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5.3 实际问题与一元一次方程（1）-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2025七上·龙岗期末）如图所示，是一块直角三角板，其中，直尺的一边DE经过顶点，若的度数是的，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
2．（2018七上·唐山期末）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（　　）
A． =1 B． =1
C． =1 D． =1
3．（2024七上·南岗期中）某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．某种商品的进价为200元，标价为400元，由于该商品积压，商店准备打折销售，为保证利润率为40%，则可以打 (　　)
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
5．若有200个大枣，分给幼儿园某班的小朋友，每人7个，还剩4个，则这个班的小朋友有 (　　)
A．26人 B．27人 C．28人 D．29人
6．五一期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打八折(标价的80%)销售，售价为2080元。设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是 (　　)
A．x×30%×80%=2080 B．x(1+30%)×80%=2080
C．2080×30%×80%=x D．x×30%=2080×80%
7．（2022七上·城阳期末）为使全国人民都过上幸福的小康生活，近年来各地扶贫办致力于帮扶当地区特色产品走进市民的菜篮子，助力更多优质农产品走出地区、走向全国．已知有一扶贫农产品去年和今年两年的销售总额为180万元，其中该扶贫农产品去年的价格为15元/千克，今年的价格为12元/千克，今年的销售产量比去年增长了25%．今年该扶贫农产品销售（　　）千克．
A．60000 B．75000 C．6000 D．7500
8．（2024七上·柳州期末）已知线段上有两个点、，，、为动点（点在点的左侧），并且始终保持，若点从点出发向右运动（当点到达点时立即停止），运动的速度为每秒2个单位长度，当运动时间为多少秒时，、两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍（　　）
A． B．或 C．或 D．或
二、填空题
9．（2024七上·越城期末）如图，天平左边托盘上放着3个乒乓球，右边托盘上放着的砝码和1个乒乓球，天平恰好平衡．如果设1个乒乓球的质量为（），由题意你所列出的一个含有未知数的方程是　 　．
10．（2025七上·常德期末）为提升课堂积极性，某老师制定了如下奖励方案：回答问题为“优秀”等级可获得一张2分的卡片，回答问题为“一般”等级，可获得一张1分的卡片；若获得卡片较多，可拿两张1分的卡片找老师兑换一张2分的卡片，两张2分的卡片可兑换一张4分的卡片，两张4分的卡片可兑换一张8分的卡片……一学期下来，小明同学拥有分值为1，2，8，16，32，64，256的卡片各一张，若小明回答问题获“优秀”和“一般”等级共240次，请问这学期小明回答问题获得了　 　次“优秀”等级．
11．（2021七上·惠城期末）某种商品的标价为200元，为了吸引顾客，按九折出售，这时仍要盈利20%，则这种商品的进价是　 　元．
12．（2024七上·西城期中）如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B表示的数分别是x，，B，O两点之间的距离等于A，B两点间的距离，则x的值是　 　．
13．（2025七上·慈溪期末）如图，某书店准备在一个书架上竖着摆放《九章算术》和《几何原本》，若把 10 本《九章算术》和 15 本《几何原本》依次摆放，则书架还有12厘米的剩余间隙；若把15 本《九章算术》和 10 本《几何原本》依次摆放，则书架还有 14 厘米的剩余间隙。若书架上只摆放 25 本《九章算术》，则书架的剩余间隙为　 　厘米。
14．如图，一个长方体玻璃容器内部的长为8cm，宽为6cm，高为16 cm，容器内水的高度为2cm，现把一块边长为4cm的立方体金属块放入水中，则容器内的水将升高　 　 cm.
三、解答题
15．（2023七上·巴楚月考）一项道路工程，甲队单独做9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲、乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，则乙队还需几天才能完成？
16． 一个长方形的周长为26 cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可以成为一个正方形，则原长方形的长和宽各为多少厘米
17．（2023七上·大朗期末）某商场经销A商品，每件售价60元，利润率为．
（1）求A商品每件进价为多少元；
（2）小明准备到商场团购A种商品、当团购数量不超过5件时，按照原售价购买，当团购数量超过5件时，超出部分按照原价8折购买，最终小明团购均价为52元/件，求小明团购了多少件A商品？
18．（2023七上·黄州月考）某校七年级准备观看电影《志愿军》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有6人可以免票．
（1）若二班有50名学生，则他该选择哪个方案？
（2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？
19．（2024七上·广州月考）我们记一对有理数a，b为数对．如果数对使等式成立，则称之为“有趣数对”．
（1）如果数对是“有趣数对”，那么是“有趣数对”吗？请说明理由；
（2）如果数对是“有趣数对”，求的值；
（3）如果a和b互为相反数，那么是“有趣数对”吗？请说明理由．
20．（2025七上·镇海区期末） 2024 年，盲盒风潮依旧不减，各款盲盒层出不穷，让人眼花缭乱．镇海区某工厂共有 800名工人，负责生产 两种盲盒。
（1）若该工厂生产盲盒 的人数比生产盲盒 的人数的 3 倍少 200 人，请求出生产盲盒 的工人人数；
（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由 3 个盲盒 和 4 个盲盒 组成．已知每个工人平均每天可以生产 10 个盲盒 或 20 个盲盒 ，且每天只能生产其中的一种盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒 ，多少名工人生产盲盒 才能使每天生产的盲盒正好配套？
四、实践探究题
21．（2023七上·凤凰月考）【背景知识】．
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律：
①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：，若点A在B的右侧，即，则A，B两点之间的距离为：；
②线段的中点表示的数为；
③点A向右运动m个单位长度后，点A表示的数为：，点A向左运动m个单位长度后，点A表示的数为：．
同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题．
【问题情境】
如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒．
（1）请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点A到点B之间的距离，运动之前，的距离为______，A点与C点的中点为D，则点D表示的数为______；运动t秒后，点A表示的数为______（用含t的式子表示）．
（2）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；
（3）当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使的值为定值？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
22．（2024七上·温州期末）综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）．
【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍．
【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究．
（1）思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？
（2）思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期．
（3）思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设，则. 由题意可得
.
解得x=90°.
∴.
故答案为：B.
【分析】设，根据题意建立关于x的一元一次方程，先计算出∠DAC，然后加上30°即为∠DAB.
2．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x﹣22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的 ，乙每天完成全部工作的 ．
根据等量关系列方程得： =1，
故选A．
【分析】关键是找相等关系：各分工作量之和等于总工作量。
3．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设分配m人生产螺丝，则有人生产螺母，
每天生产螺丝个，生产螺母个，
每天生产的螺丝和螺母按配套，
，
故选：．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分配m人生产螺丝，得到人生产螺母，结合每天生产的螺丝和螺母按配套，列出关于x的一元一次方程，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设可以打x折，
根据题意，得，
解得：x=7，
∴可以打七折，
故答案为：B.
【分析】设可以打x折，根据利润率为40%，而利润率=利润÷成本，可列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解，注意打x折就用标价乘以，不能直接乘以x.
5．【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这个班的小朋友有x人，
根据题意，得7x+4=200，
解得：x=28，
∴这个班的小朋友有28人，
故答案为：C.
【分析】设这个班的小朋友有x人，根据“ 有200个大枣，分给幼儿园某班的小朋友，每人7个，还剩4个 ”列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解.
6．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该电器的成本价为x 元，则该电器的标价为x(1+30%)元
由题意可得： x(1+30%)×80%=2080
故答案为：B
【分析】设该电器的成本价为x 元，则该电器的标价为x(1+30%)元，再根据题意建立方程即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设去年该扶贫农产品销售x千克，则今年该扶贫农产品销售千克，
根据题意得：，
解得，
∴，
∴今年该扶贫农产品销售75000千克，
故答案为：B．
【分析】设去年该扶贫农产品销售x千克，则今年该扶贫农产品销售千克，根据题意列出方程，再求解即可。
8．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒
当时，依题意有，解得；
当时，依题意有，解得．
故当运动时间t为或秒时，使、两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍．
故选：C．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及两点间的距离，根据题意，分，两种情况讨论，分别列出关于t的方程，求得方程的即，即可得到答案.
9．【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意，可列出一个含有未知数的方程为：，
故答案为：．
【分析】利用天平的左右持平列等式解题即可．
10．【答案】139
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：设这学期小明回答问题获得了x次“优秀”等级，根据题意，
得，
解得．
答：这学期小明回答问题获得了139次“优秀”等级．
故答案为：139.
【分析】设这学期小明回答问题获得了x次“优秀”等级，则获得了(240-x)次“一般”等级，根据“优秀”等级得分与“一般”等级得分之和为总积分列出方程，求解即可解答．
11．【答案】150
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设这种商品的进价是x元，根据题意可得200×90%=x（1＋20%）
解得：x=150，
故答案为：150．
【分析】设这种商品的进价是x元，根据题意列出方程200×90%=x（1＋20%），再求出x的值即可。
12．【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，以及解一元一次方程，根据题意，得出一元一次方程，结合一元一次方程的解法，即可求解．
13．【答案】18
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设每本《几何原本》比《九章算术》厚x厘米，根据题意得：
解得：
(厘米)，
∴若书架上只摆放25本《九章算术》，则书架的剩余间隙为18厘米.
故答案为： 18.
【分析】设每本《几何原本》比《九章算术》厚x厘米，根据题意列关于x的一元一次方程求出x的值，即可解题.
14．【答案】1
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设容器内的水将升高 xcm，
根据题意得：
解得：
答：容器内的水将升高1cm.
故答案为：1 .
【分析】设容器内的水将升高 xcm，根据体积的计算方法列出方程，解之即可.
15．【答案】解：设乙队还需x天才能完成，
由题意可得：，
解得：，
∴乙队还需13天才能完成．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】设乙队还需x天才能完成，根据甲乙两队的工作总量为1建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】解：设长方形的长为x，则宽为13-x
∴长减少1为x-1，增加2为15-x
∴x-1=15-x
解得：x=8
∴长方形的长为8cm，宽为5cm
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设长方形的长为x，则宽为13-x，则长减少1为x-1，增加2为15-x，根据正方形性质建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】（1）解：元，
答：A商品每件进价为50元
（2）解：设小明团购了a件A商品，
由题意得，，
解得，
答：小明团购了15件A商品
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据公式，利润=售价-进价，设A商品每件进价为x元 ，即可列出关于x的等式方程，求解即可；
（2）利用公式，总价=单价×数量，设小明团购了a件A商品，结合条件“ 最终小明团购均价为52元/件 ”，即可列出关于a的等式方程，即可求解.
18．【答案】（1）解：由题意可得，
方案一的花费为：50×30×0.8＝1200（元），
方案二的花费为：（50﹣6）×0.9×30＝1188（元），
∵1200＞1188，
∴若二班有50名学生，则他该选择方案二
（2）解：设一班有x人，根据题意，得
x×30×0.8＝（x﹣6）×0.9×30，
解得x＝54．
答：一班有54人
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）根据优惠规则，分别计算方案一、方案二的总费用，再进行比较即可；
（2）设一班有x人，根据付款金额一样，可列出等式，即可求出一班人数.
19．【答案】（1）解：∵是“有趣数对”，
∴，
∴，
把，代入中，左边=右边，
∴是“有趣数对”.
（2）解：根据题意得，
解得
∴，，
∴.
（3）解：∵a和b互为相反数，
∴，且
∴，
∴不是“有趣数对”．
【知识点】一元一次方程的其他应用；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）利用“有趣数对”的定义可得，求出m的值，再证明即可；
（2）利用“有趣数对”的定义可得，再求出x的值，最后求出即可；
（3）先利用相反数的定义可得，且，再求出，再根据“有趣数对”的定义分析求解即可.
（1）解：∵是“有趣数对”，
∴，
∴，
把，代入中，左边=右边
所以是“有趣数对”；
（2）解：依题意得，
解得
∴，，
∴；
（3）解：∵a和b互为相反数，
∴，且
∴，
∴不是“有趣数对”．
20．【答案】（1）解：设该工厂生产盲盒B的工人人数为x，则生产盲盒A的人数为(3x﹣200).
根据题意，得 x+(3x﹣200)＝800
解得 x＝250
答：该工厂生产盲盒B的工人人数为250.
（2）解：设该工厂安排a名工人生产盲盒A，(800﹣a)名工人生产盲盒B
根据题意，得
解得 a＝480 则800﹣a＝320
答：该工厂应该安排480名工人生产盲盒A，320名工人生产盲盒B
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】(1)设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为 (3x﹣200) 人，根据该工厂共有800名工人， 列出一元一次方程，解方程即可；
(2)设安排a人生产盲盒A，则安排 (800﹣a) 人生产盲盒B，根据大礼包由 3 个盲盒 和 4 个盲盒 组成 .列出一元一次方程， 解方程即可.
21．【答案】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9，∴的距离为；A点与C点的中点D表示的数为；
运动t秒后，点A表示的数为；
故答案为：4；3；；
（2）解：因为点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，
所以t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
当点A是点B，C的中点时，，
解得：；
当点B是点A，C的中点时，，
解得：；
当点C是点A，B的中点时，，
解得：；
综上所述，t的值为16或1或4；
（3）解：存在，由（2）得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
因为，
所以点A在点B的左侧，
所以
，
因为的值为定值，
所以 ，
解得：；
综上所述，当点C在点B右侧时，存在常数m，使的值为定值，m的值为．
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据数轴两点间的距离，即可求解；
（2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解；
（3）由（2）得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，由可知点A在点B的左侧，化简，即可求解．
（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9，
∴的距离为；A点与C点的中点D表示的数为；
运动t秒后，点A表示的数为；
故答案为：4；3；；
（2）解：根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
当点A是点B，C的中点时，，
解得：；
当点B是点A，C的中点时，，
解得：；
当点C是点A，B的中点时，，
解得：；
综上所述，t的值为16或1或4；
（3）解：存在，
由（2）得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
∵，
∴点A在点B的左侧，
∴
，
∵的值为定值，
∴，
解得：；
综上所述，当点C在点B右侧时，存在常数m，使的值为定值，m的值为．
22．【答案】（1）解：思考1：分配给甲工厂20件时，分配给丙工厂10件，分配给乙工厂件，
甲完成的时间为：（天），
乙完成的时间为：（天），
丙完成的时间为：（天），
因此最短工期为180天；
（2）解：思考2：设分配给甲工厂x件，分配给乙工厂件，
则，
解得，
则，，
因此分配给甲工厂36件，分配给乙工厂24件，最短工期为144天；
（3）解：思考3：设分配给丙工厂件，分配给甲工厂件，分配给乙工厂件，
甲完成的时间为：（天），
乙完成的时间为：（天），
丙完成的时间为：（天），
，
当甲、乙两家工厂同时完成生产时工期最短，
则，
解得，
为整数，
应取13或14，
当时，甲、乙完成的时间分别为104天，126天，最短工期为126天；
当时，甲、乙完成的时间分别为112天，108天，最短工期为112天；
，
时，工期最短，
即分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件，最短工期为112天．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）思考1：分别求出三个工厂完成的时间，即可得解；
（2）思考2：设分配给甲工厂x件，分配给乙工厂件，根据所需时间相等列方程，即可求解；
思考3：设分配给丙工厂件，分配给甲工厂件，分配给乙工厂件，根据甲、乙两家工厂同时完成生产时工期最短，列方程，求出m的值，再根据为整数，可得应取13或14，分别求出最短工期，即可得解．
1 / 15.3 实际问题与一元一次方程（1）-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2025七上·龙岗期末）如图所示，是一块直角三角板，其中，直尺的一边DE经过顶点，若的度数是的，则的度数为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设，则. 由题意可得
.
解得x=90°.
∴.
故答案为：B.
【分析】设，根据题意建立关于x的一元一次方程，先计算出∠DAC，然后加上30°即为∠DAB.
2．（2018七上·唐山期末）某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作，若设甲、乙共用x天完成，则符合题意的方程是（　　）
A． =1 B． =1
C． =1 D． =1
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设甲、乙共用x天完成，则甲单独干了（x﹣22）天，本题中把总的工作量看成整体1，则甲每天完成全部工作的 ，乙每天完成全部工作的 ．
根据等量关系列方程得： =1，
故选A．
【分析】关键是找相等关系：各分工作量之和等于总工作量。
3．（2024七上·南岗期中）某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设分配m人生产螺丝，则有人生产螺母，
每天生产螺丝个，生产螺母个，
每天生产的螺丝和螺母按配套，
，
故选：．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分配m人生产螺丝，得到人生产螺母，结合每天生产的螺丝和螺母按配套，列出关于x的一元一次方程，即可求解.
4．某种商品的进价为200元，标价为400元，由于该商品积压，商店准备打折销售，为保证利润率为40%，则可以打 (　　)
A．六折 B．七折 C．八折 D．九折
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设可以打x折，
根据题意，得，
解得：x=7，
∴可以打七折，
故答案为：B.
【分析】设可以打x折，根据利润率为40%，而利润率=利润÷成本，可列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解，注意打x折就用标价乘以，不能直接乘以x.
5．若有200个大枣，分给幼儿园某班的小朋友，每人7个，还剩4个，则这个班的小朋友有 (　　)
A．26人 B．27人 C．28人 D．29人
【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这个班的小朋友有x人，
根据题意，得7x+4=200，
解得：x=28，
∴这个班的小朋友有28人，
故答案为：C.
【分析】设这个班的小朋友有x人，根据“ 有200个大枣，分给幼儿园某班的小朋友，每人7个，还剩4个 ”列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解.
6．五一期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打八折(标价的80%)销售，售价为2080元。设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是 (　　)
A．x×30%×80%=2080 B．x(1+30%)×80%=2080
C．2080×30%×80%=x D．x×30%=2080×80%
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设该电器的成本价为x 元，则该电器的标价为x(1+30%)元
由题意可得： x(1+30%)×80%=2080
故答案为：B
【分析】设该电器的成本价为x 元，则该电器的标价为x(1+30%)元，再根据题意建立方程即可求出答案.
7．（2022七上·城阳期末）为使全国人民都过上幸福的小康生活，近年来各地扶贫办致力于帮扶当地区特色产品走进市民的菜篮子，助力更多优质农产品走出地区、走向全国．已知有一扶贫农产品去年和今年两年的销售总额为180万元，其中该扶贫农产品去年的价格为15元/千克，今年的价格为12元/千克，今年的销售产量比去年增长了25%．今年该扶贫农产品销售（　　）千克．
A．60000 B．75000 C．6000 D．7500
【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设去年该扶贫农产品销售x千克，则今年该扶贫农产品销售千克，
根据题意得：，
解得，
∴，
∴今年该扶贫农产品销售75000千克，
故答案为：B．
【分析】设去年该扶贫农产品销售x千克，则今年该扶贫农产品销售千克，根据题意列出方程，再求解即可。
8．（2024七上·柳州期末）已知线段上有两个点、，，、为动点（点在点的左侧），并且始终保持，若点从点出发向右运动（当点到达点时立即停止），运动的速度为每秒2个单位长度，当运动时间为多少秒时，、两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍（　　）
A． B．或 C．或 D．或
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒
当时，依题意有，解得；
当时，依题意有，解得．
故当运动时间t为或秒时，使、两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍．
故选：C．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及两点间的距离，根据题意，分，两种情况讨论，分别列出关于t的方程，求得方程的即，即可得到答案.
二、填空题
9．（2024七上·越城期末）如图，天平左边托盘上放着3个乒乓球，右边托盘上放着的砝码和1个乒乓球，天平恰好平衡．如果设1个乒乓球的质量为（），由题意你所列出的一个含有未知数的方程是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意，可列出一个含有未知数的方程为：，
故答案为：．
【分析】利用天平的左右持平列等式解题即可．
10．（2025七上·常德期末）为提升课堂积极性，某老师制定了如下奖励方案：回答问题为“优秀”等级可获得一张2分的卡片，回答问题为“一般”等级，可获得一张1分的卡片；若获得卡片较多，可拿两张1分的卡片找老师兑换一张2分的卡片，两张2分的卡片可兑换一张4分的卡片，两张4分的卡片可兑换一张8分的卡片……一学期下来，小明同学拥有分值为1，2，8，16，32，64，256的卡片各一张，若小明回答问题获“优秀”和“一般”等级共240次，请问这学期小明回答问题获得了　 　次“优秀”等级．
【答案】139
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：设这学期小明回答问题获得了x次“优秀”等级，根据题意，
得，
解得．
答：这学期小明回答问题获得了139次“优秀”等级．
故答案为：139.
【分析】设这学期小明回答问题获得了x次“优秀”等级，则获得了(240-x)次“一般”等级，根据“优秀”等级得分与“一般”等级得分之和为总积分列出方程，求解即可解答．
11．（2021七上·惠城期末）某种商品的标价为200元，为了吸引顾客，按九折出售，这时仍要盈利20%，则这种商品的进价是　 　元．
【答案】150
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设这种商品的进价是x元，根据题意可得200×90%=x（1＋20%）
解得：x=150，
故答案为：150．
【分析】设这种商品的进价是x元，根据题意列出方程200×90%=x（1＋20%），再求出x的值即可。
12．（2024七上·西城期中）如图，点A，B为数轴上的两点，O为原点，A，B表示的数分别是x，，B，O两点之间的距离等于A，B两点间的距离，则x的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，以及解一元一次方程，根据题意，得出一元一次方程，结合一元一次方程的解法，即可求解．
13．（2025七上·慈溪期末）如图，某书店准备在一个书架上竖着摆放《九章算术》和《几何原本》，若把 10 本《九章算术》和 15 本《几何原本》依次摆放，则书架还有12厘米的剩余间隙；若把15 本《九章算术》和 10 本《几何原本》依次摆放，则书架还有 14 厘米的剩余间隙。若书架上只摆放 25 本《九章算术》，则书架的剩余间隙为　 　厘米。
【答案】18
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设每本《几何原本》比《九章算术》厚x厘米，根据题意得：
解得：
(厘米)，
∴若书架上只摆放25本《九章算术》，则书架的剩余间隙为18厘米.
故答案为： 18.
【分析】设每本《几何原本》比《九章算术》厚x厘米，根据题意列关于x的一元一次方程求出x的值，即可解题.
14．如图，一个长方体玻璃容器内部的长为8cm，宽为6cm，高为16 cm，容器内水的高度为2cm，现把一块边长为4cm的立方体金属块放入水中，则容器内的水将升高　 　 cm.
【答案】1
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设容器内的水将升高 xcm，
根据题意得：
解得：
答：容器内的水将升高1cm.
故答案为：1 .
【分析】设容器内的水将升高 xcm，根据体积的计算方法列出方程，解之即可.
三、解答题
15．（2023七上·巴楚月考）一项道路工程，甲队单独做9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲、乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，则乙队还需几天才能完成？
【答案】解：设乙队还需x天才能完成，
由题意可得：，
解得：，
∴乙队还需13天才能完成．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】设乙队还需x天才能完成，根据甲乙两队的工作总量为1建立方程，解方程即可求出答案.
16． 一个长方形的周长为26 cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可以成为一个正方形，则原长方形的长和宽各为多少厘米
【答案】解：设长方形的长为x，则宽为13-x
∴长减少1为x-1，增加2为15-x
∴x-1=15-x
解得：x=8
∴长方形的长为8cm，宽为5cm
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设长方形的长为x，则宽为13-x，则长减少1为x-1，增加2为15-x，根据正方形性质建立方程，解方程即可求出答案.
17．（2023七上·大朗期末）某商场经销A商品，每件售价60元，利润率为．
（1）求A商品每件进价为多少元；
（2）小明准备到商场团购A种商品、当团购数量不超过5件时，按照原售价购买，当团购数量超过5件时，超出部分按照原价8折购买，最终小明团购均价为52元/件，求小明团购了多少件A商品？
【答案】（1）解：元，
答：A商品每件进价为50元
（2）解：设小明团购了a件A商品，
由题意得，，
解得，
答：小明团购了15件A商品
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据公式，利润=售价-进价，设A商品每件进价为x元 ，即可列出关于x的等式方程，求解即可；
（2）利用公式，总价=单价×数量，设小明团购了a件A商品，结合条件“ 最终小明团购均价为52元/件 ”，即可列出关于a的等式方程，即可求解.
18．（2023七上·黄州月考）某校七年级准备观看电影《志愿军》，由各班班长负责买票，每班人数都多于40人，票价每张30元，一班班长问售票员买团体票是否可以优惠，售票员说40人以上的团体票有两种优惠方案可选择：
方案一：全体人员可打8折；方案2：若打9折，有6人可以免票．
（1）若二班有50名学生，则他该选择哪个方案？
（2）一班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的，你知道一班有多少人吗？
【答案】（1）解：由题意可得，
方案一的花费为：50×30×0.8＝1200（元），
方案二的花费为：（50﹣6）×0.9×30＝1188（元），
∵1200＞1188，
∴若二班有50名学生，则他该选择方案二
（2）解：设一班有x人，根据题意，得
x×30×0.8＝（x﹣6）×0.9×30，
解得x＝54．
答：一班有54人
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）根据优惠规则，分别计算方案一、方案二的总费用，再进行比较即可；
（2）设一班有x人，根据付款金额一样，可列出等式，即可求出一班人数.
19．（2024七上·广州月考）我们记一对有理数a，b为数对．如果数对使等式成立，则称之为“有趣数对”．
（1）如果数对是“有趣数对”，那么是“有趣数对”吗？请说明理由；
（2）如果数对是“有趣数对”，求的值；
（3）如果a和b互为相反数，那么是“有趣数对”吗？请说明理由．
【答案】（1）解：∵是“有趣数对”，
∴，
∴，
把，代入中，左边=右边，
∴是“有趣数对”.
（2）解：根据题意得，
解得
∴，，
∴.
（3）解：∵a和b互为相反数，
∴，且
∴，
∴不是“有趣数对”．
【知识点】一元一次方程的其他应用；相反数的意义与性质；绝对值的概念与意义；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）利用“有趣数对”的定义可得，求出m的值，再证明即可；
（2）利用“有趣数对”的定义可得，再求出x的值，最后求出即可；
（3）先利用相反数的定义可得，且，再求出，再根据“有趣数对”的定义分析求解即可.
（1）解：∵是“有趣数对”，
∴，
∴，
把，代入中，左边=右边
所以是“有趣数对”；
（2）解：依题意得，
解得
∴，，
∴；
（3）解：∵a和b互为相反数，
∴，且
∴，
∴不是“有趣数对”．
20．（2025七上·镇海区期末） 2024 年，盲盒风潮依旧不减，各款盲盒层出不穷，让人眼花缭乱．镇海区某工厂共有 800名工人，负责生产 两种盲盒。
（1）若该工厂生产盲盒 的人数比生产盲盒 的人数的 3 倍少 200 人，请求出生产盲盒 的工人人数；
（2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由 3 个盲盒 和 4 个盲盒 组成．已知每个工人平均每天可以生产 10 个盲盒 或 20 个盲盒 ，且每天只能生产其中的一种盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒 ，多少名工人生产盲盒 才能使每天生产的盲盒正好配套？
【答案】（1）解：设该工厂生产盲盒B的工人人数为x，则生产盲盒A的人数为(3x﹣200).
根据题意，得 x+(3x﹣200)＝800
解得 x＝250
答：该工厂生产盲盒B的工人人数为250.
（2）解：设该工厂安排a名工人生产盲盒A，(800﹣a)名工人生产盲盒B
根据题意，得
解得 a＝480 则800﹣a＝320
答：该工厂应该安排480名工人生产盲盒A，320名工人生产盲盒B
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】(1)设生产盲盒B的工人人数为x人，则生产盲盒A的工人人数为 (3x﹣200) 人，根据该工厂共有800名工人， 列出一元一次方程，解方程即可；
(2)设安排a人生产盲盒A，则安排 (800﹣a) 人生产盲盒B，根据大礼包由 3 个盲盒 和 4 个盲盒 组成 .列出一元一次方程， 解方程即可.
四、实践探究题
21．（2023七上·凤凰月考）【背景知识】．
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律：
①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：，若点A在B的右侧，即，则A，B两点之间的距离为：；
②线段的中点表示的数为；
③点A向右运动m个单位长度后，点A表示的数为：，点A向左运动m个单位长度后，点A表示的数为：．
同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题．
【问题情境】
如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒．
（1）请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点A到点B之间的距离，运动之前，的距离为______，A点与C点的中点为D，则点D表示的数为______；运动t秒后，点A表示的数为______（用含t的式子表示）．
（2）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值；
（3）当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使的值为定值？若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9，∴的距离为；A点与C点的中点D表示的数为；
运动t秒后，点A表示的数为；
故答案为：4；3；；
（2）解：因为点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，
所以t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
当点A是点B，C的中点时，，
解得：；
当点B是点A，C的中点时，，
解得：；
当点C是点A，B的中点时，，
解得：；
综上所述，t的值为16或1或4；
（3）解：存在，由（2）得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
因为，
所以点A在点B的左侧，
所以
，
因为的值为定值，
所以 ，
解得：；
综上所述，当点C在点B右侧时，存在常数m，使的值为定值，m的值为．
【知识点】整式的加减运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据数轴两点间的距离，即可求解；
（2）根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，分三种情况讨论，结合线段的中点表示的数为，即可求解；
（3）由（2）得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，由可知点A在点B的左侧，化简，即可求解．
（1）解：点A表示数，点B表示数1，点表示数9，
∴的距离为；A点与C点的中点D表示的数为；
运动t秒后，点A表示的数为；
故答案为：4；3；；
（2）解：根据题意得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
当点A是点B，C的中点时，，
解得：；
当点B是点A，C的中点时，，
解得：；
当点C是点A，B的中点时，，
解得：；
综上所述，t的值为16或1或4；
（3）解：存在，
由（2）得：t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
∵，
∴点A在点B的左侧，
∴
，
∵的值为定值，
∴，
解得：；
综上所述，当点C在点B右侧时，存在常数m，使的值为定值，m的值为．
22．（2024七上·温州期末）综合与实践：设计完成工程的最短工期方案（最短工期是指完成某项工程所需的最短时间）．
【背景素材】某公司要生产某大型产品60件，已知甲，乙，丙三家子工厂完成一件产品的时间分别为4天，6天，5天．现计划：①三家子工厂同时开始生产；②分配给甲工厂的数量是丙的2倍．
【问题解决】为设计方案，可以通过特殊情况或满足部分条件逐步进行探究．
（1）思考1（特值分析）：若该公司将20件产品分配给甲工厂，则最短工期为多少天？
（2）思考2（减少要素）：若不考虑素材②，仅由甲、乙两工厂完成，则当两家工厂同时完成生产时工期最短，求如何分配产品件数与最短工期．
（3）思考3（方案探究）：如何分配三家工厂的生产任务使得工期最短，并求出最短工期．（注：如你直接挑战思考3并正确解答也给满分）
【答案】（1）解：思考1：分配给甲工厂20件时，分配给丙工厂10件，分配给乙工厂件，
甲完成的时间为：（天），
乙完成的时间为：（天），
丙完成的时间为：（天），
因此最短工期为180天；
（2）解：思考2：设分配给甲工厂x件，分配给乙工厂件，
则，
解得，
则，，
因此分配给甲工厂36件，分配给乙工厂24件，最短工期为144天；
（3）解：思考3：设分配给丙工厂件，分配给甲工厂件，分配给乙工厂件，
甲完成的时间为：（天），
乙完成的时间为：（天），
丙完成的时间为：（天），
，
当甲、乙两家工厂同时完成生产时工期最短，
则，
解得，
为整数，
应取13或14，
当时，甲、乙完成的时间分别为104天，126天，最短工期为126天；
当时，甲、乙完成的时间分别为112天，108天，最短工期为112天；
，
时，工期最短，
即分配给甲，乙，丙工厂的产品数量分别为28件，18件，14件，最短工期为112天．
【知识点】一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）思考1：分别求出三个工厂完成的时间，即可得解；
（2）思考2：设分配给甲工厂x件，分配给乙工厂件，根据所需时间相等列方程，即可求解；
思考3：设分配给丙工厂件，分配给甲工厂件，分配给乙工厂件，根据甲、乙两家工厂同时完成生产时工期最短，列方程，求出m的值，再根据为整数，可得应取13或14，分别求出最短工期，即可得解．
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