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广东省深圳市期末押题卷-2024-2025学年高一数学下学期
一、选择题
1．（2024高一下·安化期末）设均为单位向量，且，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2024高一下·朝阳期末）在中，若，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·唐县期末）已知、是不重合的两条直线，、是不重合的两个平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
4．（2024高一下·唐县期末）已知复数在复平面内对应的点是，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024高一下·崇阳期末） 已知A，B，C，P为球O的球面上的四个点，△为边长为的等边三角形，以A，B，C，P为顶点的三棱锥的体积的最大值为，则球O的表面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·岳阳期末）欧拉公式把自然对数的底数 虚数单位 三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·吉林期末）甲 乙 丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲 乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2019高一下·电白期末）设 是同一个半径为4的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2024高一下·红河期末）已知向量，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．与的夹角余弦值为
D．在方向上的投影向量为
10．（2024高一下·百色期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，且，则下列说法正确的是(　　)
A．
B．面积的最大值为
C．若D为边BC的中点，则AD的最大值为3
D．若为锐角三角形，则其周长的取值范围为
11．（2024高一下·衡阳期末）已知棱长为2的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，则下列说法正确的是（　　）
A．球的体积为
B．球内接圆柱的侧面积的最大值为
C．球在正方体外部的体积小于
D．球在正方体外部的面积大于
三、填空题
12．（2024高一下·盘州期末）设 为单位向量，且 ，则 　 　.
13．（2022高一下·和平期末） 是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ，则最大边 的取值范围是　 　.
14．（2024高一下·上海市期末）如图，在扇形AOB中，，，点C在扇形AOB内部，，，则阴影部分的面积为　 　．
四、解答题
15．（2024高一下·遂宁期末）已知复数，（其中）.
（1）若为实数，求的值；
（2）当时，复数是方程的一个根，求实数的值.
16．（2025高一下·鞍山期末）某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这4道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为，．已知甲（25岁）、乙（35岁）两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立．
（1）甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率；
（2）求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率；
（3）求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率．
17．（2024高一下·宁乡市期末）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点.
（1）求：；
（2）求的坐标；
（3）若点M在线段上运动，设，求的最大值.
18．（2023高一下·湖南期末）在中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c.
（1）若，，，求的周长；
（2）若点D是边上一点，且，，，求的长.
19．（2024高一下·海珠期末）在四棱锥中，侧面底面，侧面为正三角形，底面为矩形，是的中点，且与平面所成角的正弦值为.
（1）求证：平面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值；
（3）求平面与平面所成夹角的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】B,C,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：，
因为为实数，所以，解得，
故为实数时，的值为；
（2）解：当时，复数，，，
因为是方程（，为实数）的一个根，所以也是方程得根，
由韦达定理可得，解得.
16．【答案】（1）解：记为事件，分别为甲、乙两人第i次答对题目，则，，
甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为，
则甲通过第一轮挑战赛的概率为；
（2）解：设事件A为甲不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛；
事件B为乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛，
则，
．
故甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率为；
（3）解：甲通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为，
乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为，
故甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率为．
17．【答案】（1）解：易知是单位向量，且夹角为，
则，
因为，所以，
则；
（2）解：由，可得，，
易知，则四边形是平行四边形，，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为，
则，
所以，；
（3）解：由（2）可知：，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得，
所以，
因为，所以当时，取得最大值3.
18．【答案】（1）解：因为，，
所以.
由正弦定理，得，
所以
（2）解：设，在三角形与三角形中分别使用余弦定理得，
，，
即①，②，
①×2＋②得，，
因为，所以，解得，
即的长为1.
19．【答案】（1）证明：底面为矩形，则，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，而平面，所以，
又因为侧面为正三角形，是的中点，所以，
又因为，平面，
所以平面；
（2）解：取中点，连接，则，
又因为侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，
以为原点，过平行于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，则，，，，则，
，平面的一个法向量是，
因为与平面所成角的正弦值为.，
所以，解得（负值舍去），
，
，
所以直线与直线所成角的余弦值为；
（3）解：由（2）知，设平面的一个法向量是，
则，取，则，，
即为平面的一个法向量，
，，，
设平面的一个法向量是，
则，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，
，
设平面与平面所成夹角为，
则，从而．
所以平面与平面所成夹角的正弦值为．
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