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广东省广州市期末押题卷-2024-2025学年高二数学下学期
一、选择题
1．根据历年气象统计资料，某地四月份某日刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为，则在下雨条件下刮东风的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．已知随机变量，Y服从两点分布，若，，则（　　）
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
3．已知函数，下列结论中错误的是（　　）
A．，
B．函数的值域为R
C．若是的极值点，则
D．若是的极小值点，则在区间单调递减
4．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．计算的值是（　　）
A．1 B．0.6 C．0.8 D．1.2
6．如图，在平行六面体中，点在对角线上，点在对角线上，，，以下命题正确的是（　　）
A． B．、、三点共线
C．与是异面直线 D．
7．已知函数与的图象如图所示，则函数
A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上减函数 D．在区间上是减函数
8．等比数列的前n项和为，若，，则（　　）
A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12
二、多项选择题
9．甲罐中有个红球，个白球，乙罐中有个红球，个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．为互斥事件 B．
C． D．
10．已知函数（）存在两个极值点，（），且，.设的零点个数为m，方程的实根个数为n，则（　　）
A． B．n的取值为2、3、4
C． D．mn的取值为3、6、9
11．已知数列的首项为4，且满足，则（　　）
A．为等差数列 B．为递增数列
C．的前项和 D．的前项和
三、填空题
12．将9个互不相同的向量，填入的方格中，使得每行、每列的三个向量的和都相等，则不同的填法种数是　 　.
13．已知函数，函数，若恒有，则的取值范围为　 　．
14．令，对抛物线持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：
在点处作抛物线的切线交轴于；
在点处作抛物线的切线，交轴于；
在点处作抛物线的切线，交轴于；
……
得到一个数列，则的值为　 　；数列的前项和　 　.
四、解答题
15．学校食堂为了减少排队时间，从开学第天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前天选择了米饭套餐，则第天选择米饭套餐的概率为；若他前天选择了面食套餐，则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为.
（1）求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率为证明：当时，.
16．已知.
（1）求的单调区间，并求其极值；
（2）画出函数的大致图象；
（3）讨论函数的零点的个数.
17．在直角梯形中，，，，为的中点，如图，将沿折到的位置，使，点在上，且，如图．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．
18．定义正方形数阵满足，其中i，.
（1）若，求数阵所有项的和T；
（2）若m，n，p，，求证：也是数阵中的项；
（3）若，，且，求的值为奇数的概率.
19．已知圆，圆，．当r变化时，圆与圆的交点P的轨迹为曲线C，
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点，过曲线C右焦点的直线交曲线C于A、B两点，与直线交于点D，是否存在实数m，，使得成立，若存在，求出m，；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】A
9．【答案】B,D
10．【答案】A,D
11．【答案】B,D
12．【答案】72
13．【答案】
14．【答案】；
15．【答案】（1）解：设“第天选择米饭套餐”，
则“第天选择面食套餐”，
根据题意，得，，，，
由全概率公式，得：
（2）证明：设“第天选择米饭套餐”，
则，，，，
由全概率公式，得：，
则，
所以，
因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
可得，
当为大于的奇数时，
当为正偶数时，，
综上所述：当时，.
16．【答案】（1）解：函数的定义域为，，
令，解得，
-1
― ― 0 +
↘ ↘
↗
由上表可知，函数单调递增区间为；函数单调递减区间为，
当时，函数取极小值，极小值为.
（2）解：令，解得；令，解得；
当时，，，故；
当时，，，故；
结合（1）的结论，可得的图像，如图所示：
.
（3）解：令，则，
即函数的零点的个数即为函数的图像与直线的交点个数
结合图像及（2）可知，当或，即或时，函数有1个零点；
当，即时，函数有2个零点；
当，即时，函数有0个零点.
17．【答案】（1）证明：在题中平面图形中，
由题意可知，，四边形为正方形，
所以，在翻折后的图中，，，
四边形是边长为2的正方形，
因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面.
（2）解：如图，以为原点建立直角坐标系，
则，，，，，，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，
因为，，
又因为，所以，
可取，所以，
所以，
设二面角为，显然二面角为锐二面角，
所以，所以，
所以，
则二面角的正切值为.
18．【答案】（1）解：若，则的所有取值情况为：
故数阵共99项，
由知：，
，
所以.
（2）证明：因为
由知，，
故，
所以也是数阵中的项.
（3）解：因为，
若，知：，
由与具有相同的奇偶性知要使的值为奇数，
需使与都是奇数，则i与j必定一奇一偶，
当时，的取值情况有4种，故；
当时，的取值情况有8种，故；
当时，的取值情况有12种，故；
当且n为奇数时，中有个奇数，个偶数，
所以的取值情况有种，则；
当且n为偶数时，中有个奇数，个偶数，
所以的取值情况有种，则，
综上所述，当且n为奇数时，；
当且n为偶数时，.
19．【答案】解：（1）由题意可知，，，
所以，
所以，曲线C为以、为焦点的椭圆，
且，，，
所以曲线C的方程为．
（2）假设存在，由题意知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为，，，
联立|，
消去y整理得，，
则，，
所以
，
因为，
所以，
所以，，
则，
所以，存在，使成立．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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