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【期末专项押题卷】多选题核心考点-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
一．多选题（共36小题）
（多选）1．（2025春 重庆校级月考）已知向量，，则（　　）
A．与向量平行的单位向量为
B．当时，
C．当t＝1时，向量在向量上的投影向量为
D．若与夹角为锐角，则t的取值范围为
（多选）2．（2025春 中牟县期末）已知向量（﹣3，4），（1，t），则下列说法正确的是（　　）
A．若（﹣2，6），则t＝2
B．若⊥，则t＝﹣1
C．若单位向量满足∥，则
D．若在上的投影向量为，则
（多选）3．（2025春 广东校级月考）下列说法正确的是（　　）
A．零向量与任意向量共线
B．已知非零平面向量，，若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数k＝±2
C．已知非零平面向量，，若存在非零向量使得，则
D．平面上三点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（3，4），若四边形ABDC为平行四边形，则D的坐标是（4，6）
（多选）4．（2025春 桃城区月考）△ABC中，tanA＝tanB+tanC，则（　　）
A． B．cosA＝cosBcosC
C． D．
（多选）5．（2025春 安徽月考）已知△ABC的外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝1，bcos（B+C），则（　　）
A．△ABC是锐角三角形
B．△ABC是钝角三角形
C．R＝1
D．△ABC面积的最大值为
（多选）6．（2025 毕节市模拟）已知四边形ABCD是平行四边形，且，，下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．若与垂直，则m＝﹣7
D．若在上的投影向量为，则m＝3
（多选）7．（2025 自贡模拟）已知向量（2，1），（1，x），则（　　）
A．当∥时，
B．当|2|＝5时，x＝1
C．当x＝1时，在方向上的投影向量为
D．当与夹角为锐角时，x＞﹣2
（多选）8．（2025 新建区校级模拟）已知向量，则（　　）
A．若，则
B．若∥，则
C．若取得最大值，则
D．若，则在上的投影向量为
（多选）9．（2025 甘肃模拟）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，△ABC的周长为12，面积为6，则（　　）
A．△ABC内切圆的半径为1
B．△ABC外接圆的半径为6
C．
D．acosA+bcosB+ccosC＝2
（多选）10．（2025 沙市区校级模拟）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在△ABC中，BC＝1，BC边上的高等于tanA，以△ABC的各边为直径向△ABC外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则（　　）
A．AB2+AC2＝3
B．△ABC面积的最大值为
C．当时，
D．d的取值范围是
（多选）11．（2025 鞍山模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，∠BAC的平分线AD交BC于D，AD＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．4b+c的最小值为
B．
C．的最大值是
D．△ABC的周长的取值范围是
（多选）12．（2025 湖南模拟）在△ABC中，sinAcosB＝kcosAsinB，则（　　）
A．若k∈（0，+∞），则C有最小值
B．若k∈（0，+∞），则|A﹣B|有最大值
C．若k∈（﹣∞，0），则C有最大值
D．若k∈（﹣∞，0），则|A﹣B|无最值
（多选）13．（2025春 重庆校级月考）设z1，z2为复数，则下列命题不正确的是（　　）
A．若|z1|＝|z2|，则
B．若，则z1＝z2
C．若z1+z2＞0，则
D．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0
（多选）14．（2025 谷城县校级模拟）已知i为虚数单位，以下选项正确的是（　　）
A．若复数z满足2+iz＝i，则的虚部为﹣2
B．i+i2+i3+…+i2025＝i
C．若复数z1，z2，z3满足z1z2＝z2z3，则z1＝z3
D．若复数z满足|z|＝1，则|z﹣3+4i|的最大值为6
（多选）15．（2025 巴中模拟）已知复数z的共轭复数记为，对于任意的三个复数z1，z2，z3与下列结论错误的是（　　）
A．复数的共轭复数5﹣2i
B．若z＝（1+2i）2，则复平面内对应的点位于第四象限
C．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则|z﹣1+i|的最小值为2
D．若z1≠0，且z1z2＝z1z3，则z2＝z3
（多选）16．（2024秋 日照期末）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B．若点Z的坐标为（﹣3，2），且z是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，则p+q＝19
C．若，则z的虚部为﹣2i
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
（多选）17．（2025 河北模拟）若圆锥SO的底面半径为1，母线长为3，则下列关于此圆锥的说法正确的是（　　）
A．圆锥SO的侧面展开图的圆心角为
B．圆锥SO的体积为
C．过圆锥SO的两条母线作截面，则截面面积的最大值为
D．A为底面圆周上一点，P为SA上靠近S的三等分点，从点A出发绕圆锥SO侧面一周回到点P的无弹性细绳的最短长度为
（多选）18．（2025 沈河区校级模拟）在三棱锥A﹣BCD中，已知AB＝BC＝CD＝DA＝2，，O1，O2分别为△ABD，△CBD的重心，以下说法正确的是（　　）
A．AC⊥BD
B．O1O2∥平面ABC
C．若，则二面角A﹣BD﹣C的大小为
D．若，则AD与平面ABC所成角的余弦值为
（多选）19．（2025 卓尼县校级模拟）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，E为DD1的中点，则（　　）
A．B1E⊥平面ABE
B．BD1∥平面ACE
C．三棱锥E﹣ABC的外接球的表面积为12π
D．直线A1C1与平面ABE所成的角为45°
（多选）20．（2025 襄城县三模）如图，在棱长为2的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，点P、M、N分别是AA1、AB、AD的中点，对角线AC1与平面PMN交于点H，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．直线AC1和直线BB1所成角的余弦值等于
D．三棱锥A﹣B1D1C的体积是平行四六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积的
（多选）21．（2025 儋州校级模拟）在体积为的正四棱锥P﹣ABCD中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（　　）
A．
B．二面角P﹣CD﹣A的余弦值为
C．正四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为12π
D．直线BC与平面PCD所成角的正切值为2
（多选）22．（2025 武功县校级模拟）如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设Oa表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，a＝b＝c，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面△ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O﹣ABC．设∠BOC＝α，∠AOC＝β，∠AOB＝γ，则下列结论正确的是（　　）
A．若平面△ABC是面积为的等边三角形，则a＝b＝c＝R
B．若α2+β2＝γ2，则a2+b2＝c2
C．若平面△ABC为直角三角形，且，则cosα+cosβ﹣cosγ为常数
D．若，则球面O﹣ABC的体积V满足
（多选）23．（2025春 连云港月考）在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，，点E在PD上，且PE：ED＝2：1，点F是棱PC的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．AF⊥BD
B．三棱锥P﹣AEC的体积为
C．当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC
D．直线BF与平面PAC所成的角的正切值最大为
（多选）24．（2025春 重庆校级月考）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均2，∠BAD＝60°，M，N，P分别为DD1，DC，CC1的中点，点Q在四边形DCC1D1内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（　　）
A．平面AMN∥平面A1BP
B．若AQ∥平面A1BP，则AQ的最小值为
C．当点Q在线段CD1上运动时，四面体A1BPQ的体积为定值
D．若且λ+2μ＝1，则|DQ|+|BQ|的最小值为
（多选）25．（2025春 中牟县期末）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，点M是棱CC1上的动点（不含端点），则下列说法正确的有（　　）
A．直线AE与直线CF共面
B．AM可能垂直于BD1
C．三棱锥A﹣EBM的体积为定值
D．若M为CC1的中点，则过点B且垂直于AM的平面截正方体的截面面积为
（多选）26．（2025春 惠州月考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1中点，以O为球心的球的半径为r，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，球O的球面与该正方体的面没有公共点
B．当时，球O的球面与该正方体的棱有12个公共点
C．当r＝3时，球O的球面与该正方体的棱共有24个公共点
D．当时，该正方体的表面被球O截得的所有弧长之和为
（多选）27．（2025 新余校级模拟）小明和小红两人同时用5万元购买基金，现将两人购买基金后每个月的收益情况统计如下表所示．则（　　）
月份 第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 第5个月
小明收益（元） 860 870 900 910 960
小红收益（元） 860 870 900 920 950
A．小明购买基金这5个月收益的极差大于小红的
B．小明购买基金这5个月的平均收益大于小红的
C．小明购买基金这5个月收益的第25百分位数等于小红的
D．小明购买基金这5个月收益的方差小于小红的
（多选）28．（2025 江西模拟）设样本数据x1，x2，x3的平均数为，中位数为m，标准差为s，则（　　）
A．若，则数据的平均数为m2+s2
B．若m＝s，则数据的平均数为
C．不可能组成等边三角形的三边
D．有可能组成直角三角形的三边
（多选）29．（2025 湖北模拟）某班组织学生进行跳绳运动，统计部分学生一分钟内跳绳个数的数据如下：
学生人数 1 2 3 4 5 6 7 8
跳绳个数 123 150 180 98 120 120 78 131
下列说法正确的有（　　）
A．跳绳个数的中位数为98
B．跳绳个数的极差为102
C．跳绳个数的众数为120
D．跳绳个数的平均数为125
（多选）30．（2025 谷城县校级模拟）下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（　　）
A．数据﹣3，﹣1，3，7，8，9，11，15的第25百分位数是1
B．若一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2， ，n）的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
C．已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝36，D（X）＝9，则n＝48
D．某班有50名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N（100，102），则理论上说在90～100分的人数约为17人．（参考数据：p（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，p（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，p（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）
（多选）31．（2025 通许县校级模拟）某高校组织全体学生参加以“庆祝中华人民共和国成立75周年”为主题的知识测试，随机抽取了200名学生的成绩（单位：分）进行统计，按成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
根据图中数据，下列结论正确的是（　　）
A．这200名学生成绩的极差介于35至45之间
B．这200名学生成绩的平均数小于中位数
C．从200名学生中随机抽取一名，其成绩不低于70分的概率估计为0.7
D．从该校学生中随机抽取两名，在这两名学生成绩都不低于70分的条件下，恰有一名学生成绩在[70，80）内的概率估计为
（多选）32．（2025春 中牟县期末）对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A与B，其中n（Ω）＝36，n（A）＝18，n（B）＝12，n（A∪B）＝24，则（　　）
A．n（A∩B）＝8
B．
C．事件A与B互斥但不对立
D．事件A与B相互独立
（多选）33．（2025春 渝中区校级月考）下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量A，B满足：，则A，B相互独立
B．已知随机变量X～N（μ，σ2），若P（x≥2）+P（x≥6）＝1，则μ＝4
C．在线性回归分析中，样本相关系数r的值越大，变量间的线性相关性越强
D．一组数据（1，3），（2，8），（3，10），（4，14），（5，15）的经验回归方程为，则当x＝2时，残差为1
（多选）34．（2025春 广东月考）珠海某中学有两个学生饭堂，分别为第一饭堂和第二饭堂，简称一饭、二饭．甲同学周一、周二中午在这两个饭堂就餐，周一中午去一饭，二饭就餐的概率分别为和，如果他周一去一饭，那么周二去一饭的概率为，如果周一去二饭，那么周二去一饭的概率为，则甲同学（　　）
A．周二去一饭的概率为0.54
B．周二去二饭的概率为0.44
C．周二去了一饭，则周一去二饭的概率为
D．若周一去一饭，则周二去二饭的概率为
（多选）35．（2025 孝义市模拟）一个正四面体形的骰子，四个面分别标有数字1，2，3，4，先后抛掷两次，每次取着地的数字．甲表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，乙表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”，丙表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，丁表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”，则下列说法正确的是（　　）
A．甲发生的概率为 B．乙发生的概率为
C．甲与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
（多选）36．（2025春 南京校级期中）暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（　　）
A．甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件
B．甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立
C．甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于
D．若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为
【期末专项押题卷】多选题核心考点-2024-2025学年高一数学下学期人教A版（2019）必修第二册
参考答案与试题解析
二．多选题（共36小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 BC AD ABD ABC BCD BC AC ABD ABD ABD ACD
题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
答案 BCD ABC ABD BC BD ABD ABC BC AB ABD BCD
题号 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
答案 ACD ACD ACD BCD AC ABD BCD ACD BCD BD ABD
题号 34 35 36
答案 AC AC ACD
一．多选题（共36小题）
（多选）1．（2025春 重庆校级月考）已知向量，，则（　　）
A．与向量平行的单位向量为
B．当时，
C．当t＝1时，向量在向量上的投影向量为
D．若与夹角为锐角，则t的取值范围为
【解答】解：对于A，因为，
所以与向量平行的单位向量为或，故A错误；
对于B，当因为，，且，
所以，解得，故B正确；
对于C，当t＝1时，，，所以，，
所以向量在向量上的投影向量为，故C正确；
对于D，因为与夹角为锐角，所以，解得且，故D错误．
故选：BC．
（多选）2．（2025春 中牟县期末）已知向量（﹣3，4），（1，t），则下列说法正确的是（　　）
A．若（﹣2，6），则t＝2
B．若⊥，则t＝﹣1
C．若单位向量满足∥，则
D．若在上的投影向量为，则
【解答】解：对于A：（﹣2，6），则4+t＝6，所以t＝2，故A正确；
对于B：，则﹣3+4t＝0，，B错误；
对于C：，则，所以（）或（），C错误；
对于D：在上的投影向量为，
故，D正确．
故选：AD．
（多选）3．（2025春 广东校级月考）下列说法正确的是（　　）
A．零向量与任意向量共线
B．已知非零平面向量，，若是平面所有向量的一组基底，且不是基底，则实数k＝±2
C．已知非零平面向量，，若存在非零向量使得，则
D．平面上三点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（3，4），若四边形ABDC为平行四边形，则D的坐标是（4，6）
【解答】解：对于A，由零向量的定义可知，零向量与任意向量共线，故A正确；
对于B，因为不是基底，所以，
所以存在实数λ，使得，
因为是平面所有向量的一组基，则，解得k＝±2，故B正确；
对于C，由，得到，所以或，故C错误；
对于D，设D（x，y），因为四边形ABDC为平行四边形，所以，
因为A（﹣2，1），B（﹣1，3），C（3，4），所以，
所以，解得，所以D（4，6），故D正确．
故选：ABD．
（多选）4．（2025春 桃城区月考）△ABC中，tanA＝tanB+tanC，则（　　）
A． B．cosA＝cosBcosC
C． D．
【解答】解：对于A，在△ABC中，tanA＝﹣tan（B+C），
因tanA≠0，故tanBtanC＝2，故△ABC是锐角三角形，
所以tanA＝tanB+tanC≥22，
当且仅当tanB＝tanC时取等号，所以A，故A正确；
对于B，在△ABC中，cosA＝﹣cos（B+C）＝sinBsinC﹣cosBcosC，
由tanBtanC＝2可知sinBsinC＝2cosBcosC，故cosA＝cosBcosC，故B正确；
对于C，设函数f（x）＝tanx﹣x，则，
故f（x）在区间上单调递增，
故当时，f（x）＞f（0）＝0，即tanx＞x，
于是B C＜tanBtanC＝2，故，故C正确；
对于D，当B＝C时，，此时，
又因为，此时，故D错误．
故选：ABC．
（多选）5．（2025春 安徽月考）已知△ABC的外接圆半径为R，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝1，bcos（B+C），则（　　）
A．△ABC是锐角三角形
B．△ABC是钝角三角形
C．R＝1
D．△ABC面积的最大值为
【解答】解：由可得，
由正弦定理，代入化简得：，
因0＜A＜π，解得，故B正确，A错误；
因a＝1，，解得R＝1，故C正确；
由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝1bc≥2bc，
解得，当且仅当时，等号成立，
于是△ABC的面积为，
即△ABC面积的最大值为，故D正确．
故选：BCD．
（多选）6．（2025 毕节市模拟）已知四边形ABCD是平行四边形，且，，下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．若与垂直，则m＝﹣7
D．若在上的投影向量为，则m＝3
【解答】解：对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确，
对于C，若与垂直，则，
解得m＝﹣7，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，即，所以，
8+2m（m﹣1）＝16+（m﹣1）2，整理得m2＝9，解得m＝±3，故D错误．
故选：BC．
（多选）7．（2025 自贡模拟）已知向量（2，1），（1，x），则（　　）
A．当∥时，
B．当|2|＝5时，x＝1
C．当x＝1时，在方向上的投影向量为
D．当与夹角为锐角时，x＞﹣2
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当∥时，则有2x＝1，解可得x，A正确；
对于B，向量（2，1），（1，x），即2（4，1+2x），
当|2|＝5时，即42+（2x+1）2＝25，解可得：x＝1或﹣2，B错误；
对于C，当x＝1时，（1，1），在方向上的投影向量为，C正确；
对于D，当x时，向量2，两个向量夹角为0，不是锐角，D错误．
故选：AC．
（多选）8．（2025 新建区校级模拟）已知向量，则（　　）
A．若，则
B．若∥，则
C．若取得最大值，则
D．若，则在上的投影向量为
【解答】解：若，向量，
则，则，解得，
所以A正确；
若∥，向量，
则，所以，解得，所以B正确；
对于C，，
当，即时，取最大值，所以C错误；
对于D，若，则，所以在上的投影向量为，所以D正确．
故选：ABD．
（多选）9．（2025 甘肃模拟）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，△ABC的周长为12，面积为6，则（　　）
A．△ABC内切圆的半径为1
B．△ABC外接圆的半径为6
C．
D．acosA+bcosB+ccosC＝2
【解答】解：设△ABC的内切圆半径为r，面积为S，
由内切圆的性质，可得，解得r＝1，故A正确；
根据A+B+C＝π，可得sinC＝sin（A+B），cosC＝﹣cos（A+B），
所以sin2A+sin2B＝sin[（A+B）+（A﹣B）]+sin[（A+B）﹣（A﹣B）]
＝2sin（A+B）cos（A﹣B）＝2sinCcos（A﹣B），
结合sin2C＝2sinCcosC＝﹣2sinCcos（A+B），
可得sin2A+sin2B+sin2C＝2sinCcos（A﹣B）﹣2sinCcos（A+B）
＝2sinC[cos（A﹣B）﹣cos（A+B）]＝2sinC 2sinAsinB＝4sinAsinBsinC，
因为，所以，
设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
所以△ABC的面积，
即2R2sinAsinBsinC＝6，结合，解得R＝6，故B正确；
根据选项B的分析，可知a+b+c＝2R（sinA+sinB+sinC）＝12（sinA+sinB+sinC）＝12，
所以sinA+sinB+sinC＝1，可知C错误；
由正弦定理和二倍角角公式，可得sin2A+sin2B+sin2C＝2sinAcosA+2sinBcosB+2sinCcosC
，
结合R＝6，可知acosA+bcosB+ccosC＝2，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．（2025 沙市区校级模拟）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在△ABC中，BC＝1，BC边上的高等于tanA，以△ABC的各边为直径向△ABC外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则（　　）
A．AB2+AC2＝3
B．△ABC面积的最大值为
C．当时，
D．d的取值范围是
【解答】解：在△ABC中，a＝BC＝1，△ABC的面积为tanA，
可得cosA，
A中，由余弦定理可知a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得b2+c2＝3，即AB2+AC2＝3，故A正确；
B中，△ABC的面积为，
又b2+c2＝3≥2bc，即，当且仅当时取等号，
故△ABC的面积S，故B正确；
C中，因为两圆上任意两点之间距离的最大值为两圆的圆心距+两半径之和，
因此三个半圆围成的平面区域W的“直径”为△ABC的周长的一半，
即，当时，BC边上的高为AB＝c，且其等于，
所以c，即c＝1，又a＝1，故a＝c＝1，故△ABC为以B为直角顶点的等腰直角三角形，
所以，故C错误；
D中，由A知b2+c2＝3，a＝7，可得（当且仅当时等号成立），
又因为，
所以，故D正确．
故选：ABD．
（多选）11．（2025 鞍山模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，∠BAC的平分线AD交BC于D，AD＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．4b+c的最小值为
B．
C．的最大值是
D．△ABC的周长的取值范围是
【解答】解：A：∠BAC的平分线AD交BC于D，AD＝2，A＝60°，
由等面积法有S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即bcsinAb AD sinc AD sin（b+c） AD sin，
即bc （b+c） 2 ，可得b+cbc，
可得，
所以4b+c（4b+c）（）（4+1）（5+2）＝6，
当且仅当时取等号，故4b+c的最小值为，故A对；
B：在△ABD中，由正弦定理可得：，
在△ACD中，由正弦定理可得：，
由∠BAC的平分线AD交BC于D，即∠BAD＝∠CAD，两式相比可得，故B错；
C：由A＝∠BAC＝60°，则在△ABD中，由正弦定理可得：，
即，即BD，同理可得，
所以sinB+sinC＝sinB+sin（60°+B）＝sinBcosBsinBsinBcosBsin（B+30°），
又0°＜B＜120°，即B＝60°时，的最大值是，故C对；
D：由A分析有b+cbc （）2，即（b+c）2≥8（b+c），
可得，当且仅当时取等号，
由，
所以，故三角形周长为，
令，则周长在上单调递增，
所以，即周长范围是，故D对．
故选：ACD．
（多选）12．（2025 湖南模拟）在△ABC中，sinAcosB＝kcosAsinB，则（　　）
A．若k∈（0，+∞），则C有最小值
B．若k∈（0，+∞），则|A﹣B|有最大值
C．若k∈（﹣∞，0），则C有最大值
D．若k∈（﹣∞，0），则|A﹣B|无最值
【解答】解：由已知得tanA＝ktanB，
利用，
得，
k∈（0，+∞）时，，
又A，B，C∈（0，π），且tanA＝ktanB，从而有tanA，tanB＞0，
则在tanB时，tanC关于tanB递减，无最小值，
同理在时，tanC关于tanB递减，无最小值，故A错误；
当k∈（﹣∞，0）时，，
又因为tanA，tanB中一定有一个是负数，从而tanC＞0，
当k∈（﹣1，0）时，，当时取等，
当k∈（﹣∞，﹣1）时，，
当时取等，故C正确；
因为tan（|A﹣B|），
当k∈（0，+∞）时，tan（|A﹣B|），
|A﹣B|存在最大值，故B正确；
当k∈（﹣∞，0）时，tan（|A﹣B|），
则是单调函数，故|A﹣B|不存在最值，故D正确．
故选：BCD．
（多选）13．（2025春 重庆校级月考）设z1，z2为复数，则下列命题不正确的是（　　）
A．若|z1|＝|z2|，则
B．若，则z1＝z2
C．若z1+z2＞0，则
D．若z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0
【解答】解：取z1＝1，z2＝i，此时|z1|＝1，|z2|＝1，满足|z1|＝|z2|．
但，，，故A错误；
取z1＝0，z2＝1，满足z1z2＝0×1＝0，，则，但z1≠z2，故B错误；
取z1＝2+i，z2＝1﹣i，此时z1+z2＝（2+i）+（1﹣i）＝3＞0．
而，，故C错误；
设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），则z1z2＝（a+bi）（c+di）＝ac﹣bd+（ad+bc）i＝0，
可得，将两式分别平方再相加可得：
（ac﹣bd）2+（ad+bc）2＝a2c2﹣2abcd+b2d2+a2d2+2abcd+b2c2＝（a2+b2）（c2+d2）＝0．
因为a2+b2≥0，c2+d2≥0，所以a2+b2＝0或c2+d2＝0，即a＝b＝0或c＝d＝0，也就是z1＝0或z2＝0，故D正确．
故选：ABC．
（多选）14．（2025 谷城县校级模拟）已知i为虚数单位，以下选项正确的是（　　）
A．若复数z满足2+iz＝i，则的虚部为﹣2
B．i+i2+i3+…+i2025＝i
C．若复数z1，z2，z3满足z1z2＝z2z3，则z1＝z3
D．若复数z满足|z|＝1，则|z﹣3+4i|的最大值为6
【解答】解：由2+iz＝i可得，则，所以的虚部为﹣2，所以选项A正确；
因为i+i2+i3+...+i2025＝506（i+i2+i3+i4）+i＝i，所以选项B正确；
取z2＝0，显然有z1z2＝z2z3，但z1，z3不一定相等，所以选项C错误；
令z＝a+bi（a，b∈R），因为|z|＝1，则a2+b2＝1，所以复数z对应点Z（a，b）在以原点为圆心，1为半径的圆上，
又，其几何意义表示点Z（a，b）到（3，﹣4）的距离，
所以|z﹣3+4i|的最大值为，故选项D正确．
故选：ABD．
（多选）15．（2025 巴中模拟）已知复数z的共轭复数记为，对于任意的三个复数z1，z2，z3与下列结论错误的是（　　）
A．复数的共轭复数5﹣2i
B．若z＝（1+2i）2，则复平面内对应的点位于第四象限
C．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则|z﹣1+i|的最小值为2
D．若z1≠0，且z1z2＝z1z3，则z2＝z3
【解答】解：∵，∴5﹣2i，故A正确；
由z＝（1+2i）2＝﹣3+4i，得，则复平面内对应的点的坐标为（﹣3，﹣4），位于第三象限，故B错误；
由复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，可知复数z在复平面内对应点的轨迹是以（1，0）和（﹣1，0）为端点的线段的垂直平分线，
则|z﹣1+i|＝|z﹣（1﹣i）|的最小值为（1，﹣1）到y轴的距离，等于1，故C错误；
若z1≠0，且z1z2＝z1z3，由复数代数形式的除法运算可知，z2＝z3，故D正确．
故选：BC．
（多选）16．（2024秋 日照期末）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B．若点Z的坐标为（﹣3，2），且z是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，则p+q＝19
C．若，则z的虚部为﹣2i
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
【解答】解：对于A，令z，满足|z|＝1，但z≠±1或z≠±i，故A错误，
对于B，∵点Z的坐标为（﹣3，2），且z是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，
∴也是关于x的方程x2+px+q＝0的另一个根，
∴，解得p＝6，q＝13，
故p+q＝19，故B正确，
对于C，，则z的虚部为﹣2，故C错误，
对于D，设z＝a+bi，a，b∈R，
则|z﹣2i|＝|a+（b﹣2）i|，
故1≤a2+（b﹣2）2≤2，
圆x2+（y﹣2）2＝2的面积为2π，圆x2+（y﹣2）2＝1的面积为π，
故点Z的集合所构成的图形的面积为2π﹣π＝π，故D正确．
故选：BD．
（多选）17．（2025 河北模拟）若圆锥SO的底面半径为1，母线长为3，则下列关于此圆锥的说法正确的是（　　）
A．圆锥SO的侧面展开图的圆心角为
B．圆锥SO的体积为
C．过圆锥SO的两条母线作截面，则截面面积的最大值为
D．A为底面圆周上一点，P为SA上靠近S的三等分点，从点A出发绕圆锥SO侧面一周回到点P的无弹性细绳的最短长度为
【解答】解：对于A，侧面展开图中，扇形的半径为3，弧长为2πr＝2π，
由弧长公式可知圆心角等于，故A正确；
对于B，圆锥的高为，则圆锥的体积为，故B正确；
对于C，在轴截面中，顶角θ的余弦值为cosθ0，则顶角θ为锐角，
可知当截面为轴截面是面积最大，最大值为3×3×sinθ，故C错误；
对于D，由侧面展开图的圆心角等于，SA＝3，SP＝1，则PA，
即细绳的最短长度为，故D正确．
故选：ABD．
（多选）18．（2025 沈河区校级模拟）在三棱锥A﹣BCD中，已知AB＝BC＝CD＝DA＝2，，O1，O2分别为△ABD，△CBD的重心，以下说法正确的是（　　）
A．AC⊥BD
B．O1O2∥平面ABC
C．若，则二面角A﹣BD﹣C的大小为
D．若，则AD与平面ABC所成角的余弦值为
【解答】解：对于选项A，取BD的中点为E，连接AE，CE，
由已知得BD⊥AE，BD⊥CE，AE、CE 平面AEC，AE∩CE＝E，
所以BD⊥平面AEC，又AC 平面AEC，
所以AC⊥BD，故选项A正确；
对于选项B，因为O1，O2分别为△ABD，△CBD的重心，
所以O1∈AE，O2∈CE，
且，所以，
所以O1O2∥AC，又O1O2 平面ABC，AC 平面ABC，
所以O1O2∥平面ABC，故选项B正确；
对于选项C，由BD⊥AE，BD⊥CE，
所以二面角A﹣BD﹣C的平面角为∠AEC，
因为AB＝BC＝CD＝DA＝2，，
则AE＝CE＝1，因为AC，
所以，
所以，故选项C正确；
对于选项D，因为，AE＝CE＝1，所以AE2+CE2＝AC2，
所以，AE⊥CE，
所以，
因为BD⊥平面AEC，
所以VA﹣BCD＝VD﹣AEC+VB﹣AEC，
又，
因为所以VA﹣BCD＝VD﹣ABC，
令D到平面ABC的距离为h，
所以，
解得，
所以AD与平面ABC所成角的正弦值为，故选项D错误．
故选：ABC．
（多选）19．（2025 卓尼县校级模拟）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，E为DD1的中点，则（　　）
A．B1E⊥平面ABE
B．BD1∥平面ACE
C．三棱锥E﹣ABC的外接球的表面积为12π
D．直线A1C1与平面ABE所成的角为45°
【解答】解：如图所示，
对于A，连接B1D1，BD，由长方体的性质可知四边形BDD1B1为矩形，因为AA1＝2AB＝4，所以，所以，
又AA1＝4，因为，所以B1E与BE不垂直，则B1E不垂直于平面ABE，故A错误；
对于B，设BD∩AC＝O，连接OE，因为E为DD1的中点，O为BD的中点，所以OE∥BD1，
又OE 平面ACE，BD1 平面ACE，所以BD1∥平面ACE，故B正确；
对于C，三棱锥E﹣ABC的外接球也是四棱锥E﹣ABCD的外接球，取BE的中点M，
易知△EDB，△ABE，△BCE均为直角三角形，线段BE为三者的公共斜边，
所以MB＝ME＝MA＝MC，故M为三棱锥E﹣ABC的外接球的球心，
所以三棱锥E﹣ABC的外接球的半径为，
所以三棱锥E﹣ABC的外接球的表面积为，故C正确；
对于D，由四棱柱的结构特征知AC∥A1C1，
所以直线A1C1与平面ABE所成的角等于直线AC与平面ABE所成的角，
分别取CC1，BB1的中点F，G，连接EF，BF，CG，CG∩BF＝H，则CH⊥CG，
又AB⊥平面BCGF，AB⊥CG，所以CH⊥平面ABFE，
连接AH，所以∠CAH为直线AC与平面ABE所成的角，
在Rt△AHC中，，所以，所以∠CAH＝30°，故D错误．
故选：BC．
（多选）20．（2025 襄城县三模）如图，在棱长为2的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，点P、M、N分别是AA1、AB、AD的中点，对角线AC1与平面PMN交于点H，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．直线AC1和直线BB1所成角的余弦值等于
D．三棱锥A﹣B1D1C的体积是平行四六面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积的
【解答】解：如图所示：
取{，，}作为基底，
则
，
所以AC1，所以A选项正确；
因为，
所以
，
所以，同理可证，MN∩PN＝N，
所以AC1⊥面PMN，所以AH⊥面PMN，
因为PA＝AM＝AN＝PM＝MN＝PN＝1，
所以，所以，所以B选项正确；
因为，
设直线AC1和直线BB1所成的角为θ，
则，故C错误；
因为，
其中，
所以，故D错误．
故选：AB．
（多选）21．（2025 儋州校级模拟）在体积为的正四棱锥P﹣ABCD中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，则（　　）
A．
B．二面角P﹣CD﹣A的余弦值为
C．正四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为12π
D．直线BC与平面PCD所成角的正切值为2
【解答】解：在体积为的正四棱锥P﹣ABCD中，异面直线PC与AB所成角的余弦值为，
取CD的中点E，设O为正方形ABCD的中心，
连接OE，PE，则PE⊥CD．
∵AB∥CD，∴异面直线PC与AB所成的角即∠PCE，则．
设CE＝a，则CD＝2a，，，则，
∴正四棱锥P﹣ABCD体积为VP﹣ABCD，解得a＝1，
∴，故A正确．
由题意得OE⊥CD，则∠PEO为二面角P﹣CD﹣A的平面角，
∴，故B正确．
设正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心为M，且OM＝h，
由PM＝CM，得，解得，
∴正四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为4π×|2﹣h|2＝9π，故C错误．
∵OE∥BC，∴直线BC与平面PCD所成的角即直线OE与平面PCD所成的角．
过点O作OH⊥PE，垂足为H．由题意得OH⊥平面PCD，
则∠OEH为直线BC与平面PCD所成的角，则，故D正确．
故选：ABD．
（多选）22．（2025 武功县校级模拟）如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设Oa表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆Ob，Oc的劣弧AC，AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，a＝b＝c，则称其为曲面等边三角形，线段OA，OB，OC与曲面△ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O﹣ABC．设∠BOC＝α，∠AOC＝β，∠AOB＝γ，则下列结论正确的是（　　）
A．若平面△ABC是面积为的等边三角形，则a＝b＝c＝R
B．若α2+β2＝γ2，则a2+b2＝c2
C．若平面△ABC为直角三角形，且，则cosα+cosβ﹣cosγ为常数
D．若，则球面O﹣ABC的体积V满足
【解答】解：对A选项，因为等边△ABC的面积为，
所以AB＝BC＝AC＝R，又OA＝OB＝OC＝R，
所以，所以，所以A选项错误；
对B选项，因为α2+β2＝γ2，
所以（αR）2+（βR）2＝（γR）2，]
所以a2+b2＝c2，所以B选项正确；
对C选项，因为，
又，所以BC2+AC2＝AB2，
所以4R2﹣2R2cosα﹣2R2cosβ＝2R2﹣2R2cosγ，
化简得cosα+cosβ﹣cosγ＝1，所以C选项正确；
对D选项，因为△ABC的外接圆半径为，
点所以O到平面ABC的距离，
所以三棱锥O﹣ABC的体积为，
又球面O﹣ABC的体积，
所以球面O﹣ABC的体积应小于以R为高的正四面体体积，所以D选项正确．
故选：BCD．
（多选）23．（2025春 连云港月考）在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，，点E在PD上，且PE：ED＝2：1，点F是棱PC的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．AF⊥BD
B．三棱锥P﹣AEC的体积为
C．当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC
D．直线BF与平面PAC所成的角的正切值最大为
【解答】解：对于A，∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
∵PA＝AC＝a，，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝AD＝a，则PA2+AB2＝PB2，∴PA⊥AB，同理可得PA⊥AD，
∵AB∩AD＝A，AB、AD 平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，
∵BD 平面ABCD，∴BD⊥PA，
∵PA∩AC＝A，PA、AC 平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
∵AF 平面PAC，∴BD⊥AF，故A正确；
对于B，易知△ACD为等边三角形，，
∵点E在PD上，且PE：ED＝2：1，∴，
故，故B错误；
对于C，如图，连接BD交AC于点O，连接OE，取线段PE的中点M，连接FM、BM，
∵四边形ABCD为菱形，AC∩BD＝O，∴O为BD的中点，
∵点E在PD上，且PE：ED＝2：1，点M为PE的中点，∴PM＝ME＝ED，
∴E为DM的中点，∴OE∥BM，
∵BM 平面ACE，OE 平面ACE，∴BM∥平面ACE，
∵F为PC的中点，M为PE的中点，∴MF∥CE，
∵MF 平面ACE，CE 平面ACE，∴MF∥平面ACE，
∵BM∩MF＝M，BM、MF 平面BFM，∴平面BFM∥平面ACE，
∵BF 平面BFM，∴BF∥平面ACE，故C正确；
对于D，由A选项可知，BO⊥平面PAC，∴直线BF与平面PAC所成角为∠BFO，
∵OF 平面PAC，∴BO⊥OF，则，
∵△ABC是边长为a的等边三角形，∴，
∵PA⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴PA⊥AC，
又∵PA＝AC＝a，故△PAC为等腰直角三角形，∴∠ACP＝45°，
当OF⊥PC时，OF取最小值，且最小值为，
此时，tan∠BFO取最大值，且最大值为，故D正确．
故选：ACD．
（多选）24．（2025春 重庆校级月考）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均2，∠BAD＝60°，M，N，P分别为DD1，DC，CC1的中点，点Q在四边形DCC1D1内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（　　）
A．平面AMN∥平面A1BP
B．若AQ∥平面A1BP，则AQ的最小值为
C．当点Q在线段CD1上运动时，四面体A1BPQ的体积为定值
D．若且λ+2μ＝1，则|DQ|+|BQ|的最小值为
【解答】解：直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均2，∠BAD＝60°，M，N，P分别为DD1，DC，CC1的中点
所以MP∥DC且MP＝DC，
因为AB∥DC，AB＝DC，所以MP∥AB，MP＝AB，四边形ABPM为平行四边形，所以AM∥BP，
因为AM 平面A1BP，BP 平面A1BP，所以AM∥平面A1BP．
易得MN//CD1，又A1B∥CD1，所以A1B∥MN，
因为MN 平面A1BP，A1B 平面A1BP，所以MN∥平面A1BP．
因为MN∩AM＝M，MN、AM 平面AMN，所以平面AMN∥平面A1BP，选项A正确；
由A选项知，若AQ∥平面A1BP，则点Q的轨迹为线段MN，在△AMN中，当AQ⊥MN时，AQ取得最小值即为点A到直线MN的距离．
因为∠BAD＝60°且AB＝AD，所以△ABD为等边三角形，取AB的中点为点E，
则有DE⊥AB，
以D为坐标原点，以DE、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
，
D1（0，0，2），M（0，0，1），N（0，1，0），
，
点A到直线MN的距离为，选项B错误；
因为CD1∥A1B，A1B 平面A1BP，CD1 平面A1BP，所以CD1∥平面A1BP，
当点Q在线段CD1上运动时点Q到平面A1BP的距离为定值，所以四面体A1BPQ的体积为定值，选项C正确；
，
，
因为λ+2μ＝1，所以2μ＝1﹣λ，
则
，表示点到的距离之和，
最小值为点与点之间的距离，选项D正确．
故选：ACD．
（多选）25．（2025春 中牟县期末）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，点M是棱CC1上的动点（不含端点），则下列说法正确的有（　　）
A．直线AE与直线CF共面
B．AM可能垂直于BD1
C．三棱锥A﹣EBM的体积为定值
D．若M为CC1的中点，则过点B且垂直于AM的平面截正方体的截面面积为
【解答】解：对于A，连接AC，EF，易知EF∥AC，
所以直线AE与直线CF共面，故A正确；
对于B，若BD1⊥AM，
由BD1⊥AC，可得BD1⊥平面ACC1A1，这与BD⊥平面ACC1A1矛盾，故B错误；
对于C，易知CC1∥平面AEB，
则三棱锥A﹣EBM的体积为定值，故C正确；
对于D，如图，设A1D1的中点为G，
由BD⊥平面ACC1A1，可得AM⊥BD，
取BB1的中点为H，则MH⊥平面ABB1A1，
所以MH⊥BE，
又AH⊥BE，
所以BE⊥平面AMH，
所以AM⊥BE，
所以AM⊥平面BDGE，
则过点B且垂直于AM的平面截正方体的截面为梯形BDGE，且，BD＝2，，
易得梯形BDGE的面积为，故D正确．
故选：ACD．
（多选）26．（2025春 惠州月考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1中点，以O为球心的球的半径为r，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，球O的球面与该正方体的面没有公共点
B．当时，球O的球面与该正方体的棱有12个公共点
C．当r＝3时，球O的球面与该正方体的棱共有24个公共点
D．当时，该正方体的表面被球O截得的所有弧长之和为
【解答】解：由题设，易知O为正方体的中心，且其外接球半径为，内切球半径为2，
侧面正方形内切圆半径为，
由，则球O的球面与该正方体的面有公共点，A错；
由，则球O的球面与该正方体每条棱都相切，共12个切点，B对；
由，则球O的球面与该正方体每条棱都都有两个交点，共24个，C对；
由，
则各面截球O所得圆的半径为，
所以该圆截各棱所得弦长为，
该弦对应圆心角为，
所以该圆被一个侧面所截的弧长为，
故所有弧长之和为，D对．
故选：BCD．
（多选）27．（2025 新余校级模拟）小明和小红两人同时用5万元购买基金，现将两人购买基金后每个月的收益情况统计如下表所示．则（　　）
月份 第1个月 第2个月 第3个月 第4个月 第5个月
小明收益（元） 860 870 900 910 960
小红收益（元） 860 870 900 920 950
A．小明购买基金这5个月收益的极差大于小红的
B．小明购买基金这5个月的平均收益大于小红的
C．小明购买基金这5个月收益的第25百分位数等于小红的
D．小明购买基金这5个月收益的方差小于小红的
【解答】解：A选项，由表格可知小明这5个月收益的极差为：960﹣860＝100，
小红这5个月收益的极差为：950﹣860＝90，
所以小明购买基金这5个月收益的极差大于小红的，故A选项正确；
B选项，由表格可知小明这5个月的平均收益为：
，
小红这5个月的平均收益为：，
所以小明购买基金这5个月的平均收益等于小红的，故B选项错误；
C选项，小明、小红购买基金这5个月的收益都是从小到大排列的，
因为5×25%＝1.25，所以第25百分位数为第2个数，
由表格可知：小明、小红购买基金这5个月收益的第25百分位数为870，故C选项正确；
D选项，小明购买基金这5个月收益的方差为：
，
小红购买基金这5个月收益的方差为：
，
故小明购买基金这5个月收益的方差大于小红的，故D选项错误．
故选：AC．
（多选）28．（2025 江西模拟）设样本数据x1，x2，x3的平均数为，中位数为m，标准差为s，则（　　）
A．若，则数据的平均数为m2+s2
B．若m＝s，则数据的平均数为
C．不可能组成等边三角形的三边
D．有可能组成直角三角形的三边
【解答】解：已知样本数据x1，x2，x3的平均数为，中位数为m，标准差为s，
对于A，，，
所以，若，
则数据的平均数为m2+s2，故A正确；
对于B，若m＝s，则数据的平均数为，故B正确；
对于C，取，可得平均数为，中位数为m＝1，
标准差为，此时，
即有可能组成等边三角形的三边，故C错误；
对于D，取x1＝﹣1，x2＝1，x3＝1，可得平均数为，中位数为m＝1，标准差为，
此时满足，即有可能组成直角三角形的三边，故D正确．
故选：ABD．
（多选）29．（2025 湖北模拟）某班组织学生进行跳绳运动，统计部分学生一分钟内跳绳个数的数据如下：
学生人数 1 2 3 4 5 6 7 8
跳绳个数 123 150 180 98 120 120 78 131
下列说法正确的有（　　）
A．跳绳个数的中位数为98
B．跳绳个数的极差为102
C．跳绳个数的众数为120
D．跳绳个数的平均数为125
【解答】解：把表格中的数据按从小到大排序得78，98，120，120，123，131，150，180，
则跳绳个数的中位数为，
跳绳个数的极差为180﹣78＝102，
跳绳个数的众数为120，
跳绳个数的平均数为．
结合选项可得，A错误，BCD正确．
故选：BCD．
（多选）30．（2025 谷城县校级模拟）下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（　　）
A．数据﹣3，﹣1，3，7，8，9，11，15的第25百分位数是1
B．若一组样本数据（xi，yi）（i＝1，2， ，n）的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
C．已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝36，D（X）＝9，则n＝48
D．某班有50名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N（100，102），则理论上说在90～100分的人数约为17人．（参考数据：p（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，p（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，p（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）
【解答】解：8个数据从小到大排列，即﹣3，﹣1，3，7，8，9，11，15，
由于8×25%＝2，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A正确；
对于选项B，因为样本点都在直线上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为﹣1，故B错误．
对于选项C，因为X B（n，p），E（X）＝36，D（X）＝9，
所以，解得，故C正确；
对于选项D，由，
总人数为50，
可得在90～100分的人数是50×0.34135≈17，故D正确．
故选：ACD．
（多选）31．（2025 通许县校级模拟）某高校组织全体学生参加以“庆祝中华人民共和国成立75周年”为主题的知识测试，随机抽取了200名学生的成绩（单位：分）进行统计，按成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
根据图中数据，下列结论正确的是（　　）
A．这200名学生成绩的极差介于35至45之间
B．这200名学生成绩的平均数小于中位数
C．从200名学生中随机抽取一名，其成绩不低于70分的概率估计为0.7
D．从该校学生中随机抽取两名，在这两名学生成绩都不低于70分的条件下，恰有一名学生成绩在[70，80）内的概率估计为
【解答】解：因为100﹣50＝50，90﹣60＝30，
所以这200名学生成绩的极差介于30至50之间，所以A选项错误；
因为这200名学生成绩的平均数为78；
又（0.01+0.02+0.02）×10＝0.5所以这200名学生成绩的中位数为80，
所以这200名学生成绩的平均数小于中位数，所以B选项正确；
因为这200名学生中成绩不低于70分的学生的频率为1﹣0.1﹣0.2＝0.7，
所以从200名学生中随机抽取一名，其成绩不低于70分的概率估计为0.7，所以C选项正确；
设“从该校学生中随机抽取两名，这两名学生成绩都不低于70分”为事件A，
“这两名学生中恰有一名学生成绩在[70，80）内”为事件B，
由选项C可知：P（A）＝0.72＝0.49，，
所以，所以D选项正确．
故选：BCD．
（多选）32．（2025春 中牟县期末）对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A与B，其中n（Ω）＝36，n（A）＝18，n（B）＝12，n（A∪B）＝24，则（　　）
A．n（A∩B）＝8
B．
C．事件A与B互斥但不对立
D．事件A与B相互独立
【解答】解：对于A，n（A∪B）＝n（A）+n（B）﹣n（A∩B）＝24，得 n（A∩B）＝6，故A错误；
对于B，P（A∪B），故B正确；
对于C，事件A与B有公共样本点，可能同时发生，故A，B不互斥，故C错误；
对于D，P（A），P（B），P（AB）P（A）P（B），故事件A与B相互独立，故D正确．
故选：BD．
（多选）33．（2025春 渝中区校级月考）下列说法正确的是（　　）
A．若随机变量A，B满足：，则A，B相互独立
B．已知随机变量X～N（μ，σ2），若P（x≥2）+P（x≥6）＝1，则μ＝4
C．在线性回归分析中，样本相关系数r的值越大，变量间的线性相关性越强
D．一组数据（1，3），（2，8），（3，10），（4，14），（5，15）的经验回归方程为，则当x＝2时，残差为1
【解答】解：对于A，，，
∴，
∴P（AB）＝P（A）P（B），∴A，B相互独立，故A正确；
对于B，随机变量X～N（μ，σ2），P（x≥2）+P（x≥6）＝1，
∴x＝2和x＝6关于x＝μ对称，∴，故B正确；
对于C，在线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越大，
变量间的线性相关性越强，故C错误；
对于D，，，
数据（1，3），（2，8），（3，10），（4，14），（5，15）的样本中心点为（3，10），
将（3，10）代入中得，解得，
∴经验回归方程为，当x＝2时，，故残差为8﹣7＝1，故D正确．
故选：ABD．
（多选）34．（2025春 广东月考）珠海某中学有两个学生饭堂，分别为第一饭堂和第二饭堂，简称一饭、二饭．甲同学周一、周二中午在这两个饭堂就餐，周一中午去一饭，二饭就餐的概率分别为和，如果他周一去一饭，那么周二去一饭的概率为，如果周一去二饭，那么周二去一饭的概率为，则甲同学（　　）
A．周二去一饭的概率为0.54
B．周二去二饭的概率为0.44
C．周二去了一饭，则周一去二饭的概率为
D．若周一去一饭，则周二去二饭的概率为
【解答】解：设A1：周一去一饭，A2：周二去一饭，B1：周一去二饭，B2：周二去二饭，
所以，，，，
因为，，
所以P（A1A2）＝0.24，P（B1A2）＝0.3，
A选项，P（A2）＝P（A1A2）+P（B1A2）＝0.24+0.3＝0.54，A正确；
B选项，由A知，P（A2）＝0.54，故P（B2）＝1﹣P（A2）＝0.46，B不正确；
C选项，因为，C正确；
D选项，，D不正确．
故选：AC．
（多选）35．（2025 孝义市模拟）一个正四面体形的骰子，四个面分别标有数字1，2，3，4，先后抛掷两次，每次取着地的数字．甲表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，乙表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”，丙表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，丁表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”，则下列说法正确的是（　　）
A．甲发生的概率为 B．乙发生的概率为
C．甲与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【解答】解：根据题意，甲表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是1”，
乙表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是2”，
丙表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是5”，
丁表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是6”，
续抛掷质地均匀的正四面体形的骰子两次，有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16种等可能的不同结果，
依次分析选项：
对于A，第一次抛掷骰子所得数字是1的情况有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
甲发生的概率为：，故A正确；
对于B，第二次抛掷骰子所得数字是2的情况有：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），
乙发生的概率为：，故B错误；
对于C，两次抛掷骰子所得数字之和是5的情况有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），
丙发生的概率为：，
两次抛掷骰子所得数字之和是6的情况有：（2，4），（4，2），丁发生的概率为：，
，，
故事件甲与丙相互独立，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：AC．
（多选）36．（2025春 南京校级期中）暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（　　）
A．甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件
B．甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立
C．甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于
D．若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为
【解答】解：根据题意，设“甲同学今天早上骑共享自行车出行”为事件A1，“甲同学今天乘公交车出行”为事件A2，“甲同学今天乘地铁出行”为事件A3，
“甲同学到达图书馆能立即找到空座位”的事件为B．
依次分析选项：
对于A，A1与A2不能同时发生，两个事件是互斥事件，故A正确；
对于B，因为，，但P（A2A3）＝0，故P（A2A3）≠P（A2） P（A3），两个事件不相互独立，故B错误；
对于C，由，，，，，，
则P（B）＝P（A1） P（B|A1）+P（A2） P（B|A2）+P（A3） P（B|A3）．故C正确；
对于D，由贝叶斯公式，；故D正确．
故选：ACD．
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