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江苏省南京市期末押题卷-2024-2025学年高二数学下学期
一、选择题
1．（2025高二下·惠东期中）函数 在[0，π]上的平均变化率为（　　）
A．1 B．2 C．π D．
2．（2025高二下·浙江期中）已知（，且），则的值为（　　）
A．30 B．42 C．56 D．72
3．（2025高二下·徐州月考）记函数的导函数为.若，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
4．（2025高二下·徐州月考）的展开式中的系数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·徐州月考）从3名男生与2名女生中选出2人担任班委，则“恰有1名男生与1名女生当选”的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·盐城月考）将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（　　）
A．
B．是等边三角形
C．点与平面的距离为
D．与所成的角为
7．（2025高二下·盐城月考）已知点，过点引直线l与曲线相交于A，B两点，当的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·南京月考）在平行六面体中，，记向量，，，则向量（　　）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．（2025高二下·福田月考）已知数列 的前n项和为 ， ，则下列选项中正确的是（　　）
A．
B．
C．数列 是等比数列
D．数列 的前n项和为
10．（2025高二下·福田月考）关于函数 ，下列说法正确的是（　　）
A． 是 的极小值；
B．函数 有且只有1个零点
C． 在 上单调递减；
D．设 ，则 .
11．（2025高二下·永州期中）在长方体中，点M是棱AD的中点，，点P在侧面的边界及其内部运动，则（　　）
A．直线MP与直线所成角的最大值为90°
B．若，则点P的轨迹为椭圆的一部分
C．不存在点P，使得∥平面
D．若平面与平面ABCD和平面与平面所成的锐二面角相等，则点P的轨迹长度为
三、填空题
12．（2025高二下·盐城月考）用排列数表示且　 　．
13．（2025高二下·盐城月考）当某种针剂药注入人体后，血液中该药的浓度与时间的关系式近似满足，其中，则血液中该药的浓度，在时的瞬时变化率约是时的瞬时变化率的　 　倍.
14．（2025高二下·盐城月考）已知长方体中，，点为侧面内任一点（含边界），且点到点的距离与到面的距离相等，点分别为的中点，则三棱锥的体积的最大值为　 　．
四、解答题
15．（2025高二下·盐城月考）设为实数，函数，．
（1）求的极值；
（2）对于，，都有，试求实数的取值范围．
16．（2025高二下·牡丹月考）已知函数.
（1）当时，直线（为常数）与曲线相切，求的值；
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）若有两个零点，求证：.
17．（2025高二下·盐城月考）已知空间中三点、、，设，.
（1）若向量与互相垂直，求的值；
（2）若，且与共线，求向量.
18．（2024高二下·南京期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，．
（1）求的离心率；
（2）若射线交椭圆于点，且，求的值．
19．（2024高二下·徐州期末）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，.
（1）若点为棱的中点，求二面角的余弦值；
（2）若，设直线与平面，平面所成的角分别为，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,B,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）极小值为，无极大值.
（2）
16．【答案】（1）解：当时，.
设切点，则
消得，解得，代入得.

（2）解：方法一：因为，
所以，
当时，设，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
又-axe，故恒成立，所以成立.
当时，，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
故，解得，又，所以，
综上所述，的取值范围为.
方法二：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
设，则.
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
所以.
所以当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增.
所以.
故的取值范围为.
方法三：因为恒成立，
又，所以上式等价于恒成立.
记，则，
所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以.
令，则，则恒成立.
记，则，
所以在上单调递增，所以，所以.
故的取值范围为.
（3）证明：方法一：因为有两个零点，不妨设，
则，
即，即，
令，则，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即.
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则，
故在上单调递减，
又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以.
故.
思路二：要证，即证，即证.
令，即证.
构造函数.
则，
故在内单调递减，则，即.
故.
思路三：因为，即，
令，则
即
要证，即证，
即证，即证，
下同思路一，略.
方法二：因为有两个零点，不妨设，
则，
即.
令，则，
所以当时，单调递减；当时，单调递增.
所以.
令，则单调递增，
又，所以，即
由的单调性可知.
思路一：构造函数.
则
，
令，则，
所以当时，单调递减，
所以当时，，则，所以，
故在上单调递减，又，所以，则，即，
又，所以，
又在上单调递增，所以.
故.
思路二：因为，所以，
即，
令，要证，即证，
即证.
构造函数.
则，
故在上单调递减，则.
故.
注：要证明，即证，构造函数.
则，
故在上单调递减，则.故.
思路三：令，则即.
要证，即证，即证.
下同思路二，略.
思路四：对两边取对数，得，下面同方法一
17．【答案】（1）
（2）或
18．【答案】（1）；
（2）．
19．【答案】（1）连接，因为，所以，
又，，所以四边形为菱形，
又，故菱形为正方形，
故，由勾股定理得，
因为，所以，
由勾股定理逆定理得，故为等腰直角三角形，
取的中点，连接，则，
因为平面平面，交线为，平面，
所以平面，
又，所以，，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则
令，则，故，
故，
设二面角的大小为，由图形可知，为锐角，
故二面角的余弦值；
（2）设，则，
解得，故，
，，
平面的法向量为，平面的法向量为，
故
，
，
故，
，令，
则，
故当时，取得最大值，最大值为．
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