则认为该新型水稻能推广种植）．
【解答】解：（1）由频数分布表可得1125+7×1175）＝1055kg，
所以s2＝100×[10×（925﹣1055）2+11×（975﹣1055）2+22×（1025﹣1055）2+30×（1075﹣1055）2+20×（1125﹣1055）2+7×（1175﹣1055）2]＝4700；
（2）因为，
所以，，
所以，
因为亩产量在[900，950）内的稻田有10块，所以亩产量在（950，1160）内的稻田不超过90块，
即亩产量在内的稻田不超过90块，
故该新型水稻不能推广种植．
26．（2025春 虹口区期末）某校为了解学生的身高情况，从高一、高二、高三三个年级中采用分层抽样的方法抽取了100名学生进行调查，其中高一、高二、高三的学生人数之比为4：3：3．
（1）求从高一、高二、高三各年级抽取的学生人数；
（2）从抽取的100名学生中随机选取2人协助工作人员调查，求这2人来自不同年级的概率（用最简分数表示）；
（3）经过调查，抽取的高二学生身高的平均数为171（cm），方差为60，其中被抽中的小李身高是188（cm），试求除去小李后其余被抽中的高二学生身高的平均数与方差（结果精确到0.1）．
【解答】解：（1）采用分层抽样的方法抽取了100名学生进行调查，其中高一、高二、高三的学生人数之比为4：3：3，
所以从高一年级抽取的学生人数为10040人，
从高二年级抽取的学生人数为10030人，
从高三年级抽取的学生人数为10030人．
（2）从抽取的100名学生中随机选取2人协助工作人员调查，
这2人来自相同年级的概率为，
故这2人来自不同年级的概率为1．
（3）设从高二学生中抽出的30人的身高分别为x1，x2， ，x30，
由题意知，这30人身高的平均数为171，方程为s2＝60，
设小李的身高为x30＝188，
则除去小李后其余被抽中的29位高二学生的身高平均数为170.4，
方差为
51.8．
27．（2025 郴州模拟）已知某班一共有n个学生，男生比女生多9人，采用分层抽样的方法从中抽取5名学生志愿者参加植树节活动，若抽取的样本中男生有3人，女生有2人．
（1）该班一共有多少人？
（2）从抽取的5名学生志愿者中再随机抽取2名同学承担浇灌任务．设M为事件“抽取的2名同学均为男生”，求事件M发生的概率．
【解答】解：（1）根据题意，因为抽取5名同学中男生和女生的比例为3：2，
则该班中男生人数为，女生人数为
因为男生比女生多9人，所以人，
解得n＝45人．
（2）根据题意，抽取的样本中男生有3人，女生有2人．
设抽取的3名男生分别记为A，B，C，抽取的两名女生分别记为a，b，
从抽取的5名同学中抽取2名同学的所有可能结果为：
{A，B}，{A，C}，{B，C}，{A，a}，{A，b}，{B，a}，{B，b}，{C，a}，{C，b}，{a，b}共10个．
M为事件“抽取的2名同学均为男生”，则事件M包含的基本事件有：
{A，B}，{A，C}，{B，C}，共3个基本事件，
∴事件M发生的概率．
28．（2025春 静安区期末）质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为1、2、3、4、5、6．
（1）抛掷一次骰子，求点数是偶数的概率；
（2）抛掷两次骰子，设事件A为第一次的点数为4，事件B为两次点数和为6，事件C为两次点数和为7．分别判断事件A和B是否独立？事件A和C是否独立？
【解答】解：（1）质地均匀的正方体骰子，六个面上点数分别为1、2、3、4、5、6．
抛掷一次骰子点数是偶数的概率是；
（2）抛掷两次骰子，设事件A为第一次的点数为4，事件B为两次点数和为6，事件C为两次点数和为7，
则P（A），6＝1+5＝2+4＝3+3，∴P（B），
7＝1+6＝2+5＝3+4，∴P（C），
第一次点数为4，则第二次点数只可能为2时，两次点数才会是6，
∴P（A∩B），P（A） P（B），∴事件A和B不独立，
第一次点数为4，则第二次点数只可能为3时，两次点数才会是7，∴P（A∩C），
P（A∩C）＝ P（A） P（C），∴事件A和C独立．
29．（2025 大武口区校级四模）现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（三局两胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的．
（1）求甲在比赛中获胜的概率；
（2）求比赛需打两局的概率；
（3）已知甲在第一局比赛中获胜，求甲在比赛中获胜的概率．
【解答】解（1）根据题意，若甲在比赛中获胜，
则甲可以前两局获胜，也可以打三局，最后一句甲胜前两局甲赢一局，
故甲在比赛中获胜的概率P1；
（2）根据题意，比赛需打两局，即比赛两局结束，故这两局甲全赢或乙全赢，
故比赛需打两局的概率P2；
（3）根据题意，记事件A：甲在第一局中获胜，事件B：甲赢得比赛，
则，P（A），
故．
30．（2025春 中牟县期末）不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为中1，2，3，白球编号为4，5．
（1）现从盒子里随机取出2个小球，记事件A＝“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件B＝“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为n”，当n＝5时，分别求事件A，B的概率；
（2）某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签．
游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜；
游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜；
游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为n时获胜．
小明同学决定先玩游戏一，当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？
【解答】解：（1）对于事件A，有放回地依次取出两个球的样本空间Ω1＝{（x，y）|x，y∈{1，2，3，4，5}}，
则n（Ω1）＝25，因为A＝{（4，4），（4，5），（5，4），（5，5）}，所以n（A）＝4，
所以．
对于事件B，不放回地依次取出取出两个球的样本空间：
Ω2＝{（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（1，4），（4，1），（1，5），（5，1），（2，3），（3，2），（2，4），（4，2），（2，5），（5，2），（3，4），（4，3），（3，5），（5，3），（4，5），（5，4）}，
则n（Ω2）＝20，因为B＝{（1，4），（4，1），（2，3），（3，2）}，所以n（B）＝4，
所以．
（2）设M＝“先玩游戏二时，获得书签”，N＝“先玩游戏三时，获得书签”，
记事件C＝“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，
C的样本空间为Ω3＝{1，2，3，4，5}，则n（Ω3）＝5，C＝{4，5}，n（C）＝2，
所以．
则，，CAB，AB互斥，A，B，C相互独立，
所以）＝P
＝P（C）P（A）[1﹣P（B）]+P（A）P（B）P（C）+[1．
同理，，因为P（N）＞P（M），所以，．
结合（1）知，n＝5，6，7对应的P（B）均为，大于，满足题意；
n＝3，4，8，9对应的P（B）均为，小于，不满足题意，
因此，符合题意的n的取值为5，6，7．
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