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【期末专项押题卷】单选+多选题核心考点-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
一．选择题（共20小题）
1．（2025 卓尼县校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝6，S11＝99，则S13＝（　　）
A．124 B．138 C．156 D．162
2．（2025 漳州模拟）在各项均为正数的等差数列{an}中，若a6＝5，则的最小值为（　　）
A． B． C．4 D．
3．（2025 儋州校级模拟）等差数列{an}共有2n+1项，其中a1+a3+…+a2n+1＝4，a2+a4+…+a2n＝3，则n的值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
4．（2025 兰州模拟）在等比数列{an}中，a1+an＝82，a3 an﹣2＝81，且数列{an}的前n项和Sn＝121，则此数列的项数n等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2025 通许县校级模拟）已知{an}为等比数列，且a3a7＝16a5，a4+2a5＝40，记Sn为{an}的前n项和，则S6＝（　　）
A．127 B．128 C．63 D．64
6．（2025 沙市区校级模拟）若a1，a2，a3，a4，a5构成等差数列，公差d≠0，a1≠0，且其中三项构成等比数列，设a2+a3+a4+a5，则下列说法正确的是（　　）
A．k一定大于0
B．a2，a3，a5可能构成等比数列
C．若a1＝2，d∈Z，则|S|为5的倍数
D．
7．（2025 保山校级模拟）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5， ，则此数列的前35项和为（　　）
A．994 B．995 C．1003 D．1004
8．（2025春 咸阳校级月考）已知数列{an}是公比为2的等比数列，满足a6＝a2a10.设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b9＝2a7，则S17＝（　　）
A．34 B．39 C．51 D．68
9．（2025 雷州市校级模拟）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn是其前n项和，若S6＝S9，则a9＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣5
10．（2025 金川区校级三模）中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）依品递差十三石分之，问各若干？”其大意为“现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮？”在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实数a的值为（　　）
A．146 B． C． D．91
11．（2025 潍坊模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a3+a9＝24，则S6＝（　　）
A．12 B．14 C．42 D．84
12．（2025 镜湖区校级模拟）若等比数列{an}的第3项和第5项分别为48和12，则{an}的首项a1＝（　　）
A．﹣192 B．192 C．±192 D．﹣193
13．（2025春 咸阳校级月考）已知函数f（x）＝xe2﹣x，则f′（2）的值为（　　）
A．2 B．3 C．1 D．﹣1
14．（2025春 常州月考）已知曲线y＝ex+lnx在x＝1处的切线与直线x+my＝0垂直，则m的值为（　　）
A．1+e B．﹣1﹣e C． D．
15．（2025 儋州校级模拟）函数f（x）＝x2﹣alnx（a＞0）的减区间为（0，1），则实数a的值为（　　）
A．2 B． C．1 D．4
16．（2025 黄浦区校级二模）已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）
A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率
B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
17．（2025 武功县校级模拟）已知a＞0，x1，x2分别是函数f（x）＝xex﹣a与的零点，则的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．
18．（2025 谷城县校级模拟）已知定义域为R的函数f（x）关于点（0，1）对称，且f（x）+f（2﹣x）≥2x恒成立，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．f（20）＞200 B．f（19）＜180 C．f（12）＜80 D．f（11）＞240
19．（2025春 如皋市期中）已知曲线y＝axlnx在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．e D．10
20．（2025春 东莞市校级月考）已知函数f（x）＝2x+cos2x，则（　　）
A．f（e）＜f（π）＜f（3） B．f（e）＜f（3）＜f（π）
C．f（π）＜f（3）＜f（e） D．f（π）＜f（e）＜f（3）
二．多选题（共10小题）
（多选）21．（2025 商城县模拟）若将100枚硬币（均为正反两面）平放在桌面上，开始时有8枚硬币反面向上，重复执行以下操作：每次操作任选其中3枚硬币翻面（1枚硬币可重复翻面），若经过n次上述操作后，所有硬币均为反面向上，则n的值可以为（　　）
A．45 B．54 C．63 D．72
（多选）22．（2025 广东模拟）正整数数列{an}满足：|an+2﹣an|≥2|an+2﹣an+1|，则下列正确的有（　　）
A．若a1＝1，a2＝5，则a3的可能取值有6个
B．若（am+1﹣am）（am+2﹣am+1）＞0，则n＜m时，|an+1﹣an|≤|am+1﹣am|
C．若（am+1﹣am）（am+2﹣am+1）＜0，则n＞m时，|an+1﹣an|＜|am+1﹣am|
D．若{an}有最大值，则{an}从某一项开始恒为常数
（多选）23．（2025春 渝中区校级月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（　　）
A．第10行的第7个数、第10行的第8个数之和等于第11行的第8个数
B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等
C．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3
D．记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai，则
（多选）24．（2025 红河州四模）已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列，且a1+a2＝b2，a2+a3＝b3，下列选项正确的是（　　）
A．an＝2n+1 B．q＝2 C．b6＝64 D．a3+a4＝b4
（多选）25．（2025 泰安三模）已知公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1+a3＝3，a1﹣a3＝﹣1，则（　　）
A． B． C．2 D．S10＜78
（多选）26．（2025 沈河区校级模拟）已知函数f（x）＝ex（x﹣1），g（x）＝x3﹣ax2+4，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}，则（　　）
A．x1是g（x）的极值点，若g（x1）＝g（x2）（x1≠x2），则2x1+x2＝a
B．若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＜0
C．方程5f[f（x）]+4＝0有且只有一个根
D．若h（x）有三个零点，则a∈（3，5）
（多选）27．（2025 卓尼县校级模拟）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且满足xf′（x）﹣f（x）＝﹣2x3+x，f（1）＝1，则下列结论正确的有（　　）
A．f（x）＝xlnx﹣x3+4x
B．函数f（x）在上单调递减
C．函数f（x）在（4，+∞）上单调递减
D．函数f（x）的极大值为1
（多选）28．（2025 怀宁县校级模拟）灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由y＝lnx在点（1，0）处的切线y＝x﹣1写出不等式lnx≤x﹣1，进而用替换x得到一系列不等式，叠加后有这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（　　）
A．，（n≥2，n∈N*）
B．
C．
D．
（多选）29．（2025 辽宁二模）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+9x+m，则（　　）
A． a∈R，使得f（x）为单调函数
B． a∈R，f（x）的图象恒有对称中心
C．当a＝2时，f（x2）＞f（5x+4）
D．若x1，x2，x3是方程f（x）＝0的三个不同的根，则x1x2+x1x3+x2x3＝9
（多选）30．（2025 萍乡三模）设函数f（x）＝sinx+sin2x，则（　　）
A．f（x）在区间[0，2π]上有5个零点
B．f（x）在区间[0，2π]上有4个极值点
C．f（x）的图象有1条对称轴在区间[0，2π]上
D．f（x）的图象有3个对称中心在区间[0，2π]上
【期末专项押题卷】单选+多选题核心考点-2024-2025学年高二数学下学期人教A版（2019）选择性必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B A B C C B D A C C
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 B D A A D C A A B
二．多选题（共10小题）
题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 BD ACD ABD BC BCD ABD CD ABC ABD ABD
一．选择题（共20小题）
1．（2025 卓尼县校级模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝6，S11＝99，则S13＝（　　）
A．124 B．138 C．156 D．162
【解答】解：∵等差数列{an}中，，∴a6＝9．
又∵a7＝a6+a6﹣a5＝12，
∴13×12＝156．
故选：C．
2．（2025 漳州模拟）在各项均为正数的等差数列{an}中，若a6＝5，则的最小值为（　　）
A． B． C．4 D．
【解答】解：由等差数列的性质，a2+a10＝2a6＝10，
所以，
当且仅当，即a10＝a2＝5时等号成立，
所以的最小值为．
故选：B．
3．（2025 儋州校级模拟）等差数列{an}共有2n+1项，其中a1+a3+…+a2n+1＝4，a2+a4+…+a2n＝3，则n的值为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：等差数列{an}共有2n+1项，∵a1+a3+…+a2n+1＝4，a2+a4+…+a2n＝3，
∴两式相减，得a1+nd＝1，
两式相加，得S2n+1＝7＝（2n+1）a1，
∴（2n+1）（a1+nd）＝7
∴（2n+1）＝7，
∴n＝3．
故选：A．
4．（2025 兰州模拟）在等比数列{an}中，a1+an＝82，a3 an﹣2＝81，且数列{an}的前n项和Sn＝121，则此数列的项数n等于（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：由等比数列的性质可得a1an＝a3 an﹣2＝81，
又a1+an＝82，
∴a1和an是方程x2﹣82x+81＝0的两根，
解方程可得x＝1或x＝81，
若等比数列{an}递增，则a1＝1，an＝81，
∵Sn＝121，∴121，
解得q＝3，∴81＝1×3n﹣1，解得n＝5；
若等比数列{an}递减，则a1＝81，an＝1，
∵Sn＝121，∴121，
解得q，∴1＝81×（）n﹣1，解得n＝5．
综上，数列的项数n等于5．
故选：B．
5．（2025 通许县校级模拟）已知{an}为等比数列，且a3a7＝16a5，a4+2a5＝40，记Sn为{an}的前n项和，则S6＝（　　）
A．127 B．128 C．63 D．64
【解答】解：{an}为等比数列，由a3a7＝16a5，得，
又a5≠0，故a5＝16，
又a4+2a5＝40，所以a4＝8，q＝2，
所以，．
故选：C．
6．（2025 沙市区校级模拟）若a1，a2，a3，a4，a5构成等差数列，公差d≠0，a1≠0，且其中三项构成等比数列，设a2+a3+a4+a5，则下列说法正确的是（　　）
A．k一定大于0
B．a2，a3，a5可能构成等比数列
C．若a1＝2，d∈Z，则|S|为5的倍数
D．
【解答】解：对于A、取a1＝﹣5d，则a2，a4，a5为等比数列，k＝﹣5＜0，故A错误；
对于B、若a2，a3，a5构成等比数列，则，
即a1d＝0，与公差d≠0，a1≠0矛盾，故B错误；
对于C、|S|＝|5a1+10d|＝|5（a1+2d）|为5的倍数，故C正确；
对于D、∵，∴，故D错误．
故选：C．
7．（2025 保山校级模拟）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n﹣1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5， ，则此数列的前35项和为（　　）
A．994 B．995 C．1003 D．1004
【解答】解：没有去掉“1”之前，第1行的和为20，第2行的和为21，第3行的和为22，
即每一行数字和构成首项为1，公比为2的等比数列，
根据等比数列求和公式可得，前n项和为，
每一行的个数为1，2，3，4，…，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，
根据等差数列的求和公式可得，前n项总个数为．
当n＝10时，T10＝55，去掉两端“1”，可得55﹣19＝36，
则去掉两端“1”后此数列的前36项和为，
所以第36项为第10行去掉“1”后的最后一个数为9，
所以该数列的前35项和为1004﹣9＝995．
故选：B．
8．（2025春 咸阳校级月考）已知数列{an}是公比为2的等比数列，满足a6＝a2a10.设等差数列{bn}的前n项和为Sn，若b9＝2a7，则S17＝（　　）
A．34 B．39 C．51 D．68
【解答】解：设数列{an}的公比为q，则q＝2．由条件有，解得；
设{bn}的公差为d，则，所以．
故选：D．
9．（2025 雷州市校级模拟）已知{an}是公差为1的等差数列，Sn是其前n项和，若S6＝S9，则a9＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣5
【解答】解：因为{an}是公差为1的等差数列，S6＝S9，
所以S9﹣S6＝a7+a8+a9＝0，
所以3a8＝0，即a8＝0，所以a9＝a8+1＝1．
故选：A．
10．（2025 金川区校级三模）中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品、从一品、正二品、从二品、正三品）依品递差十三石分之，问各若干？”其大意为“现有俸粮305石，分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问每个人各分得多少俸粮？”在这个问题中，若从二品官员的俸粮为m石，正一品官员的俸粮为n石，且m，3a，n组成新的等差数列，则实数a的值为（　　）
A．146 B． C． D．91
【解答】解：正一品、从一品、正二品、从二品、正三品官员分得的俸粮分别为n，n﹣13，n﹣26，n﹣39，n﹣52，
则n+n﹣13+n﹣26+n﹣39+n﹣52＝305，解得n＝87，
所以m＝n﹣39＝87﹣39＝48，
又因为m，3a，n构成新的等差数列，
所以6a＝n+m，解得a．
故选：C．
11．（2025 潍坊模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a3+a9＝24，则S6＝（　　）
A．12 B．14 C．42 D．84
【解答】解：根据题意，数列{an}为等差数列，a3+a9＝24，
由于a3+a9＝2a6，则a6＝12．
又由a1＝2，所以．
故选：C．
12．（2025 镜湖区校级模拟）若等比数列{an}的第3项和第5项分别为48和12，则{an}的首项a1＝（　　）
A．﹣192 B．192 C．±192 D．﹣193
【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，a3＝48，a5＝12，
又由a1a5＝（a3）2，变形可得a1＝192．
故选：B．
13．（2025春 咸阳校级月考）已知函数f（x）＝xe2﹣x，则f′（2）的值为（　　）
A．2 B．3 C．1 D．﹣1
【解答】解：由已知可得f′（x）＝e2﹣x﹣xe2﹣x＝（1﹣x）e2﹣x，
所以f′（2）＝（1﹣2） e2﹣2＝﹣1．
故选：D．
14．（2025春 常州月考）已知曲线y＝ex+lnx在x＝1处的切线与直线x+my＝0垂直，则m的值为（　　）
A．1+e B．﹣1﹣e C． D．
【解答】解：由y＝ex+lnx，得，
∴y′|x＝1＝e+1，又曲线y＝ex+lnx在x＝1处的切线与直线x+my＝0垂直，
∴，解得m＝1+e．
故选：A．
15．（2025 儋州校级模拟）函数f（x）＝x2﹣alnx（a＞0）的减区间为（0，1），则实数a的值为（　　）
A．2 B． C．1 D．4
【解答】解：，令f′（x）＜0，
解得：，
由已知有，故a＝2，
故选：A．
16．（2025 黄浦区校级二模）已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）
A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率
B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
【解答】解：对于A、B，∵f（x）在a到b之间的平均变化率是，
g（x）在a到b之间的平均变化率是，
∴，即二者相等；
∴选项A、B错误；
对于C、D，∵函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数f（x）在x＝x0处的导数，
即函数f（x）在该点处的切线的斜率，
同理函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数g（x）在x＝x0处的导数，
即函数g（x）在x＝x0处的切线的斜率，
由图形知，选项C错误，D正确．
故选：D．
17．（2025 武功县校级模拟）已知a＞0，x1，x2分别是函数f（x）＝xex﹣a与的零点，则的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：因为x1，x2分别是函数f（x）＝xex﹣a与的零点，
所以，
则，即，
又，所以﹣lnx2＞0，则．
设h（x）＝xex（x＞0），则h′（x）＝（1+x）ex＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以，
则，所以，则．
设，则，
当0＜x＜2时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，2）上单调递增，
当x＞2时，φ′（x）＜0，φ（x）在（2，+∞）上单调递减，
则，所以的最大值为．
故选：C．
18．（2025 谷城县校级模拟）已知定义域为R的函数f（x）关于点（0，1）对称，且f（x）+f（2﹣x）≥2x恒成立，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．f（20）＞200 B．f（19）＜180 C．f（12）＜80 D．f（11）＞240
【解答】解：由于函数f（x）关于点（0，1）对称，因此f（2﹣x）+f（x﹣2）＝2，
即f（2﹣x）＝2﹣f（x﹣2），又因为f（x）+f（2﹣x）≥2x，
因此f（x）+2﹣f（x﹣2）≥2x，即f（x）﹣f（x﹣2）≥2x﹣2，
对于选项AC，f（2）﹣f（0）≥4﹣2＝2，
f（4）﹣f（2）≥2×4﹣2＝6，
，
f（20）﹣f（18）≥2×20﹣2＝38，
累加得，
又因为f（0）＝1，即f（20）≥200+1＞200，所以选项A正确，
取函数f（x）＝x|x|+1，那么f（x）+f（﹣x）＝2，因此函数f（x）的图象关于（0，1）对称，
而f（x）+f（2﹣x）﹣2x＝x|x|+（2﹣x）|2﹣x|+2﹣2x，
当x≥2时，f（x）+f（2﹣x）﹣2x＝2x﹣2＞0，
当x＜0时，f（x）+f（2﹣x）﹣2x＝﹣6x+6＞0，
当0≤x＜2时，，
故此时f（x）+f（2﹣x）﹣2x＞0恒成立，故f（x）+f（2﹣x）＞2x，
而f（12）＝12×12+1＝145＞80，f（19）＝192+1＝362＞180，
f（11）＝112+1＝122＜240，故BCD错误．
故选：A．
19．（2025春 如皋市期中）已知曲线y＝axlnx在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．e D．10
【解答】解：因为y＝f（x）＝axlnx，所以f′（x）＝a（lnx+1），
又曲线y＝axlnx在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1，
所以f′（1）＝a＝1．
故选：A．
20．（2025春 东莞市校级月考）已知函数f（x）＝2x+cos2x，则（　　）
A．f（e）＜f（π）＜f（3） B．f（e）＜f（3）＜f（π）
C．f（π）＜f（3）＜f（e） D．f（π）＜f（e）＜f（3）
【解答】解：由f（x）＝2x+cos2x求导，f'（x）＝2﹣2sin2x＝2（1﹣sin2x），
因对于x∈R，都有sin2x≤1成立，故f'（x）≥0，
即函数f（x）＝2x+cos2x在R上恒为增函数，又e＜3＜π，
故f（e）＜f（3）＜f（π）．
故选：B．
二．多选题（共10小题）
（多选）21．（2025 商城县模拟）若将100枚硬币（均为正反两面）平放在桌面上，开始时有8枚硬币反面向上，重复执行以下操作：每次操作任选其中3枚硬币翻面（1枚硬币可重复翻面），若经过n次上述操作后，所有硬币均为反面向上，则n的值可以为（　　）
A．45 B．54 C．63 D．72
【解答】解：因为开始时100枚硬币中，有8枚硬币反面向上，
所以将92个正面向上的硬币编号为1，2，…，92，通过30次操作可将编号1～90的硬币翻至反面向上，
第31次操作时将编号为91（或92）以及任意另外两枚反面向上的硬币翻面，
则此时恰有3枚硬币正面向上，第32次操作时将3枚正面向上硬币翻面，即可保证所有硬币均为反面向上．
因此，要使100枚硬币均为反面向上，至少需要进行32次操作．
当所有硬币反面向上后，若将其中3枚硬币连续进行两次操作，所有硬币仍反面向上．
因此，若要保证所有硬币反面向上，操作的次数必然为偶数次，结合选项可得BD符合题意．
故选：BD．
（多选）22．（2025 广东模拟）正整数数列{an}满足：|an+2﹣an|≥2|an+2﹣an+1|，则下列正确的有（　　）
A．若a1＝1，a2＝5，则a3的可能取值有6个
B．若（am+1﹣am）（am+2﹣am+1）＞0，则n＜m时，|an+1﹣an|≤|am+1﹣am|
C．若（am+1﹣am）（am+2﹣am+1）＜0，则n＞m时，|an+1﹣an|＜|am+1﹣am|
D．若{an}有最大值，则{an}从某一项开始恒为常数
【解答】解：我们把绝对值理解为距离，把数列画在数轴上，
如图：
其中AM＝2BM，AB＝BN，点an+2只能落在MN上，也就是会更靠近an+1，
A选项，a1＝1，a2＝5时，设M，N表示的数分别为m，n，
则m﹣1＝2（5﹣m），m﹣5＝5﹣1，解得，n＝9，a3可能取4，5，6，7，8，9，共6个可能，A正确；
B选项，当an+2的变化方向与an+1相同时，每次都至多增大|an+1﹣an|，
这就是说：若（am+1﹣am）（am+2﹣am+1）＞0，
则n＜m时，|an+1﹣an|≥|am+1﹣am|B错误；
C选项，当an+2的变化方向与an+1相反时，至多变化，
此后每次an变化，若方向相同，结合B可知，则至多变化，若方向相反，
则变化的“步长”会一直严格减小，
这就是说：若（am+1﹣am）（am+2﹣am+1）＜0，则n＞m时，|an+1﹣an|＜|am+1﹣am|，C正确；
D选项，由于{an}变化过程中，左右两侧都有边界，
若某次an停下，即|an+1﹣an|＝0，可知此后{an}恒为常数；
若an一直不停下，由于其左右两侧都有边界，an的变化方向必须一直改变，
而由选项C，只要变化方向改变，变化的“步长”就会一直严格减小，最后永远停下，D正确．
故选：ACD．
（多选）23．（2025春 渝中区校级月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（　　）
A．第10行的第7个数、第10行的第8个数之和等于第11行的第8个数
B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等
C．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3
D．记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai，则
【解答】解：对于A，“杨辉三角”中，第n行的第m个数对应的组合数是，
第10行的第7个数，对应组合数为；
第10行的第8个数，对应组合数为，
第11行的第8个数，对应组合数为，
因为．所以第10行的第7个数、第10行的第8个数之和等于第11行的第8个数，A选项正确．
对于B，因图中第2023行是二项式（a+b）2023的展开式的二项式系数，
故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，因，故B正确；
对于C，图中第34行是（a+b）34的展开式的二项式系数，
所以第15个数与第16个数之比为：，故C错误；
对于D，因“杨辉三角”第n行是二项式（a+b）n的展开式的二项式系数，
则，于是，
，故D正确．
故选：ABD．
（多选）24．（2025 红河州四模）已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}是公比为q的等比数列，且a1+a2＝b2，a2+a3＝b3，下列选项正确的是（　　）
A．an＝2n+1 B．q＝2 C．b6＝64 D．a3+a4＝b4
【解答】解：由数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，得an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，故A错误；
由a1+a2＝b2，a2+a3＝b3，可得b2＝4，b3＝8，则q，故B正确；
，故C正确；
a3+a4＝5+7＝12，b4＝b3q＝8×2＝16，故D错误．
故选：BC．
（多选）25．（2025 泰安三模）已知公比为q（q＞0）的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1+a3＝3，a1﹣a3＝﹣1，则（　　）
A． B． C．2 D．S10＜78
【解答】解：由，得，
所以q22，解得q或q（舍去），
故选项A错误，选项B正确；
a4＝a1q3＝（）3＝2，选项C正确；
S1031（1）＜31×2.5＝77.5＜78，选项D正确．
故选：BCD．
（多选）26．（2025 沈河区校级模拟）已知函数f（x）＝ex（x﹣1），g（x）＝x3﹣ax2+4，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）＝min{f（x），g（x）}，则（　　）
A．x1是g（x）的极值点，若g（x1）＝g（x2）（x1≠x2），则2x1+x2＝a
B．若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＜0
C．方程5f[f（x）]+4＝0有且只有一个根
D．若h（x）有三个零点，则a∈（3，5）
【解答】解：对于A，g'（x）＝3x2﹣2ax＝3x（x），故g（x）的两个极值点分别为x＝0和x，
若x1＝0，由g（x2）＝g（x1）＝4（x1≠x2），
得a0且x2≠0，得x2＝a，此时满足2x1+x2＝a，
若x1，由g（x2）＝g（x1）（x1≠x2），
可得0，解得x2，此时满足2x1+x2＝a，故A正确；
对于B，f（x）＝ex（x﹣1），f'（x）＝exx，
x＜0时，f'（x）＜0，x＞0时，f'（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，
因为f（x1）＝f（x2），所以x1＜0＜x2，
设F（x）＝f（x）﹣f（﹣x），
则F'（x）＝f'（x）+f'（﹣x）＝exx+e﹣x（﹣x）＝x（ex﹣e﹣x），
当x＞0时，F'（x）＞0，所以F（x）在（0，+∞）上递增，
所以F（x2）＝f（x2）﹣f（﹣x2）＞F（0）＝0，
所以f（x2）＞f（﹣x2），又f（x1）＝f（x2），所以f（x1）＞f（﹣x2），
因为x1＜0，﹣x2＜0，f（x）在（﹣∞，0）上递减，所以x1＜﹣x2，
即x1+x2＜0，故B正确；
对于C，令f（x）＝t，则方程5f[f（x）]+4＝0化为5f（t）+4＝0，即f（t），
由B选项分析知，f（x）大致图象如下，
故f（t）有两解t1和t2，其中t1＜0，1＞t2＞0，
因为f（﹣1），所以由f（x）在（﹣∞，0）上递减，可知﹣1＜t1＜0，
故t1＝f（x）有两解，t2＝f（x）有1解，原方程5f[f（x）]+4＝0有3解，故C错误；
对于D，由A选项分析知，g'（x）＝3x2﹣2ax＝3x（x），g（x）的两个极值点分别为x＝0和x，
显然，若a＝0，则g（x）有1个零点，由C选项知f（x）有1个零点，则h（x）＝min{f（x），g（x）}不可能有3个零点，舍去；
若a＜0，则g（x）在（﹣∞，）上递增，（，0）上递减，在（0，+∞）上递增，
因为g（0）＝4＞0，所以g（x）有1个零点，则h（x）＝min{f（x），g（x）}不可能有3个零点，舍去；
若a＞0，则g（x）在（﹣∞，0）上递增，（0，）上递减，在（，+∞）上递增，
为使h（x）＝min{f（x），g（x）}有3个零点，需f（x）、g（x）的图象如下，
由图象可得a需满足，解得3＜a＜5，故D正确．
故选：ABD．
（多选）27．（2025 卓尼县校级模拟）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且满足xf′（x）﹣f（x）＝﹣2x3+x，f（1）＝1，则下列结论正确的有（　　）
A．f（x）＝xlnx﹣x3+4x
B．函数f（x）在上单调递减
C．函数f（x）在（4，+∞）上单调递减
D．函数f（x）的极大值为1
【解答】解：对于A，设，
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且xf′（x）﹣f（x）＝﹣2x3+x，
∴，
∴g（x）＝lnx﹣x2+a，
∴f（x）＝xg（x）＝xlnx﹣x3+ax，又∵f（1）＝1，即0﹣13+a＝1，
解得a＝2，∴f（x）＝xlnx﹣x3+2x，故A不正确．
对于B，∵f（x）＝xlnx﹣x3+2x，∴f′（x）＝lnx﹣3x2+3．
设h（x）＝f′（x）＝lnx﹣3x2+3，则，
当时，h′（x）＞0，h（x）在单调递增；
当时，h′（x）＜0，h（x）在单调递减，
∴h（x）在处取得最大值．
∵，
∵，
∴在上f′（x）＞0，∴函数f（x）在上单调递增，故B错误．
对于CD，又∵h（e﹣3）＝﹣3e﹣6＜0，∴，使得h（x0）＝0，又∵h（1）＝0，
∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在（0，x0）单调递减；
当x∈（x0，1）时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在（x0，1）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）单调递减；
∴当x＝1时，f（x）取得极大值f（1）＝1，故C，D正确．
故选：CD．
（多选）28．（2025 怀宁县校级模拟）灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由y＝lnx在点（1，0）处的切线y＝x﹣1写出不等式lnx≤x﹣1，进而用替换x得到一系列不等式，叠加后有这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（　　）
A．，（n≥2，n∈N*）
B．
C．
D．
【解答】解：令f（x）＝x﹣1﹣lnx，则，
易得f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）＝x﹣1﹣lnx≥f（1）＝0，
所以lnx≤x﹣1，
所以ln（1﹣x）≤1﹣x﹣1＝﹣x，x＜1，
所以，
所以，故A正确；
所以，
其中ln2﹣ln1+ln3﹣ln2+ +lnn﹣ln（n﹣1）＝lnn﹣ln1＝lnn，
所以，故B正确；
C选项：将lnx≤x﹣1中的x替换为，显然，
则，
故，
当n≥2时，，故成立；
当n＝1时，显然成立，
故，故C正确；
D选项：将lnx≤x﹣1中的x替换为，其中，n∈N*且n≥2，则，
则，故，
则，又，故D错误．
故选：ABC．
（多选）29．（2025 辽宁二模）已知函数f（x）＝x3﹣3ax2+9x+m，则（　　）
A． a∈R，使得f（x）为单调函数
B． a∈R，f（x）的图象恒有对称中心
C．当a＝2时，f（x2）＞f（5x+4）
D．若x1，x2，x3是方程f（x）＝0的三个不同的根，则x1x2+x1x3+x2x3＝9
【解答】解：A：由题设f′（x）＝3x2﹣6ax+9＝3（x2﹣2ax+3），
要使f（x）为单调函数，只需x2﹣2ax+3≥0恒成立，即Δ＝4a2﹣12≤0，得，对；
B：对于f（x）＝x3﹣3ax2+9x+m＝（x﹣a）3+（9﹣3a2）（x﹣a）+m+9a﹣2a3，
所以f（x）+f（2a﹣x）＝2（m+9a﹣2a3），即f（x）恒关于点（a，m+9a﹣2a3）对称，对；
C：当a＝2时，f（x）＝x3﹣6x2+9x+m，若x＝0，f（0）＝m＜f（5x+4）＝f（4）＝4+m，错；
D：由题设，
又f（x）＝x3﹣3ax2+9x+m，则x1x2+x1x3+x2x3＝9，对．
故选：ABD．
（多选）30．（2025 萍乡三模）设函数f（x）＝sinx+sin2x，则（　　）
A．f（x）在区间[0，2π]上有5个零点
B．f（x）在区间[0，2π]上有4个极值点
C．f（x）的图象有1条对称轴在区间[0，2π]上
D．f（x）的图象有3个对称中心在区间[0，2π]上
【解答】解：对于选项A，由f（x）＝sinx+sin2x＝sinx+2sinxcosx＝0，
可得sinx＝0或，又x∈[0，2π]，
所以x＝0或或x＝π或，或x＝2π，故A正确；
对于B，由f（x）＝sinx+sin2x，可得f'（x）＝cosx+2cos2x＝cosx+4cos2x﹣2，
令f′（x）＝0，即cosx+4cos2x﹣2＝0，因为，
又x∈[0，2π]，故有4个解，
结合二次函数知识可得在每个解的左右两边导数符号不同，
所以函数f（x）在区间[0，2π]上有4个极值点，故B正确；
对于C，由B可知，由余弦函数的图象可得函数的极值点关于x＝kπ，k∈Z对称，
又f（﹣x）＝sin（﹣x）+sin2（﹣x）＝﹣sinx﹣sin2x＝﹣f（x），所以函数f（x）关于原点对称，
又f（2π﹣x）＝sin（2π﹣x）+sin2（2π﹣x）＝﹣sinx﹣sin2x＝﹣f（x），所以函数f（x）关于（π，0）对称，
又f（4π﹣x）＝sin（4π﹣x）+sin2（4π﹣x）＝﹣sinx﹣sin2x＝﹣f（x），所以函数f（x）关于（2π，0）对称，
又f（2π+x）＝sin（2π+x）+sin2（2π+x）＝sinx+sin2x＝f（x），可得2π是函数的周期，
所以f（x）的图象在区间[0，2π]上没有对称轴，
f（x）的图象有3个对称中心在区间[0，2π]上，故C错误，故D正确．
故选：ABD．
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