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【期末专项押题卷】单选题核心考点-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一．选择题（共36小题）
1．（2025 通许县校级模拟）已知向量，满足：||，（1，2），且．若（2）⊥（t），则t＝（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
2．（2025 兴庆区校级四模）如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（　　）
A．（3，4），（2，﹣2） B．（2，3），（﹣2，﹣3）
C．（2，3），（2，﹣2） D．（3，4），（﹣2，﹣3）
3．（2025 鞍山模拟）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 儋州校级模拟）已知O是△ABC所在平面内一点，且，那么（　　）
A．点O在△ABC的内部
B．点O在△ABC的边上
C．点O在边所在的直线上
D．点O在△ABC的外部
5．（2025 江西模拟）若向量（1，m），（2，﹣1），且⊥，则cos，（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 沙市区校级模拟）如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶P的仰角分别为α，β，γ，计划沿直线AC开通隧道DE，设AD，EB，BC的长度分别为a，b，c．为了测出隧道DE的长度，还需直接测出（　　）的值．
A．a和b B．b和c C．a和c D．a，b，c三者
7．（2025 武功县校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025 武汉模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，c＝6，△ABC面积为，D为边AB上一点，CD是∠ACB的角平分线，则|CD|＝（　　）
A． B．1 C． D．
9．（2025 儋州校级模拟）已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（　　）
A． B． C． D．
10．（2025春 中牟县期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知cosA），c+a＝2，则b的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
11．（2025 河北模拟）若a+i＝b+2﹣ai（a，b∈R），则a+b＝（　　）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2
12．（2025春 重庆校级月考）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（　　）
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
13．（2025 河南模拟）已知复数z满足|z﹣1|＝|z﹣2|，则|z|（　　）
A．有最小值2 B．有最大值2
C．有最小值 D．有最大值
14．（2025 黄山校级一模）已知复数，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．（2025 麦积区模拟）已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为（　　）
A．108 B．112 C．120 D．124
16．（2025 焦作二模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，若该棱柱外接球的表面积为12π，则侧面BB1C1C绕直线BB1旋转一周所得到的旋转体的体积为（　　）
A．12π B．16π C．20π D．24π
17．（2025 和平区三模）已知底面半径为r（r＞0）的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为（　　）
A． B． C． D．
18．（2025 沙坪坝区校级模拟）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（　　）
A．2 B． C．1 D．
19．（2025 临潭县校级模拟）设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（　　）
A．若m⊥α，m⊥n，则 n∥α
B．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
C．若n∥α，m⊥n，则m⊥α
D．若α∥β，m α，n β，则m∥n
20．（2025 江西模拟）在四面体O﹣ABC中，D为OA的中点，且，已知四面体O﹣BDE的体积为1，则四面体O﹣ABC的体积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
21．（2025 聊城模拟）已知某圆台的轴截面中有一个角为，且下底是上底的2倍，若该圆台的外接球的表面积为16π，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
22．（2025 河南模拟）在高为的正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，则此四棱台的外接球的表面积是（　　）
A．4π B．6π C．8π D．10π
23．（2025 白银区校级三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，Q是棱AD上一点，且AD⊥PQ，AD⊥BQ，，AB＝3，AD＝CD＝2，则当∠PBQ最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为（　　）
A． B． C． D．
24．（2025 景德镇模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1D上的动点，则直线PC1与B1C所成角的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
25．（2025 德州三模）已知正三棱锥底面边长为2，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
26．（2025 河北模拟）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，1），B与A关于原点O对称，现以x轴为折痕，将x轴下方部分翻折，使其与上方部分构成直二面角，A，B两点相应变成A1，B1两点，将△A1OB1绕直线A1B1旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（　　）
A． B． C． D．2π
27．（2025春 淄博校级月考）在空间中，已知l、m、n为不同的直线，α、β、γ为不同的平面，则下列判断正确的是（　　）
A．若m α，m∥n，则n∥α
B．若l∥α，l∥β，则α∥β
C．若m⊥α，l⊥β，m⊥l，则α⊥β
D．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ
28．（2025春 中牟县期末）已知圆锥的顶点为P，O为底面圆心，母线PA，PB互相垂直，且PA＝PB＝2，直线PA与圆锥底面所成角为，则二面角P﹣AB﹣O的大小为（　　）
A． B． C． D．
29．（2025 山西模拟）若数据x1，x2，x3， ，x12的方差为9，则数据2x1﹣2025，2x2﹣2025，2x3﹣2025， ，2x12﹣2025的方差为（　　）
A．2007 B．1989 C．36 D．18
30．（2025春 安徽月考）已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，则a的取值范围是（　　）
A．[4，9] B．{4，9} C．{4} D．[2，7]
31．（2025 大武口区校级四模）“缤纷艺术节”的表演比赛中，某节目结束后，100位观众评委的打分情况如图所示（仅有一个最低分），计算该节目最终得分时，需去掉一个最高分和一个最低分，关于处理后的打分数据，下列说法一定正确的是（　　）
A．中位数不变，极差变小
B．极差不变，平均数变小
C．平均数变大，方差变小
D．方差变小，中位数变大
32．（2025 江宁区校级一模）某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（　　）
A．a＝0.05
B．评分的众数估值为70
C．评分的第25百分位数估值为67.5
D．评分的平均数估值为76
33．（2025 城阳区校级一模）某疾病在人群中的患病率为1%．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为95%，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为90%．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（　　）
A．95% B．8.8% C．10% D．1%
34．（2025春 中牟县期末）甲、乙、丙三名同学分别投篮一次，设事件A为“甲、乙、丙都投中”，则与A互为对立事件的是（　　）
A．甲、乙、丙恰有两人投中
B．甲、乙、丙都没有投中
C．甲、乙、丙至少有一人没有投中
D．甲、乙、丙至多有一人没有投中
35．（2025春 重庆校级期中）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1，A2，A3，A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则甲、乙两人相遇的概率为（　　）
A． B． C． D．
36．（2025 新建区校级模拟）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则P（B）＝（　　）
A． B． C． D．
【期末专项押题卷】单选题核心考点-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
一．选择题（共36小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C A D D D D B A B C
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 D C D B B C A B B C D
题号 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
答案 C D D C C C C A A C B
题号 34 35 36
答案 C C D
一．选择题（共36小题）
1．（2025 通许县校级模拟）已知向量，满足：||，（1，2），且．若（2）⊥（t），则t＝（　　）
A．2 B． C． D．﹣2
【解答】解：∵；
∴，
，
则，
∵，
∴，
则10﹣5t＝0，解得t＝2．
故选：A．
2．（2025 兴庆区校级四模）如图所示，为单位正交基，则向量，的坐标分别是（　　）
A．（3，4），（2，﹣2） B．（2，3），（﹣2，﹣3）
C．（2，3），（2，﹣2） D．（3，4），（﹣2，﹣3）
【解答】解：根据平面直角坐标系，可知，，
∴，．
故选：C．
3．（2025 鞍山模拟）已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：向量，，
则向量在向量方向上的投影向量为．
故选：A．
4．（2025 儋州校级模拟）已知O是△ABC所在平面内一点，且，那么（　　）
A．点O在△ABC的内部
B．点O在△ABC的边上
C．点O在边所在的直线上
D．点O在△ABC的外部
【解答】解：因为，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在△ABC的外部．
故选：D．
5．（2025 江西模拟）若向量（1，m），（2，﹣1），且⊥，则cos，（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：向量（1，m），（2，﹣1），且⊥，
则1×2﹣m＝0，解得m＝2，
故，
所以cos，．
故选：D．
6．（2025 沙市区校级模拟）如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶P的仰角分别为α，β，γ，计划沿直线AC开通隧道DE，设AD，EB，BC的长度分别为a，b，c．为了测出隧道DE的长度，还需直接测出（　　）的值．
A．a和b B．b和c C．a和c D．a，b，c三者
【解答】解：先要测出c，则可利用正弦定理求出PB，再可利用正弦定理求出PA，
最后由余弦定理求出AC，则需测出a，b才能求出DE．
故选：D．
7．（2025 武功县校级模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由，
即cosBcosC﹣sinBsinC，
即cos（B+C），在△ABC中，cosA＝﹣cos（B+C），
所以，A∈（0，π），
则，
又因为a，由正弦定理可得2，
所以sinB，sinC，
因为sinB+sinC，即b+c＝2，
再由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝3，
可得bc1，
则．
故选：D．
8．（2025 武汉模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，c＝6，△ABC面积为，D为边AB上一点，CD是∠ACB的角平分线，则|CD|＝（　　）
A． B．1 C． D．
【解答】解：因为△ABC面积为，D为边AB上一点，CD是∠ACB的角平分线，
所以，
即，
又因为，
所以ab＝4，
又c2＝a2+b2﹣2abcosC36，
所以（a+b）2﹣3ab＝36，
即，
所以|CD|＝1．
故选：B．
9．（2025 儋州校级模拟）已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，设，，，
因为，所以1×b+0×a＝1，则b＝1，故，
因为，所以（2025x，2025y）＝（1，a）+（2024，0）＝（2025，a），
即，所以，
不妨设a＞0，则向量如图所示，
因为∠AOB＝∠AOE﹣∠BOE，tan∠AOE＝a，，
所以tan∠BOA＝tan（
，
当且仅当，即时，等号成立，
易知，y＝tan∠BOA在上单调递增，
所以当取到最大值时，y＝tan∠BOA取得最大值，此时，
所以，
故．
故选：A．
10．（2025春 中牟县期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知cosA），c+a＝2，则b的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【解答】解：因为cosA），
所以sin（A+B），
所以sinBsinAsinAcosB，
因为sinA＞0，
所以sinBcosB，即tanB，
所以B＝60°，
因为2＝c+a，当且仅当a＝c＝1时取等号，
所以ac≤1，
则b1．
故选：B．
11．（2025 河北模拟）若a+i＝b+2﹣ai（a，b∈R），则a+b＝（　　）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2
【解答】解：a+i＝b+2﹣ai（a，b∈R），则，解得，
a+b＝﹣1+（﹣3）＝﹣4．
故选：C．
12．（2025春 重庆校级月考）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（　　）
A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2
【解答】解：由，得z＝i（2﹣i）﹣1＝2i，
所以，其虚部是﹣2．
故选：D．
13．（2025 河南模拟）已知复数z满足|z﹣1|＝|z﹣2|，则|z|（　　）
A．有最小值2 B．有最大值2
C．有最小值 D．有最大值
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），
由|z﹣1|＝|z﹣2|，
所以（a﹣1）2+b2＝（a﹣2）2+b2，解得，
故z，
所以，当且仅当b＝0时取等号，
所以|z|有最小值，无最大值．
故选：C．
14．（2025 黄山校级一模）已知复数，则z在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵，
∴复数在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：D．
15．（2025 麦积区模拟）已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为（　　）
A．108 B．112 C．120 D．124
【解答】解：因为正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，
所以作出示意图如下：
取正四棱台过侧棱的轴截面ABCD，设上、下底面中心分别为O，O1，
则，
所以，
所以其体积为．
故选：B．
16．（2025 焦作二模）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，若该棱柱外接球的表面积为12π，则侧面BB1C1C绕直线BB1旋转一周所得到的旋转体的体积为（　　）
A．12π B．16π C．20π D．24π
【解答】解：由题意直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC，该棱柱外接球的表面积为12π，
可知三棱柱两个底面三角形的外接圆的圆心分别为B1C1，BC的中点，．
设外接球的半径为R，则4πR2＝12π，，所以，
解得CC1＝2．侧面BB1C1C旋转后得到的几何体是底面半径为，高为2的圆柱，其体积为．
故选：B．
17．（2025 和平区三模）已知底面半径为r（r＞0）的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为，则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知圆锥的轴截面是边长为2r的正三角形，
则圆锥的高SO，如图，
由△SO1M∽△SOB，可得，则，
∴，
圆柱侧面积，
圆锥侧面积，则．
故选：C．
18．（2025 沙坪坝区校级模拟）已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：设底面三角形面积为S，三棱锥的高为h，
由直观图的性质得，
解得，
因为正三棱锥的体积为，
所以，
解得h＝2．
故选：A．
19．（2025 临潭县校级模拟）设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（　　）
A．若m⊥α，m⊥n，则 n∥α
B．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n
C．若n∥α，m⊥n，则m⊥α
D．若α∥β，m α，n β，则m∥n
【解答】解：对于A，垂直于同一直线的直线和平面可能平行，也有可能是n α，所以A错误；
对于B，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，故B正确．
对于C，若n∥α，m⊥n，则m⊥α或m∥n，故C错误；
对于D，若α∥β，m α，n β，则m∥n或异面，故D错误．
故选：B．
20．（2025 江西模拟）在四面体O﹣ABC中，D为OA的中点，且，已知四面体O﹣BDE的体积为1，则四面体O﹣ABC的体积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【解答】解：作出示意图如下：
分别过E，C作AO的垂线，垂足点分别为M，N，
因为ME∥NC，所以，
因为D为OA的中点，所以，
，，
所以，
设点B到平面OAC的距离为h，
，，
所以，又四面体O﹣BDE的体积为1，
所以所求体积为3．
故选：B．
21．（2025 聊城模拟）已知某圆台的轴截面中有一个角为，且下底是上底的2倍，若该圆台的外接球的表面积为16π，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意圆台的轴截面中有一个角为，且下底是上底的2倍，
可设圆台的上、下底面半径分别为r和2r，母线与底面所成的角为，
所以圆台的高为rtanr，
设球心到上底面圆心的距离为h，
则h2+r2＝（r﹣h）2+（2r）2，可得hr，
又该圆台的外接球的表面积为16π，设外接球半径为R，
则4πR2＝16π，可得R＝2，
则R2＝h2+r2，即4＝3r2+r2，解得r＝1，
即圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，
所以圆台的圆台的体积Vπ（12+1×2+22）．
故选：C．
22．（2025 河南模拟）在高为的正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，则此四棱台的外接球的表面积是（　　）
A．4π B．6π C．8π D．10π
【解答】解：如图，正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，MN是正四棱台的高，．
，，
由对称性外接球球心O在直线MN上，设球半径为r，连接OC，OC1，，，
则O在线段MN上（如图），
设O到底面ABCD的距离为t，
则，
解得t，所以，
所以球表面积为S＝4πr2＝10π．
故选：D．
23．（2025 白银区校级三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，Q是棱AD上一点，且AD⊥PQ，AD⊥BQ，，AB＝3，AD＝CD＝2，则当∠PBQ最大时，四棱锥P﹣ABCD的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题知，，∠BAQ＝60°，
则BQ．
因为AD⊥PQ，AD⊥BQ，BQ∩PQ＝Q，BQ，PQ 平面PBQ，所以AD⊥平面PBQ，
因为AD是确定的直线，可知对任意点P，平面PBQ是同一确定的平面，
因为，所以点P的轨迹是在平面PBQ内以点Q为圆心，为半径的圆，
当且仅当PB 与该圆相切，即∠BPQ＝90°时，∠PBQ 取到最大值，
此时，所以，
所以点P到平面ABCD的距离为，
所以四棱锥P﹣ABCD的体积为．
故选：C．
24．（2025 景德镇模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1D上的动点，则直线PC1与B1C所成角的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1＝A1D＝C1D，所以△A1C1D为等边三角形，
因为A1D∥B1C，所以直线PC1与B1C所成的角为∠A1PC1或其补角，
由等边三角形的性质知，当点P与线段A1D的端点重合时，直线PC1与B1C所成的角取得最小值，
当点P与线段A1D的中点重合时，直线PC1与B1C所成的角取得最大值，
故直线PC1与B1C所成角的取值范围是．
故选：D．
25．（2025 德州三模）已知正三棱锥底面边长为2，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，在正三棱锥P﹣ABC中，
设顶点P在底面的射影点为H，则H为正△ABC的中心，
延长CH交AB于点M，则M为AB的中点，连接PM，
因为正△ABC的边长为2，M为AB的中点，则CM⊥AB，
因为PA＝PB，则PM⊥AB，
可得CM2，S△ABC2，
由正三棱锥的侧面积为，
则，即有S△PAB2PM＝1
可得PM＝1，
因为PH⊥平面ABC，MH 平面ABC，则PH⊥MH，
所以，
因此，该三棱锥的体积为．
故选：D．
26．（2025 河北模拟）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，1），B与A关于原点O对称，现以x轴为折痕，将x轴下方部分翻折，使其与上方部分构成直二面角，A，B两点相应变成A1，B1两点，将△A1OB1绕直线A1B1旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（　　）
A． B． C． D．2π
【解答】解：根据题意可建系如图：
则A1（0，﹣1，1），B1（1，1，0），
所以A1O＝B1O，A1B1，
所以等腰三角形A1B1O的底边上的高为，
所以△A1OB1绕直线A1B1旋转一周得到一个旋转体为两全等圆锥的组合体，
且圆锥的底面半径为，高为，
设该旋转体的内切球的半径为r，则r为轴截面的内切圆的半径，
则根据等面积法可得：
，解得r，
所以内切球的表面积为4πr2．
故选：C．
27．（2025春 淄博校级月考）在空间中，已知l、m、n为不同的直线，α、β、γ为不同的平面，则下列判断正确的是（　　）
A．若m α，m∥n，则n∥α
B．若l∥α，l∥β，则α∥β
C．若m⊥α，l⊥β，m⊥l，则α⊥β
D．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ
【解答】解：若 m α，m∥n，则n∥α或n α，故A错误；
若l∥α，l∥β，则α∥β或α与β，故B错误；
若m⊥α，l⊥β，则直线m，l对应向量分别是平面α，β的法向量，由m⊥l知向量夹角为90°，故α⊥β，故C正确；
若α⊥β，α⊥γ，可知β∥γ或β与γ相交，故D错误．
故选：C．
28．（2025春 中牟县期末）已知圆锥的顶点为P，O为底面圆心，母线PA，PB互相垂直，且PA＝PB＝2，直线PA与圆锥底面所成角为，则二面角P﹣AB﹣O的大小为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设AB的中点为H，连接PH，OH，
因为PA＝PB，则PH⊥AB，
又因为OA＝OB，
则OH⊥AB，
所以∠PHO为二面角P﹣AB﹣O的平面角，在Rt△PAB中，由PA＝PB＝2，得，
易知，PO⊥平面OAB，则∠PAO为PA与底面所成的角，，
又PA＝2，则PO＝1，
在Rt△POH中，，
则．
故选：C．
29．（2025 山西模拟）若数据x1，x2，x3， ，x12的方差为9，则数据2x1﹣2025，2x2﹣2025，2x3﹣2025， ，2x12﹣2025的方差为（　　）
A．2007 B．1989 C．36 D．18
【解答】解：因为数据x1，x2，x3， ，x12的方差为9，
所以数据2x1﹣2025，2x2﹣2025，2x3﹣2025， ，2x12﹣2025的方差为22×9＝36．
故选：C．
30．（2025春 安徽月考）已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，则a的取值范围是（　　）
A．[4，9] B．{4，9} C．{4} D．[2，7]
【解答】解：已知一组样本数据7，9，5，8，4，a的极差为5，
当a＜4时，数据中最大的数是9，最小的数是a，极差为9﹣a＞5，不符合题意；
当4≤a≤9时，数据中最大的数是9，最小的数是4，极差为9﹣4＝5，符合题意；
当9＜a时，数据中最大的数是a，最小的数是4，极差为a﹣4＞5，不符合题意；
综上所述，a的取值范围是[4，9]．
故选：A．
31．（2025 大武口区校级四模）“缤纷艺术节”的表演比赛中，某节目结束后，100位观众评委的打分情况如图所示（仅有一个最低分），计算该节目最终得分时，需去掉一个最高分和一个最低分，关于处理后的打分数据，下列说法一定正确的是（　　）
A．中位数不变，极差变小
B．极差不变，平均数变小
C．平均数变大，方差变小
D．方差变小，中位数变大
【解答】解：去掉一个最大值和一个最小值，中位数没有变化，极大值与极小值之差变小，故BD错误；
再去掉最大值与最小值后，平均值的变化情况不确定，故C错误．
故选：A．
32．（2025 江宁区校级一模）某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（　　）
A．a＝0.05
B．评分的众数估值为70
C．评分的第25百分位数估值为67.5
D．评分的平均数估值为76
【解答】解：根据题意可得（2a+4a+6a+5a+3a）×10＝1，解得a＝0.005，所以A选项错误；
评分的众数估值为75，所以B选项错误；
因为前2组的频率依次为0.1，0.2，
所以评分的第25百分位数估值为67.5，所以C选项正确；
所以评分的平均数估值为55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.15＝76.5，所以D选项错误．
故选：C．
33．（2025 城阳区校级一模）某疾病在人群中的患病率为1%．检测方法的灵敏度（即患者检测结果为阳性的概率）为95%，特异度（即非患者检测结果为阴性的概率）为90%．如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为（　　）
A．95% B．8.8% C．10% D．1%
【解答】解：根据题意，设患病为事件A，设检测结果为阳性为事件B，
则P（A）＝0.01，P（B|A）＝0.95，P（|）＝0.9，
则P（）＝0.99，P（B|）＝1﹣P（|）＝0.1，
所以P（B）＝P（AB）+P（B）＝0.01×0.95+0.99×0.1＝0.1085，
如果某人检测结果为阳性，他实际患病的概率约为．
故选：B．
34．（2025春 中牟县期末）甲、乙、丙三名同学分别投篮一次，设事件A为“甲、乙、丙都投中”，则与A互为对立事件的是（　　）
A．甲、乙、丙恰有两人投中
B．甲、乙、丙都没有投中
C．甲、乙、丙至少有一人没有投中
D．甲、乙、丙至多有一人没有投中
【解答】解：甲、乙、丙三名同学分别投篮一次，共有如下8个基本事件：
①甲、乙、丙均投中；②甲没投中，乙、丙均投中；③乙没投中，甲、丙均投中；
④丙没投中，甲、乙均投中；⑤甲投中，乙、丙均没投中；⑥乙投中，甲、丙均没投中；
⑦丙投中，甲、乙均没投中；⑧甲、乙、丙均没投中．
事件A为“甲、乙、丙都投中”，对应其中①的情况，
在其它7种情况中，甲、乙、丙三人中至少有1人没有投中，
可知“甲、乙、丙至少有一人没有投中“．
故选：C．
35．（2025春 重庆校级期中）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1，A2，A3，A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则甲、乙两人相遇的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从M到达N处的方法有种；
乙从N到达M处，需要走6步，其中有3步向下走，3步向左走，则乙从N到达M处的方法有种；
甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A1、A2、A3、A4处相遇，
若甲、乙两人在A1处相遇，甲经过A1处，则甲的前三步必须向上走，乙经过A1处，则乙的前三步必须向左走，两人在A1处相遇的走法种数为1种；
若甲、乙两人在A2处相遇，甲到A2处，前三步有1步向右走，后三步只有2步向右走，乙到A2处，前三步有1步向下走，后三步只有2步向下走，
所以两人在A2处相遇的走法种数为种；
若甲、乙两人在A3处相遇，甲到A3处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到A3处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，
所以两人在A3处相遇的走法种数为种；
由C选项可知，走法种数为81种；
若甲、乙两人在A4处相遇，甲经过A4处，则甲的前三步必须向右走，乙经过A4处，则乙的前三步必须向下走，两人在A4处相遇的走法种数为1种；
故甲、乙两人相遇的概率为．
故选：C．
36．（2025 新建区校级模拟）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件B，则P（B）＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设A1＝“甲箱中取出2个红球”，A2＝“甲箱中取出1个红球和1个黑球”，A3＝“甲箱中取出2黑球”，
则P（A1），P（A2），P（A3），
P（B|A1），P（B|A2），P（B|A1），
故P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）．
故选：D．
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