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5.3 实际问题与一元一次方程（2）-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2024七上·襄城期末）我国古代数学著《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，用索去量竿，索比竿长5尺：若将索子对折去量竿，索子就比竿子短5尺，若设竿长为x尺，则所列方程为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023七上·南岸月考）甲乙两人同时从到地，甲比乙每小时多行，若甲每小时行，结果甲比乙早到，设两地的路程为，根据题意，列方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七上·湖州期末）甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨，为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场 设应从甲煤场运吨煤到乙煤场，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024七上·碧江期末）年元旦节，某服装店清仓处理两种毛衣，分别售价每件元，其中一件赚，而另一件亏，那么这家商店出售这样两件毛衣是赚还是赔（　　）
A．赔了 B．赚了 C．不赚也不赔 D．无法计算
5．小明同学在某月的月历表上圈出了三个相邻的数a，b，c，并求出了它们的和为42，则这三个数在日历中的排列位置不可能是(　　)
A． B． C． D．
6． 已知甲、乙两数之和为5，甲数比乙数大2，求甲、乙两数.设乙数为x，可列出方程是（　　）
A．x+2+x=5 B．x-2+x=5 C．5+x=x-2 D．x(x+2)=5
7．（2024七上·苍梧期末）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行160里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024七上·蓬江期末）程大位是我国珠算发明家，他完成杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有人，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023七上·郑州经济技术开发期末）某商店在同一天以每件 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 ，另一件亏损，卖出这两件衣服商店盈利　 　 元．
10．（2024七上·官渡期末）洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示，图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，图3中的值为　 　．
11．（2024七上·铁东期末）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则m的值为　 　．
12．（2024七上·新都开学考）把若干本书分给甲乙丙三人．分给甲的书是总量的，分给乙的书是总量的，分给丙的书是甲乙分得书的本数之差的二倍，最后还剩下11 本．那么，乙分得的书有　 　本．
13．（2024七上·遵义期末）一艘轮船从港顺流行驶到港，比从港返回港少用2小时，已知水流的速度为，轮船在静水中航行的速度为，则A港和B港相距　 　．
14．某班共有54名同学，其中会打篮球的有36人，会打排球的人数比会打篮球的多4人.另外，这两种球都不会打的人数是都会打的人数的 还少1人，则既会打篮球又会打排球的有　 　人.
三、解答题
15．（2023七上·西湖月考）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次 月用电量 电价（元/度）
第1档 不超过240度的部分 a
第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65
第3档 超过400度的部分 a+0.3
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费157元．
（1）表中a的值为　 　；
（2）求老李家9月份的用电量；
（3）若8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，求老李家8月份的用电量．
16．（2023七上·武汉期中）如图1是某月的月历，如图2所示的三种方格框（方格框①、方格框②、方格框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最大的数都为x．
（1）请用含x的式子表示：
第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是　 　，　 　，x；
第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是　 　，　 　，x；
第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是　 　，　 　，x；
（2）设第①个方格框中三数之和为，第②个方格框中三数之和为，第③个方格框中三数之和为，是否存在这样的x，使得？若能，请求出，，的值；若不能，请说明理由．
17．（2019七上·利辛月考）《九章算术》中有这样一道题，原文如下：今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗，问故米几何 (栗米之法粟率五十，粝米三十．)
大意为：今有糙米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少；向桶中加谷子至加满，再把所加谷子春成糙米，共得糙米7斗．问原来有糙米多少斗 (谷子五斗去皮可得糙米三斗，即出米率为 )请解答上面问题。
18．（2023七上·凤凰月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．
（1）该车间有男生、女生各多少人？
（2）已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？
19．（2025七上·上城期末）我国的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分禽缴纳税收，具体税率等级如下表，其中应纳税所得额=月工资-5000-专项扣除金额-依法确定的其他扣除金额。
其中专项扣除的常见项目及金额（每个月）如下： ①每位子女教育扣除2000元：②住房贷款扣除 1000元：③养老人扣除 3000元。
依法确定的其他扣除金额主要包括养老保险金。医疗保险金等
级数 应纳税所得额 税率
1 0至3000元的部分 3%
2 超过3000元至12000元的部分 10%
3 超过 12000 元至 25000元的部分 20%
… … …
（1）方方妈妈的月工资为13100元，专项扣除项目只有赡养老人，依法定的其他扣除金额为1100元，则方方妈妈应纳税所得额为多少元 缴纳的税额是多少元
（2）方方爸爸的月工资是x元，他的专项扣除项目有：1位就读初中的子女，一套住房的贷款和赡养老人：依法确定的其他扣除金额为1500元。则方方爸爸的应纳税所得额是多少元 （用含x的代数式表示）。
（3）在（2）的基础上，方方爸爸每月缴纳的税额是170元，则方方爸爸每月的收入是多少
20．（2019七上·秦淮期末）甲、乙两地相距720km，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶.已知快车的速度是120km/h，慢车的速度是80km/h，快车到达乙地后，停留了20min，由于有新的任务，于是立即按原速返回甲地.在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是多少？
21．（2024七上·渭滨期末）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50％；乙种商品每件进价50元，售价80元
（1）甲种商品每件进价为________元，每件乙种商品利润率为________；
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按售价打九折
超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
四、实践探究题
22．（2025七上·镇海区期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究宁波地铁的运行．
素材 1 宁波轨道交通 1 号线是宁波第 1 条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为 2 分钟，每站停靠时间 30 秒．如图 1 是 1 号线部分线路图：
素材 2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以东门口站为原点，建立了如下图 2的数轴．其中数字 1 代表江厦桥东站，数字 2 代表舟孟北路站，以此类推．数轴上的动点 可以用来刻画运动的地铁，动点 每次运动到一个整数点时，都需要暂停 30 秒，代表地铁到站停靠．
（1）图2 中数字 5 代表　 　站．
（2）如图 2，动点 从原点出发，运动 分钟到数字 3 和数字 4 之间时（不含数字 3 和数字 4），求点 在数轴上表示的数（用含 的代数式表示）．
（3）如图 3， 从江厦桥东站上车，往东环南路方向乘坐地铁，同时 从福庆北路站上车，往东门口方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从江厦桥东和福庆北路出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距 2.5 个单位长度．
23．关于“千里江陵一日还”的探索.
【提出问题】小刚对李白的“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还.产生了疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗
【分析问题】查阅资料可知，白帝城是今重庆奉节，而江陵是今海北荆州.假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为14 km/h从宜昌到荆州的速度约为10 km/h.从奉节到荆州的水上距离约为350km.经过分析后发现：李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州的时间多1h.
（1）【解决问题】奉节到宜昌的水上距离有多远
（2）请你计算，李白能在一日(24h)之内从白帝城到达江陵吗
（3）【实践体验】小刚8：00从奉节出发，乘坐游轮以50 km/h的速度前往荆州，真正实现了“千里江陵一日还”.小刚的姑妈10：30从宜昌出发，也乘坐游轮前往荆州，速度为30 km/h，请你计算小刚几时能追上姑妈.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：用索去量竿，绳索比竿长5尺，
设竿长为x尺，索长为尺，
又将索子对折去量竿，索子就比竿子短5尺，
．
故选：A．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设绳索长x尺，得到竿长尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，列出关于x的一元一次方程，即可求解．
2．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意得：乙每小时行，
设两地的路程为，
甲比乙早到，
列方程为，
故答案为：C．
【分析】设两地的路程为，根据题意列方程即可．
3．【答案】A
【知识点】列一元一次方程；一元一次方程的实际应用-调配问题
【解析】【解答】解：设从甲煤场运煤吨到乙煤场，依题意得，
故应选：A．
【分析】由题意知调配后甲煤厂存煤量是乙煤厂存煤量的2倍，只需用含未知数的代数式分别表示出调配后两个煤厂的存煤量，即可列出方程。
4．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：118÷（1+18%）=100（元），
118÷（1-18％）=（元），
118×2-（100+）
=236-
=＜0，
所以赔了，
故答案为：A.
【分析】根据毛衣利率=，求出毛衣的成本价，再比较成本和售价的大小即可.
5．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】 解：设最小的数为x，依据题意得：
A、x+x+1+x+2=42，解得：x=13，则x+1=14，x+2=15，故A不符合题意；
B、x+x+7+x+6=42，解得：，故B符合题意；
C、x+x+7+x+14=42，解得：x=7，则x+7=14，x+14=21，故C不符合题意；
D、x+x+7+x+8=42，解得：x=9，则x+7=16，x+8=17，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】设最小的数为x，然后根据日历中的数字为正整数，且左右相邻差1，上下相邻差7，逐项列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解.
6．【答案】A
【知识点】根据数量关系列方程；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设乙数为x，则甲数为x+2，而两数之和为5，则x+2+x=5，
故选：A.
【分析】用乙数表示甲数，再由甲乙两数之和为5，将两个数相加即可列出方程.
7．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：∵慢马先行12天，快马天可追上慢马，
∴快马追上慢马时，慢马行了天
根据题意得：
故选：D．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据慢马先行12天，得到快马追上慢马时慢马行了天，结合路程=速度时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，列出关于的一元一次方程，即可求解.
8．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设大和尚有人，
根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】设大和尚有人，利用“馒头的数量为100”列出方程即可.
9．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设第一套服装的进价为元，根据题意，得 解得；
设第二套服装的进价是元，根据题意，得 解得；
两套服装的进价为元，
两套服装的卖价为元
元．
故答案为：；
【分析】本题主要考查列一元一次方程解应用题，设第一套服装的进价为元，第二套服装的进价是元，列方程求得两套服装的进价，然后根据总的进价与售出价的比较，得出卖出这两件衣服是盈利还是亏损，得到答案．
10．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴；
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再解方程求解即可。
11．【答案】16
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设左下角方格中的数是x，
∵每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：16．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，列出关于的一元一次方程，求得方程的解，即可得到答案.
12．【答案】7
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设一共有x本书分给3人，则甲分得本书，乙分得本书，丙分得本书，由题意可得：
，
解得：x=28
∴乙分得的书的数量：（本）．
故答案为：．
【分析】一共有x本书分给3人，则根据题意可得分给甲本书，分给乙本书，分给丙本，列方程求解得书本的总数量，再即可得到乙分得的本数.
13．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设港和港相距，根据题意得：
，
解得：，
则港和港相距，
故答案为：．
【分析】根据"逆流速度等于静水速度减水流速度，顺流速度等于静水速度加水流速度"表示出逆流速度与顺流速度，结合题意“顺流所需时间+2=逆流所需时间”可列关于x的方程，解方程即可求解．
14．【答案】28
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解： ∵会打篮球的有36人，会打排球的人数比会打篮球的多4人，∴会打排球的有40人.
设既会打篮球又会打排球的有x人，则只会打篮球的有（36-x）人，只会打排球的有（40-x）人，会打篮球或排球的有36+40-x=（76-x）人，两种球都不会打的有54-（76-x）=（x-22）人.
∵这两种球都不会打的人数是都会打的人数的 还少1人，
解得x=28.
故答案为：28.
【分析】先根据条件求出会打排球的有人数，通过设既会打篮球又会打排球的有x人，分别表示出只会打篮球和只会打排球的人数，继而可推出会打篮球或排球的人数及两种球都不会打的人数，再通过条件“ 两种球都不会打的人数是都会打的人数的 还少1人 ”，即可列出等式进行求解。
15．【答案】（1）0.6
（2）解：设老李家9月份的用电量为x度，∵0.6×240=144（元），144＜157，
∴x＞240．
依题意得：144+0.65（x-240）=157，
解得：x=260．
答：老李家9月份的用电量为260度．
（3）解：设老李家8月份的用电量为y度，
依题意得：144+0.65×（400-240）+（0.6+0.3）（y-400）=0.7y，
解得：y=560．
答：老李家8月份的用电量为560度．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：（1）依题意得：200a=120，
解得：a=0.6．
故答案为：0.6；
【分析】（1）根据表格中的数据，利用电费=电价×月用电量，得出关于a的一元一次方程，求出a的值，即可得到答案；
（2）设老李家9月份的用电量为x度，求出月用电量为240度时的电费，由该值小于157，得出x＞240，利用电费=144+0.65×超过240度的部分，得出关于x的一元一次方程，即可得到答案；
（3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，得出关于y的一元一次方程，即可得出结论．
（1）依题意得：200a=120，
解得：a=0.6．
故答案为：0.6；
（2）设老李家9月份的用电量为x度，
∵0.6×240=144（元），144＜157，
∴x＞240．
依题意得：144+0.65（x-240）=157，
解得：x=260．
答：老李家9月份的用电量为260度．
（3）设老李家8月份的用电量为y度，
依题意得：144+0.65×（400-240）+（0.6+0.3）（y-400）=0.7y，
解得：y=560．
答：老李家8月份的用电量为560度．
16．【答案】（1）；；；；；
（2）解：（2）由（1）可得：
，
，
，
∵，
∴，
解得：，
∵在第四行第五列，符合题意，
∴存在这样的x，使得，
∴，
，
．
所以存在这样的x，使得，此时，，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
故填：，；
第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
故填：，；
第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
故填：，；
【分析】（1）根据日历中的特点，可用含x的代数式表示出三种方格框中的数，即可作答；
（2）由（1）知，分别表示出，，，结合，可得出关于x的一元一次方程，解方程，求出x的值，结合该值所在的位置是否符合实际，使得，再分别将其代入，，中，即可求出结论．
（1）解：根据题意得：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
（2）解：由（1）可得：
，
，
，
∵，
∴，
解得：，
∵在第四行第五列，符合题意，
∴存在这样的x，使得，
∴，
，
．
所以存在这样的x，使得，此时，，．
17．【答案】解：设原来有糙米x斗，则加了(10-x)斗谷子，根据题意得
x+ (10-x)=7，
解得x=
答：原来有糙米 斗．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】 设原来有糙米x斗，根据题意，列出关于x的一元一次方程，即可求解.
18．【答案】（1）解：设该车间有男生x人，则女生人数是人，则
．
解得
则．
答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．
（2）解：设应分配y名工人生产螺丝， 该车间有工人44人 ，则名工人生产螺母，
因为每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个 ，
所以
解得：，
答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程并解答；
（2）首先设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可．
（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则
．
解得
则．
答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．
（2）设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，由题意得：
解得：，
答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．
19．【答案】（1）解：根据题意得：方方妈妈应纳税所得额为13100-5000-3000-1100 =4000(元)，
缴纳的税额为3000×3%+(4000-3000)×10%=190(元)。
答：方方妈妈应纳税所得额为4000元，缴纳的税额是190元；
（2）解：根据题意得：方方爸爸的应纳税所得额是
x-5000-2000-1000-3000-1500=(x-12500)元；
（3）解：∵3000×3%=90(元)，3000×3%+(12000-3000)×10%=990(元)， 90<170<990，
∴3000根据题意得：3000×3%+10%(x-12500-3000)=170，
解得： x=16300.
答：方方爸爸每月的收入是16300元.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-利息问题
【解析】【分析】(1)利用方方妈妈应纳税所得额=方方妈妈的月工资-5000-3000-1100， 即可求出方方妈妈应纳税所得额， 再利用缴纳的税额=3000×3%+10×超出3000元的部分，即可求出缴纳的税额；
(2)利用方方爸爸的应纳税所得额=方方妈妈的月工资-5000-2000-1000-3000-1500， 即可用含x的代数式表示出方方爸爸的应纳税所得额；
(3)根据方方爸爸每月缴纳的税额是170元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.
20．【答案】解：设从甲地驶往乙地时，快车行驶x小时追上慢车，由题意得
120x=80（x+1），
解得x=2，
则慢车行驶了3小时.
设在整个程中，慢车行驶了y小时，则快车行驶了（y﹣1﹣ ）小时，由题意得
120（y﹣1﹣ ）+80y=720×2，
解得y=8，
8﹣3=5（小时）.
答：在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是5小时.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，第一次是从甲地驶往乙地时，快车追上慢车，根据追上时快车行驶的路程=慢车行驶的路程列方程求解；第二次是快车到达乙地后返回甲地时与慢车相遇，根据相遇时快车行驶的路程+慢车行驶的路程=甲、乙两地之间的路程×2列方程求解.
21．【答案】（1）40；60％；
（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，
根据题意得，40x+50（50-x）=2100，
解得：x=40．
答：购进甲商品40件，乙商品10件.
（3）解：设小华打折前应付款为y元，
①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，
由题意得0.9y=504，
解得：y=560，
560÷80=7（件），
②打折前购物金额超过600元，
600×0.82+（y-600）×0.3=504，
解得：y=640，
640÷80=8（件），
综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】（1）解：设甲的进价为x元/件，
根据题意可得：（60-x）=50%x，
解得：x=40．
故甲的进价为40元/件；
乙商品的利润率为（80-50）÷50=60%．
故答案为：40；60%.
【分析】（1）设甲的进价为x元/件，根据“ 甲种商品每件售价60元，利润率为50％ ”列出方程求出x的值可得甲的进价；再利用“利润率=利润÷进价”求出乙的利润率即可；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，根据“ 甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元 ”列出方程40x+50（50-x）=2100，再求解即可；
（3）设小华打折前应付款为y元，再分类讨论：①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，再分别列出方程求出y的值，从而可得答案.
（1）解：设甲的进价为x元/件，
则（60-x）=50%x，
解得：x=40．
故甲的进价为40元/件；
乙商品的利润率为（80-50）÷50=60%．
故答案为：40；60%；
（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，
由题意得，40x+50（50-x）=2100，
解得：x=40．
即购进甲商品40件，乙商品10件；
（3）解：设小华打折前应付款为y元，
①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，
由题意得0.9y=504，
解得：y=560，
560÷80=7（件），
②打折前购物金额超过600元，
600×0.82+（y-600）×0.3=504，
解得：y=640，
640÷80=8（件），
综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．
22．【答案】（1）世纪大道
（2）点P在数轴上表示的数为
（3）解：设A运动t分钟后在数轴上表示的数为a
① 当两辆地铁相遇前相距2.5个单位长度时
a＝＝2.75 则t＝＝4(分钟)
② 当两辆地铁相遇后相距2.5个单位长度时
a＝＝5.25 则t＝＝10.5(分钟)
综上所述，出发4分钟或10.5分钟后两人相距2.5个单位长度
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【分析】（1）根据数轴上原点的位置得到站点即可；
（2）根据路程=速度×时间列代数，化简解题；
（3）设A运动t分钟后在数轴上表示的数为a，然后分为两辆地铁相遇前相距2.5个单位长度和两辆地铁相遇后相距2.5个单位长度两种情况求出a和t的值即可解题.
23．【答案】（1）解：设奉节到宜昌的水上距离为x(km).由题意，得 解得x=210.
答：奉节到宜昌的水上距离为210 km.
（2）解：
因为29>24，
所以李白不能在一日(24 h)之内从白帝城到达江陵.
（3）解：设小刚出发y(h)追上姑妈.由题意，得50y-210=30(y-2.5)，
解得 y=6.75.
6.75时=6时45分，8时+6时45分=14时45分，
即小刚14：45 能追上姑妈.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）奉节到宜昌的水上距离为x千米，根据李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1h列出方程，解方程即可；
（2）用两段时间之和计算即可；
（3）设小刚出发y小时追上姑妈，根据小刚路程-减去姑妈的路程=210列出方程，解方程即可.
1 / 15.3 实际问题与一元一次方程（2）-北师大版数学七年级上册
一、选择题
1．（2024七上·襄城期末）我国古代数学著《算法统宗》中有这样一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，用索去量竿，索比竿长5尺：若将索子对折去量竿，索子就比竿子短5尺，若设竿长为x尺，则所列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：用索去量竿，绳索比竿长5尺，
设竿长为x尺，索长为尺，
又将索子对折去量竿，索子就比竿子短5尺，
．
故选：A．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设绳索长x尺，得到竿长尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，列出关于x的一元一次方程，即可求解．
2．（2023七上·南岸月考）甲乙两人同时从到地，甲比乙每小时多行，若甲每小时行，结果甲比乙早到，设两地的路程为，根据题意，列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意得：乙每小时行，
设两地的路程为，
甲比乙早到，
列方程为，
故答案为：C．
【分析】设两地的路程为，根据题意列方程即可．
3．（2025七上·湖州期末）甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨，为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场 设应从甲煤场运吨煤到乙煤场，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程；一元一次方程的实际应用-调配问题
【解析】【解答】解：设从甲煤场运煤吨到乙煤场，依题意得，
故应选：A．
【分析】由题意知调配后甲煤厂存煤量是乙煤厂存煤量的2倍，只需用含未知数的代数式分别表示出调配后两个煤厂的存煤量，即可列出方程。
4．（2024七上·碧江期末）年元旦节，某服装店清仓处理两种毛衣，分别售价每件元，其中一件赚，而另一件亏，那么这家商店出售这样两件毛衣是赚还是赔（　　）
A．赔了 B．赚了 C．不赚也不赔 D．无法计算
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：118÷（1+18%）=100（元），
118÷（1-18％）=（元），
118×2-（100+）
=236-
=＜0，
所以赔了，
故答案为：A.
【分析】根据毛衣利率=，求出毛衣的成本价，再比较成本和售价的大小即可.
5．小明同学在某月的月历表上圈出了三个相邻的数a，b，c，并求出了它们的和为42，则这三个数在日历中的排列位置不可能是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】 解：设最小的数为x，依据题意得：
A、x+x+1+x+2=42，解得：x=13，则x+1=14，x+2=15，故A不符合题意；
B、x+x+7+x+6=42，解得：，故B符合题意；
C、x+x+7+x+14=42，解得：x=7，则x+7=14，x+14=21，故C不符合题意；
D、x+x+7+x+8=42，解得：x=9，则x+7=16，x+8=17，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】设最小的数为x，然后根据日历中的数字为正整数，且左右相邻差1，上下相邻差7，逐项列出关于x的一元一次方程，解方程即可求解.
6． 已知甲、乙两数之和为5，甲数比乙数大2，求甲、乙两数.设乙数为x，可列出方程是（　　）
A．x+2+x=5 B．x-2+x=5 C．5+x=x-2 D．x(x+2)=5
【答案】A
【知识点】根据数量关系列方程；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设乙数为x，则甲数为x+2，而两数之和为5，则x+2+x=5，
故选：A.
【分析】用乙数表示甲数，再由甲乙两数之和为5，将两个数相加即可列出方程.
7．（2024七上·苍梧期末）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百六十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行160里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：∵慢马先行12天，快马天可追上慢马，
∴快马追上慢马时，慢马行了天
根据题意得：
故选：D．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据慢马先行12天，得到快马追上慢马时慢马行了天，结合路程=速度时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，列出关于的一元一次方程，即可求解.
8．（2024七上·蓬江期末）程大位是我国珠算发明家，他完成杰作《直指算法统宗》是东方古代数学名著，在书中记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？如果设大和尚有人，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设大和尚有人，
根据题意可得：，
故答案为：C.
【分析】设大和尚有人，利用“馒头的数量为100”列出方程即可.
二、填空题
9．（2023七上·郑州经济技术开发期末）某商店在同一天以每件 元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利 ，另一件亏损，卖出这两件衣服商店盈利　 　 元．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】解：设第一套服装的进价为元，根据题意，得 解得；
设第二套服装的进价是元，根据题意，得 解得；
两套服装的进价为元，
两套服装的卖价为元
元．
故答案为：；
【分析】本题主要考查列一元一次方程解应用题，设第一套服装的进价为元，第二套服装的进价是元，列方程求得两套服装的进价，然后根据总的进价与售出价的比较，得出卖出这两件衣服是盈利还是亏损，得到答案．
10．（2024七上·官渡期末）洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示，图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，图3中的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴；
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，再解方程求解即可。
11．（2024七上·铁东期末）幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则m的值为　 　．
【答案】16
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设左下角方格中的数是x，
∵每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：16．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，列出关于的一元一次方程，求得方程的解，即可得到答案.
12．（2024七上·新都开学考）把若干本书分给甲乙丙三人．分给甲的书是总量的，分给乙的书是总量的，分给丙的书是甲乙分得书的本数之差的二倍，最后还剩下11 本．那么，乙分得的书有　 　本．
【答案】7
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设一共有x本书分给3人，则甲分得本书，乙分得本书，丙分得本书，由题意可得：
，
解得：x=28
∴乙分得的书的数量：（本）．
故答案为：．
【分析】一共有x本书分给3人，则根据题意可得分给甲本书，分给乙本书，分给丙本，列方程求解得书本的总数量，再即可得到乙分得的本数.
13．（2024七上·遵义期末）一艘轮船从港顺流行驶到港，比从港返回港少用2小时，已知水流的速度为，轮船在静水中航行的速度为，则A港和B港相距　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设港和港相距，根据题意得：
，
解得：，
则港和港相距，
故答案为：．
【分析】根据"逆流速度等于静水速度减水流速度，顺流速度等于静水速度加水流速度"表示出逆流速度与顺流速度，结合题意“顺流所需时间+2=逆流所需时间”可列关于x的方程，解方程即可求解．
14．某班共有54名同学，其中会打篮球的有36人，会打排球的人数比会打篮球的多4人.另外，这两种球都不会打的人数是都会打的人数的 还少1人，则既会打篮球又会打排球的有　 　人.
【答案】28
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解： ∵会打篮球的有36人，会打排球的人数比会打篮球的多4人，∴会打排球的有40人.
设既会打篮球又会打排球的有x人，则只会打篮球的有（36-x）人，只会打排球的有（40-x）人，会打篮球或排球的有36+40-x=（76-x）人，两种球都不会打的有54-（76-x）=（x-22）人.
∵这两种球都不会打的人数是都会打的人数的 还少1人，
解得x=28.
故答案为：28.
【分析】先根据条件求出会打排球的有人数，通过设既会打篮球又会打排球的有x人，分别表示出只会打篮球和只会打排球的人数，继而可推出会打篮球或排球的人数及两种球都不会打的人数，再通过条件“ 两种球都不会打的人数是都会打的人数的 还少1人 ”，即可列出等式进行求解。
三、解答题
15．（2023七上·西湖月考）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次 月用电量 电价（元/度）
第1档 不超过240度的部分 a
第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65
第3档 超过400度的部分 a+0.3
已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费157元．
（1）表中a的值为　 　；
（2）求老李家9月份的用电量；
（3）若8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，求老李家8月份的用电量．
【答案】（1）0.6
（2）解：设老李家9月份的用电量为x度，∵0.6×240=144（元），144＜157，
∴x＞240．
依题意得：144+0.65（x-240）=157，
解得：x=260．
答：老李家9月份的用电量为260度．
（3）解：设老李家8月份的用电量为y度，
依题意得：144+0.65×（400-240）+（0.6+0.3）（y-400）=0.7y，
解得：y=560．
答：老李家8月份的用电量为560度．
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【解答】解：（1）依题意得：200a=120，
解得：a=0.6．
故答案为：0.6；
【分析】（1）根据表格中的数据，利用电费=电价×月用电量，得出关于a的一元一次方程，求出a的值，即可得到答案；
（2）设老李家9月份的用电量为x度，求出月用电量为240度时的电费，由该值小于157，得出x＞240，利用电费=144+0.65×超过240度的部分，得出关于x的一元一次方程，即可得到答案；
（3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为0.7元/度，得出关于y的一元一次方程，即可得出结论．
（1）依题意得：200a=120，
解得：a=0.6．
故答案为：0.6；
（2）设老李家9月份的用电量为x度，
∵0.6×240=144（元），144＜157，
∴x＞240．
依题意得：144+0.65（x-240）=157，
解得：x=260．
答：老李家9月份的用电量为260度．
（3）设老李家8月份的用电量为y度，
依题意得：144+0.65×（400-240）+（0.6+0.3）（y-400）=0.7y，
解得：y=560．
答：老李家8月份的用电量为560度．
16．（2023七上·武汉期中）如图1是某月的月历，如图2所示的三种方格框（方格框①、方格框②、方格框③），可以框住日历中的三个数，设被这三种方格框框住的三个数中最大的数都为x．
（1）请用含x的式子表示：
第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是　 　，　 　，x；
第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是　 　，　 　，x；
第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是　 　，　 　，x；
（2）设第①个方格框中三数之和为，第②个方格框中三数之和为，第③个方格框中三数之和为，是否存在这样的x，使得？若能，请求出，，的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；；；；；
（2）解：（2）由（1）可得：
，
，
，
∵，
∴，
解得：，
∵在第四行第五列，符合题意，
∴存在这样的x，使得，
∴，
，
．
所以存在这样的x，使得，此时，，．
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
故填：，；
第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
故填：，；
第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
故填：，；
【分析】（1）根据日历中的特点，可用含x的代数式表示出三种方格框中的数，即可作答；
（2）由（1）知，分别表示出，，，结合，可得出关于x的一元一次方程，解方程，求出x的值，结合该值所在的位置是否符合实际，使得，再分别将其代入，，中，即可求出结论．
（1）解：根据题意得：第①个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
第②个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
第③个方格框中框住的三个数从小到大依次是，，；
（2）解：由（1）可得：
，
，
，
∵，
∴，
解得：，
∵在第四行第五列，符合题意，
∴存在这样的x，使得，
∴，
，
．
所以存在这样的x，使得，此时，，．
17．（2019七上·利辛月考）《九章算术》中有这样一道题，原文如下：今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗，问故米几何 (栗米之法粟率五十，粝米三十．)
大意为：今有糙米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少；向桶中加谷子至加满，再把所加谷子春成糙米，共得糙米7斗．问原来有糙米多少斗 (谷子五斗去皮可得糙米三斗，即出米率为 )请解答上面问题。
【答案】解：设原来有糙米x斗，则加了(10-x)斗谷子，根据题意得
x+ (10-x)=7，
解得x=
答：原来有糙米 斗．
【知识点】一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】 设原来有糙米x斗，根据题意，列出关于x的一元一次方程，即可求解.
18．（2023七上·凤凰月考）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．
（1）该车间有男生、女生各多少人？
（2）已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？
【答案】（1）解：设该车间有男生x人，则女生人数是人，则
．
解得
则．
答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．
（2）解：设应分配y名工人生产螺丝， 该车间有工人44人 ，则名工人生产螺母，
因为每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个 ，
所以
解得：，
答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程并解答；
（2）首先设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可．
（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则
．
解得
则．
答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．
（2）设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，由题意得：
解得：，
答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．
19．（2025七上·上城期末）我国的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分禽缴纳税收，具体税率等级如下表，其中应纳税所得额=月工资-5000-专项扣除金额-依法确定的其他扣除金额。
其中专项扣除的常见项目及金额（每个月）如下： ①每位子女教育扣除2000元：②住房贷款扣除 1000元：③养老人扣除 3000元。
依法确定的其他扣除金额主要包括养老保险金。医疗保险金等
级数 应纳税所得额 税率
1 0至3000元的部分 3%
2 超过3000元至12000元的部分 10%
3 超过 12000 元至 25000元的部分 20%
… … …
（1）方方妈妈的月工资为13100元，专项扣除项目只有赡养老人，依法定的其他扣除金额为1100元，则方方妈妈应纳税所得额为多少元 缴纳的税额是多少元
（2）方方爸爸的月工资是x元，他的专项扣除项目有：1位就读初中的子女，一套住房的贷款和赡养老人：依法确定的其他扣除金额为1500元。则方方爸爸的应纳税所得额是多少元 （用含x的代数式表示）。
（3）在（2）的基础上，方方爸爸每月缴纳的税额是170元，则方方爸爸每月的收入是多少
【答案】（1）解：根据题意得：方方妈妈应纳税所得额为13100-5000-3000-1100 =4000(元)，
缴纳的税额为3000×3%+(4000-3000)×10%=190(元)。
答：方方妈妈应纳税所得额为4000元，缴纳的税额是190元；
（2）解：根据题意得：方方爸爸的应纳税所得额是
x-5000-2000-1000-3000-1500=(x-12500)元；
（3）解：∵3000×3%=90(元)，3000×3%+(12000-3000)×10%=990(元)， 90<170<990，
∴3000根据题意得：3000×3%+10%(x-12500-3000)=170，
解得： x=16300.
答：方方爸爸每月的收入是16300元.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-利息问题
【解析】【分析】(1)利用方方妈妈应纳税所得额=方方妈妈的月工资-5000-3000-1100， 即可求出方方妈妈应纳税所得额， 再利用缴纳的税额=3000×3%+10×超出3000元的部分，即可求出缴纳的税额；
(2)利用方方爸爸的应纳税所得额=方方妈妈的月工资-5000-2000-1000-3000-1500， 即可用含x的代数式表示出方方爸爸的应纳税所得额；
(3)根据方方爸爸每月缴纳的税额是170元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.
20．（2019七上·秦淮期末）甲、乙两地相距720km，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶1小时后，快车才开始行驶.已知快车的速度是120km/h，慢车的速度是80km/h，快车到达乙地后，停留了20min，由于有新的任务，于是立即按原速返回甲地.在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是多少？
【答案】解：设从甲地驶往乙地时，快车行驶x小时追上慢车，由题意得
120x=80（x+1），
解得x=2，
则慢车行驶了3小时.
设在整个程中，慢车行驶了y小时，则快车行驶了（y﹣1﹣ ）小时，由题意得
120（y﹣1﹣ ）+80y=720×2，
解得y=8，
8﹣3=5（小时）.
答：在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，这两次相遇时间间隔是5小时.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】在快车从甲地出发到回到甲地的整个程中，与慢车相遇了两次，第一次是从甲地驶往乙地时，快车追上慢车，根据追上时快车行驶的路程=慢车行驶的路程列方程求解；第二次是快车到达乙地后返回甲地时与慢车相遇，根据相遇时快车行驶的路程+慢车行驶的路程=甲、乙两地之间的路程×2列方程求解.
21．（2024七上·渭滨期末）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50％；乙种商品每件进价50元，售价80元
（1）甲种商品每件进价为________元，每件乙种商品利润率为________；
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按售价打九折
超过600元 其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
【答案】（1）40；60％；
（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，
根据题意得，40x+50（50-x）=2100，
解得：x=40．
答：购进甲商品40件，乙商品10件.
（3）解：设小华打折前应付款为y元，
①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，
由题意得0.9y=504，
解得：y=560，
560÷80=7（件），
②打折前购物金额超过600元，
600×0.82+（y-600）×0.3=504，
解得：y=640，
640÷80=8（件），
综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【解答】（1）解：设甲的进价为x元/件，
根据题意可得：（60-x）=50%x，
解得：x=40．
故甲的进价为40元/件；
乙商品的利润率为（80-50）÷50=60%．
故答案为：40；60%.
【分析】（1）设甲的进价为x元/件，根据“ 甲种商品每件售价60元，利润率为50％ ”列出方程求出x的值可得甲的进价；再利用“利润率=利润÷进价”求出乙的利润率即可；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，根据“ 甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元 ”列出方程40x+50（50-x）=2100，再求解即可；
（3）设小华打折前应付款为y元，再分类讨论：①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，②打折前购物金额超过600元，再分别列出方程求出y的值，从而可得答案.
（1）解：设甲的进价为x元/件，
则（60-x）=50%x，
解得：x=40．
故甲的进价为40元/件；
乙商品的利润率为（80-50）÷50=60%．
故答案为：40；60%；
（2）解：设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50-x）件，
由题意得，40x+50（50-x）=2100，
解得：x=40．
即购进甲商品40件，乙商品10件；
（3）解：设小华打折前应付款为y元，
①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，
由题意得0.9y=504，
解得：y=560，
560÷80=7（件），
②打折前购物金额超过600元，
600×0.82+（y-600）×0.3=504，
解得：y=640，
640÷80=8（件），
综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．
四、实践探究题
22．（2025七上·镇海区期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究宁波地铁的运行．
素材 1 宁波轨道交通 1 号线是宁波第 1 条建成运营的地铁线路，极大地便利了市民的日常出行．为了研究方便，地铁运行过程中速度看成恒定，每相邻两站的间距都可近似看成相等，且每相邻两站之间地铁的运行时间都为 2 分钟，每站停靠时间 30 秒．如图 1 是 1 号线部分线路图：
素材 2 小明觉得可以用数轴上的动点来刻画地铁的运行过程，他以东门口站为原点，建立了如下图 2的数轴．其中数字 1 代表江厦桥东站，数字 2 代表舟孟北路站，以此类推．数轴上的动点 可以用来刻画运动的地铁，动点 每次运动到一个整数点时，都需要暂停 30 秒，代表地铁到站停靠．
（1）图2 中数字 5 代表　 　站．
（2）如图 2，动点 从原点出发，运动 分钟到数字 3 和数字 4 之间时（不含数字 3 和数字 4），求点 在数轴上表示的数（用含 的代数式表示）．
（3）如图 3， 从江厦桥东站上车，往东环南路方向乘坐地铁，同时 从福庆北路站上车，往东门口方向坐地铁．若两辆地铁恰好同时从江厦桥东和福庆北路出发，则出发多久后两人在数轴上刚好相距 2.5 个单位长度．
【答案】（1）世纪大道
（2）点P在数轴上表示的数为
（3）解：设A运动t分钟后在数轴上表示的数为a
① 当两辆地铁相遇前相距2.5个单位长度时
a＝＝2.75 则t＝＝4(分钟)
② 当两辆地铁相遇后相距2.5个单位长度时
a＝＝5.25 则t＝＝10.5(分钟)
综上所述，出发4分钟或10.5分钟后两人相距2.5个单位长度
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【分析】（1）根据数轴上原点的位置得到站点即可；
（2）根据路程=速度×时间列代数，化简解题；
（3）设A运动t分钟后在数轴上表示的数为a，然后分为两辆地铁相遇前相距2.5个单位长度和两辆地铁相遇后相距2.5个单位长度两种情况求出a和t的值即可解题.
23．关于“千里江陵一日还”的探索.
【提出问题】小刚对李白的“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还.产生了疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗
【分析问题】查阅资料可知，白帝城是今重庆奉节，而江陵是今海北荆州.假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为14 km/h从宜昌到荆州的速度约为10 km/h.从奉节到荆州的水上距离约为350km.经过分析后发现：李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州的时间多1h.
（1）【解决问题】奉节到宜昌的水上距离有多远
（2）请你计算，李白能在一日(24h)之内从白帝城到达江陵吗
（3）【实践体验】小刚8：00从奉节出发，乘坐游轮以50 km/h的速度前往荆州，真正实现了“千里江陵一日还”.小刚的姑妈10：30从宜昌出发，也乘坐游轮前往荆州，速度为30 km/h，请你计算小刚几时能追上姑妈.
【答案】（1）解：设奉节到宜昌的水上距离为x(km).由题意，得 解得x=210.
答：奉节到宜昌的水上距离为210 km.
（2）解：
因为29>24，
所以李白不能在一日(24 h)之内从白帝城到达江陵.
（3）解：设小刚出发y(h)追上姑妈.由题意，得50y-210=30(y-2.5)，
解得 y=6.75.
6.75时=6时45分，8时+6时45分=14时45分，
即小刚14：45 能追上姑妈.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）奉节到宜昌的水上距离为x千米，根据李白从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1h列出方程，解方程即可；
（2）用两段时间之和计算即可；
（3）设小刚出发y小时追上姑妈，根据小刚路程-减去姑妈的路程=210列出方程，解方程即可.
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